2006.9.27第二章误差的基本性质与处理(一)
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第二章
误差的基本性质与处理
按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果 的影响方式，可将其分为随机误差，系统误差和粗大误 差(异常值）三类。 第一节 概率、随机误差的分布
一、概率
对于某一随机试验，出现的事件A，B…为有限个，且 每个事件出现的可能性是相同的。若事件A出现的次数为L， 各类事件出现总数为N，则L/N称为事件A出现的频率。
1
当各类事件总数N逐渐增多时，频率逐渐稳定于某 个客观存在的实常数。它隶属于随机事件，处于0与1 之间，称为理论概率。常用P(A)表示给定条件下事件A 出现的概率。 例如：袋中5个球中只有1个红球，第1个球就取中红 球的概率是1/5。 这类概率问题是离散型随机变量的概率问题。 概率的特性：
1、非负性：概率值为零或小于等于1的正数。 2、规范性：P(Ω )=1, Ω ——样本空间 3、可数可加性：
x1 x2 xn x n
2、 算术平均值原理
x
i 1
n
i
n
(2 1)
由于随机误差的存在，对某一量值作多次重复测量 所得的测值，必然是互不相同。这时，应以所有测得值 的算术平均值作为测量结果，才是最合理的。
15
由上述随机误差的性质可从数学上推导出误差的分布 密度函数，（其中最重要的一个条件是：当测量值等于所 有测值的算术平均值时出现的概率最大。) 这个推导是高斯最早完成的，称正态分布。 其概率密度函数为： 2
y
1
2
e
2 2
10
随机误差的分布律 大量的测量实践表明，多数随机误差，特别是在多种各不 占优势的独立随机因素综合作用下的随机误差，是服从正态分 布律的，其概率密度函数为：
（3）以数据为横坐标， 20 频率密度为纵坐标，在横 坐标上划出等分的子区间，15 划出各子区间的直方柱， 10 即为所求统计直方图。
5
f ( x)
0 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
9
测量中的随机误差一般具有以下特点： 1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现的概率大 2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。 3）抵偿性：随测量次数增加，随机误差的算术平均值趋 于零。
7
为了分析测量的随机误差的分布规律，可以对某一被测量 进行多次测量，例如：对某钢球工件直径重复测量150次， 得到下列测量点列图，可计算出数据集中在7.335mm附近：
xi
7.585
7.335
7.085
i
8
（1）分组数=11，组距 =0.05mm； （2）依次定各组的频数、 频率和频率密度；
25
y
1
2
e
2 2 2
正态分布曲线
称为“高斯曲线” （Gauss）或“随机误差正态分布曲线”。
12
测值算术平均值不为零的正态分布 这时概率密度函数将以算术平均值 μ 为曲线对称轴， 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为
( x )2 f ( x) exp[ ], ( x ) 2 2 2 1
y
1
2
e
2 2 2
式中 —随机误差（真差）； y—概率分布密度，可理解为随机误差在单位区间内 出现的概率；
—均方误差；
e—自然对数的底，e=2.71828…
误差符合正态分布的条件：影响的因素很多、彼此独立、各 影响因素又是均匀的小。
11
以为横坐标，y为纵坐标，此概率密度函数的图形如图。
P(T1 X T2 ) p
(且令 p 1 )
那么T1和T2之间的区间称为 X 双侧的概率为p的置信区间； p 1 称为置信水平 (level of confidence）,
（也叫置信度、置信水准、置信概率等。）
而：α称为显著性水平或显著度。
6
二、随机误差的性质及其分布规律 对同一量值多次等精度测量，得到一系列不同 的测量值（称为测量列）。每个测量值含有误差， 前一个误差出现后，不能预定下一个测值误差的大小 和方向，但就误差总体而言，具有统计规律。这类误 差叫随机误差。 为了分析随机误差对测量结果的影响，需要对随 机误差的分布规律进行研究。也就是研究随机误差的 概率密度函数。
4
概率密度函数的性质：
(1)
f ( x) 0
(2)
f ( x)dx 1
概率密度函数图
随机变量x落在某一区间的概率：
P ( x X x dx ) f ( x )dx （概率微元）
b
P (a X b) f ( x )dx
a
5
置信区间：
被测量的估计值常用算术平均值 X 于T1和T2之间的概率为 表示，若 X 落
其中μ，σ为常数，且 σ>0，则称X服从参数为 μ，σ的正态分布，记 为： 2
X ~ N ( , )
13
σ值不同时，正态分布概率密度曲线的变化
( x )2 f ( x) exp[ ], ( x ) 2 2 2 1
来自百度文库
14
三、测值的算术平均值
1、算术平均值 设x1，x2，…xn为n次测量所得之值，该组测值的算术平均值为
3
因此：对于连续型随机变量，我们可以用概率密度函数来 刻画随机变量取值的概率分布。
概率密度函数（或分布密度函数）
对于随机变量X，如果存在非负可积函数 使对任意实数 a,b( a＜b )，都有
f ( x ) (- x )
P (a X b) f ( x )dx
a
b
则称X为连续随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数。 （简称概率密度或密度）
2
对于连续型随机变量：常用
P( x0 X x0 x )
区间的概率。
表示随机变量X落在 x0 X x0 x
P( x X x dx ) f ( x )dx （概率微元）
连续型随机变量与离散型随机变量的一个根本区别是： 连续型随机变量X取值任一定值a（x轴上某点）的概率为 零。只有研究随机变量X落在某一区间的概率才不为零。
误差的基本性质与处理
按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果 的影响方式，可将其分为随机误差，系统误差和粗大误 差(异常值）三类。 第一节 概率、随机误差的分布
一、概率
对于某一随机试验，出现的事件A，B…为有限个，且 每个事件出现的可能性是相同的。若事件A出现的次数为L， 各类事件出现总数为N，则L/N称为事件A出现的频率。
1
当各类事件总数N逐渐增多时，频率逐渐稳定于某 个客观存在的实常数。它隶属于随机事件，处于0与1 之间，称为理论概率。常用P(A)表示给定条件下事件A 出现的概率。 例如：袋中5个球中只有1个红球，第1个球就取中红 球的概率是1/5。 这类概率问题是离散型随机变量的概率问题。 概率的特性：
1、非负性：概率值为零或小于等于1的正数。 2、规范性：P(Ω )=1, Ω ——样本空间 3、可数可加性：
x1 x2 xn x n
2、 算术平均值原理
x
i 1
n
i
n
(2 1)
由于随机误差的存在，对某一量值作多次重复测量 所得的测值，必然是互不相同。这时，应以所有测得值 的算术平均值作为测量结果，才是最合理的。
15
由上述随机误差的性质可从数学上推导出误差的分布 密度函数，（其中最重要的一个条件是：当测量值等于所 有测值的算术平均值时出现的概率最大。) 这个推导是高斯最早完成的，称正态分布。 其概率密度函数为： 2
y
1
2
e
2 2
10
随机误差的分布律 大量的测量实践表明，多数随机误差，特别是在多种各不 占优势的独立随机因素综合作用下的随机误差，是服从正态分 布律的，其概率密度函数为：
（3）以数据为横坐标， 20 频率密度为纵坐标，在横 坐标上划出等分的子区间，15 划出各子区间的直方柱， 10 即为所求统计直方图。
5
f ( x)
0 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
9
测量中的随机误差一般具有以下特点： 1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现的概率大 2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。 3）抵偿性：随测量次数增加，随机误差的算术平均值趋 于零。
7
为了分析测量的随机误差的分布规律，可以对某一被测量 进行多次测量，例如：对某钢球工件直径重复测量150次， 得到下列测量点列图，可计算出数据集中在7.335mm附近：
xi
7.585
7.335
7.085
i
8
（1）分组数=11，组距 =0.05mm； （2）依次定各组的频数、 频率和频率密度；
25
y
1
2
e
2 2 2
正态分布曲线
称为“高斯曲线” （Gauss）或“随机误差正态分布曲线”。
12
测值算术平均值不为零的正态分布 这时概率密度函数将以算术平均值 μ 为曲线对称轴， 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为
( x )2 f ( x) exp[ ], ( x ) 2 2 2 1
y
1
2
e
2 2 2
式中 —随机误差（真差）； y—概率分布密度，可理解为随机误差在单位区间内 出现的概率；
—均方误差；
e—自然对数的底，e=2.71828…
误差符合正态分布的条件：影响的因素很多、彼此独立、各 影响因素又是均匀的小。
11
以为横坐标，y为纵坐标，此概率密度函数的图形如图。
P(T1 X T2 ) p
(且令 p 1 )
那么T1和T2之间的区间称为 X 双侧的概率为p的置信区间； p 1 称为置信水平 (level of confidence）,
（也叫置信度、置信水准、置信概率等。）
而：α称为显著性水平或显著度。
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二、随机误差的性质及其分布规律 对同一量值多次等精度测量，得到一系列不同 的测量值（称为测量列）。每个测量值含有误差， 前一个误差出现后，不能预定下一个测值误差的大小 和方向，但就误差总体而言，具有统计规律。这类误 差叫随机误差。 为了分析随机误差对测量结果的影响，需要对随 机误差的分布规律进行研究。也就是研究随机误差的 概率密度函数。
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概率密度函数的性质：
(1)
f ( x) 0
(2)
f ( x)dx 1
概率密度函数图
随机变量x落在某一区间的概率：
P ( x X x dx ) f ( x )dx （概率微元）
b
P (a X b) f ( x )dx
a
5
置信区间：
被测量的估计值常用算术平均值 X 于T1和T2之间的概率为 表示，若 X 落
其中μ，σ为常数，且 σ>0，则称X服从参数为 μ，σ的正态分布，记 为： 2
X ~ N ( , )
13
σ值不同时，正态分布概率密度曲线的变化
( x )2 f ( x) exp[ ], ( x ) 2 2 2 1
来自百度文库
14
三、测值的算术平均值
1、算术平均值 设x1，x2，…xn为n次测量所得之值，该组测值的算术平均值为
3
因此：对于连续型随机变量，我们可以用概率密度函数来 刻画随机变量取值的概率分布。
概率密度函数（或分布密度函数）
对于随机变量X，如果存在非负可积函数 使对任意实数 a,b( a＜b )，都有
f ( x ) (- x )
P (a X b) f ( x )dx
a
b
则称X为连续随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数。 （简称概率密度或密度）
2
对于连续型随机变量：常用
P( x0 X x0 x )
区间的概率。
表示随机变量X落在 x0 X x0 x
P( x X x dx ) f ( x )dx （概率微元）
连续型随机变量与离散型随机变量的一个根本区别是： 连续型随机变量X取值任一定值a（x轴上某点）的概率为 零。只有研究随机变量X落在某一区间的概率才不为零。