非线性方程(组)的数值解法

3
证明方程
在区间 内至少有
利
一个根 .
用
数
学
实
验 完
研究方程
善
根的个数，并求全部根的近似值。
求方程f ( x) x 3 11.1x2 38.8x 41.77 0的有根区间.
f[x_]:=x^3-11.1x^2
+38.8x-41.77
程
Plot[f[x],{x,1,7}]
序
NSolve[f[x]==0,x]
第 七
非线插性方值程（法组）数值解法
章
主讲教师：刘春凤
1 方程求根与二分法 2 迭代法及其收敛性 3 牛顿法及改进的牛顿法 4 牛顿下山法与弦截法
5 非线性方程组的牛顿法
根的存在性 研究对象 问题的由来 二分法 本章研究重点
内容 CURRICULUM DESIGN
根的存在性 研究对象 问题的由来 二分法
处的函数值，即可知道方程的有根区间。
曾有的方法
牛顿二分法
设 f ( x) 在[a, b]上连续且单调，f (a) f (b) 0，则在 [a, b] 有且仅有一个根。
根存在，但未必好求，可用对分法：
不妨设 f (a) 0, f (b) 0
(1)若 f a b 0 则根为x a b , 否则：若 f a b 0，
内 的 一 个 实 根, 要 求 准 确 到 小 数 后 第2位.
解（二分法） a 1.0,b 1.5, f (a) 0, f (b) 0
取中点x0 1.25，将区间二等分，
f ( x0 ) 0,令a1 x0 1.25, b1 b 1.5,
得新的有根区间[a1, b1]
如此二分下去即可。现估计二分次数
a, b a1, b1 a2 , b2 ... ak , bk ...,
其中
ak , bk 的长度bk ak b a/ 2k 当k时 0，
即这些区间最终必收敛于一点x* , 该点显然就是所求的根.
曾有的方法
牛顿二分法
a
a1 a
a1 b1 2
ab b1 2
bx
由于
x * xk
设
{{x -> 2.09632},
计
{x -> 3.91777},
{x -> 5.08592}}
方程的有根区间为[1.5,2.5], [3,4], [5,6].
设 (1) f ( x) C 0 (,),
4
(2) lim f ( x) A, lim f ( x) B, AB 0
x
x
则 f ( x)在(,)至少有一个零点 . 零
点 定
设 (1) f ( x) C 0 (,),
理
(2) lim f ( x) (), lim f ( x) ()
的
x
x
推
则 f ( x)在(,)至少有一个零点 .
论
奇次方程a0 x2n1 a1 x2n ... a2n x a2n1 0 至少有一个实根.
本章研究重点
本章研究对象
bk ak 2
ba 2k1 ,
只 要 二 分 足 够 多 次 （ 即k充 分 大 ） ，
不难得出：
则有
x * xk
这 里为 预 定 的 精 度.
n ln( b a) ln 1
ln 2
对分区间次数的估计：由
x * xn
bn
an 2
ba 2n1
典型例题
例3
求方程 f ( x) x 3 x 1 0在区间 1， 1.5
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
的
困
的根不能用公式表示,因此，通常对n 3的多项式方程求根
惑
与一般连续函数方程f ( x) 0一样多可采用迭代法求根.
曾有的方法
牛顿二分法
搜索Leabharlann Baidu：
先求出使 f ( x)的 点0 ，然后将这些点
放在定义域内，将定义域分成几部分，算出驻点
定
理
y
y f (x)
零点定理
的几何解释:
ao
1 2 3 b x
应用范例
例 1 证明方程
在区间
内至少有一个根 .
显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 即
使 原命题得证 .
应用范例
例 2 证明方程
令 显然 且
至少有一个不超过 4 的正根。
根据零点定理 , 在开区间
内至少存在一点
原命题得证 .
零点定理 的思考：
2
2
2
令
a1
a
2
b ，b1
b
反之
b1
a
2
b
,
a1 a.
(2) 对[a1,b1]区间重复(1)的计算，并产生[a2 ,b2 ],
曾有的方法
牛顿二分法
b1
a1
ba 2
, b2
a2
b1
a1 2
ba 22
考察有根区间[a, b]，
a
a1 a
a1 b1 2
b1
a
2
b
bx
如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间
实多项式方程
本章主要讨论单变量非线性方程
f (x) 0 的求根问题
本章重点研究对象
多项式方程
f ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an 其中系数ai (i 0,1,, n)为实数.
的求根问题
(a0 0),
1
n次方程在复数域有且只有n个根
高 次
当n 5时,方程
方 程
2
若
且
零
能否断定
点
定 理
请观察
的
探
究
在
没有根？
f (0) f (4) 0
{{x -> -0.472834}, {x -> 0.537402}, {x -> 3.93543}}
f[x_]:=x^3-4x^2+1 Plot[f[x],{x,-4,5},AxesLabel>{x,y}] NSolve[f[x]==0,x]
零点定理及其应用 实多项式方程 高次多项式方程的困惑 算法及其程序设计
条 件: 10 f ( x) C 0[a, b] ,
20 f (a) f (b) 0
1
结 论 : 至 少 有 一 点 x0 (a, b), 使 得 f ( x0 ) 0
零 点
即方程 f (x) 0在(a,b)内至少存在一个实根.
x* xn 0.005 n 5.64
所以二分6次可达到要求。
例3
求方程 f ( x) x 3 x 1 0在区间 1， 1.5
内 的 一 个 实 根, 要 求 准 确 到 小 数 后 第2位.
f[x_]:=x^3-x-1; Plot[f[x],{x,0,2}] a[0]=1; b[0]=1.5; b[k_]:=1.5; a[k_]:=(b[k-1]+a[k-1])/2 Table[f[a[k]]f[b[k]],{k,0,4}] Table[a[k],{k,1,3}]//N; MatrixForm[%] N[Solve[f[x]==0,x],20]; N[Solve[f[x]==0,x],20][[1]]