第二节 可分离变量微分方程

1 ln | x 1 | ln | 1 y 2 | ln | C | ， 2
即
| x 1 |
1 y 2 | C | 。
故所求通解为
x
C 1。 2 1 y
因为只 求通解，所 以不必再讨 论了。
你认为还需要讨论吗？为什么？
例
解
dy 求方程 2 y 的所有解。 dx
原方程即
可化为齐次方程的
Y 令 Z ，则 d Y X d Z Z d X，于是得到 X 2Z 3 2d X dZ ， 2 1 Z X 两边积分，得 5 1 ln | Z 1 | ln | Z 1 | 2 ln | X | ln | C | ， 2 2
即
( Z 1)5 X 2 C。 Z 1
y

由光的反射定律: 入射角 = 反射角
可得 OMA = OAM =
M
T
y
从而 AO = OM y 而 AO AP OP y cot x x y
A o P
x
OM x 2 y 2 于是得微分方程 :
y x x2 y2 y
利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为
x
du u f (u ) dx
du dx f (u ) u x
变量分离方程
注意：须将u代回.
例
解
dy y y 求方程 tan 的通解。 dx x x y dy du 令 u ，则 ux ， x dx dx
d y xdu u d x
dy du x u dx dx
( x )。
C y0 arctan x0，
从而，过点( x0 , y0 ) 的特解为
y y0 arctan x arctan x0 。
例
解
dy 1 2 求解微分方程 ( y 1) 。 dx 2
当 y 2 1 0 时，该方程可化为变量 分离的方程
2d y d x， 2 y 1
dY Y dX X 齐次方程
变量代换 Y
变量代换
a1 x b1 y c1 dy f dx a2 x b2 y c2 可化为齐次方程的方程
ZX
a1 x b1 y c1 0 a2 x b2 y c2 0
dZ dX f (Z ) Z X 变量分离方程
一般说来，当函数 p( x)、q( x) C 时，方程有唯一解。
习惯上，称
为方程
y p ( x ) y 0 y p ( x) y q ( x)
所对应的齐方程。
一阶齐线性方程的解
方程 y p( x) y 0 是一个变量可分离方程。
运用分离变量法，得
dy p( x) d x ， ( y 0) ， y y 0 对应于 ln | y | p ( x ) d x C1 ， C＝ 0。
于是，原方程化为
du dx ， tan u x
两边积分，得
du dx ， tan u x
1 cos x cot x tan x sin x
ln | sin u | ln | x | ln | C |，
即
sin u Cx ，
y 故原方程的通解为 sin Cx 。 x
常数变易
dy p( x) y q( x) y n dx 伯努利方程
变量代换
dy p( x) y q( x) dx 一阶非齐线性方程
四、一阶线性微分方程
形如
y p ( x) y q ( x)
的方程称为一阶线性微分方程。
当 q( x) 0 时， 方程称为一阶齐线性方程。 当 q( x) 0 时， 方程称为一阶非齐线性方程。
x 2 y 2 C1e
y arctan x
dy dy xy 满足初始条件 例8 求方程 y x dx dx y(1) 1 的特解.
2 2
dy y2 ( y / x )2 解 原方程变形为 , 2 dx xy x y x 1 dy du y u x , 作变量代换 u , y xu , x dx dx
c1 c2 0 时，
y a1 b1 a1 x b1 y dy x y f f y dx x a b a2 x b2 y 2 2 x
a1 b1 k 时， a2 b2
k (a2 x b2 y ) c1 ku c1 dy f f dx (a2 x b2 y ) c2 u c2
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
dv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m mg k v dt 初始条件为 v t 0 0
对方程分离变量, 然后积分 : 得


( 此处 mg k v 0 )
两边积分，得
故
y e e
C1
p( x)d x
。
记 C eC1，得一阶齐线性方程的通解为
表示一个 原函数
y Ce
p( x)d x
。
若 p( x) C，则一阶齐线性方程
y 2C ( x C ) 2
2
y
A
说明: 若已知反射镜面的底面直径为 d ,
d
o h
x
顶到底的距离为 h , 则将
2
( C , 0)
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为 d2 d2 y2 z2 x 4h 16h
三、可化为齐次方程的方程
第二节、可分离变量微Hale Waihona Puke Baidu方程
一、变量可分离方程
如果一阶微分方程可以化为下列形式： g ( y ) d y f ( x) d x 则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
g ( y ) d y f ( x) d x
积分的结果 y y( x, C ) 就是原方程的通解。
dZ dX f (Z ) Z X 变量分离方程
例
解
求 (2 x 2 3 y 2 7) x d x (3x 2 2 y 2 8) y d y 0 的通解。 令 u x 2， y 2，则 d u 2 x d x， v 2 y d y， v d
于是，原方程变为
dy y f dx x 齐次方程
变量代换
变量代换
a x b1 y c1 dy f 1 dx a2 x b2 y c2 可化为齐次方程的方程
dy f ( x) g ( y ) dx 变量可分离方程
变量分离
dy p( x) y 0 dx 一阶齐线性方程
d u 3u 2v 8 ， d v 2u 3v 7
可化为齐次方程的
联立方程组
3u 2v 8 0 2u 3v 7 0
，则有 解之，得 u 2， v 1。 令 Y u 2，X v 1
d Y 3Y 2 X ， d X 2Y 3 X
dy dx 2 y ( y 0) 。
两边积分，得
y x C，
故通解为
工程技术中 解决某些问题时， 需要用到方程的 奇解。
y ( x C ) 2。
易验证 y 0 也是方程的解，但它不 被包含在通解内。 此时称 y 0 为方程的奇解，几何上 看，方程的奇解是积分
曲线族的包络。
其中C 为积分后出现的任意常数。 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，
称为分离变量法。
例
解
求方程 y
1 的通解，并指出过点( x0 , y0 ) 的特解。 2 1 x
原方程即
dx dy , 2 1 x
对上式两边积分，得原方程的通解
y arctan x C
当 x x0 时， y0，故 y
分离变量得
1 u dx du , 2 1 u x
分离变量得
1 u dx du , 2 1 u x
积分得
1 arctan u ln(1 u 2 ) ln | x | C , 2
x 1 u C1e
2 arctan u
或写成
,
y 再将 u 代入,得通解为 x
(齐次方程)
x 令v , y
dx dv v y dy dy
dv y 1 v 2 dy
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
y 2 2y v y 1 故有 ( v )2 1 v2 C C C2 C 2 得 y 2 C ( x ) (抛物线) 2 故反射镜面为旋转抛物面.
Y u 2 x2 2 由Z 2 ，代入上式，得原方程 的通解为 X v 1 y 1
( x 2 y 2 1) 5 C。 2 2 x y 3
你由这个例题的解题过程想到什么了？
a x b1 y c1 dy f 1 dx a2 x b2 y c2 可化为齐次方程的方程
对上式两边积分，得原方程的通解
ln y 1 x C1 。 y 1
隐函数形式
经初等运算可得到原方程的通解为
1 Ce x y 。 (C eC1 ) 1 Ce x
你认为做完了没有？
令 y 2 1 0 ，得出 y 1，代入原方程可知：
y 1 也是原方程的解。 由于 y 1 对应于C 0 ； 1 对应于C ，所以， y
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
二、齐次方程
dy y f dx x 齐次方程
变量代换
d y xdu u d x
代入原方程，得
y ux
例7 求方程 ( x y) y ( x y) 0 的通解.
y 1 dy y x x 解 原方程变形为 , 是齐次方程, dx y x y 1 x dy du y u x , 作变量代换 u , y xu , dx dx x
du u 1 代入原方程得 u x , dx u 1
原方程的解为
1 Ce x y ， ( C 为任意常数) 。 x 1 Ce
例
解
求方程 (1 y 2 ) d x y ( x 1) d y 0 的通解。 方程两边同除以 ( x 1)(1 y 2 ) ，得
dx dy 0。 2 x 1 1 y
两边同时积分，得
x ，y ， 令 X x ， Y y ，
三、可化为齐次方程的方程
dY Y dX X 齐次方程
变量代换
变量代换
a1 x b1 y c1 dy f dx a2 x b2 y c2 可化为齐次方程的方程
du u2 代入原方程得 u x , dx u 1
du u2 u u 即 x , dx u 1 u1
du u2 u 即 x u , dx u 1 u1
1 dx 分离变量得 (1 ) du , u x 积分得： u ln | u | ln | x | C ,
或写成
u ln | xu | C ,
y y ln | y | C ； 再将 u 代入,得通解为 x x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
y 于是得所求特解为 ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,