结构力学自由度及几何分析

几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
D A
两根不共线的链杆联结 一点称为二元体。
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 规则三、在一个体系上 剩下大地。故该体系为无多余约 增加或拿掉二元体，不会改变 束的几何不变体系。 原体系的几何构造性质。
A
O12 、O13、 O23
Ⅰ
Ⅱ
β
α
加链杆前体系有3个自由度 加链杆后确定体系的位置 ，需要两个独立的坐标， 新体系有2个自由度。一根 链杆可以减少体系一个自 由度，相当于一个约束。
Ⅰ
1 5 3 4
1、2、3、4是链杆，折线 型链杆、曲线型链杆可用 直线型链杆代替。 5、6不是链杆。 返回
6
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相
连，不论其形状和铰的位置如何。
A B C
D
E
F
分析实例 2
F
D C E
F
D C B E
A
A
B
F
D
C A
E
D
E
C
B A B
分析实例 3
A
B
C E F
D
A
1,3
A
2,3 1,2
B
2,3
1,3
D C F E
B
1,2
C E F
D
几何不变体系
几何瞬变体系
分析实例 4
F G H F (1,2) G H
A
C
B D
E
A J
C B K D
(2,3) E

在分析过程中，所有的杆件都必须用上。 W=3×8－2×11=2<3，有多余约束。


此时，(1)W>3，缺乏约束，几何可变； (2)W=3，具有几何不变的前提条件，可能几 何不变； (3)W<3，有多余约束，可能几何不变。
3、逐步扩大法：由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围 ，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
Ⅲ
三个刚片用共点的三个铰相连，
将虚铰用单铰代替，可见刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上A 的点转动，故该体系几何瞬变体系。
引申、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系。
2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
B
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个 刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的 几何可变体系。
F N 1
F N 2
Fy 0 FP FN 2 sin FP FN lim 0 2 sin
1三刚片规则


三个刚片不在同一条直线上的三个铰两两相 连，体系几何不变。 同一条直线：不在同一条直线时，为瞬变； 铰：可以是实铰，可以是虚铰。
图示为一无多余约束的几何不变体系
链杆
三角形
地基
y
二、自由度的概念
A'
A
y A' B' D Dy A B Dx x
Dx
Dy
x 0
0
描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。
1.在平面中，一个自由的点有两个自由度；
2.在平面中，一个自由的刚片有三个自由度。
三、约束的概念




约束restraint （联系）：减少自由 度的装置。 1、单链杆：仅在两处与其它物体用 铰相连，不论其形状和铰的位置如 何。 2、单铰： 联结两个刚片的铰。 3、复铰：联结三个或三个以上刚片 的铰。
2
3
1
2 (2,3) 4 6
3
(1,2)
1
2
3
(1,3)
4 6
5
5
4
5 (1,2) 6
(2,3)
(2,3)
.
几何瞬变体系
实例分析：
A B C
D C A B
E
D
E
F
例1 例2
1 2 3
4
5 6 A
F
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H
例3
A
C A B B CD D
E E
例4
B
C E
D F
例5
实例分析 1
W=3×8－2×10－4=0 可能为几何不变体系。 利用二元体，依次去掉二元体C,B,A,D,E,F, 剩下稳定的地基，因此原体系为几何不变 体系。 不可主观臆测，认为平行四边形及为几何 可变。
结构力学
第二章 结构的几何组成分析
刚片：
链杆
三角形
地基
四个规则可归结为一个三角形法则。 （a）
（b） （ e） （ c）
规则 连接对象 必要约束数 对约束的布置要求
（d）
一
三刚片 两刚片
一点一刚片
六个 三个 两个
二
三 四
三铰(单或虚)不共线 链杆不过铰 三链杆不平行也不交于一点 两链杆不共线
2.3.4瞬变体系
结 构 力 学
第二章 结构的几何组成分析
2.结构的几何组成分析 geometric construction analysis

2.1几何组成分析的概念及目的 2.2几何组成规则 2.3几何组成分析 2.4静定与超静定
2.1几何组成的目的
几何不变体系
几何可变体系
2.1几何组成的目的
四个规则可归结为一个三角形法则。 （a）
（b） （ e） （ c）
规则 连接对象 必要约束数 对约束的布置要求
（d）
一
三刚片 两刚片
一点一刚片
六个 三个 两个
二
三 四
三铰(单或虚)不共线 链杆不过铰 三链杆不平行也不交于一点 两链杆不共线
P17: 求出自由度并 进行几何组成分析 3，7，8，13
1三刚片规则
A
规则一、三刚片以不在一条直线上的三 C 铰 相联，组成无多余约束的几何不变体 系。 如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
B
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系
两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
瞬变时的内力及变形
A A C’ C

B
B

（1）内力无穷大或不定值 （2）杆件的微小变形，将产生 显著位移

1瞬变的类型 1）三刚片规则：三个铰在同一条直线上 2）二刚片规则：链杆通过铰； 三根链杆相交； 三根梁杆平行： 三根链杆平行且相等（常变）。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系


几 何 不 变 体 系 geometrically unchangeable system ：在任意荷载作用下， 能保持其几何形状和位置不变的体系。 几 何 可 变 体 系 geometrically changeable system ：在外荷载作用下，会发生几何形 状改变和位置改变的体系。
几何组成分析的目的：
1 3
2
Ⅱ
图①
图②
由三刚片规则知，上部的结构几何不变，再由二刚片规则 ( 图② )知，该结构为几何不变。
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性 静力特性
无多余约 约束数目正 几何 束的几何 好布置合理 不变 不变体系 体系 有多余约 一 约束有多余 束的几何 布置合理 定 有 不变体系 多 几何 几何瞬 约束数目够 余 可变 变体系 布置不合理 约 体系 缺少必要 束 几何常 变体系 的约束

1.定义 W=各部件的自由度总和-全部约束数 2. W=3m－ 2n － b [例1] m——刚片数（不计基础）； n—— 单铰数（一个单铰、定向支座相当于两个约 束）； b——支座链杆数（固定铰支座相当于2个链杆，固定 端支座或刚性连接相当于三根链杆）
5
3
例1
W=3m－ 2n － b
m=3，n=2，b=5


1.保证结构有可靠的几何组成，避免工程中 出现可变结构。 2.了解结构各部分的构造，改善和提高结构 的性能。 桁 3.判别静定、超静定结构。 架 4.在结构计算时，可根据其几何组成情况， 选择适当的计算方法；分析其组成顺序， 寻找简便的解题途径
几个概念



一、刚片：在平面内可看成是刚体的物体，即 几何形状和尺寸不变。 1. 一根梁、一根链杆。 2. 三角形 3. 支承结构的地基
将杆AC、BC均看成刚片， 就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系
A
规则二、两刚片以一铰及不通过该铰的 一根链杆相联组成无多余约束的几何不 变体系 A 。 a
C B
当杆通过铰
瞬变体系
B
引申、两刚片以不互相平行，也 不相交于一点的三根链杆相联，组成 无多余约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的可变体系 瞬 变 体 系 瞬 变 体 系 常 变 体 系
O23
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
O13 O12
D
Ⅰ
A
F
B
C
规则一、三刚片以不在一条 直线上的三铰 相联，组成无 多余约束的几何不变体系。
Ⅲ
实例
1 2
3
(1,2) 1
(2,3) 2
3
(1,2) 1
2
3
4 6
5
4 6
5
(2,3) 4 6
5
(1,2) 1
W=3×m－2×n－b
=3×3－2×2－5 =0
计算自由度与几何稳定性的关系
W=各部件的自由度总和-全部约束数


(1)W>0，缺乏约束，几何可变； (2)W=0，具有几何不变的前提条件，可能几何不变； (3)W<0，有多余约束，可能几何不变。
多余约束 分清必要约束和非必要约束。
注意、复连接要换算成单连接。
B
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
小结
自由度与约束
一根链杆，可以减少体系一个自由度，相当于一个约束 。 一个单铰，可减少体系两个自由度相当于两个约束。
一个联结n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
补充：体系的自由度计算

瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
2.3几何组成分析举例

一、解题步骤 1. 选择组成规则 2. 寻找条件 3. 下结论
二、分析方法
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性的分析。 在分析过程中应注意： 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则组成几何不 变体系( geometrically unchangeable system )。 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目够，布置 不合理，则组成几何可变体系(constantly changeable system)或瞬变体系(instantaneously changeable system)。 构杆件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚片 或刚片中的一部分。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。 Ⅲ
O23
O13
Ⅱ
O12
Ⅰ
①抛开基础,只分析上部。
②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的 三铰相连。
④该体系为无多余约束的 几何不变体系。
4、由基础开始逐件组装
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
5、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
连4刚片， m=3
连3刚片， m=2
连2刚片， m=1

[例2] W=3×13－2×18－3=0
4 3 1
1
2
1 3 3
2.2 几何不变无多余约束体系的几何 组成规律

1三刚片规则 2二刚片规则 3二元体规则
图示为一无多余约束的几何不变体系 将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚 片组成的无多余约束的几何不变体系
1 A 2
B
C
两根不共线的链杆联结 一点称为二元体。 两根共线的链杆联一点 瞬变体系
在一体系上增加（或减 去）二元体不改变原体系的 自由度，也不改变原体系的 机动性。
二元体：两个杆，三个铰
3二元体规则



（将三刚片规则中的两个刚片换成链杆，即为 二元体规则） 在一个体系上增加或拿掉二元体，不会改变 原体系的几何构造性质。 二元体：有三个铰（不在同一条直线上），连 接两个链杆（刚片）。
加单铰前体系有六个自由度 加单铰后确定体系的位置， 需要四个独立的坐标，新体 系有四个自由度。
1
C
2
x y

单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
一个单铰相当于两个链杆
O .
.
O’
虚铰
A
C
B
D
联结两刚片的两 根不共线的 链杆相当于一个 单铰即瞬铰。
O
O
返回
复铰
A
联结三个或三个以上刚片的铰 C 先有刚片A,然后以单铰将 刚片B联于刚片A, 再以单铰将刚片C联刚片于A 上。所以联结三个刚片的复 铰相当于两个单铰，减少体 系四个自由度。
(1,3)
F
G
H
F
G
(2,3) A J B C K D E A
(2,3) B C
(1,2) D
E
几何不变体系
分析示例 5
1 4 3
2 5
刚片
1.自由度的计算： 刚片数：p=5 支杆数：h=5 单铰数：b=5 自由度：
W 35 (25 5) 0
1 4 3
2 5
刚片
2. 组成分析： 去掉二元体后得图①：
2二刚片规则



两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相 连，几何不变。 不通过此铰：通过此铰为瞬变。 铰：可以是两根链杆组成的虚铰。 两个刚片用三根不平行、也不交于一点的链 杆相连，几何不变。
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一 刚片与一点相联成的几何不变体系。
A
规则三、在一个体系上 增加或拿掉二元体，不会改变 原体系的几何构造性质。