2020届江苏省海安高级中学高三12月月考数学试题含答案

阶段性测试（三）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2

211()n

i i s x x n ==-∑，其中1

1n

i i x x n ==∑．

锥体的体积13

V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．

3. 已知样本数据1234a a a a ，

，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．

5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．

6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．

7. 将函数f (x )的图象向右平移π6

个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()

π4f 的值

为 ▲ ．

8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．

9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3

A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．

10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x y

xy x y

+=

-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F

分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．

S ←0

For i From 1 To 10 Step 1 S ←S ＋1

i (i ＋1)

End For Print S

（第4题）

D 1

C

D 1B

1

1

C E

B

P

N

13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的

正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的

值为 ▲ ．

14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②

()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知△ABC 的面积为3()18AC AB CB ?=u u u r u u u r

u u u r

，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和

(1cos cos )A B =,n 是共线向量.

（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.

16．（本题满分14分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．

17．（本题满分14分）

如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；

（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，

喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，

2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿

（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．

F

D

P

（第16题）

18．（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b

+=>>过点(61，2． （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．

①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r

为定值；

②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．

19．（本题满分16分）

已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：2

1

n

n n n a a b a +++=（*n ∈N ）．

（1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；

（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．

20．（本题满分16分）

设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；

（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()

22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围；