几何计数问题
七年级数学奥数《几何图形的计数问题》教学课件
=268(个)．
• 例6、(1)、图1－70(a)中有多少个三角形？ • (2)、图1－70(b)中又有多少个三角形？
• 解： • (1) 图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直
线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了． • 从6条直线中选3条， • 有 6 5 4 20 种选法(见说明)，
有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)， • 所以最小的三角形不是21个而是24个． • 于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)． • 图中共有三角形59×2=118(个)．
• 例5、图1－69中有多少个等腰直角三角形？
• 解：图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标 一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三 角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
• (1)、若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原 小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三， 即增加了两个小三角形；
• (2)、若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．
• 则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分 别一分为二，即也增加了两个小三角形．
• 4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
• 5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．
• 所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
• 说明：用上面类似的方法，我们可 以计算出n个圆最多分平面的部分 数为：
• 2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
几何计数,数线段,直接利用公式
几何计数,数线段,直接利用公式几何计数是指利用几何方法解决计数问题的数学分支。
其中一种常见的几何计数问题是计算给定平面上点集中线段的数量。
在这篇文章中，我们将介绍如何利用公式来解决数线段的问题，具体的解题方法如下。
首先，我们考虑如何求解平面上的水平线段。
设给定平面上有n个点，我们需要求解由这n个点确定的水平线段的数量。
我们先来看一种简单的情况，假设给定的n个点中没有两个点具有相同的y坐标。
在这种情况下，由任意两个点所确定的线段都是不同的。
因此，我们只需要计算C(n, 2) = n(n-1)/2即可得到线段的数量，其中C(n, 2)表示从n个点中选择2个点的组合数。
然而，当给定的n个点中存在具有相同y坐标的点时，我们需要单独考虑这些点所确定的线段数量。
假设存在m个具有相同y坐标的点，那么我们首先可以求得这m个点所确定的线段的数量为C(m, 2) = m(m-1)/2。
然后，我们还需要将这些线段与其他n-m个点所确定的线段进行组合，因此，这种情况下线段的总数量为C(n, 2) + m(m-1)/2。
接下来，我们考虑如何求解平面上的任意方向的线段的数量。
事实上，我们可以将任意方向的线段分解为水平线段和竖直线段的组合。
假设给定的n个点中没有两个点具有相同的x坐标，那么我们可以通过先求解水平线段的数目，再求解竖直线段的数目，最后将这两个数目相乘得到线段的总数量。
水平线段的数目可以由之前的计算方法得到，而竖直线段的数目的计算方法与水平线段相同。
然而，当给定的n个点中存在具有相同x坐标的点时，我们需要单独考虑这些点所确定的线段数量。
我们可以将具有相同x 坐标的点与其他点分别进行组合，计算得到水平线段和竖直线段的数量，然后将它们相乘得到线段的总数量。
需要注意的是，在计算过程中，我们需要保证m不为0，否则计算C(m, 2)会出现问题。
此外，还要注意考虑到水平线段和竖直线段交叉的情况，需要进行适当的调整。
综上所述，通过以上公式，我们可以解决给定平面上点集中线段数量的计算问题。
人教版七年级数学下册期末专项 几何计数的四种常用方法
按基本图形计数问题
3.如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线
a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少
个“#”形？
【解】共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个).
分类训练
按从特殊到一般的思想方法计数问题
4.(1)三条直线两两相交，最少有
1
个交点，最多有
3
个
交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的
你能画图说明吗？
下面是小明的解题过程：
解：有2种位置关系，画图如图所示：
你认为小明的解答正确吗？
如果不正确，请你给出正确
的解答.
分类训练
【解】小明的解答不正确.有4种位置关系，画图如图
所示：
【点方法】
本题运用了 按画图计数的方法 ，先确定同一平面内三
条直线有哪几种位置关系，再逐一画出图形并计数.
分类训练
1.如图，同位角一共有
∠1和∠5，∠2和
6 对，分别是
∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9
角一共有
4
∠9，∠2和∠9
对，分别是
；内错
∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和
；同旁内角一共有
4
和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9
对，分别是
.
∠1
分类训练
按画图计数问题
2.在同一平面内，任意三条直线有哪几种有6对，邻补角有12对.
分类训练
(2)四条直线两两相交，最少有 1
个交点，最多有 6
个
交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角
的对数；
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(中难度)
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（中难度）例题1：在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？解析：首先我们知道正方形边长为5cm，正方形砖头的边长可以为1cm、2cm、3cm、4cm或5cm。
由于两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，所以我们可以分别计算每种颜色砖头的铺法数量，然后相乘得到总的铺法数量。
对于红色砖头的铺法数量，我们可以考虑从左上角开始铺设。
当砖头的边长为1cm时，只有一种铺法。
当砖头的边长为2cm时，有两种铺法，水平或垂直放置。
当砖头的边长为3cm时，有三种铺法，水平放置、垂直放置或者斜放。
同理，当砖头的边长为4cm时，有四种铺法，水平放置、垂直放置、斜放或者两个合并一起放置。
当砖头的边长为5cm时，只有一种铺法，即整个正方形都用红色砖头铺满。
因此，红色砖头的铺法数量为1 + 2 + 3 + 4 + 1 = 11种。
同理，蓝色砖头的铺法数量也为11种。
总的铺法数量为11 * 11 = 121种。
专项练习应用题：1. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？2. 在一个正方形的边长为8cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？3. 在一个正方形的边长为10cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？4. 在一个正方形的边长为7cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？5. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？6. 有一条长度为10cm的线段，若将其分成三段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？7. 有一条长度为12cm的线段，若将其分成四段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？8. 有一条长度为15cm的线段，若将其分成五段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？9. 有一条长度为8cm的线段，若将其分成两段长度为整数的线段，且这两段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？10. 有一条长度为11cm的线段，若将其分成三段长度为整数的线段，且这三段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？11. 有一条长度为14cm的线段，若将其分成四段长度为整数的线段，且这四段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？12. 在一个正方形的边长为4cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？13. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？14. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？15.在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝、黄、绿四种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求四种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？例题2：题目：在一个正方形格子图中，每个格子都填上了数字0或1，使得每行每列的数字和都为偶数。
小学奥数 几何计数(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
几何图形的计数问题
几何图形的计数问题一、数直线或线段规律1、如图，过两点可画出多少条直线？过不共线的三点最多可以作出多少条直线？过无三点共线的四个点最多可作出多少条直线？…，依次类推，经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？（1）1条（2）3条（3）6条经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出12n(n－1)条直线。
2、分别数出下列各图中各有几条线段？（1）1条（2）3条（3）6条（4）10条若一条线段上有n个点，则可以一共可以数出12n(n－1)条线段。
二、数角规律3、分别数出下列各图中各有几个角？（1）1个（2）3个（3）6个（4）10个若由一个点引出n条射线，则一共可数出2n(n－1)个角。
三、数三角形规律4、分别数出下列各图中各有几个三角形？（1）（2）（3）（4）若由一个顶点引出n条射线，则一共可数出2n(n－1)个三角形。
拓展：分别数出下列各图中各有几个三角形？（1）12个提示：分两部分，分别计算（2）21个提示：分4部分，（3）15个提示：分3部分，四、数长方形、正方形规律5、数出下图中有几个长方形？（1）3个（2）9个（3）18个（4）30个6、数出下图中有几个正方形？（1）8个（2）20个（3）40个数长方形的公式：长边上的线段条数×宽边上的线段条数数正方形的公式：一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是：（其中m≤n）m×n＋(m－1)×(n－1)＋(m－2)×(n－2)＋…＋1×[n－(m－1)]图中共有几条线段？25图中共有几个角？21图中共有几个三角形？24图中共有几个长方形？几个正方形？225，55练习解答：图中共有几条线段？分两部分：①有6个点，根据规律：（6－1）×6÷2＝15（条）①有5个点，根据规律：（5－1）×5÷2＝10（条）所以一共15＋10＝25（条）图中共有几个角？有7条射线，根据规律：（7－1）×7÷2＝21（个）图中共有几个三角形？分为两部分：①这两部分一样，所以只数一个就行了，底边有5个点，根据规律：（5－1）×5÷2＝10（个）①很明显，4个三角形所以一共10×2＋4＝24（个）图中共有几个长方形？几个正方形？长方形：长边和宽边都有6个点，根据规律算出线段条数：（6－1）×6÷2＝15（段）根据数长方形规律：15×15＝225（个）正方形：分5部分①以1个小正方形为单位数，长边和宽边各能数5个，共5×5＝25（个）②以4个小正方形为单位数，长边和宽边各能数4个，共4×4＝16（个）③以9个小正方形为单位数，长边和宽边各能数3个，共3×3＝9（个）④以16个小正方形为单位数，长边和宽边各能数2个，共2×2＝4（个）⑤以25个小正方形为单位数，长边和宽边各能数1个，共1×1＝1（个）所以总共25＋16＋9＋4＋1＝55（个）正方形。
高考中“立体几何”中的计数问题求解方法
高考中“立体几何”中的计数问题求解方法在近几年的高考试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起，综合性强，能力要求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。
现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
1、直接求解例1：从平面上取6个点，从平面上取4个点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？解: 利用三棱锥的形成将问题分成平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有+ + 个三棱锥例2: 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有A.40B. 48C. 56D. 62种解: 满足题设的取法可以分成三类（1）在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有种不同取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有种不同取法；（3）过点P的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有种不同取法,故共有40+8+8=56种评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。
2、结合“立几”概念求解例3: 空间10个点无三点共线，其中有6个点共面，此外没有任何四个点共面，则这些点可以组成多少个四棱锥？解析:3、结合“立几”图形求解例4.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解：分类：以棱柱的底面为棱锥的底面;以棱柱的侧面为棱锥的底面以棱柱的对角面为棱锥的底面以图中(梯形)为棱锥的底面共+ + + =170个4、构造几何模型求解例5.（05年湖北）以平面六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为A. B. C.D. 选A在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一，在复习备考中，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化知识体系。
几何中的计数问题公式
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
小学数学《几何计数》练习题(含答案)
小学数学《几何计数》练习题（含答案）内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。
请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？【例4】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【例6】如右图，数数有多少个三角形？【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?【例9】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？【例10】数一数，各图中长方形的个数?【例11】带*的长方形有多少个？【例12】右图中有多少个长方形？【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？习题七1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？2．数一数，右图中有多少个角?3．数数右图中有多少条线段？4．如右图，数数有多少个三角形？5．数一数下图中有多少个正方形？6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*7．数一数，右图中共有多少个正方形?数线段【例15】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。
数学拓展校本课程第七讲 几何中的计数问题
数学拓展校本课程第七讲几何中的计数问题（一）
例1 数一数下列图形中各有多少条线段.
例2 数出右图中总共有多少个角.
例3 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？
例4 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
例5 如右图中，共有多少个角？
小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n（n-1）+1.
习题七
1、数一数下图中，各有多少条线段？
2、数一数下图中各有多少角？
3、数一数下图中，各有多少条线段？
4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？。
几何计数,数线段,直接利用公式
几何计数,数线段,直接利用公式几何计数是数学中的一个重要概念，用于计算平面内的几何图形的个数。
在几何计数中，数线段是一个常见的问题。
利用公式可以简单地计算出给定平面内线段的个数。
假设给定平面上有n个点，我们可以用这些点来构造线段。
在这些点中，任选两个点可以确定一条唯一的线段。
因此，我们可以从n个点中选择任意两个点，即C(n, 2)种选择方式。
而C(n, 2)代表从n个元素中选择2个元素的组合数，计算公式为：C(n, 2) = n! / [(2!(n-2)!]其中n!表示n的阶乘，即从1到n的连续乘积。
由于计算阶乘可能会非常复杂，因此我们可以利用简化的公式来计算C(n, 2)。
假设n>=2，我们可以简化上述公式为：C(n, 2) = n * (n-1) / 2这个简化公式表示，从n个点中选择任意两个点构成线段，共有n * (n-1) / 2种可能。
例如，给定一个平面上有5个点，我们可以利用简化公式计算出线段的个数：C(5, 2) = 5 * (5-1) / 2 = 5 * 4 / 2 = 10因此，给定5个点的平面上有10个线段。
需要注意的是，这个计算的结果包含了所有不同长度的线段，包括长度为0的线段（即两个点重合的情况）。
如果要求线段的长度大于0，则需要做进一步的筛选和排除。
另外，上述公式只适用于计算给定平面上的线段个数。
如果要考虑不同平面之间的连接，或者给定了其他限制条件（例如线段不能相交），则需要另外的计算方法。
综上所述，利用公式可以简单地计算给定平面内线段的个数。
通过选择任意两个点，利用组合数公式可以计算出线段个数。
这对于几何计数问题中的线段数量问题是一个有用的工具。
几何中的计数问题
第七讲几何中的计数问题
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.
一、数线段
我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.
例1 数一数下列图形中各有多少条线段.
二、数角
例2数出右图中总共有多少个角.
例3 数一数右图中总共有多少个角？
三、数三角形
例4 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？
例5 如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？
分析:在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？
怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始
的连续几个自然数的和.
.
小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.。
小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析
几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(高难度)
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（高难度）例题1：某小学六年级有10名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？解析：首先确定男生和女生的位置，男生和女生的位置可以互换，所以先计算男生和女生的排列方式。
男生和女生分别有10!和8!种排列方式。
但是男生和女生之间是需要相邻的（间隔排列），所以男生和女生的位置可以看作是一个整体，即总共有(10!)(8!)种排列方式。
因此，共有(10!)(8!)种不同的排列方式。
专项练习应用题：1. 某小学六年级有12名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？2. 某小学六年级有8名男生和6名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？3. 某小学六年级有15名男生和12名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？4. 某小学六年级有6名男生和8名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？5. 某小学六年级有10名男生和9名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？6. 某小学六年级有7名男生和7名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？7. 某小学六年级有14名男生和15名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
问共有几种不同的排列方式？8. 某小学六年级有9名男生和10名女生参加了一次班级活动，活动结束时，他们按照男女间隔排成一列，要求男生和女生交替站立。
三年级几何计数
几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步 求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1） 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2） 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3） 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4） 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1） 重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2） 难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】 数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】 一共有：12345621+++++=（条）。
小学奥数--几何计数25道
【题型】应用题【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【答案】630【解析】把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2＝6根火柴；从上向下数第三层用了3×3＝9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20＝60根火柴．所以，总共要用火柴3×(1+2+3+…+20)＝630根．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【答案】13975【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】图19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?【答案】【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121个．或直接数出有121个．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-4，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？【答案】【解析】如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×6＝216个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【答案】100，10664【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．于是横向线段有(1+2+3+4)＝10种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)＝10种选法，则共有10×10＝100个长方形．这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)＝124×86＝10664(平方厘米)．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-6，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?【答案】36【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12×3＝36个正、长方形包含“*”．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】图19-7是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?【答案】130【解析】每个4×4正方形中有：边长为1的正方形4×4个；边长为2的正方形3×3个；边长为3的正方形2×2个，边长为4的正方形1×1个．总共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30个正方形．现在5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×5－5×4＝130．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】图19-8中共有多少个三角形?【答案】22【解析】边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】图19-9是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?【答案】6【解析】设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】如图19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【答案】20【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】在图19-1l中，共有多少个不同的三角形?【答案】85【解析】下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×2＝15个三角形，共计35×2+15＝85个三角形．【难度】难度5【知识点】几何计数【题目】如图19-12，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图19-13．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?【答案】11【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-14，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?【答案】32【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．(2)直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．(3)钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-15，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?【答案】200【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形．所以有12×11×10÷6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200个不同的三角形．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】如图19-16，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?【答案】12【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×3×2×1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7×6×5×4)÷24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．那么需要排除的情况有4×3＝12种．所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】数一数下列图形中各有多少条线段.【答案】15【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A 为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条. 第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n 个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD 分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.② 3＋2＋1＝6（条）.③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF 上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数出下图中总共有多少个角.【答案】10【解析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数一数下图中总共有多少个角？【答案】55【解析】因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角. 所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，各个图形内各有多少个三角形？【答案】（1）6（2）10【解析】可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【答案】60,30【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC 中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如右图中，共有多少个角？【答案】13【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决. ∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n 个基本角，那么它上面角的总数是 n （n-1）+1.【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?374218125【答案】100,12384【解析】①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；②所求的和是[][]51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯+++++++++++++++++++ 1448612384=⨯=(平方厘米)。
小学奥数：几何计数一.专项练习及答案解析
7-8-1几何计数（一）教课目的掌握数常用方法；熟一些数公式及其推方法；依据不一样目灵巧运用数方法行数．本主要介了数的常用方法枚法、数法、形法、插板法、法等，并渗透分数和用容斥原理的数思想．知识重点一、几何计数在几何形中，有多风趣的数，如算段的条数，足某种条件的三角形的个数，若干个分平面所成的地区数等等．看起来仿佛没有什么律可循，可是通真分析，是能够找到一些理方法的．常用的方法有枚法、加法原理和乘法原理法以及推法等．n条直最多将平面分红223⋯⋯n(n2n2)个部分；n个2最多分平面的部分数n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分红3n(n-1)+2部分；n个四形将平面最多分红4n(n-1)+2部分⋯⋯在其余数中，也常用到枚法、加法原理和乘法原理法以及推法等．解需要仔、合所学知点逐渐求解．摆列不与参加摆列的事物相关，并且与各事物所在的先后序相关；合与各事物所在的先后序没关，只与两个合中的元素相关．二、几何计数分类数段：假如一条段上有n+1个点(包含两个端点)（或含有n个“基本段”），那么n+1个点把条段一共分红的段数n+(n-1)+⋯+2+1条数角：数角与数段相像，段形中的点似于角形中的．数三角形：可用数段的方法数如右所示的三角形（法），因DE上有15条段，每条段的两头点与点A相，可构成一个三角形，共有15个三角形，同一在BC上的三角形也有15个，所以中共有30个三角形．数方形、平行四形和正方形：一般的，于随意方形（平行四形），若其横上共有n 条段，上共有条段，中共有方形（平行四形）个．m mn例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同的如右搁置，它有_______条称．7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page1of10【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【重点词】迎春杯，六年级，初赛，试题【分析】如图：6条．【答案】6条【例2】下边的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A）3(B)4(C)5(D)6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【重点词】华杯赛，初赛，第1题【分析】经过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其余的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
第17讲--几何计数
第19讲计数问题一\措施和技巧平常生活中,常常会遇到有关路线旳问题。
它旳基本思考措施就是加法原理。
二＼典型例题【例11 图①中旳线段表达旳是汽车所能通过旳所有马路,这辆汽车从Ａ走到B处共有多少条最短路线?每个格右上角与左下角所标旳数字和即为这格右下角应标旳数字。
我们称这种措施为对角线法，也叫标号法。
根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就是6条不同旳最短路线(图③）。
做一做１如果沿下图中旳线段以最短旳路程，从Ａ点出发到Ｂ点，问共有多少种不同旳走法?【例2】五(2)班少先队开展智力游戏活动。
先在大操场内用石灰画好如右图所示旳线路。
从A点出发沿线走到B点，只能按由北到南,从西向东(即不能倒回走)，共有多少种不同旳走法？如果有2１个同窗都从Ａ点到Ｂ点,问他们能不能都走不同旳路线？做一做2从学校到少年富有4条东西向旳马路和3条南北向旳马路相通。
如下图,李楠从学校出发,步行到少年宫(只许向东或向南行进),问最多有多少种不同旳走法？【例３1 ABCD是一种长和宽分别为4个单位和３个单位旳长方形(如图①所示），沿图中线段从Ａ到C最短线路旳长度是7个单位，那么，从A到C有几条不同旳最短线路？做一做３下图为某都市旳街道示意图，C处正在挖下水道,不能通车，问从Ａ处到B处共有多少条最短路线?【例4】如图①，从甲地到乙地,近来旳道路有几条？做一做4如下图所示,从甲地到乙地,问近来旳道路有几条？【例５1 明明家住在二楼,从底楼上去有9级楼梯。
如果按每步跨1级或2级旳措施爬楼梯,那么爬上这9级旳楼梯有多少种不同旳爬法呢？做一做5有雌雄各一旳一对兔子,一种月后生了雌雄各一旳一对小兔子,这对小兔子通过一种月后就长成大兔子。
此后每对大兔每月生一对雌雄各一旳小兔,而每对小兔通过一种月后又长成大兔。
问半年后共繁殖成了多少对兔子？【例6】取两排蜂巢：一只蜜蜂要从A爬到B去，它爬行旳方向只容许是向右(一)、向右上(／)或向右下(＼)这三种中旳任一种，并爬到相邻旳下一种蜂巢。
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个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七
年级的辩论赛共要进行
6 (6 1) 2
＝15(场)．
(5)乘火车从A站出发，沿途经过5个车站方可到达B 站，那么A，B两站之间最多有多少种不同的票价？
第4章 几何图形初步
双休作业(十)
3 几何计数问题
1
2
3
类型
1 线段的计数问题及其实际应用
1．先阅读文字，再解答问题．
如图，在一条直线上取两点，可以得到1条 线段，在一条直线上取三点可得到3条线段，其 中以A1为端点的向右的线段有2条，以A2为端点 的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．
需要安排多少种不同的车票？
从A站出发，沿途经过5个车站方可到达B站，类似于
7 (7 1) 一条直线上有7个点，此时共有线段 2 ＝21(条)，
即A，B两站之间最多有21种不同的票价．
因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A，B两
站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．
返回
类型
2 平面内直线相交所得交点与平面的计数问题
返回
类型
3 角的计数问题
3．如图，∠BAC为锐角，以A为端点在角的内部 作射线．
(1)如图①，作一条射线，一共有多少个角？ 解：如题图①，已知∠BAC，如果在其内部作一条
射线，显然这条射线就会和∠BAC的两条边各组成
一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．
(2)如图②，作两条射线，一共有多少个角？ 题图①中共有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的 角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射 线就会和题图①中的三条射线再组成三个角，即题
图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．
(3)如图③，作三条射线，一共有多少个角？ 如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中 再增加一条射线，同样这条射线就会和题图②中的
四条射线再组成四个角，即题图③中共有1＋2＋3
＋4＝10(个)角．
(4)如果作n条射线，那么一共有多少个角？ 如果在一个角的内部作n条射线，那么图中共有 1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝ ( n 1)(n 2) (个)角．
2．观察图形(如图)，找出规律，并填空．
(1)5条直线两两相交(无3条直线交于一点)，有_____ 10 16 个交点，平面被分成________ 块；
n( n 1) 2 (2)n条直线两两相交(无3条直线交于一点)，有_____
n( n 1) 1 个交点，平面被分成______________ 块． 2
2 条，以A 条，以A3为端点的向右的线段有______ 4 1 条，共有______ 4 为端点的向右的线段有______ ＋
n( n 1) (3)在一条直线上取n个点(n≥2)，共有________ 条线段 2
3 2 ＋______ 1 10 条)． ______ ＋______ ＝______(
2
返回
(1)在一条直线上取四个点，以A1为端点的向右 3 的线段有______ 条，以A2为端点的向右的线
2 条，以A 为端点的向右的线段有 段有______ 3 1 3 ＋______ 2 1 ＝ ______ 条，共有______ ＋______
6 ______( 条)
(2)在一条直线上取五个点，以A1为端点的向右的线 4 条，以A2为端点的向右的线段有______ 3 段有____