时间序列-AR模型 ppt课件
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时间序列分析模型课件(PPT108张)
确定性时序分析的目的
• 克服其它因素的影响，单纯测度出某一个 确定性因素对序列的影响 • 推断出各种确定性因素彼此之间的相互作 用关系及它们对序列的综合影响
4-3-2 时间序列趋势分析
• 目的
–有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析 的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用 这种趋势对序列的发展作出合理的预测
随机性变化分析: AR、MA、ARMA模型
Cramer分解定理（1961）
• 任何一个时间序列 { x t }都可以分解为两部分的叠 加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成 分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即
x t t t
d j0
jt j
(B)at
随机性影响
确定性影响
对两个分解定理的理解
（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固 定周期规则性的变化，又称商业循环。 采用的方法：季节指数； （3）循环变化 周期不固定的波动变化。
(4)随机性变化
由许多不确定因素引起的序列变化。 随机性变化分析: AR、MA、ARMA模型
确定性变化分析 时间序列分析
趋势变化分析 周期变化分析 循环变化分析
（1 ）
0 1 , 2 j
j0
2 ~ WN ( 0 , （2） t )
( V , ) 0 , t s （3 ） E t s
确定性序列与随机序列的定义
• 对任意序列 而言，令 序列值作线性回归 关于q期之前的
2 ( t ) q 其中{ t } 为回归残差序列， Var
参数估计方法
线性最小二乘估计
Tt ab
t
a ln a b ln b
b t T t a
时间序列模型及应用案例PPT课件
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2020/1/10
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2020/1/10
算法的原理
在 SQL Server 2008 中，Microsoft 时序算法同时使用 ARTxp 算法和另一种算法 ARIMA。ARTXp 算法针对短期 预测进行了优化，因此可预测序列中下一个可能的值。 ARIMA 算法针对长期预测进行了优化。
默认情况下，Microsoft 时序算法在分析模式和进行预测时 混合使用这两种算法。该算法使用相同的数据为两个单独的 模型定型：一个模型采用 ARTxp 算法，另一个模型采用 ARIMA 算法。然后，该算法结合这两个模型的结源自来产生 可变数量时间段的最佳预测。
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2020/1/10
时序模型的数据要求
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2020/1/10
• 对序列的未来趋势做预测 ※
※ • 分解序列的主要趋势成分，季节变化成分 • 对理论性模型与数据进行拟合度检验，以
※ 讨论模型能够正确表示所观测的对象
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2020/1/10
二.时序的构成
趋势成份T
• 长期因素导致的变动，如人口的变动，技术的进步
周期成份C
• 连续观测值规则地落在趋势线的上方或者下方 • 超过一年的有规则的模型都属于时序的周期成分
简而言之，要求分析数据序列必须含有时间序列，并且 序列值为连续，要求分析数据序列存在唯一标示值，其 实也就说传统意义上面的主键。
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2020/1/10
处理过程： （1）新建解决方案，然后数据源，然后数据源视图 （2）预览数据，分析源数据结构内容 这里我们需要对要分析的数据进行分析，先看看里面有那些
时间序列模型
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2020/1/10
提纲
一.时序的基本概念 二.时序的构成 三.时序的预测 四.时序的应用
时间序列-AR模型 ppt课件
(p (p
1) 2)
12
Cx (0) p
Cx Cx Cx
(1)
(2)
( p)
实际上由平稳AR(p)模型:
1 xt1 2 xt2 p xt p t xt
PPT课件
21
在其两端同乘以 xt1 即得：
1xt1xt1 2 xt x 1 t2 p xt1xt p
xt1t xt1xt
再对两端取数学期望, 并由性质:
E(xt1xti ) Cx (i 1),i 1,2,,
且Exttk 0 k 0
B k xt xtk k 0,1,2,
于是,AR(p)模型可以表示为
xt 1Bxt 2 B2 xt p B p xt t
PPT课件
15
(1B 2 B2 p B p )xt t
即得一差分方程:
(B)xt t
其中α (B)为后移算子多项式,即称为自回 归算子:
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
的时间序列为p阶自回归（Autoregression） 序列,上式为p阶自回归模型，记作 AR(p) .
易见,此自回归模型描述了数据序列内部 的递推的线性回归关系。
PPT课件
5
例1.1 单摆现象：单摆在第t个摆动周期中最 大摆幅记为xt，由于阻尼作用，在第t+1个摆 动周期中，其最大振幅为
于是对于平稳时间序列，如果有|α |<1 ，则
E xt
n1
ktk
2
E 2n xt2n
《时间序列模型》课件
对于非线性时间序列，可能需要使用 其他复杂的模型，如神经网络、支持 向量机或深度学习模型。
对异常值的敏感性
时间序列模型往往对异常值非常敏感，一个或几个异常值可能会对整个模型的预测结果产生重大影响 。
在处理异常值时，需要谨慎处理，有时可能需要剔除异常值或使用稳健的统计方法来减小它们对模型 的影响。
PART 06
指数平滑模型
总结词
利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除随机波动。
详细描述
指数平滑模型是一种非参数的时间序列模型，它利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除 随机波动的影响。该模型通常用于预测时间序列数据的未来值，特别是对于具有季节性和趋势性的数 据。
GARCH模型
要点一
总结词
用于描述和预测时间序列数据的波动性，特别适用于金融 市场数据的分析。
时间序列的构成要素
时间序列由时间点和对应的观测值组成，包括时间点和观测值两 个要素。
时间序列的表示方法
时间序列可以用表格、图形、函数等形式表示，其中函数表示法 最为常见。
时间序列的特点
动态性
时间序列数据随时间变化而变化，具有动态 性。
趋势性
时间序列数据往往呈现出一定的趋势，如递 增、递减或周期性变化等。
随机性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有一 定的随机性。
周期性
一些时间序列数据呈现出明显的周期性特征 ，如季节性变化等。
时间序列的分类
根据数据性质分类
时间序列可分为定量数据和定性数据两类。定量数据包括 连续型和离散型，而定性数据则包括有序和无序类型。
根据时间序列趋势分类
时间序列可分为平稳和非平稳两类。平稳时间序列是指其统计特 性不随时间变化而变化，而非平稳时间序列则表现出明显的趋势
对异常值的敏感性
时间序列模型往往对异常值非常敏感，一个或几个异常值可能会对整个模型的预测结果产生重大影响 。
在处理异常值时，需要谨慎处理，有时可能需要剔除异常值或使用稳健的统计方法来减小它们对模型 的影响。
PART 06
指数平滑模型
总结词
利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除随机波动。
详细描述
指数平滑模型是一种非参数的时间序列模型，它利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除 随机波动的影响。该模型通常用于预测时间序列数据的未来值，特别是对于具有季节性和趋势性的数 据。
GARCH模型
要点一
总结词
用于描述和预测时间序列数据的波动性，特别适用于金融 市场数据的分析。
时间序列的构成要素
时间序列由时间点和对应的观测值组成，包括时间点和观测值两 个要素。
时间序列的表示方法
时间序列可以用表格、图形、函数等形式表示，其中函数表示法 最为常见。
时间序列的特点
动态性
时间序列数据随时间变化而变化，具有动态 性。
趋势性
时间序列数据往往呈现出一定的趋势，如递 增、递减或周期性变化等。
随机性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有一 定的随机性。
周期性
一些时间序列数据呈现出明显的周期性特征 ，如季节性变化等。
时间序列的分类
根据数据性质分类
时间序列可分为定量数据和定性数据两类。定量数据包括 连续型和离散型，而定性数据则包括有序和无序类型。
根据时间序列趋势分类
时间序列可分为平稳和非平稳两类。平稳时间序列是指其统计特 性不随时间变化而变化，而非平稳时间序列则表现出明显的趋势
时间序列中的ARMA模型PPT课件
CHENLI
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ARIMA模型的概念
3.ARMA(p, q)过程的特征
1）E(Yt)=1(1c2...p)
2）ARMA(p, q)过程的方差和协方差
CHENLI
11
ARIMA模型的概念
四. AR、MA过程的相互转化
结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程， 可采用递归迭代法完成转化
ARMA模型的概念和构造
CHENLI
1
一、ARIMA模型的基本内涵
一、ARMA模型的概念
自回归移动平均模型（autoregressive moving average models,简记为ARMA模 型），由因变量对它的滞后值以及随机 误差项的现值和滞后值回归得到。
包括移动平均过程（MA）、自回归过程 （AR）、自回归移动平均过程 （ARMA）。
对于任意的，MA(q)是平稳的。
CHENLI
4
ARIMA模型的概念
二. 自回归（AR）过程 1.自回归（AR）过程表示为：
Y t = c + 1 Y t - 1 + 2 Y t - 2 + . . . + p Y t - p + 算子，则原式可写成
CHENLI
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Box-Jenkins方法论
Box-Jenkins方法论 的步骤：
步骤1：模型识别 步骤2：模型估计 步骤3：模型的诊断检验 步骤4：模型预测
CHENLI
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三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测
(一).ARMA模型的识别
1. 识别ARMA模型的两个工具：
自相关函数(autocorrelation function,简记为 ACF）；
ARMA模型介绍ppt课件
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7
自回归移动平均模型(ARMA)
如果时间序列Yt是它的当期和前期的随机误差 项以及前期值的线性函数，即可表示为：
Y t 1 Y t 1 2 Y t 2 . .p Y t . p u t 1 u t 1 q u t q
则称该序列为（p,q）阶自回归移动平均模型。 记为ARMA（p,q）
两者结合的模型（ARMA）
习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来 表示对应的滞后时期。
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5
AR(p)模型
AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形 式为：
Y t1 Y t 1 2 Y t 2 . ..p Y t p u t
另一种表达方式是用差分形式：
Y t Y t 1 1 Y t 1 . .p . 1 Y t p 1 u t
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ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量
经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模 型。
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时间序列模型在上世纪80年代中期后得 到快速发展。
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2
本章主要内容
时间序列模型的特点 AR、MA和ARMA模型的形式 AR、MA和ARMA模型的识别 AR、MA和ARMA模型的估计
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3
时间序列分析模型的特点
时间序列分析通常并不需要建立在经济理论 所体现的经济关系基础之上，而是“让数据 自己说话”。Yt可由其自身的滞后值以及随 机误差项来解释，因此时间序列分析模型又 称乏理论（a-theoretic)模型。
时间序列分析ppt课件
... 1k r0
k
rk r0
1k ,
1 1, 当 k增大时，即序列之间的 间隔增大时，
k 减小，且以指数速度减 小，这种现象称为拖尾 ，
越来越与 0接近，
按照 PACF 的递推公式有：
1 , 22
2 1 11 1 1 11
, 21
11 22 11
33
3 2 21 1 22 1 1 21 2 22
四、 随机序列的特征描述 （1）样本均值
1 n
z n t1 zt c
（2）样本自协方差函数
平稳时间序列自协方差仅与时间隔有关，当 间隔为 零时，自协方差应相等：
4、自协方差与自相关函数的性质 (1) rk=r-k ρk= ρ-k k、－k仅是时间先后 顺序上的差异，它们代表的间隔是相同的。
(2)
1,
rk r0
1rk
r0
三、偏自相关函数（PACF) 1、偏自相关函数用来考察扣除zt 和zt+k之间zt+1 ，
当t取遍所有可能整数时，就形成了离散时间的函数ut 称ut 为时间序列的均值函数。
3、自协方差函数和自相关函数
r ( t , s ) E [ z t ( u t ) z s ( u s ) ] ( z t u t ) z s ( u s ) d t , s ( z t F , z s )
例1、设动态数据16，12，15，10，9，17，11， 16，10，14，求样本均值、样本自相关函数 （SACF）和偏自相关函数（SPACF）（各 求前三项）
(1) z
1 10
数量经济学研究生课件时间序列分析 PPT
五 平稳自回归过程的参数估计
自回归阶数p已知的情况
应用OLS法估计参数。我们可以将（18）看成因变 量为 yt ，自变量为 yt1, yt2 , , yt p 的线性回归 模型，并可用OLS法估计参数。这里p越大需 要的样本容量也越大。例如有30个样本点，而 切知道p=5那么在作OLS回归时只有25个可用， 即 取值yt 从30到5， 取yt值1 从29到4。。。。 取值从25y到t5 最后一个。然后用EVIELS 和 SPSS软件就可以。应该指出，估计量是有偏 的，却是一致的，还是可以接受的。
里，若 pp (L) 11L 2L2 3L3 PLP
的特征方程为：
•
pp (Z) 11Z 2Z 2 PZ P 0
(27)
• 的根全在复平面上单位圆周之外，或所有根的摸
IzI>1。所以p阶自回归模型的平稳条件可表示为：
• •
其中Z代表特征Z 方 程Z的12 任 Z意22 一 1个根，z1和(2z82)则分
(3)
• 那么这一随机过程称为白噪声。
平稳随机过程
一个平稳随机过程，直观的解释，可以看作一条围绕其均值 上下波动的曲线，
在理论上我们把具有一下性质的随机过程称为平稳随
机过程：
•
E( yt ) （对一切t）
（4）
•
D( yt
)
2 y
常数
（对一切t） （5）
•
COV ( yt , ytk ) k ,
别表示Z的实部和虚部。
• 为了研究方便，如不做特殊声明，我们总是假定：
• （1）所有自回归过程是平稳的。当发现时间序列是非平 稳的，要消除非平稳性，一般采用差分法。只要对原始数 据进行适当阶数的差分处理，便可消除非平稳性。
时间序列基本模型课件
时间序列的特征刻画
• 均值函数
ut E( yt )
• 自协方差函数
(t, ) cov(yt , yt ) E[( yt u)( yt u)]
• 自相关函数 • 偏自相关函数
(t,0)
cov(
yt
,
yt
)
var(
yt
)
2 t
( ) cov(yt , yt )
var(yt ) var(yt )
1． 识别 用相关图和偏相关图识别模型形式 （确定参数 d, p, q）。
2． 估计 对初步选取的模型进行参数估计。
3． 诊断与检验 包括被估参数的显著性检验和残差 的随机性检验。
不可取 模型可取吗？
可取 止 建立时间序列模型的步骤
对于经济时间序列，差分次数d通常 取0，1或2。
实际建模中也要防止过度差分。差 分后若数据的极差变大，说明差分 次数太多了。
30
诊断与检验
一是检验模型参数的估计值是否具有统计显著性；二是检验残差序列的非自相关性。 参数估计值的显著性检验是通过 t 统计量完成的，而模型残差序列非自相关性的判别 是用 Q 统计量完成的。 若拟合模型的误差项为白噪声过程，统计量
K
Q = T (T + 2)
rk 2 2( K - p - q)
yt k1 yt1 k 2 yt2 ...kk yt ut
1
平稳时间序列的特征
• 均值函数 • 自协方差函数
• 自相关函数
• 偏自相关函数
yt k1 yt1 k 2 yt2 ...kk ytk ut
2
第四节 时间序列的基本模型
3
时间序列模型的基本形式
自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）；
• 均值函数
ut E( yt )
• 自协方差函数
(t, ) cov(yt , yt ) E[( yt u)( yt u)]
• 自相关函数 • 偏自相关函数
(t,0)
cov(
yt
,
yt
)
var(
yt
)
2 t
( ) cov(yt , yt )
var(yt ) var(yt )
1． 识别 用相关图和偏相关图识别模型形式 （确定参数 d, p, q）。
2． 估计 对初步选取的模型进行参数估计。
3． 诊断与检验 包括被估参数的显著性检验和残差 的随机性检验。
不可取 模型可取吗？
可取 止 建立时间序列模型的步骤
对于经济时间序列，差分次数d通常 取0，1或2。
实际建模中也要防止过度差分。差 分后若数据的极差变大，说明差分 次数太多了。
30
诊断与检验
一是检验模型参数的估计值是否具有统计显著性；二是检验残差序列的非自相关性。 参数估计值的显著性检验是通过 t 统计量完成的，而模型残差序列非自相关性的判别 是用 Q 统计量完成的。 若拟合模型的误差项为白噪声过程，统计量
K
Q = T (T + 2)
rk 2 2( K - p - q)
yt k1 yt1 k 2 yt2 ...kk yt ut
1
平稳时间序列的特征
• 均值函数 • 自协方差函数
• 自相关函数
• 偏自相关函数
yt k1 yt1 k 2 yt2 ...kk ytk ut
2
第四节 时间序列的基本模型
3
时间序列模型的基本形式
自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）；
平稳时间序列分析ARMA模型共102页PPT
平稳时间序列分析ARMA模型
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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B k xt xtk k 0,1,2,
于是,AR(p)模型可以表示为
xt 1Bxt 2 B2 xt p B p xt t
PPT课件
15
(1B 2 B2 p B p )xt t
即得一差分方程:
(B)xt t
其中α (B)为后移算子多项式,即称为自回 归算子:
0 (1 2 p )
因此得 0 (11 2 p )1 此时若令 wt xt
则可得一个均值为0的新序列：
wt 1wt1 2 wt2 p wt p t
此时wt 称为xt 的平稳中心化序列。
PPT课件
17
2 AR(p)序列的平稳域与允许域
定义2.2 AR(p)序列的平稳域为其系数取值 的集合：
{(1, 2 , , p )(u) 0的根在单位圆外}
其允许域为其自相关函数的前p个值的集合:
{((1), (2), , ( p) p1bp Rp1d p在平稳域内}
则对上式两端同取数学期望，即得
Ext 0 1Ext1 2 Ext2 p Ext p E t
由于{xt}为平稳序列，故
Ext 常数 ，且Et 0
PPT课件
11
即得 0 1 2 p 0
一、自回归模型的定义 二、中心化模型 三、平稳AR(p)模型的平稳解
PPT课件
1
四、自回归模型的阶数的估计 五、自回归模型的参数的估计 六、自回归模型的检验 七、自回归模型的预报
PPT课件
2
时间序列分析最重要的应用是分析和表征观 察值之间的相互依赖性与相关性，若对这种相 关性进行量化处理，那么就可以方便地从系统 的过去值预测将来的值。
2
2
的根为u1=2>1与u2=1/2<1, 故知其根不 都在单位圆外，所以这是非平稳的AR(2)序 列模型。
PPT课件
9
自回归模型是描述系统内部的回归关系， 故称为自回归，与通常的线性回归性质是不 一样的。
PPT课件
10
二、中心化 AR(p) 模型
设{xt}为平稳序列，且有
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
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12
以后一般均讨论中心化的平稳模 型或序列:
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
其中t, Ext 0，且Et 0; s t, Exst 0
PPT课件
13
三、平稳模型的平稳解
设平稳AR(p)模型为
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
的时间序列为p阶自回归（Autoregression） 序列,上式为p阶自回归模型，记作 AR(p) .
易见,此自回归模型描述了数据序列内部 的递推的线性回归关系。
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例1.1 单摆现象：单摆在第t个摆动周期中最 大摆幅记为xt，由于阻尼作用，在第t+1个摆 动周期中，其最大振幅为
式中{εt}为白噪声序列，
且Ext tk 0 k 0
系数α1 ， α2 ， … ， αp 满足平稳条件：系 数 多项式α(u)=0的根都在单位圆外。
PPT课件
14
1 后移算子
若算子B满足等式: Bxt xt1
则称B为后移算子 ,即B作用xt 后使其转化为xt -1
类似的 B 2 xt B(Bxt ) B(xt1 ) xt2
在数理统计中讨论的数据的线性回归模 型, 很好地表示了因变量yt的观察值对自变量 观测值xt1,xt2,…xtp的相关性，解决了他们 之间的相关性问题，但是，对一组随机观测 数据，即一个时间序列内部的相关关系它却 描述不出来。即它不能描述数据内部之间的 相互依赖关系。
PPT课件
3
另一方面，某些随机过程与另一些
3
易见,α(u)=0的根为3/2>1,所以这是平 稳的AR(1)模型。
PPT课件
8
例1.3 如果时间序列xt满足
xt
5 2
xt 1
xt 2
t
t 解：由于其自回归系数多项式为
(u) 1 5 u u 2 (u) (1 1 u)(1 2u) 0
平稳的AR(p)模型，否则为非平稳的AR(p)模 型，或广义的AR(p)模型。
注： 条件α(u)=0的根都在单位圆外，称为平 稳性条件。
PPT课件
7
例1.2 如果时间序列xt 满足
xt
2 3
xt 1
t
t 0,1,
试问此xt是否为平稳的序列模型。
解： 因为其自回归系数多项式为 (u) 1 2 u
(B) 11B 2B2 p B p
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16
差分方程式可用框图表示: 设想有一个 滤波器，输入的是某种平稳序列，而输出的 则是白噪声序列，即
xt
自回归滤波器 ε t
易见，滤波器成为一个对时间序列进行 变换的实体，变换前的序列称为输入，经滤波 器变换的得到的序列称为输出。
xt1 xt
其中 为阻尼系数。若再受到外界干扰εt的影 响，则实际上的最大振幅为
xt1 xt t
易见, 此例即为一个一阶自回归模型 AR(1)。
PPT课件
6
一般的, 在AR(p)模型中的系数多项式
(u) 1 0 1u 2u2 pu p
称为AR(p)模型的自回归系数多项式。 若α(u)=0的根都在单位圆外时，称此为
变量取值之间的随机关系，往往根本无 法用任何函数关系式来描述，这时就需 要采用这个时间序列本身的观测数据之 间的依赖关系来揭示这个时序的规律性。
PPT课件
4
一、自回归模型的定义
定义2.1 设{xt,t=0,±1,±2,…}为时间序列， 白噪声序列为{εt,t=0,±1,±2,…} ，且对任 意的 s<t，E(xsεt)=0,则称满足等式
于是,AR(p)模型可以表示为
xt 1Bxt 2 B2 xt p B p xt t
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15
(1B 2 B2 p B p )xt t
即得一差分方程:
(B)xt t
其中α (B)为后移算子多项式,即称为自回 归算子:
0 (1 2 p )
因此得 0 (11 2 p )1 此时若令 wt xt
则可得一个均值为0的新序列：
wt 1wt1 2 wt2 p wt p t
此时wt 称为xt 的平稳中心化序列。
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2 AR(p)序列的平稳域与允许域
定义2.2 AR(p)序列的平稳域为其系数取值 的集合：
{(1, 2 , , p )(u) 0的根在单位圆外}
其允许域为其自相关函数的前p个值的集合:
{((1), (2), , ( p) p1bp Rp1d p在平稳域内}
则对上式两端同取数学期望，即得
Ext 0 1Ext1 2 Ext2 p Ext p E t
由于{xt}为平稳序列，故
Ext 常数 ，且Et 0
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即得 0 1 2 p 0
一、自回归模型的定义 二、中心化模型 三、平稳AR(p)模型的平稳解
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四、自回归模型的阶数的估计 五、自回归模型的参数的估计 六、自回归模型的检验 七、自回归模型的预报
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时间序列分析最重要的应用是分析和表征观 察值之间的相互依赖性与相关性，若对这种相 关性进行量化处理，那么就可以方便地从系统 的过去值预测将来的值。
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2
的根为u1=2>1与u2=1/2<1, 故知其根不 都在单位圆外，所以这是非平稳的AR(2)序 列模型。
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自回归模型是描述系统内部的回归关系， 故称为自回归，与通常的线性回归性质是不 一样的。
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二、中心化 AR(p) 模型
设{xt}为平稳序列，且有
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
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以后一般均讨论中心化的平稳模 型或序列:
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
其中t, Ext 0，且Et 0; s t, Exst 0
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三、平稳模型的平稳解
设平稳AR(p)模型为
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
的时间序列为p阶自回归（Autoregression） 序列,上式为p阶自回归模型，记作 AR(p) .
易见,此自回归模型描述了数据序列内部 的递推的线性回归关系。
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例1.1 单摆现象：单摆在第t个摆动周期中最 大摆幅记为xt，由于阻尼作用，在第t+1个摆 动周期中，其最大振幅为
式中{εt}为白噪声序列，
且Ext tk 0 k 0
系数α1 ， α2 ， … ， αp 满足平稳条件：系 数 多项式α(u)=0的根都在单位圆外。
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1 后移算子
若算子B满足等式: Bxt xt1
则称B为后移算子 ,即B作用xt 后使其转化为xt -1
类似的 B 2 xt B(Bxt ) B(xt1 ) xt2
在数理统计中讨论的数据的线性回归模 型, 很好地表示了因变量yt的观察值对自变量 观测值xt1,xt2,…xtp的相关性，解决了他们 之间的相关性问题，但是，对一组随机观测 数据，即一个时间序列内部的相关关系它却 描述不出来。即它不能描述数据内部之间的 相互依赖关系。
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另一方面，某些随机过程与另一些
3
易见,α(u)=0的根为3/2>1,所以这是平 稳的AR(1)模型。
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例1.3 如果时间序列xt满足
xt
5 2
xt 1
xt 2
t
t 解：由于其自回归系数多项式为
(u) 1 5 u u 2 (u) (1 1 u)(1 2u) 0
平稳的AR(p)模型，否则为非平稳的AR(p)模 型，或广义的AR(p)模型。
注： 条件α(u)=0的根都在单位圆外，称为平 稳性条件。
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例1.2 如果时间序列xt 满足
xt
2 3
xt 1
t
t 0,1,
试问此xt是否为平稳的序列模型。
解： 因为其自回归系数多项式为 (u) 1 2 u
(B) 11B 2B2 p B p
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差分方程式可用框图表示: 设想有一个 滤波器，输入的是某种平稳序列，而输出的 则是白噪声序列，即
xt
自回归滤波器 ε t
易见，滤波器成为一个对时间序列进行 变换的实体，变换前的序列称为输入，经滤波 器变换的得到的序列称为输出。
xt1 xt
其中 为阻尼系数。若再受到外界干扰εt的影 响，则实际上的最大振幅为
xt1 xt t
易见, 此例即为一个一阶自回归模型 AR(1)。
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一般的, 在AR(p)模型中的系数多项式
(u) 1 0 1u 2u2 pu p
称为AR(p)模型的自回归系数多项式。 若α(u)=0的根都在单位圆外时，称此为
变量取值之间的随机关系，往往根本无 法用任何函数关系式来描述，这时就需 要采用这个时间序列本身的观测数据之 间的依赖关系来揭示这个时序的规律性。
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一、自回归模型的定义
定义2.1 设{xt,t=0,±1,±2,…}为时间序列， 白噪声序列为{εt,t=0,±1,±2,…} ，且对任 意的 s<t，E(xsεt)=0,则称满足等式