自回归条件持续期模型(ACD)介绍

2 2 2 2 （ 2 又因为 E( i ) 2, 可得 E xi ) E[ E( i i / Fi1 )] 2E( i ).
xi i i ,
i xi1 i1
⑥
在上式中对于 i的平方去期望，通过代数运算可得
1 ( )2 2 E i2 ) x （ . 2 2 1 2 2 最后，利用 Var ( xi ) 2E( i2 ) x2 x2
如果其pdf为
f (x / , )
1 ( x / ) x e ,
0,
if x 0, if x 0,
这里 和
分别为分布的尺度参数和形状参数。X的均值、方

1 2 1 E ( X ) （ 1+ ）， Var ( X ) 2{(1 ) [(1 )]2 } 差分别为
考虑时间序列 {t0 , t1,, tn ,}, 其中t0 t1 tn 为事件发生 时间，例如金融市场上交易的发生时间，可以将这个时间过程，
视为一个简单的点过程。与每个交易时间对应的有一个计数函
数 N (t ), t 0,为到第i笔交易时刻为止，所发生的交易次数。当 然金融高频数据中，不仅仅包含这些简单的信息变量，还包含 着大量的其他信息，如买卖价差、交易价格、交易量、报价深 度、交易笔数等重要的信息。如果将这些信息与交易时间序列
当 =1 时，得到 h(x / ) 1/ . 因此，对于指数分布而言，
h( x / , )
1 x ,
x 0.
其危险率函数是常数，对于韦布尔分布，危险率函数是单调的。 如果 1 ，那么危险率函数是单调递增的，如果 1 ， 那么危险率函数是单调递减的。
假定
xi 是弱平稳的，可以推导 xi 的方差。对⑥式两端取期
E( i ) E( xi1 ) E( i1 )
（ 望： E xi ) E[E( ii / Fi1 )] E( i ),
（ 在弱平稳的条件下， E i ) E ( i1 ) ，因此可推出 x E ( xi ) E ( i ) + 1 1
ACD模型与ARMA模型的关系
i j xi j j i j , i 1, 2,, N
将ACD（p,q)模型记为
j 1 j 1 p q
i ( L) xi ( L) i
其中 L xi j xi j , （）
j 1 p
t t N (t )
这一强度函数通过基准危机函数和时间间隔的条件期望来反映
N (t )1 N (t )+1
)
1
这一动态的点过程。条件强度函数可以这样理解，即某个交易 到达的瞬时概率。
持续期模型介绍
考虑 t i 是第 i 次交易发生的日历时间，从第 i 1 到第 i 次交易的时间持续期为 ti ti ti 1 持续期模型主要考虑交易之间的时间间隔。介绍 一个简单的持续期模型—ACD（Autoregressive Conditional duration)模型。正如GARCH模型是刻 画波动率的聚类性，ACD模型是刻画持续期的聚类性。 持续期的聚类性是指：短的持续期后面也往往跟 随着短的持续期，长的持续期后面也往往跟随着长 的持续期。
这样，指数分布和韦布尔分布都是广义伽玛分布的特殊情况。
危险率函数介绍
对持续期建模时一个有用的概念是由分布函数隐含的危险率 函数，有些地方也叫条件强度函数。对随机变量X，生存函数定 义为 S ( x) P( X x) 1 P( X x) 1 cdf (x),
f ( x) , S ( x)
这样，可以把ACD（p,q)过程看作是关于 过程，对于 j p,
xi
的ARMA（max{p,q},q)
j 0;
j q, j 0
一些概率分布的回顾
指数分布 称随机变量X服从参数为 度函数（pdf)由下式给出
（ 0) 的指数分布，如果其概率密
if x 0, if x 0.
j 1
p
考虑更一般的情形，类似于GARCH模型，将q阶条件期望持续期 引入，可以得到一般的ACD模型：
i j xi j j i j , i 1, 2,, N
j 1 j 1
p
q
式中p和q为相应的延迟阶数，这就是ACD（p,q)模型，第
i个
持续期的条件期望由其滞后的q个条件期望和滞后的p个过去的
f (x / )
1 x/ e , 0,
这样一个分布表示为X～exp( ).我们有E（X）= ,Var(X)=
X累计分布函数（cdf)为 0,
if x 0,

2
F(x / )
当

1 e x/ , if x 0. =1时，称X服从标准指数分布
韦布尔分布 称一个随机变量X服从参数为、（ 0, 0) 的韦布尔分布，
①
q
(L) i j i j ,
j 1
i 1,2,, N
L为滞后算子，对上式移项可得
[1 ( L)] i ( L) xi
又因为 xi ( L) xi xi [ ( L) xi ] 将②式代入③式可得
② ③
xi (L) xi xi [1 (L)] i
f (x / , , )
x k 1 x exp[( ) ], k ( )
0, if x 0, 其他，
其中

是尺度参数，， 为形状参数。这个分布可以写为
G= （ ），
X
当 =1时，广义伽玛分布简化为韦布尔分布。
广义伽玛分布 韦布尔分布 指数分布
[(1 )] y
0,
exp{[（ + ）y ] }, 1
1

if y 0, if y 0.
对于带韦布尔分布新息的持续期模型，最大似然估计中利用的
就是上述的pdf.
广义伽玛分布
（ 称随机变量X服从参数为 ，， 0, 0, 0) 的广义伽玛分
布，如果它的pdf由下式给出
x 0,
这给出了服从X分布的每个事物在时刻t生存的概率。X的危险率 函数（或强度函数）定义为 h( x )
S 分别是X的pdf和生存函数。 其中 f ()和（）
对于参数为 、 的韦布尔分布，生存函数与危险率函数分
（ 别为 S x / , ) exp[( ) ], x
i 次交易的调整的时间
息集合，即 i 为给定 Fi 1 的条件下期望的调整持续期。基本
i 1次交易时可以得到的信
xi i i
（ 其中{ i }是独立同分布的非负随机变量满足 E i ) 1 。
假设只有P阶滞后的持续时间影响条件持续期，可以得到：
i j xi j
ti* f (ti ) 是一个确定的函数，有 ti 的循环成分组成，所以
（调整的时间持续期）就是要消除类似于每日模式这样的因素 的影响。
ACD模型
我们定义
xi ti*
令 i E ( xi / Fi1 )表示第 i 1 次交易至第 持续期的条件期望，其中 Fi 1 为第 的ACD模型定义为
例如，如果不考虑下一个交易点的标记值，仅仅对交易时间进 行分析，研究下一笔交易发生的时间，可以得到以下边缘概率 密度函数：
称之为一个简单的点过程，这一点过程以过去的交易时间、交 易标记值为条件。可以利用这个点过程分析下一笔交易的到达
f (t N (t )1 / t N (t ) , yN (t ) ) f (t N (t ) 1 , y / t N (t ) , yN (t ) )dy
实际的持续期共同决定。这与GARCH（p,q)模型具有非常相似的 形式。
xi i i
i j xi j j i j , i 1, 2,, N
j 1 j 1 p q
当 i 服从不同的分布，会得到不同的模型形式。当它服从一个
标准指数分布时，结果中的模型成为EACD（p,q)模型，当它服 从标准化的韦布尔（Weibull)分布，则成为WACD(p,q)模型。
④
对④式进行变换得
xi [ ( L) ( L)]xi i ( i 1) ( L)( xi i )
⑤
{ 记 i xi i ( i 1) i ，{i }是一个鞅差分序列，i } 序列不相关，
则式 ⑤变为
xi [ ( L) ( L)]xi [1 ( L)]i
EACD模型
一个EACD(1,1)模型可以写为
xi Байду номын сангаас i ,
（ 的矩， E i ) 1,
i xi1 i1 ⑥
Var ( i ) 1, E( i2 ) Var ( i ) [ E( i )]2 2
其中， i 服从标准指数分布。利用前面所讲的标准化指数分布




时间。
为了得到一个适合金融高频数据特征的计量模型，首先建立 一个标记的点过程。而金融数据由于受到过去信息的影响，需 要考虑具有后效性的点过程，此时需要引入条件强度 P ( N (t t ) N (t ) / N (t ); t1 , t2 , t N (t ) ) 函数 t / N (t ); t1 , t2 ,.t N ( t ) ) lim （ t 0 t 条件强度函数也称为危机函数 t时刻发生交易的条件强度函数为 t / N (t ), t1,, tN (t ) ) 0 ( （
X的cdf为 F ( x / , )
0, 1 e
( x / )
if x 0, , if x 0.


当 1 时，韦布尔分布简化为指数分布。
定义 Y=X / [ (1
1

)]. 可得E(Y)=1,而且Y的pdf为
1
1
f ( y / )
1 2 2 , 2 2 1 2 2
这个结果显示，为了得到时间不变的非条件方差，方程⑥中的
1 2 2 2 2 EACD(1,1)模型必须满足
通过以上分析，还可以得出非条件标准差大于非条件均值，也
一同考虑，称这一种点过程为“标记的点过程”。首先引入信
息集 ti {ti , ti1 ,, t0 }和 yi { yi , yi 1 ,, y0 }, ，对于一个平稳的标 记点过程，可以利用它的联合概率密度函数（条件分布）来完 全刻画：



f (t N (t )1 , yN ( t )1 / t N ( t ) , y N ( t ) )
自回归条件持续期（ACD）模型利用GARCH模型的思想研究 调整的时间持续期 t
* i 的动态结构。
t ti / f (ti )
* i
日周期或者日模式的存在：在正常交易条件下，交易活动 能够展示周期模式，举例说，在NYSE中，开盘与收盘时刻的交 易比较频繁，而中午时间交易比较少，导致了“U”型的交易 强度。因此，交易之间的时间持续期亦呈现日循环模式。
高频数据的计量框架
金融高频数据是在细小的时间间隔上抽取的观测值，这些 抽取的观测值是非等间距地观测到的，并且间距是随机的。 处理这种数据有两种方法，一是对原始数据进行处理后使用 经典的模型，二是考虑随机时间间隔建立处理高频数据的新
的模型。将原始数据过滤产生新的固定频率的数据，这种处
理方法减少了数据频率，丧失数据的某些特性。为了充分利 用高频数据的信息，必须对随机时间间隔建模。统计理论中， 常常将金融高频时间序列过程转化为一个点过程进行处理。