河北省衡水市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则218r ππ=，解得32OC r == 则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 3．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数1z i =+，∴|2|z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷
2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知z 为复数，z 2+1=0，则|z −1|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 22. 已知cosθ−sinθ=34，则θ的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 三象限D. 第四象限3. 已知数列{a n }是等比数列，T n 是其前n 项之积，若a 5⋅a 6=a 7，则T 7的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知log a 14<1，(14)a <1，a 14<1，则实数a 的取值范围为( )A. (0,14)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (14,1)5. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1CD 1中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，D 1的截面与棱A 1B 1交于F ，则截面BED 1F 分别在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABB 1A 1上的正投影的面积之和( )A. 有最小值1B. 有最大值2C. 为定值2D. 为定值16. 已知在圆(x −1)2+y 2=r 2上到直线x −y +3=0的距离为√2的点恰有一个，则r =( )A. √2B. √3C. 2D. 2√27. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位：g)，三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果：实验号温度(℃)时间(min)催化剂用量(g)产量(kg) 18090531 280120654 380150738 48590653 585120749 685150542 79090757 890120562 990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为()A. 85℃120min7gB. 90℃120min6gC. 85℃150min6gD. 90℃150min7g8.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间是()A. [−π2,π6] B. [−π3,π3] C. [−π3,π6] D. [−π6,π6]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是()A. 获得A等级的人数增加了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是()A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B≠⌀，则a≤−6或a≥6D. 若a=3，则A∩B={x|−3<x<6}11.已知函数f(x)=cos2x1+sinx，则()A. f(x+π)=f(−x)B. f(x)的最大值为4−2√2C. f(x)是奇函数D. f(x)的最小值为−1212.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k.如图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上、下底面的圆心，以1为上、下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为β，平面α//β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的是()A. 圆柱体N的体积为4πB. S2=2πS1C. 环体M的体积为8πD. 环体M的体积为8π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x2.若a2=5，则m=______ ．14.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则cos<a⃗,c⃗>=______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为______ ．16. 用M I 表示函数y =sinx 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0,a]≥2M [a,2a]，则a 的最大值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①√3acosB =bsinA ，②√3bsinA =a(2−cosB)，③cosC =2a−c 2b这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2，BC 边上的中线长为√7，____，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=3，a n =xa n−1+n −2(n ≥2)，其中x ∈R ．(1)若x =1，求a n ；(2)是否存在实数x ，y 使{a n +yn}为等比数列？若存在，求出S n ；若不存在，说明理由．19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．(1)通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ=64，δ2=169，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,δ2)，则P(μ−δ<X<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<X<μ+ 2δ)=0.9544，P(μ−3δ<X<μ+3δ)=0.9974．20.将长(AB)、宽(BC)、高(AA1)分别为4，3，1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：方案一：如图(1)传统的十字捆扎；方案二：如图(2)折线法捆扎，其中A1E=FB=BG=HC1=C1I=JD=DK=LA1=1．(1)哪种方案更省彩绳？说明理由；(2)求平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值．21.已知双曲线C：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于2√33，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若PM2+PN2=5，求椭圆E的方程．22.(1)若0<a≤1，判断函数f(x)=asin(1−x)+lnx在区间(0,1)内的单调性；(2)证明：对任意n≥2，n∈N∗，sin215+sin2110+⋅⋅⋅+sin21n2+1<ln2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z2+1=0，得z2=−1，则z=±i，当z=−i时，|z−1|=|−i−1|=√(−1)2+(−1)2=√2；当z=i时，|z−1|=|i−1|=√12+(−1)2=√2．综上，|z−1|=√2．故选：C．由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由cosθ−sinθ=34，平方得：sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=169，则1−2sinθ=169，即sin2θ=−79<0，则2kπ+π<2θ<2kπ+2π，k∈Z，即有kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，不成立，当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．∴角θ的终边在第四象限．故选：D．将已知等式平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得sin2θ=−79<0，可得kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，分类讨论即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}是等比数列，T n是其前n项之积，a5⋅a6=a7，∴a1q4⋅a1q5=a1q6，解得a1q3=1，∴T7=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6⋅a7=a17q21=(a1q3)7=1．故选：A．由a5⋅a6=a7，解得a1q3=1，由此利用等比数列的通项公式能求出T7．本题考查等比数列的前7项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：①由log a14<1，得a>1或0<a<14，②由(14)a<1，得a>0，③由a14<1，得0<a<1，∴当log a14<1，(14)a<1，a14<1同时成立时，取交集得0<a<14，故选：A．由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，分别求得a的范围，再取交集，即得所求．本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：BF与D1E分别为截面与两个平行平面的交线，由面面平行的性质定理可得，BF//D1E，同理可得D1F//BE，所以四边形BED1F为平行四边形，所以D1F=BE，又Rt△A1D1F≌Rt△CBE，所以A1F=CE=12，即F为A1B1的中点，截面在A1B1C1D1，ABB1A1上的投影如图所示，则S平行四边形D1EB1F =S A1B1C1D1−S△A1D1F−S△B1C1E=1−12×12×1−12×12×1=12，同理可得，S平行四边形A1EBF =12，故截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面积之和为定值1．故选：D．利用面面平行的性质定理得到BF//D1E，D1F//BE，从而可得D1F=BE，推出F为A1B1的中点，然后分别求解两个平行四边形的面积，即可得到答案．本题考查了平行投影及平行投影的应用，面面平行的性质定理的运用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题，6.【答案】A【解析】解：因为圆(x−1)2+y2=r2的圆心为(1,0)，半径为r，圆心(1,0)到直线x−y+3=0的距离d=√2=2√2，因为在圆(x−1)2+y2=r2上到直线x−y+3=0的距离为√2的点恰有一个，所以r=2√2−√2=√2．故选：A．求出圆心到直线的距离d，结合题意即可求得r的值．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，∴14⋅2πω=π4，∴ω=2．结合五点法作图可得2×2π3+φ=3π2，求得φ=π6，∴f(x)=3sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π3,π6]，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出f(x)的解析式，进而求出它在[−π2,π2]上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，由统计图可得，2018年获得A等级的人数为0.28a，2020年获得A等级的人数为0.48a，故A正确；2018年获得B等级的人数为0.32a，2020年获得B等级的人数为0.80a，获得B等级的人数增加了0.8a−0.32a0.32a=1.5倍，故B正确；2018年获得D等级的人数为0.08a，2020年获得D等级的人数为0.12a，获得D等级的人数增加了一半，故C错误；2018年获得E等级的人数为0.02a，2020年获得E等级的人数为0.04a，获得E等级的人数为原来的2倍，故D错误．故选：AB．设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，分别算出获得各个等级的人数，即可得到结论．本题考查统计图和频率分布图的运用，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B≠⌀时，△>0即a2−4(a2−27)>0，解得−6<a<6，故C错误，当a=3时，B={x|x2+3x−18<0}={x|−6<x<3}，∴A∩B={x|−3<x<3}，故D错误，故选：AB．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos2x1+sinx，则f(x+π)=cos(2x+2π)1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x1−sinx，故A正确；对于B：f(x)=cos2x1+sinx =1−2sin2x1+sinx=4−(2+2sinx+11+sinx)≤4−2√2，当且仅当sinx=√22−1时，等号成立，故B正确；对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；对于D：f(−π3)=cos(−2π3)1+sin(−π3)=−121−√32=−2−√3<−12，故D错误．故选：AB．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：∵圆柱N的底面半径为1，高为4，则圆柱N的体积为V=π×12×4=4π，故A正确；由图可知，S1=2√1−ℎ2⋅4=8√1−ℎ2，S2=πr外2−πr内2，其中，r外2=(4+√1−ℎ2)2，r内2=(4−√1−ℎ2)2，故S2=16√1−ℎ2⋅π=2πS1，故B正确；环体M的体积为2π⋅V柱=2π⋅4π=8π2，故C错误，D正确．故选：ABD．直接由圆柱体积公式求得N的体积判断A；分别求解S1，S2判断B；由祖暅原理求出环体M的体积判断C 与D．本题考查圆柱体积的求法，考查祖暅原理的应用，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】−1【解析】解：因为(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6，所以a2=C52+mC51=10+5m=5，解得m=−1，故答案为：−1．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】2√1313【解析】解：根据题意，a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，即a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则|c⃗|2=(2a⃗−3b⃗ )2=13，即|c⃗|=√13，a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(2a⃗−3b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =2，则cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=2√13=2√1313，故答案为：2√1313．根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，进而求出|c⃗|和a⃗⋅c⃗的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．15.【答案】y=±√3x【解析】解：由双曲线的定义，可得|MF2|−|MF1|=|MF2|−|MN|=|NF2|=2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|=a，又|F1F2|=4|OP|，可得2c=4a，即c=2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故答案为：y=±√3x.由双曲线的定义和三角形的中位线定理，推得|OP|=a，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13π12【解析】解：①当a∈[0,π2]时，2a∈[0,π]，M[0,a]=sina，M[a,2a]=1，∴sina≥2舍去；②当a∈[π2,π]时，2a∈[π,2π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sina，∴1≥2sina，∴sina≤12，∴a≥5π6，∴5π6≤a≤π；③当a∈[π,3π2]时，2a∈[2π,3π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sin2a或1，∴1≥2sin2a且2a≤2π+π2，∴sin2a≤12，∴2π≤2a≤2π+π6，∴a≤π+π12=13π12；④当a∈[3π2,+∞)时，2a∈[3π,+∞)，M[0,a]=M[a,2a]=1，舍去；综上所述：a max=13π12．故答案为：13π12．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：①√3acosB=bsinA，由正弦定理得，√3sinAcosB=sinBsinA，因为sinA>0，所以√3cosB=sinB，即tanB=√3，因为B为三角形内角，所以B=π3；②√3bsinA=a(2−cosB)，由正弦定理得，√3sinBsinA=sinA(2−cosB)，因为sinA>0，所以√3sinB=2−cosB，所以即2sin(B+π6)=2，所以sin(B+π6)=1，因为√3sinB+cosB=2，B为三角形内角，所以B=π3；③cosC=2a−c2b，由余弦定理得，cosC=2a−c2b =a2+b2−c22ab，整理得，b2=a2+c2−ac，故cosB=12，因为B为三角形内角，所以B=π3；因为c=2，BC边上的中线长为√7，△ABD中，由余弦定理得，cos60°=4+BD2−74BD，解得BD=3，BC=6，△ABC的面积S=12AB⋅BCsin60°=12×2×6×√32=3√3．【解析】由已知所选条件结合正弦定理，同角基本关系及辅助角公式或余弦定理进行化简可求B，然后结合余弦定理求出BD，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)当x=1时，a n=a n−1+n−2(n≥2)，所以a n−a n−1=n−2，a n−1−a n−2=(n−1)−2，a n−2−a n−3=(n−2)−2，.......，a2−a1=2−2，所以a n−a1=(n+...+2)−2(n−1)，整理得a n=n2−3n+82，(首项符合通项)，故a n=n2−3n+82．(2)假设存在实数x，y使{a n+yn}为等比数列故a n+y n=x[a n−1+y n−1]，整理得a n =xa n−1+(xy −y)n −xy ， 故{xy −y =1xy =2，解得{x =2y =1，所以a n +n =2×[a n−1+n −1]， 即a n +nan−1+(n−1)=2，当n =1时，a 1+1=4，所以存在x =2，y =1使数列{a n +y n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 整理得a n =2n+1−n ， 故S n =4×(2n −1)2−1−n(n+1)2=2n+2−n(n+1)2−4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和构造新数列的应用求出数列的通项公式；(2)利用存在性问题的应用和方程组的解法求出x 和y 的值，进一步求出数列的通项公式和前n 项和公式． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造新数列，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为学生笔试成绩X 服从正态分布N(μ,ξ2)，其中μ=64，ξ2=169，μ+2ξ=64+2×13=90，所以P(X ≥90)=P(X ≥μ+2ξ)=12(1−0.9544)=0.0228， 所以估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114人； (2)Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则P(Y =0)=(1−34)×(1−23)2=136，P(Y =3)=34×(1−23)2=112，P(Y =5)=(1−34)××C 21×23×(1−23)=19， P(Y =8)=34×C 21×23×(1−23)=13，P(Y =10)=(1−34)×(23)2=19，P(Y =13)=34×(23)2=13， 故Y 的分布列为：所以数学期望为E(Y)=0×136+3×112+5×19+8×13+10×19+13×13=32136=10712．【解析】本题考查了正态分布的应用以及离散型随机变量的期望方差和分布列问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)利用正态分布给出的数据即可求解；(2)由已知先求出Y 的取值，然后求出对应的概率即可求解．20.【答案】解：(1)方案②更省彩绳．理由如下：方案①中彩绳的总长度为l =2×(4+3)+4=18，方案②中彩绳的总长度为m =2×√5+6×√2<2×2.5+6×1.5=14， ∴l >m ，故方案②更省彩绳．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(3,1，1)，F(3,3，0)，K(1,0，0)G(2，4，0)，I(0,3，1)，J(0,1，0)， ∴KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JG ⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JI ⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 设平面EFK 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y +z =02x +3y =0，令y =1，则x =−32，z =2，∴m⃗⃗⃗ =(−32,1，2)， 同理可得，平面GIJ 的法向量为n ⃗ =(−32,1，−2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=94+1−4√94+1+4×√94+1+4=−329，由图可知，平面EFK 与平面GIJ 所成角为钝角， 故平面EFK 与平面GIJ 所成角的余弦值为−329．【解析】(1)方案①中彩绳的总长度为l=2×(4+3)+4=18，利用勾股定理，求得方案②中彩绳的总长度为m=2×√5+6×√2<14，比较l和m的大小，即可得解；(2)以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面EFK和平面GIJ的法向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |，即可得解．本题考查长方体的结构特征，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1①双曲线的顶点为B(−m,0)，C(m,0)，由题设知k AB⋅k AC=y1x1+m ⋅y1x1−m=19，故x12=9y12+m2，代入①式可得(9m2−1n2)y12=0．又A为双曲线上任意一点，故9m2−1n2=0，所以m=3n，双曲线的渐近线方程为y=±13x．(2)由椭圆E的离心率e=ca =√1−b2a2=2√33，可得a=3b，故椭圆方程为x29b2+y2b2=1，即x2+9y2=9b2(b>0)．设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.②不妨设直线PM的方程为y=13(x−x0)+y0，与椭圆方程x2+9y2=9b2联立，消去y，利用②式整理得x2+(3y0−x0)x−3x0y0=0，即(x−x0)(x+3y0)=0，故x M=−3y0，从而y M=13(x M−x0)+y0=−13x0.所以M(−3y0,−13x0)．而直线PN的方程为y=−13(x−x0)+y0，同理可求得N(3y0,13x0)．于是PM2+PN2=5可得(−3y0−x0)2+(−13x0−y0)2+(3y0−x0)2+(13x0−y0)2=5，整理得x02+9y02=94．结合②式可得b2=14，所以椭圆E的方程为x2+9y2=94，即49x2+4y2=1．【解析】(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1，通过斜率乘积推出x12=9y12+m2，得到m=3n，即可求解双曲线的渐近线方程．(2)利用离心率推出a=3b，椭圆方程为x29b2+y2b2=1，设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，推出x M =−3y 0，求出M 的坐标，求解N 的坐标，利用PM 2+PN 2=5，求解椭圆E 的方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(1−x)+lnx(0<x <1)，∴f′(x)=−acos(1−x)+1x ，0<x <1⇒0<1−x <1⇒0<cos(1−x)<1，又0<a ≤1， ∴−1<−acos(1−x)<0，且0<x <1时，1x >1，∴f′(x)>0∴f(x)=asin(1−x)+lnx 在区间(0,1)内单调递增；(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)<f(1)，即sin(1−x)+lnx <0， ∴sin(1−x)<ln 1x，令1−x =1n 2+1，则x =1−1n 2+1，1x=n 2+1n 2，∴当0<sin1n 2+1<ln n 2+1n 2=ln(1+1n 2)<ln2(n ∈N ∗)，令φ(x)=ln(1+lnx)−x ，x >0，φ′(x)=11+x −1=−x1+x <0，所以φ(x)在(0,+∞)单调递减， ∴φ(x)<φ(0)=0， 即ln(1+x)<x(x >0)， ∴0<ln(1+1k 2)<1k 2<1k(k−1)(k >1)，∴当n ∈N ∗，且n ≥2时，0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ， ∴sin1n 2+1<ln2n(n−1)=(1n−1−1n)ln2，∴对任意n ≥2，n ∈N ∗， sin 215+sin 2110+⋅⋅⋅+sin 21n 2+1<(ln2)(1−1n)<ln2．【解析】(1)可求得f′(x)=−acos(1−x)+1x ，依题意，可判得f′(x)>0，从而可判断f(x)在(0,1)内的单调性；(2)由(1)知sin(1−x)<ln 1x ，令1−x =1n 2+1，可分析得0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ，累加可证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法与推理证明，属于难题．。
2021-2022学年河北省衡水市高一下学期第三次质检数学试题【含答案】
2021-2022学年河北省衡水市高一下学期第三次质检数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()()42i 1i z =-+z =A ．B ．C ．D ．62i -62i+22i-22i+B【分析】利用复数代数形式的乘法运算计算作答.【详解】.()()42i 1i 62iz =-+=+故选：B2．在中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且，，则ABC 6b a =3π4A C +=（ ）sin A =A ．BC ．D 16112D【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合三角形内角和定理计算作答.【详解】在中，因，则，由正弦定理及得：ABC 3π4A C +=π4B =6b a =，sin 6sin B A =所以1πsin sin 64A ==故选：D3．水平放置的平面四边形ABCD 的斜二测直观图是一个长为3的矩形，则四边形ABCD 的实际面积为（ ）A ．12B ．6C ．D ．A【分析】由已知，先计算出该图形斜二测直观图的面积，然后再根据原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系换算关系，可直接求解出四边形ABCD 的实际面积.S '=【详解】解：由题意得，矩形的面积为由斜二测画法，得四边形ABCD 的实际面积为．12=故选：A4．设、是两个不同的平面．则“中有三个不共线的点到的距离相等”是αβαβ“”的（ ）//αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B【分析】利用平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】如下图所示：当、相交时，设，若、、，且，则、到平面的αβa αβ⋂=A B C α∈//BC βB C β距离相等，若线段的中点，则、到平面的距离相等，则、、到平面的距AC D a ∈A C βA B C β离相等，即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”；αβ⇒//αβ若，则内所有点到平面内的距离都相等，//αβαβ即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”.αβ⇐//αβ因此，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.αβ//αβ故选：B.5．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱111ABC A B C -2AB BC AC ===13AA =,D E ，上的动点，则的最小值是（ ）1BB 1CC 1AD DE EA ++A B ．C ．D ．57D【分析】作出三棱柱的侧面展开图，可知四点共线时取最小值，利用勾股定1,,,A D E A 理可得结果.【详解】将直三棱柱的侧面展开，如图所示，111ABC A B C -当四点共线时，取得最小值，1,,,A D E A 1AD DE EA ++==故选：D.6．在三棱锥中，底面，，，，D ABC -CD ⊥ABC AD BC =2AB =3AC =，则AD 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ）23BAC π∠=A ．B ．CD 517519D【分析】根据余弦定理可得于可知AD 与平面BCD 所AD BC ==AE BC ⊥E成角为，再根据三角形面积公式求得即可ADE ∠AE =sin ADE ∠【详解】由余弦定理，，故222123223192BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AD BC ==于，因为底面，故，又，，故AE BC ⊥E CD ⊥ABC AE CD ⊥AE BC ⊥BC CD C ⋂=平面，故AD 与平面BCD 所成角为.又，AE ⊥BCD ADE ∠11sin12022BC AE AB AC ⋅=⋅⋅解得，故AE =si n AE ADE AD ∠==故选：D 7．在正方体中，E ，F 分别为棱AD ，的中点，则异面直线EF1111ABCD A B C D -11A B 与夹角的余弦值为（ ）1CDA B C D A【分析】设棱的中点为G ，连接FG ，EG ，BE ，，根据，1BB 1A B 1A B FG ∥，得到，进而得到∠EFG 为异面直线EF 与所成的角求解．11CD A B ∥1CD FG ∥1CD 【详解】解：如图，设棱的中点为G ，连接FG ，EG ，BE ，．1BB 1A B 因为，，1A B FG ∥11CD A B ∥所以，1CD FG ∥故∠EFG 为异面直线EF 与所成的角．1CD 设正方体的棱长为2，1111ABCD A B C D -则，．FG =1A E BE ==EF EG ==在等腰三角形EFG 中，2cos EFG EF ∠==故异面直线EF 与1CD 故选：A8．在正四棱锥中，，截四棱锥外P ABCD -4AB =PA =PAB P ABCD -接球的截面面积是（ ）A B ．C ．D ．365π12π36πB【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，PO '⊥ABCD O 'O 'ABCD 从而正四棱锥外接球的球心在上，P ABCD -O PO '取棱的中点，连接，作，垂足为.AB E ,,,O D O E OD PE ''OH PE ⊥H由题中数据可得，2,4O D O E PE O P '''====设四棱锥外接球的半径为，P ABCD -R 则，()22222R O D O O OP O P O O =+='-'=''即，()22284R O O O O =+='-'解得.3R =由题意易证，OPH EPO ' ∽则，PH OPO P PE ='故PH =故所求截面圆的面积是.236ππ5PH ⋅=故选：B 二、多选题9．已知复数，，则下列命题正确的是（ ）14z a i =+()22z bi a b R =+∈，A ．若，则是实数8ab =-12z z B ．若是实数，则12z z 8ab =-C ．若，则是纯虚数2a =12z z -D ．若是纯虚数，则12z z -2a =AB【分析】根据复数的相关知识对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，，()()124i 2i 2i+8i-4a b a ab bz z =++=+若，则是实数，故A 正确；8ab =-122-4z b z a =对于B 选项，，若是实数，则，故B()()124i 2i 2i+8i-4a b a ab bz z =++=+12z z 8ab =-正确；对于C 选项，若，则不一定是纯虚数，故C 错误；2a =()1224i 2i=4iz z b b =+----对于D 选项，，若是纯虚数，则且，()124i 2i=a-2+4ia b b z z =+----12z z -2a =4b ≠故D 错误.故选：AB10．已知m ，n ，l 是三条不同的直线．，，是三个不同的平面，则下列命题不αβγ正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则m n ⊥n l ⊥m l ⊥αβ⊥βγ⊥αγ⊥C ．若，，则D ．若，，，则//m ββγ⊥//m γm α⊥//n m n β⊥//αβABC【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面垂直的性质推理判断D 作答.【详解】如图，在直三棱柱中，是锐角三角形，111ABC A B C -ABC对于A ，直线分别为，直线为直线，满足，，而与不,AC BC ,m l 1CC n m n ⊥n l ⊥m l 垂直，A 不正确；对于B ，平面与平面分别为，，平面为平面，满足，11ACC A 11BCC B αγABC βαβ⊥，而平面与不垂直，B 不正确；βγ⊥αγ对于C ，平面为平面，平面为平面，直线为直线，满足，11ACC A γABC β11B C m //m β，而，C 不正确；βγ⊥1m C γ⋂=对于D ，因，，则有，而，于是得，D 正确.m α⊥//n m n α⊥n β⊥//αβ故选：ABC11．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的ABC A B C a b c 命题是（ ）A ．若，则sin sin AB >a b>B ．若是锐角三角形，则恒成立ABC sin cos A B >C ．若，则一定是直角三角形cos cos b C c B a -=ABC D ．若，则一定是锐角三角形222sin sin cos 1A C B +>+ABC ABC【分析】利用正弦定理边角互化可以判断出A 正确；由三角形内角和为，结合诱导π公式可推得B 正确；利用正弦定理及余弦定理即可判断出C 正确；利用同角三角函数的基本关系式及正弦定理及余弦定理结合三角形知识判断出D.【详解】对于A ，因为，所以由正弦定理得，所以，所以Asin sin A B >22a b R R >a b >正确；对于B ，若为锐角三角形，可得且，ABC 2A B π+>,(0,2A B π∈可得，且，2A Bπ>-(0,22B ππ-∈根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以B 正确；sin sin()2A B π>-sin cos A B >对于C ，由正弦定理及，知，cos cos b C c B a -=sin cos sin cos sin B C C B A -=所以，因为，则或，又sin()sin B C A -=,0B C A πππ-<-<<<B C A -=B C A π-+=，则，三角形为直角三角形，故C 正确；A B C π++=2B π=对于D ，若，则,由正弦定理得222sin sin cos 1A C B +>+222sin sin sin 0A C B +>-，则角B 为锐角，但不一定是锐角三角形，故D 错误；2220a c b +->ABC 故选：ABC.12．在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，若点P ABC -PA PB PC ，，2PA PB PC ===P ，A ，B ，C 均在球 O 的球面上，M 为球面上的一个动点，则（ ）A ．球 O 的表面积为8πB ．O 到平面 ABCC ．三棱锥M PAB -D ．存在点 M ，使平面 ABC MA ⊥BCD【分析】由题可将三棱锥补成正方体，然后利用正方体的性质及球的性质逐项分析即得.【详解】如图，将三棱锥补成正方体，则该三棱锥的外接球与该正方体的外接球相同，所以球O O 的表面积为，A 错误；=12π由正方体的性质可知，又，,AB PE AB DE ⊥⊥DE PE E = 可得平面，故，同理可得，又，AB ⊥PED PD AB ⊥PD AC ⊥AB AC A ⋂=可得平面，设P 到平面ABC 的距离为，因为PD ⊥ABC h AB AC BC ===所以由，得，得P ABCC ABP V V --=(2111222332h =⨯⨯⨯⨯h =所以O 到平面ABC B 正确；=由题可知O 到平面PAB 的距离为1，故M 到平面PAB ，1所以三棱锥体积的最大值为，C 正确；M PAB -)1213⨯⨯因为平面ABC ，若平面ABC ，则．PD ⊥MA ⊥MA PD ∥因为AO 不垂直于PD ，所以MA 可以平行于PD ，D 正确．故选：BCD.三、填空题13．已知某圆锥的母线长为3，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为3π________．【分析】先由侧面展开图求出底面圆半径，进而求得高，再由体积公式求解即可.【详解】设该圆锥的母线长为l ，高为h ，底面圆的半径为r ．圆锥侧面展开图的面积为，解得，3lr ππ=1r =h ==213r h π=故答案为14．已知轮船A 在灯塔B 的北偏东45°方向上，轮船C 在灯塔B 的南偏西15°方向上，且轮船A ，C 与灯塔B 之间的距离分别是10千米和A ，C 之间的距离是___________千米．【分析】根据题意作出图形，再利用余弦定理求解作答.【详解】依题意，如图，在中，ABC 10,AB BC ==，1804515150ABC ∠=-+=由余弦定理得：AC ===所以轮船A ，C 之间的距离是千米.故15．在正三棱锥中，，M 是棱PC 上的任意一点，则P ABC -PB ==的最小值是___________．AM MB +【分析】借助于侧面展开图，则可得的最小值即为，此时2AM MB MB +=2AB BM =，利用余弦定理可得，结合等面积法求．AB PC ⊥cos PBC ∠=BM 【详解】如图，借助于侧面展开图，则可得AM MB=的最小值即为，此时2AM MB MB +=2AB BM =AB PC⊥在△中PBC∵222cos 2PB BC PC PBC PB BC +-∠==⋅sin PBC ∠==∴，则11sin 22PB BC PBC PC BM ⨯⨯∠=⨯BM =的最小值为AM MB +2BM =．16．如图，在长方体中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，1111ABCD A B C D -，E 为棱CD 的中点，F 为棱（包括端点）上的动点，则三棱锥13AA =11C D 外接球表面积的最小值是______．A DEF -2449π2449π【分析】取AE 的中点，过作平面ABCD 的垂线，与平面交于点M ，过1O 1O 1111D C B A M 作的垂线，垂足为N ，设，，则．设球O 的半径为11C D 1OO m =NF n =03n ≤≤R ，求出，得到的取值范围，即得解.286n m +=m 【详解】解：如图，取AE 的中点，过作平面ABCD 的垂线，与平面交1O 1O 1111D C B A 于点M ，过M 作的垂线，垂足为N ，则三棱锥外接球的球心O 在11C D E ADF -上．1MO 设，，则．设球O 的半径为R ，则，1OO m =NF n =03n ≤≤222R OE OF ==即，所以．()2222222534R m OM MN NF m n =+=++=-++286n m +=因为，所以，则.03n ≤≤41736m ≤≤226159R m =+≥故三棱锥外接球的表面积．A DEF -224449S R ππ=≥故2449π四、解答题17．如图，在正三棱柱中，D 是BC 的中点．111ABC A B C -(1)证明：平面．1//A B 1AC D (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比．11D ABB A -1C AC D -(1)证明见解析(2)2:1【分析】（1）连接，交于O ，连接OD ．即可得到，从而得证；1A C 1AC 1//OD A B （2）设，，根据锥体的体积公式分别求出，，即可得解；AB a =1AA b =11D ABB A V -1C AC D V -【详解】(1)证明：连接，交于O ，连接OD ．1A C 1AC因为O 是的中点，D 是BC 的中点，1A C所以OD 是的中位线，所以．1A BC 1//OD A B 因为平面，平面，1A B ⊄1AC D OD ⊂1AC D 所以平面．1//A B 1AC D (2)解：设，．因为D 是BC 的中点，AB a =1AA b =所以D 到AB 的距离d 等于C 到AB 的距离的一半，所以，d =所以．11213D ABB A V ab b -=⨯=又，11221132C AC D C ACD V V b b --==⨯⨯=所以，即所求体积之比为．1112D ABB A C AC D V V --=2:118．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且．1111ABCD A B C D -3BAD π∠=(1)证明：．1AC BD ⊥(2)若平面平面．求三棱锥的表面积．1A BD ⊥1C BD 1A ABD -(1)证明见解析；(2)+【分析】（1）利用菱形的性质、直四棱柱的结构特征，结合线面垂直的判定、性质推理作答.（2）令，连，，由给定条件证明，再求出即可AC BD O = 1AO 1C O 112πA OC ∠=1AA 计算作答.【详解】(1)在直四棱柱中，平面ABCD ，平面ABCD ，1111ABCD A B C D -1DD ⊥AC ⊂则，1DD AC ⊥菱形ABCD 中，，而，平面，AC BD ⊥1DD BD D = 1,DD BD ⊂1BDD 于是得AC ⊥平面，又平面，1BDD 1BD ⊂1BDD 所以.1AC BD ⊥(2)如图，设AC 与BD 的交点为O ，，连接，，，则O 为BD 的1AA x =11A C 1AO 1C O 中点，因，即，则1A B =1A D ==11A B A D =，1AO BD ⊥同理有，即是二面角的平面角，而平面平面1C O BD ⊥11A OC ∠11A BD C --1A BD ⊥，则有，1C BD 112πA OC ∠=又，即1A O ==1C O =11A C AC ==，解得223312x x +++=x =因此，11AA A B AD S S == ABD S = 1A BD S =△所以三棱锥的表面积为1A ABD -+19．如图，在三棱锥中，PA ⊥平面ABC ，是直角三角形，，P ABC -ABC AC BC =．D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点．6PA AB ==(1)证明：平面PAC ⊥平面ADE ．(2)求三棱锥的体积．P ADE -(1)证明见解析(2)92【分析】（1）由题意易知，，从而可证平面PAC ，而由中位线AC BC ⊥PA BC ⊥BC ⊥定理可得，于是平面PAC ，最后由面面垂直的判定定理可证得平面∥DE BC DE ⊥PAC ⊥平面ADE ．（2）由等体积法可知三棱锥与三棱锥的体积相等，求出三棱锥P ADE -D PAE -的体积即可求出答案,P ADE -【详解】(1)证明，因为是直角三角形，且，所以．ABC AC BC =AC BC ⊥因为平面ABC ，且平面ABC ，所以．PA ⊥BC ⊂PA BC ⊥因为平面PAC ，平面PAC ，且，所以平面PAC ．PA ⊂AC ⊂PA AC A = BC ⊥因为D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点，所以．∥DE BC 因为平面PAC ，所以平面PAC ．BC ⊥DE ⊥因为平面ADE ，所以平面平面ADE ．DE ⊂PAC ⊥(2)解：因为，所以．6AB =AC BC ==因为平面ABC ，且，PA ⊥6PA =所以三棱锥的体积．P ABC -1161832V =⨯⨯=连接CD ，因为D 是棱PB 的中点，所以三棱锥的体积．-D PAC 11118922V V ==⨯=因为E 是棱PC 的中点，所以三棱锥的体积．D PAE -211199222V ==⨯=因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，P ADE -D PAE -所以的体积为．P ADE -9220．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ．22cos cos (sin sin )sin 0C A A B B +-+=(1)求C ；(2)若a ，b 为方程的两个实数根，且C 的角平分线交AB 于点D ，求210200x x -+=CD ．(1)；23C π=(2)2.【分析】（1）利用同角公式变形，正弦定理角化边，再借助余弦定理求解作答.（2）由已知条件结合三角形面积公式计算作答.【详解】(1)依题意，，即2221sin 1sin sin sin sin 0C A A B B --+++=，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：ABC 222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-==-因，解得，0πC <<2π3C =所以．2π3C =(2)依题意，，，而是的角平分线，则，10a b +=20ab =CD ABC += ACD BCD ABC S S S 即，整理得，解得1π1π12πsin sin sin 232323b CD a CD ab ⋅⋅+⋅⋅=()a b CD ab +⋅=，2ab CD a b ==+所以．2CD =21．如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示.(1)证明.AD BH⊥(2)若，求三棱锥的体积.BH =2CM MG = A BHM -(1)证明见解析(2)8【分析】（1）连接BF 交AD 于O ，则O 为BF 的中点，根据，得到4AF AB ==，即，，再利用线面垂直的判定定理证明；AO BF ⊥ AD OB ⊥AD OH ⊥（2）利用，得到，再利用线面垂直的判定定理得到222OH OB BH +=OH OB ⊥平面，再由平面，由求解.OH ⊥ABCD CG ∥ ABH ----===A BHM M ABH C ABH H ABC V V V V 【详解】(1)证明：如图，连接BF 交AD 于O ，则O 为BF 的中点.∵，∴，即，.4AF AB ==AO BF ⊥ AD OB ⊥AD OH ⊥∵，平面，OB OH O ⋂=,OB OH ⊂BOH ∴平面.AD ⊥BOH ∵平面，BH ⊂BOH ∴.AD BH ⊥(2)由正六边形性质，可知，3FAD BAD π∠=∠=∴OF OB ==∵，∴.222OH OB BH +=OH OB ⊥∵，平面，OB AD O = ,OB AD ⊂ABCD ∴平面.OH ⊥ABCD ∵，且，//BC HG BC HG =∴四边形是平行四边形，BCGH ∴.CG BH ∥∵平面，平面，BH ⊂ ABH CG ⊂/ ABH ∴平面，CG ∥ ABH∴.183A BHM M ABH C ABH H ABC ABC V V V V S OH ----====⋅=△22．如图1，在△ABC 中，，，E 为AC 的中点，现将△ABC 及其2AB BC ==2π3B ∠=内部以边AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O 为C 旋转过程中形成的圆的圆心，为圆O 上任意一点.C '(1)求新的几何体的体积.(2)记与底面所成角为.EC 'OCC 'θ①求sin 的取值范围；θ②当的平面角的余弦值.sin θ=B EC C -'-(1)2π(2)①[；②12【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算求解即可；（2）①作OC 的中点F ，进而得为与底面所成的角，进而结合EC F ∠'EC 'OCC '，求解即可；C F ∈'sinθ=②根据几何关系得，分别过B ，C 作的垂线，垂足分别为C E '=C C '=C E 'G ，H ，则G ，H 重合，设二面角为，进而结合余弦定理求解即可.β【详解】(1)解：连接AO ，由题可得3,1,AO BO CO ==所以新的几何体的体积()2123V AO BO ππ=⨯⨯-=(2)解：①如图，作OC 的中点F ，因为E 为AC 的中点，所以，//EF AO 因为底面，所以底面，AO ⊥'C OC EF ⊥'C OC 所以为与底面所成的角，则EC F ∠'EC 'OCC 'sin EF C Eθ'==因为，所以CF ∈'1sin 2θ⎡∈⎢⎣②，由中线长公式，得sin EF C E θ'===222242AC C E C C CA'++='C C '=可由余弦定理计算）分别过B ，C 作的垂线，垂足分别为G ，H ，C E '则，222cos 2C B C E BE C G BC BC E C E ∠'''''+-==='，即G ，H 重合，222cos 2C C C E CE C H CC CC E C E ∠'''''+-==='又，BG==CH ==记二面角为，则β222cos 2CH BG BC CH BG β+-==⨯⨯。
河北省衡水市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
河北省衡水市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A ．5 B ．52C ．52D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,1222214952||44i i i i z i i z ----====-+∴=+=故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.2．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．3C ．212D ．312【答案】D 【解析】 【分析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ，由题意，球的体积为43π，即24433R ππ=可得球O 的半径为1，又由边长为2的正方形硬纸，可得圆O '的半径为12，利用球的性质可得222131()22O O '=-=， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12， 所以球心到底面的距离为3131222++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B 【解析】 【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解. 【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u ur u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()12222222λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1． 故选：B 【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据，即可容易求得中位数. 【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为343.52+=， 故选：C. 【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.6．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--， 又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----， 所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立，则1120ax x a x⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩，所以a 的取值范围是(3,1)--. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 7．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 8．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．B ．18C ．1-D ．19-【答案】D 【解析】 【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为d ==()2119=-故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.9．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba =，令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 10．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3(0,)4B．(0,2C．3()24D．2【答案】C 【解析】 【分析】求导，先求出()f x在(x ∈单增，在)x ∈+∞单减，且max 1()2f x f ==知设()f x t =，则方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【详解】依题意，2432ln (12ln )()e x xe xe x xf x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2x =，x =x ∈时，()0f x '>，当)x ∈+∞，()0f x '<，且ln 12e f e ==， 故方程2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩解得23(,)24m ∈. 故选：C. 【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.11．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=u u u r u u u r（ ）A ．1233BA BC +u uu r u u u rB ．5799BA BC +u uu r u u u rC ．11099BA BC +u u ur u u u r D ．2799BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将13BQ BA AQ BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2()3BA BC BA AQ =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r1233BA BC =+-⨯u u ur u u u r 13AC u u u r 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
衡水中学2021届高三数学调研考试
河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（非选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．[)1,+∞ B.()1,+∞ C.()0,+∞ D.[)0,+∞2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于A ．5B C ．D ．23.已知a,b 都是正数，则“3log 3log b a <”是“333>>ba”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A.甲B.乙C.丙D.无法预测5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是A.154 B.415 C.815 D.1206.若nxx ）（22-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A.210B.180C.160D.1757.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45o ，沿点A 向北偏东30o 前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30o ，则“泉标”的高度为A.50m B.100m C.120m D.150m8.已知函数)(x f 满足213)(,6)2()-2(--==++x x x g x f x f ，且)()(x g x f 与的图象交点为),,(),,(),,(882211y x y x y x 则128128x x x y y y +++++++L L 的值为A.20B.24C.36D.40二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则A.a -c =m +R B.a+c=n+R C.2a=m+nD.b=)(m R n R ++）（10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以321,,A A A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是A.P(B)=52B.P 115A |B 1=）（C.事件B 与事件1A 相互独立 D.1A 、2A 、3A 两两互斥11.已知点P 是双曲线1916E 22=-y x ：的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.321π小于PF F ∠ D.21F PF ∆的内切圆半径为4312.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1=1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为A.若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个B.若PD=3，则点P 的轨迹是一段圆弧C.若PD//平面ACB 1，则PD 长的最小值为2D.若PD//平面ACB 1，且PD=3，则平面BDP 截正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形的面积为49π第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ＝(1，x ＋1)，b ＝(x ，2)，若满足a //b ，且方向相同，则x ＝.14.已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线1x 22=-my 的离心率是_____________.15.对于函数f(x),若在定义域内存在实数0x 满足)()(f 00x f x -=-，则称函数f(x)为“倒戈函数”，设)0,(123)(f ≠∈-+=m R m m x x是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是16.已知函数()2,()20,,,f x x g x x A B C ωωω==>，其中是这两个函数图象的交点，且不共线.①1ABC ω=∆当时，面积的最小值为;②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）数列).13(21}{321-=++++nn n a a a a a 满足：（1）求}{n a 的通项公式；（2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n nn =18.（12分）在锐角ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知sin b A sin()3a B π=+.（1）求角B 的大小；（2）求ac的取值范围.19.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.20.（12分）为提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间.为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量X 满足正态分布·在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.(参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.84137≈0.2898，0.84136≈0.3546，0.15873≈0.0040，0.15874≈0.0006，(+)0.6826P X μδμδ-<<=，(2+2)0.9544P X μδμδ-<<=，(3+3)0.9973P X μδμδ-<<=)21.（12分）已知抛物线F p px y C 点),0(2:2>=为抛物线的焦点，焦点F 到直线0343=+-y x 的距离为1d ，焦点F 到抛物线1223.5,d d C d =的准线的距离为且（1）抛物线C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ,Q 两点，且2211|PM|||QM +为定值，求点M 的坐标.22.（12分）已知函数).0(ln )(2≥+--=a x ax x x f （1）讨论函数)(x f 的极值点的个数；（2）若函数)(x f 有两个极值点.2ln 23)()(,,2121->+x f x f x x 证明：河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学答案一、单项选择题：题号12345678答案BABABBAD二、多项选择题：题号9101112答案ABDBDABCABD三、填空题：13.114.235或15.)0,31[-16.22ππ；四、解答题17.解：（1）1231(31)2nn a a a a ++++=- ，①当2n ≥时，-1123-11(31)2n n a a a a ++++=- ，②①－②得，13n n a -=，当1n =时，11a =，符合上式.所以13n n a -=.…………………………5分（2）因为3n na b n a =，所以133n n a b n -=，即1n n a b n =-，113n n bn --=，n T 23n-11111=0+1+2+3++n-1)3333⨯⨯⨯⨯ （）（（（，①23n-1n11111=1+2++n-2)+n-1)33333n T ⨯⨯⨯⨯ （）（）（（）（（，②…………………7分①－②得，23n-1n 211111=++++n-1)333333n T ⨯ （（）（－（（）111=223n n +，…………………9分所以1321443n n n T -+=-⋅.……………………10分18.解：（1）∵，∴sin B sin A＝sin A（sin B+cos B），sin A≠0．…………………2分化为：sin B﹣cos B＝0，∴tan B＝，…………………4分<<，因为0Bπ所以B＝．…………………6分（2）由（1）可得：A+C＝π﹣B＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＝﹣A＜，0＜A＜，∴＜A＜，……………………8分∴＝＝＝＝+∈，………………11分∴的取值范围是．………………12分19.（1）证明：过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，…………2分又因为，，，所以，故，因为，所以，…………4分又因为，所以平面，故.……………………6分（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，………………7分，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，………………9分因为平面，所以为平面的一条法向量，，………10分，所以二面角的余弦值为.………………12分20.解：（1）=0.12+0.26+0.410+0.214+0.118=10μ⨯⨯⨯⨯⨯，…………3分2222=2(80.1+40.2+10100.4=19.2s δ=⨯⨯⨯⨯2（－），…………6分（2）+=10+4.38=14.38μδ，…………7分设3名乘客候车时间超过15分钟的事假为A ，10.6826(14.38)0.15872P X ->==，………………9分33710P()(0.1587)(0.8413)0.1390.003A C =≈>，…………11分所以准点率正常.………………12分21.解：（1）依题意，得，焦点F(,0)2p ，则1 1.53d 5p +=，2d p =，…………1分1 1.533255d p d p +==，解得2p =，………………3分所以抛物线方程为24y x =.………………4分（2）设M(,0),t 点1122M,(,),(,)P x y Q x y ，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x my t =+，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得，2440y my t --=，2=16()0,m t ∆+>12124,4y y m y y t +==- ，……………………6分12|||,|||,PM y QM y ==221222222222212121111|PM||QM|(1)(1)(1)y y m y m y m y y ++=+=+++2222222m tt m t +=+，…………9分要使2211|PM||QM|+为定值，必有222222t t =，解得2t =.………………11分所以2211|PM||QM|+为定值时，点M 的坐标为(2,0).…………12分22.解：（1）因为2()ln (0)f x x ax x a =--+>，所以212()(0,0)ax x f x x a x+-'=->>，…………1分关于x 的方程212=0ax x +-的判别式=1-8a ∆，1当a =0时，f （x ）有一个极值点.2当18a ≥时，0∆≤，()0f x '≤，所以函数在(0,)+∞上单调递减，f （x ）无极值点………………3分③当108a <<时，0∆>，方程()0f x '=有两个不相等的正根12,x x ，可得1211,44x x a a-+==，则当1x (0,)4a ∈及1(,)4a++∞时，()0f x '<，当118118x ()44a a-+∈时，()0f x '>.所以函数()f x 在118(0,)4a -，118()4a ++∞递减；在118118()44a a-+递增，f （x ）有两个极值点………………5分（2）由（1）得，当且仅当1(0,8a ∈时，()f x 有极小值1x 和极大值2x ，且1x ，2x 是方程22+1=0ax x -的两个正根，121211,22x x x x a a+=⋅=，…………6分所以21212121212()()()[()2](ln ln )f x f x x x a x x x x x x +=+-+-⋅-+11ln(2)1ln 1ln 244a a a a=++=+++，…………8分令1()ln 1ln 24g a a a =+++，当1(0,)8a ∈时，241()04a g a a-'=<，所以()g a 在1(0,)8上是单调递减，故1g()()32ln 28a g >=-，………………11分所以12()()32ln 2f x f x +>-.………………12分。
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()A. 3+√3iB. 3−√3iC. −3+√3iD. −3−√3i2.函数y=2cos2(x−π4)−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A. (5,7)B. (6,6)C. (4,8)D. (7,5)4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞)5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心6.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于()A. ±√2B. √3C. √2D. ±√37.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时A. 6B. 12C. 18D. 248.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则()A. ω=2π15，A=5 B. ω=152π，A=5C. ω=152π，A=3 D. ω=2π15，A=3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)根据图中信息，下列论断正确的有()A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()A. A∩B=[0,12] B. ∁U A⊆∁U BC. A∪B=BD. ∁B A=(12,+∞)11.已知函数f(x)=sinxcos2xcosx，则()A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称 B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的值域为RD. f(x)在(0,π4)上单调递增12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点)上运动，则下列判断正确的是()A. A1P⊥B1DB. 三棱锥D1−APC的体积不变，为83C. A1P//平面ACD1D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为 ．16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；(2)若a =√10，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计6040100(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X(i)求X的分布列；(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．21.已知椭圆C：．(1)如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．(1)求实数a，b的值；(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z=1+√3i，∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．故选：B．由已知求得|z|及z，作和得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：y=2cos2(x−π4)−1=cos(2x−π2)=sin2x，∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；故选：A．运用二倍角公式化简为cos(2x−π2)，再利用诱导公式化简．本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．3.答案：A解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，(1,2)为第(1+1)=2项，(1,3)为第(1+1+2)=4项，(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=56项，∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，则第60项为(5,7)．故选A我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．4.答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，即a=3，故1<a≤3．5.答案：A解析：本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题．二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论．解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心，故选：A．6.答案：D解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m2)2+y 2=1+m 24，圆心坐标为(−m2,0)，圆的半径r =√1+m 24，圆心到直线的距离d =√1=1=r =√1+m 24，化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D7.答案：A解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以{e b=384e 22k+b=24，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ．由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω求解；A 为最大振幅，由图象知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=4×2π60=2π15又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ．9.答案：BD解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误；对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+16×(38−30−29−65−5+128)=4000+376>4000万人，故选项B 正确；对于C ，2019年未接受高中教育的人数为399589.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.答案：ACD解析：求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤12}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,12]，故A 正确；∁U A ={x|x <0或x >12}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >12}=(12,+∞).故D 正确．故选：ACD ．11.答案：ABC解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确；对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)=sinxcos2x cosx，故f′(x)=cos2x−sin 22xcos 2x=cos 22x+cos2x−1cos 2x，当x ∈(0,π4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,12)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ．直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.答案：AC解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动，对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1，∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ，∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d =|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√3=2√33， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为：V D 1−APC =V P−ACD 1=13×S △ACD 1×d =13×12×√22+22×√22+22×sin60°×2√33=43，故B 错误；对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ，∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3，故D 错误． 故选：AC ．对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为43；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3．本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.答案：5解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r， 所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，故答案为：5．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r，所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．14.答案：6解析：解：如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =12AB ，AF =12AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =12(42−22)=6． 故答案为：6．如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =12AB ，AF =12AC.再利用数量积的定义即可得出．本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题．15.答案：33解析：由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或.又，所以．考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．16.答案：5解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(35sinx +45cosx)， 令cosθ=35，sinθ=45，θ∈[0,2π)．则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5．由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，所以：sinA =45，由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC =2√55，cosC =√55， 由正弦定理得：asinA =csinC ，解得：c =5√22， 由于：2cosC =sinB ， sinB =2√55， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√55=5解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积．本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称，∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2，∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n =2n+12n，T n =32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，①∴12T n =322+523+724+⋯+2n−12n+2n+12n+1，②①−②得12T n =32+222+223+224+⋯+22n −2n+12n+1=32+2×12[1−12n−1]1−12−2n+12n+1=32+2−12n−1−2n+12n+1=72−2n+52n+1．∴T n =7−2n+52n．解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n =2n−12n，利用错位相减法可求得T n =5−2n+52n．本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．19.答案：解：(1)由列联表可得K 2=100×(16×26−14×44)230×70×60×40≈0.7937<2.706．所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关．(2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×1660=4(人)，女性市民有15×4460=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=35，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)，所以P(X =k)=C 3k⋅(35)k (25)3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0123P8125361255412527125(ii)E(X)=np =3×35=95；D(X)=np(1−p)=3×35×25=1825．解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算；(3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差．本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ，AB =AA 1=2A 1B 1=2，直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直，分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2，∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,32,1)，平面ABM 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√17=3√1717， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为3√1717． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ．(Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ．椭圆M 的方程为 ．②直线AB 的斜率为定值 .理由如下：由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得所以，从而同理，因为所以为定值；(2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得，，令，则，当且仅当，即时，取“”，所以 的最大值为 ．解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由化简可得结论；(2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ．又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−23a +b =0，解得a =1，b =−3．(2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1，当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以当x =−1时f(x)取得极大值，f(−1)=2， 当x =1时f(x)取得极小值，f(1)=−2， 大致图象如图所示：要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−23a +b =0，求解即可．(2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．。
精品解析：河北省衡水中学2021届高三下学期三调考试文数试题解析(解析版)
河北省衡水中学2021届高三下学期三调考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={x|x 2−4x <0}，N ={x|m <x <5}，若M ∩N ={x|3<x <n}，则m +n 等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B【解析】由已知M ={x|0<x <4}，又N ={x|m <x <5}，M ∩N ={x|3<x <n}，所以m =3,n =4，m +n =7，故选B ．2. 已知i 是虚数单位，1−z 1+z=2i ，则|z|等于（ ）A. 1B. √2C. √3D. √5 【答案】A 【解析】因为1−z1+z=2i ，所以1−z =2i(1+z)=2i +2iz ，z =1−2i1+2i =(1−2i)2(1+2i)(1−2i)=−3−4i 5=−35−45i ，|z|=√(−35)2+(−45)2=1，故选A ． 3. 已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则乙同学成绩的方差为（ ）A.1432B.1434C.1438D.14316【答案】B【解析】由茎叶图，甲的平均数为x̅=71+80+81+84+85+85+87+998=84，因此乙的平均值为86，即86=74+82+(80+m)+86+87+89+92+858，解得m =4，所以乙的方差为s 2=18[(74−86)2+(82−86)2+(84−86)2+(86−86)2+(87−86)2+(88−86)2+(92−86)2+(95−86)2]＝1434，故选B ．4. 已知{a n }是等比数列，且a 2+a 6=3，a 6+a 10=12，则a 8+a 12等于（ ） A. 12√2 B. 24 C. 24√2 D. 48 【答案】B 【解析】a 6+a 10a 2+a 6=a 2q 4+a 6q 4a 2+a 6=q 4=123=4，q 2=2，a 8+a 12=a 6q 2+a 10q 2=q 2(a 6+a 10)=2×12=24，故选B ．5. 已知f(x)=x 2x −1,g(x)=x2，则下列结论正确的是（ ） A. ℎ(x)=f(x)+g(x)是偶函数 B. ℎ(x)=f(x)+g(x)是奇函数 C. ℎ(x)=f(x)g(x)是奇函数 D. ℎ(x)=f(x)g(x)是偶函数 【答案】A6. 已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB,CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率是2，直线AC 的斜率为k ，则|k|等于（ ）A. 2B. 32C. 52D. 3【答案】B【解析】 由题意得，假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则A(c,b 2a),B(c,−b 2a)，所以|AB|=2b 2a,|BC|=2c ，所以|k|=|AB||BC|=2b 2a2c=b 2ac =c 2−a 2ac=e −1e =32，故选B 。
河北省衡水市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
河北省衡水市 2021 届新高考数学教学质量调研试卷、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB,AC .已知以直角边 AC, AB 为直径的半圆的面积之比为 1 ， 4 记 ABC ，则 sin2 （ ）详解】 5曲线 C 有相同的焦点 .设 P 为抛物线与双曲线 C 的一个交点， 且cos PF 1F 2 75，则双曲线 C 的离心率为253 C ．54 D ．5答案】 D 解析】 分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边 AB, AC 的长度之比，从而可知 tanAC AB 121，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos，由二倍角公式即可求出 sin2 .解：由题意知0,2，以 AB 为直径的半圆面积S 12AB 2 ，2以 AC 为直径的半圆面积S 2AC 22，则S S 21AC 2 AB2，即 tanAC AB2sin2cos 1 sin 由tansin 1 ，得cos2cos故选 :D.【点睛】sin22sin cos考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值2 x 2．已知双曲线C: 2a 22b y 22 1 a2 0,b 0 的左、右焦点分别为 F 1、 F 2 ，抛物线 y 22pxp 0 与双25本题考查了同角三角函数的基本关系，5 5 ，所以 25 5A ． 2或 3B ． 2 或3C． 2或 3 D ．2或3【答案】 D 【解析】 【分析】55设 PF1 m ， PF2 n ，根据 cos PF 1F 2 7 和抛物线性质得出 PF 2 7 m ，再根据双曲线性质得出 m 7a ，n 5a ，最后根据余弦定理列方程得出 a 、 c 间的关系，从而可得出离心率． 【详解】故选： D.点睛】 本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．3．某几何体的三视图如图所示 （单位： cm ），则该几何体的体积等于（ ） cm 3过 P 分别向 x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、 N ， 不妨设 PF 1m ， PF 2 n ，则 MF 1 PN PF 2 PF 1 cos PF 1F 25m 7QP 为双曲线上的点，则 PF 1又 F 1F 2 2c ，在 PF 1F 2 中，整理得 c 2 5ac 6a 2 0 ，即PF 2 2a ，即由余弦定理可得2e 5e 6 0 ，Qe 5m7 49a 2 2a ， 4c 2 得 m 7a ， 25a 2 ，2 7a 2c1，解得 e 2或 e 3.n 5a ，2 3 2 3 A ．4B ．4C ． 6D ．63 2 3 2 【答案】 D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，V=V 三棱柱 +V 半圆柱 = ×2×2×1+ ?π ?2×11=（ 6+1.5 π）cm 1．2故答案为 6+1.5 π． 点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 4．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给， 实现了行业的良性发展 .下面是 2012 年至 2016 年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说 法错误的是（ ）A ． 2012 年至 2016 年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ． 2016年我国数字出版业营收超过 2012 年我国数字出版业营收的 2倍C ． 2016年我国新闻出版业营收超过 2012 年我国新闻出版业营收的 1.5倍D ． 2016 年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一【答案】 C 【解析】【分析】 通过图表所给数据，逐个选项验证 .【详解】 根据图示数据可知选项 A 正确；对于选项 B ： 1935.5 2 3871 5720.9，正确；对于选项 C：116635.3 1.5 23595.8，故 C 不正确；对于选项 D ： 23595.87865 5720.9 ，正确 .选 C.3【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单 .5．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1 个、黑球2 个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1 ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2，则（ ）A ． E 1 E 2 ， D 1 D 2B ． E 1 E 2 ， D 1 D 2C ． E 1 E 2 ，D 1 D 2 D ．E 1 E 2 ， D 1 D 2【答案】 B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系 【详解】1可能的取值为 0,1,2 ； 2可能的取值为 0,1，4 1 4 1 4 P 10 ，P 12，P 1 11999 9 922 4 2 1 2 44 4故E 1，D 1 02221239999 9.2 1 1，2 122， P 2P 2 13 2 33 2 322 1 2 2 4 2故E 2，D 2 0212333 9 9故E 1E 2， D 1 D 2. 故选 B .【点睛】离散型随机变量的分布列的计算， 应先确定随机变量所有可能的取值， 再利用排列组合知识求出随机变量 每一种取值情况的概率， 然后利用公式计算期望和方差， 注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区 别.上，且 AB//CD ，若正方体的六个面所在的平 B ． m n 2C ． m nD ． m n 86．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面则下列结论正确的是（A ． m n【答案】A【解析】【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得m,n 的值，即可比较各选项【详解】如下图所示，CE 平面ABPQ ，从而CE//平面A1B1P1Q1 ，∴ m 4，∵ EF / /平面BPP1B1 ，EF / /平面AQQ1A1，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴ n 4，∴结合四个选项可知，只有m n 正确.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题7．已知VABC 的垂心为H ，且AB 6,BC 8,M 是AC 的中点，则uuuuruuur( )A．14【答案】A【解析】【分析】B．12 C ．10 D．8uuur uuur uuuur uuu ruuuuruuuruuuuruuur1 uuuruuuruuuruuur由垂心的性质，得到BH AC 0 ，可转化HM AC BM AC，又BM AC 2 (BA BC) (BC BA) 即得解.【详解】因为H 为VABC 的垂心，所以BH AC ，uuur 所以BH uuuruuuur0，而HMuuuruuuurBM ，uuu uuu uuur uuuu uuu uuuuuuu 所以HM AC (HB BM) AC BM AC 因为M 是AC 的中点，uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 所以 BM AC (BA BC) (BC BA)1uuur 2 uuur 2 1(BC BA ) (64 36) 14 ．故选： A【点睛】 本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的 能力，属于中档题 .8．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是(1 A ．2【答案】 C 【解析】【分析】 根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：1的正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中截去四棱锥 B 1 ABCD 所形成的几何体，31 2 2 该几何体的体积为 V 13 12 1 .33 故选： C.点睛】25 C ．D ．36由图可知， 该几何体是在棱长为1 B ．3本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题详解】1i∵ i(3 z) 1 i ，∴ 3 z 1 i1 i ，i∴ z 2 i ，∴复数z 的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题A ．4 【答案】B 【解析】分析】uuu uuu uu uuu uuu uuuv可画出图形，根据条件可得2AC BC 3AO AC 2AO BOuuu uuu uu，从而可解出uuuv uuuv uuuv ，然后根据OA2BC AC 3BO BC 2BO AOuuu uuur uuur uuur uuu uuurAB 2 进行数量积的运算即可求出AC BC 2AO BO 2BO AO 8．【详解】如图：9．已知复数z 满足i(3 z) 1 i ，则z 的虚部为(B．C．–1 D．1答案】C解析】分析】利用复数的四则运算可得，即可得答案.10．点O 为ABC的三条中线的交点，且OAuuur uuurOB，AB 2，则AC BC的值为(B．8 C ．6 D．12点 O 为 ABC 的三条中线的交点uuur 1 uuur uuur 1 uuur AO (AB AC) (2AC 33 uuuv uuuv uuuv 2AC BC 3AO由 uuuv uuuv uuuv 可得： 2BC AC 3BO又因 OA OB ， AB 2，uuur uuur u uur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 AC BC (2 AO BO) (2BO AO) 2AO 2BO 2AB 8.故选： B 【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向 量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题答案】 D 解析】 分析】解得 x 1 ,1 (1,10) .10故选： Duuu uuu 1 uuur uuu BC) ， BO (BA 3 BC) uuu uuu uuuv AC 2AO BO uuu v uuuv 2BOu A u O uv ，由题得函数的定义域为( ,0) U(0,).因为 f ( x) f (x) ，所以 f (x) 为 (,0) U(0,) 上的偶函数，因为函数 y |1x| 1，y123 都是在 x|x 2所以函数 f (x) 在 (0, ) 上单调递减 . 因为 f (1) 3, f (lg x) 3f (1) ，所以 1 lg x1，且 lg x 0，详解】(0, ) 上单调递减 .11．已知函数 f (x) log 2 |x|x 123 ，则不等式 f (lg x) 3 的解集为(A ． 1 ,1010B ．1 10(10,1C ． (1,10)D ． 110,1(1,10)先判断函数的奇偶性和单调性， 得到 1 lg x 1 ，且 lg x 0 ，解不等式得解 .1 uuur uuur13(2u B u C urA C )考查函数的奇偶性和单调性的应用， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平答案】 C 解析】 分析】果. 【详解】tancos2 2cos 2sin 1 tan tan41 sin222 cos sin2sin cos1 tan所以 ，即 .44 故选 :C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数 ,难度较易 .、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。
河北省衡水中学2021-2022届高三上学期调研考试数学试题(含答案解析)
由题意，取 的中点 ，连接 ，则 ,
所以异面直线 与 所成角就是直线 与 所成角，
设正三棱柱的各棱长为 ,则 ，
设直线 与 所成角为 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
A．当焦点在 轴时，其标准方程为
B．若双曲线的弦 的中点为 ，则
C． 成等比数列
D．双曲线的右顶点 ，上顶点 和左焦点 构成的 是直角三角形
12．函数 （k为常数）的图象可能 Nhomakorabea（）A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
三、填空题
13．若正实数 满足 ，则 的最小值是___.
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的右顶点、右焦点分别为A， ，过点A的直线 与 的一条渐近线交于点 ，直线 与 的一个交点为B，若 ，且 ，则 的离心率为( )
A．2B． C． D．
评卷人
得分
二、多选题
9．设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列各式的值为0的是（）
A． B． C． D．
14．如图，在 中， ，点 在边 上， ， ，则 的长为___________.
15．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．
评卷人
得分
四、双空题
16．将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为_________，该组合体的外接球的体积为_______．
河北省张家口市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
河北省张家口市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A ．1)-B ．(-C ．(1)-D ．(1,-【答案】B【解析】【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】 ()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=- ()()333-=- 故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.2．()()52122x x--的展开式中8x 的项的系数为（ ） A ．120B ．80C ．60D ．40 【答案】A【解析】【分析】化简得到()()()()555212222222x xx x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案. 【详解】 ()()()()555212222222x x x x x =⋅----- 展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x x x x ---=⨯. 故选：A【点睛】 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.3．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．32πC ．2πD ．3π【答案】B【解析】【分析】 三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为213π⨯⨯，故原几何体的体积为32π. 故选：B.【点睛】 本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.4．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72 B ．5319 C ．2319- D ．12- 【答案】D利用等差数列通项公式推导出λ131819d d -=+，由d ∈[1，2]，能求出实数λ取最大值． 【详解】∵数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，∴1+3d+λ（1+9d ）+1+15d ＝15，解得λ1318d 19d -=+， ∵d ∈[1，2]，λ1318d 19d -==-+21519d++是减函数， ∴d ＝1时，实数λ取最大值为λ13181192-==-+． 故选D ．【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ）A ．18-B ．18C ．2-D ．2【答案】C【解析】【分析】由题设条件()()4f x f x +=，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值，即可得到结论.【详解】由题意，()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，所以，()()()3341f f f =-=-，又函数()f x 为R 上的奇函数，且当()0,2x ∈时，()22f x x =， 所以，()()()3112f f f =-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.6．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S【分析】设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-，可得1(554)51n n a a -=.令 554051n -<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的.【详解】解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ，则()()113479a d a d +=+，解得 1451a d =-， 11(554)(1)51n n a a a n d -∴=+-=. 令 554051n -<，可得545n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和()*n S n N∈中最小的是13S .故选：C.【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.7． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．45 【答案】B【解析】【分析】计算1225+++的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和.依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==，故选B. 【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.8．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 【答案】B【解析】【分析】 把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项．【详解】由题意2sin()13πϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22k πϕπ=+，k Z ∈， 不妨取6πϕ=-或2ϕπ=， 若2ϕπ=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意， 若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3x π=是对称轴． 故选：B ．【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．9．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.10．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．2kB ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.11．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】 通过列举法可求解，如两角分别为2,63ππ时【详解】 当2,36A B ππ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出； 所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题12．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，BC =ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】【分析】 由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届河北省衡水中学高三下学期三调(新高考)数学试题(解析版)
2021届河北省衡水中学高三下学期三调（新高考）数学试题一、单选题1．已知全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且UM N ⊇，则必有（ ）A ．UM N ⊆B ．UM N ⊇C ．UUM N =D ．M N ⊆【答案】A【分析】根据全集、补集和子集的定义，作出Venn 图，即可得到答案.【详解】全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且UM N ⊇，作出Venn 图，如图所示，所以M N ⋂=∅， 即可得到UM N ⊆，A 正确；B. UM N ⊇，错误；C.UUM N =，错误；D. M N ⊆，错误. 故选：A ．【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，其中解答中根据题意作出Venn ，得出集合之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C【分析】结合图象以及选项，确定正确选项.【详解】对于A 选项，图2中，用“1与12”可以测量11； 对于B 选项，图2中，用“4与17”可以测量13； 对于D 选项，图2中，用“0与17”可以测量17. 图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为15. 故选：C3．今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二【答案】C【分析】求出20218除以7的余数，可得结论．【详解】2021202102021120202020202120212021202120218(71)777C C C C =+=⋅+⋅+⋯+⋅+，故它除以7的余数为202120211C =， 故经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是星期一， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，整除问题，考查运算求解能力． 4．复数z ∈C ，在复平面内z 对应的点Z ，满足11||21iz -+≤≤，则点Z 所在区域的面积（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】C【分析】设(),z x yi x y R =+∈，由模长公式得出点Z 所在区域对应的图形，然后再求面积.【详解】设复数(),z x yi x y R =+∈，又()()111121211i i i i i -+--==+111122z x y i i ⎛⎫-=-++= ⎪+⎝⎭由11||21z i -+≤≤，则22111422x y ⎛⎫⎛⎫≤-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以复数z 对应的点(),Z x y 在以1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，为圆心，1为内圆半径，2为外圆半径的圆环内.所以点Z 所在区域的面积为43πππ-= 故选：C5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]6,12B ．[]6,16C ．[]8,12D ．[]8,16【答案】C【分析】计算得出24PM PN PO ⋅=-，求出PO 的取值范围，由此可求得PM PN ⋅的取值范围.【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB 、OBC 、OCD 、ODE 、OEF 、OFA 均为边长为4的等边三角形，当点P 位于正六边形ABCDEF 的顶点时，PO 取最大值4， 当点P 为正六边形各边的中点时，PO 取最小值，即min4sin233POπ==，所以，23,4PO ⎡⎤∈⎣⎦.所以，()()()()[]248,12PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-∈.故答案为：[]8,12.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 6．若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝1315log ，c ＝152，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是（ ） A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (c )>f (a ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (a )>f (b )【答案】D【分析】先得出函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上的单调性，再比较对数式和指数式之间的大小，可得选项.【详解】因为函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b )<f (a )<f (c )． 故选：D.【点睛】本题考查对数式、指数式比较大小，根据函数的单调性得出函数值的大小关系，属于中档题.7．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B【分析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=， 由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.8．已知实数,x y 满足221,01,01x y x y +=<<<<，当41x y +取最小值时，xy的值为（ ）A ．BCD ．1【答案】A 【分析】先设(0)x m m y =>，即x my =，结合题的条件，得到2211y m =+，将题中式子进行变形41414m x y my y my ++=+==到22816()817f m m m m m=++++，利用导数研究函数的最值即可得结果. 【详解】设(0)xm m y=>，即x my =，因为221,01,01x y x y +=<<<<， 所以2221m y y +=，所以2211y m =+，所以41414m x y my y my ++=+== 令22222222(4)(1)(816)(1)816()817m m m m m f m m m m m m m +++++===++++， 23338328(4)8'()282(4)(2)(4)m f m m m m m m m m+=+--=+-=-+，因为0m >，所以当0m <<'()0f m <，当m >时，'()0f m >()f m 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当m 时，()f m 取得最小值， 故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关与最值相联系的问题，在解题的过程中，(0)xm m y=>，将其转化为求关于m 的函数的最值问题解决是解题的关键.二、多选题9．下列命题中为真命题的是（ ） A ．若a b >，则1a b> B ．若22ac bc ≥，则a b ≥ C ．若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D ．若a b >，则1133a b >【答案】CD【分析】利用特殊值判断AB ；利用作差法判断C ；利用单调性判断D. 【详解】A 项，若1,1a b ==-时，a b >成立，1ab>显然不成立，错误； B 项，0,1,2c a b ===满足22ac bc ≥，但a b < ，错误； C 项，若0c a b >>>，则0,0,0c a c b a b ->->->，可得()()()0a b c a b c a c b c a c b --=>----，所以a bc a c b>--，正确； D 项，13()f x x =为单调增函数，若a b >，则1133a b >，正确； 故选：CD ．10．据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（ ）A ．到2050年已经退休的人数将超过30%B ．2050年中国46~55岁的人数比16~25岁的人数多30%C ．2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍D ．若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为55191010⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC【分析】A ：根据饼状图直接判断即可； B ：根据饼状图的数据进行运算判断即可； C ：根据饼状图的数据进行运算判断即可； D ：根据二项分布的概率公式进行运算判断即可.【详解】由饼状图知2050年中国将有约32%的人已经退休，所以选项A 正确； 设46~55岁的人数为16x 人，16~25岁的人数为13x 人，则46~55岁的人数比16~25岁的人数多1613323%1313x x x -=≈，所以选项B 错误；25岁以上未退休的人口数占48%，已退休人口数占32%，所以25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍，所以选项C 正确； 年龄在36~45岁之间的概率为110．从所有人中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为55510191010C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 错误， 故选：AC ．11．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．△AEF 的面积与△BEF 面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值 【答案】ABD【分析】利用线面垂直的性质判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用同底不同高判断C ，求出体积判断D.【详解】由于1,AC BD AC DD ⊥⊥，1BD DD D =，故AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，所以A 正确；由于//EF BD ， EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故B 正确；由于三角形BEF 和三角形AEF 的底边都是EF ，而前者是B 到EF 的距离， 即1BB 的长为1，而后前者是A 到EF 的距离，作EM 垂直于底面，垂足为M ，所以11EM BB ==，连接AM ，由于在Rt AEM 中，AE 是斜边，即1AE EM BB >>，故C 错误；连结BD 交AC 于O ，由于AC ⊥平面11BDD B ，所以AO ⊥平面11BDD B ，22AO =，因为1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A -BEF 的体积为112234224⨯⨯=为定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，关键点是熟练掌握有关判断和性质，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.12．（多选题）已知数列{}n a 满足()()1211n n n n aa n +++=⋅-，其前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．m 为定值B ．1m a +为定值C ．20191S a -为定值D ．1ma 有最大值【答案】BCD【分析】分析得出()()2122121k k k k a a k +++=⋅-，由已知条件推导出201911010S a ，11m a +=，可判断出ABC 选项正误，利用基本不等式可判断D 选项的正误.【详解】当()2n k k N *=∈，由已知条件可得()()2122121k k k k a a k +++=⋅-，所以，()()()201912320191234520182019S a a a a a a a a a a a =++++=+++++++11124682018250420181010a a a =-+-+--=+⨯-=-，则201911010S a ，所以，2019110101009m S m a +=+-=-，11m a ∴+=，由基本不等式可得211124m a ma +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当112m a ==时，等号成立，此时1ma 取得最大值14. 故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题13．已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.【答案】5【分析】由题设条件化简得到2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，进而得sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，结合基本关系式，即可求解. 【详解】由3sin(2)sin 2αββ+=，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以tan()5tan αβα+=.故答案为：5.14．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：h ）如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要 ___________h ． 【答案】46【分析】进分析，甲应尽快让乙开始描绘，故甲按A ,C ,B 的顺序上漆即可. 【详解】甲应尽快让乙开始描绘， 甲先对原料A 上漆需要9小时，然后乙用15小时对原料A 描绘花纹，其中在这15小时描绘花纹的过程中，甲用10小时对原料C 上漆，用5小时对原料B 上漆，然后甲再对C 进行11小时的上漆，此时乙对原料C 描绘花纹11小时，还剩3小时完成原料C 的描绘，完成后再对原料B 描绘花纹8小时.所以完成这三件原料的描金工作最少需要915113846++++=小时. 故答案为：46.15．对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】【分析】先分析题意，把函数化简整理为()sin 4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∣，再利用三角函数的图像与性质求值域即可得到答案. 【详解】由22,22,a b a ba b b a a b-≥⎧*=⎨-<⎩，则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得：()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣，即sin 4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的分类讨论思想及处理新定义问题的能力，属于中档题.四、双空题16．已知点M 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，447MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为___________；若,MF MO 分别交双曲线C 于P 、Q 两点，记直线QM 与PQ 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅=___________． 【答案】4 -15【分析】首先根据题意得到74MO MF c ==，从而得到2c M ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到2224465160c a c a -+=，从而得到4e =；设()11,P x y ，由题知：()00,Q x y --，根据MO MF =得到1MP k k =-，再计算122=MP k k k k ⋅-⋅即可得到答案.【详解】设()00,M x y ，如图所示：因为4477MO MF OF c ===，所以74MO MF c ==. 所以02c x =，220735424c y c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3524c M c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以2222451641cca b-=，整理得：22222244516b c a c a b -=， 4224465160c a c a -+=，即42465160e e -+=，解得214e =或216e =. 因为1e >，所以216e =，即4e =. 设()11,P x y ，由题知：()00,Q x y --，因为MO MF =，所以QM MP k k =-，即1MP k k =-，所以2210101012222101010=MP y y y y y y k k k k x x x x x x -+-⋅-⋅=-⋅=--+- 又因为()()221122222210102222002211101x y a b x x y y ab x y a b ⎧-=⎪⎪⇒---=⎨⎪-=⎪⎩， 所以22222210222210115y y b c a e x x a a--===-=-， 所以12=15k k ⋅-. 故答案为：4；15-.【点睛】方法点睛：求离心率的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的,a c 的值，再求离心率即可；2.齐次式法：根据题意得到,,a b c 的齐次式，再转化为关于e 的方程求解.五、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，设()n S n N *∈为数列{}na 的前n 项和，数列{}nb 是等比数列，0n b >，若11325233,1,12,2a b b S a b a ==+=-=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,nn nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，求数列{}n c 的前2n 项和． 【答案】（1）121,2n n n a n b -=+=；（2）21121321n n ++-+. 【分析】（1）依题意分别求出等差数列{}n a 的公差d 和等比数列{}n b 的公比q 即可求得通项；（2）求出111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，分组之后用裂项法和公式法求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．因为0n b >，所以0q >.依题意得2331234232q d d q d ⎧+++=⎨+-=+⎩，即26q d d q ⎧+=⎨=⎩，解得2d q ==或3dq （舍）．∴121,2n n n a n b -=+=． （2）由（1）可得(321)(2)2n n n S n n ++==+．∴2211(2)2n S n n n n ==-++． ∴111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，则()()21321242n n n T c c c c c c -=+++++++()1352111111122223352121n n n -⎛⎫=-+-++-+++++ ⎪-+⎝⎭()22212112112n n -=-++- 21121321n n ++=-+． 【点睛】方法点睛： 本题第（2）问考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18．如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【答案】（1）230（29+3【详解】(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1， ∴AB 3在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°， ∴AC 3在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°， ∴BC 30则船的航行速度为3010=230360÷(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA ＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝310，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°310=20（3-1）由正弦定理得AD＝9+3 1319．如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB 的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值66？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM ⊂平面EMN ， 故平面EMN ⊥平面PBC ；（2）假设存在点N ，使得二面角B ﹣EN ﹣M 的余弦值66. 以E 为原点，EB ED EP ，，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PE =EB =2，设N (2，m ，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)， P (0，0，2)，C (2，2，0)，M (1，0，1)，(1,0,1)EM =，(2,0,0)EB =，(2,,0)EN m =，设平面EMN 的法向量为(,,)p x y z =，由.0.20m EM x z m EN x my ⎧=+=⎨=+=⎩，令x m =，得(,2,)p m m =--，平面BEN 的一个法向量为(001)n =，，， 故()()222006cos ,2001p n mp n p nm m ⋅+-===⨯+-+-⨯++ 解得：m =1，故存在N 为BC 的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20．甲，乙，丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：①按照甲､乙､丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；②选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，记0分，换下一个选手进行投篮.甲､乙､丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7.（1）求甲､乙､丙三人一共投篮5次的概率；（2）设甲､乙､丙三人得分总和X ，若1X ≤，则该团队无奖品；若23X ≤≤，则该团队获得20元的奖品；若47X ≤≤，则该团队获得50元的奖品；若8X ≥，则该团队获得200元的奖品.求该团队获得奖品价值Y 的期望. 【答案】（1）0.44；（2）40.451.【分析】（1）分别求得有一人第一次没有投中的概率，再对所求的概率求和可得答案； （2）甲，乙，丙三人得分总和X 的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，9.分别求得()1P X ≤，(23)P X ≤≤，(47)P X ≤≤，(89)P X ≤≤.根据期望公式可求得答案.【详解】（1）记“甲第一次投篮命中”为1A ，“甲第二次投篮命中”为2A ，“乙第一次投篮命中”为1B ，“乙第二次投篮命中”为2B ，“丙第一次投篮命中”为1C ，“丙第二次投篮命中”为2C .三人一共投篮5次，则有一人第一次没有投中，即概率()()()111111111P P A B C P A B C P A B C =++，()()()()1111110.60.50.30.09P A B C P A P B P C ==⨯⨯=，()()()()1111110.60.50.70.21P A B C P A P B P C ==⨯⨯=， ()()()()1111110.40.50.70.14P A B C P A P B P C ==⨯⨯=. 0.090.210.140.44P =++=，故三人一共投篮5次的概率为0.44.（2）甲，乙，丙三人得分总和X 的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，9.()()11100.40.50.30.06P X P A B C ===⨯⨯=，()()()121111211112(1)0.108P X P A A B C P A B B C P A B C C ==++=，()()()121211*********(2)0.0642P X P A A B B C P A A B C C P A B B C C ==++=，()()()()121212121111211112(3)0.1946P X P A A B B C C P A A B C P A B B C P A B C C ==+++=，()()12121290.0441P X P A A B B C C ===.故()10.168P X ≤=，(23)0.2588P X ≤≤=，(47)0.5291P X ≤≤=，(89)0.0441P X ≤≤=.则该团队获得奖品价值Y 的期望()0.16800.2588200.5291500.044120040.451E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】方法点睛：求随机变量概率分布列的步骤： (1)找出随机变量的所有可能取值； (2)求出取各值时的概率； (3)列成表格； (4)检验分布列.注意分析随机变量是否满足特殊的分布列，如：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布.再运用期望公式可求得随机变量的期望.21．已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B ，椭圆C 过点⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）360x -=或360x -=． 【分析】（1）由点到直线的距离得一个,a b 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，，两者联立解得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，依次求得P 点，Q 点，D 点，E 点坐标，然后计算面积之差222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△，再结合基本不等式求得最大值．由此可得直线方程．【详解】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ，则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=，所以点2A 到直线1A B 的距离d ==，即2234b a =．① 又椭圆C过点⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-． 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立2,2,x x my =-⎧⎨=+⎩解得2,4,x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩即42,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 联立222(0),1,43x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+． 由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++， 所以2PA Q △与PEQ 的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△，当且仅当m =时取等号． （在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧） 故当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，直线2A P 的方程为360x -=或360x -=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设直线2AP 方程为2(0)x my m =+≠，直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基本不等式求得最大值，得出结论．22．已知函数2()3(1)ln ,()4f x x a x g x x ax =-+=-+．（1）若函数()()y f x g x =+在其定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使得函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切？若存在，求满足条件的a 的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(,1]-∞-；（2）存在，实数(1,3)a ∈.【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出a 的取值范围； （2）函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切，且存在()f x 的极值等于0，根据导数和函数的极值的关系即可求出答案．【详解】（1）∵2()()3()1ln 4y f x g x x a x x ax =+=-++-+在(0,)+∞上单调递增， ∴132a y x a x+'=-+-0≥在(0,)+∞上恒成立， 即222312(1)(1)222(1)1111x x x x a x x x x +-+-+-≤==+--+++， 易知)22(111y x x =+--+在(0,)+∞上为增函数，∴22(1122111)y x x =+-->--=-+， ∴1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-. （2）存在，理由如下，2()()3()1ln 4y f x g x x a x x ax =-=-+-+-，设2()3(1ln )4,0h x x a x x ax x =-+-+->，∴212(3)(1)()32a x a x a h x x a x x+-++-+'=--+=第 21 页 共 21 页 22(3)(1)(21)(1)x a x a x a x x x-+++---=-=-， 令()0h x '=，解得12a x +=或1x =， 当102a +≤，即1a ≤-时，由(0,1)x ∈，得()0h x '>；由(1,)x ∈+∞，得()0h x '<， ∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)20h x h a ==-=，解得2a =（舍去）. 当102a +>，即1a >-时，∵函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切，∴102a h +⎛⎫= ⎪⎝⎭或(1)0h =，由(1)20h a =-=，解得2a =；当102a h +⎛⎫=⎪⎝⎭时，可得23(1)111(1)ln 402222a a a a a a ++++⎛⎫-+-⨯-= ⎪⎝⎭+， 设12a t +=，则0t >，232ln (2140)t t t t t t --+--=，即222ln 40t t t t +--=， 设222ln 4,()0t t t t t t ϕ=+-->，∴222(1ln 2(ln ()))t t t t t ϕ'=+-+=-，再令()ln ,0m t t t t =->，∴11()1t m t t t-'=-=， 当01t <<时，()0m t '<，()m t 单调递减；当1t >时，()0m t '>，()m t 单调递增， ∴()(1)1m t m ≥=，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，∵(1)10,(2)44ln 20ϕϕ=-<=->，∴存在02)(1,t ∈，使得00()t ϕ=，即1(1,2)2a +∈，得(1,3)a ∈， 综上所述，存在实数(1,3)a ∈，使得函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切．【点睛】本题考查求参数的取值范围的问题，解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值，属于较难题.。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(三)数学(理科)试题
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（三）数学（理科）试题卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.设集合{}0A x x =>，{}22150,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（ ）A. {}1,2B. {}1,2,3C. {}1,2,3,4D. {}1,2,3,4,5【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算集合B,然后结合集合交集运算性质,即可.【详解】()(){}{}=3504,3,2,1,0,1,2B x x x x Z x -+<∈=----，,所以{}1,2A B =,故选A.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小. 2.若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ）A. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得z ，根据复数模的定义及运算即可求解. 【详解】复数z 满足(1)2z i ⋅+=， 则21iz =+， 由复数除法运算化简可得()()()2121111i z i i i i -===-++-， 由复数模的定义及运算可得z ==故选：B.【点睛】本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题. 3.已知4cos 45a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2a =（ ) A. 7-25B.725C. 1-5D.15【答案】B 【解析】分析：利用诱导公式与二倍角的余弦公式，即可得结果. 详解：4cos -45πα⎛⎫= ⎪⎝⎭所以22472cos -22cos -12124525sin ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B. 点睛：本题主要考查诱导公式以及二倍角的余弦公式，属于中档题. 解答给值求值问题时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值. 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，根据条件1S ≤-成立，循环结束，可得出输出结论. 【详解】运行该程序，输入1i =，0S =，则110lglg 33S =+=； 11lg lg 1310S =>=-，不满足判断框，则1313,lg lg lg 355i S ==+=；11lg lg 1510S =>=-，不满足判断框，则1515,lg lg lg 577i S ==+=；11lglg 1710S =>=-，不满足判断框，则1717,lg lg lg 799i S ==+=； 11lg lg 1910S =>=-，不满足判断框，则1919,lg lg lg 91111i S ==+=；11lglg 11110S =<=-，满足判断框，输出9i =. 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.5.已知向量,a b ，2a =，()()cos ,sin b R ααα=∈，若223a b +=，则a 与b 夹角是（ ）A.56π B.23π C.3π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据b 的坐标计算b ，根据223a b +=得到1a b =，再代入夹角公式计算即可. 【详解】22cos sin 1b αα=+=，222(2)4412a b a a b b +=++=，即44412a b ++=，解得1a b =. 设a 与b 夹角为θ，则1cos 2a b a bθ==， 又因为0θπ<<，所以3πθ=.【点睛】本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题.6.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6B. 21C. 27D. 54【答案】C 【解析】 【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7.已知,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，()0z ax by a b =+>>的最大值为2，则直线10ax by 过定点（ ）A. ()3,1B. ()1,3-C. ()1,3D. ()3,1-【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到,a b 的关系式，再代入直线10ax by 由直线系方程得出答案.【详解】由,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解，联立280y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()6,2C ，622a b ∴+=，即31a b +=，所以13b a =-，代入10ax by ，得310ax y ay +--=， 即()310a x y y -+-=，由3010x y y -=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，∴直线10ax by 过定点()3,1，故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属于中档题.8.设随机变量~(1,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） （注：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈）A. 7539B. 7028C. 6587D. 6038【答案】C【解析】 【分析】由题意正方形的面积为1S =，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．【详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为1S =又由随机变量服从正态分布()~1,1X N ， 所以正态分布密度曲线关于1x =对称，且1σ=， 又由()0.6826P X μσμσ-<<+≈，即()020.6826P X <<≈，所以阴影部分的面积为10.682610.65872S =-=， 由面积比的几何概型可得概率为10.6587SP S==，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是100000.65876587⨯=，故选C ．【点睛】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9.设函数()2ln 1xf x x x =++满足()()()()0f a f b f c a b c <<<，若()f x 存在零点0x ，则下列选项中一定错误的是( ) A. ()0,x a c ∈ B. ()0,x a b ∈ C. ()0,x b c ∈ D. ()0,x c ∈+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，将函数的解析式变形为()22ln 1f x x x =-++，分析可得在其定义域上为增函数，结合()()()0f a f b f c <分析可得必有()()()0,0,0f a f b f c <>>或()()()0,0,0f a f b f c <<<，据此分析选项，即可得答案. 【详解】解：由()2ln 1x f x x x =++，得()22ln (0)1f x x x x =-+>+ 因为函数22,ln 1y y x x =-=+ 在(0,)+∞上均为增函数，所以()2ln 1xf x x x =++在(0,)+∞上为增函数， 若()()()0f a f b f c <，则必有()()()0,0,0f a f b f c <>>或()()()0,0,0f a f b f c <<<，若函数存在零点0x ，则()0,x a c ∈，或()0,x a b ∈或()0,x c ∈+∞ 所以选项C 不正确 故选：C【点睛】此题考查函数的零点判断定理，注意分析函数的单调性，属于中档题.10.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a, b 的关系，即可求解.【详解】不妨设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为0bx ay -=，圆()2224x y ++=的圆心为(2,0)-，半径2r ，则圆心到渐近线的距离为2b d c==所以弦长2==，化简得：2243b c =， 即2224()3c a c -=， 解得2c a = 所以2ce a==.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题.11.已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1a =，3a b c ++=，且sin cos sin cos 2c A B a B C +=，则ABC 的面积为（ ）A. 4B.4 C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sinA 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积.【详解】sin cos sin cos 2c A B a B C a +=，sin sin cos sin sin cos C A B A B C A ∴+=sin 0A ≠sin Ccos sin cos B B C ∴+=即sin()sin B C A +==3A π∴=或23A π=， 若23A π=，则,a b a c >>，故2a b c >+，与1,2a b c =+=矛盾，3A π∴=由余弦定理得22222cos ()31a b c bc A b c bc =+-=+-=1bc =∴1133sin 12224S bc A ∴==⨯⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.12.2,0()ln(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A. 21[,)e +∞ B. 1[,)e+∞C. [1,)+∞D. 211[,)e e【答案】A 【解析】 【分析】对于[1x ∀∈-，)+∞，均有()1(1)f x a x -+，在坐标系中，画出函数()1y f x =-与(1)y a x =+的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果．【详解】解：2,0()(1),0x x f x ln x x ⎧=⎨+>⎩，对于[1x ∀∈-，)+∞，则21,10()1(1)1,0x x f x ln x x ⎧---=⎨+->⎩，在坐标系中，画出函数()1y f x =-与(1)y a x =+的图象，如图： 对于[1x ∀∈-，)+∞，均有()1(1)f x a x -+，就是函数(1)y a x =+的图象都在()1y f x =-图象的上方， 则(1)1y ln x =+-可得1(0)1y x x '=>+，设切点坐标(,)m n ， 可得111nm m =++，可得1n =，此时(1)11ln m +-=，解得21m e =-， 所以切线的斜率为：221111e e=-+．可得21ae ． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线斜率的求法，函数与方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．二、填空题13.若抛物线()220y px p =>的准线经过直线1y x =+与坐标轴的一个交点，则p =______.【答案】2 【解析】 【分析】首先得出抛物线的准线方程，然后即可分析出其经过直线1y x =+与坐标轴的交点，解出即可. 【详解】抛物线()220y px p =>的准线为2p x =-所以其经过直线1y x =+与坐标轴的交点为1,0所以12p-=-，即2p = 故答案为：2【点睛】本题考查的是由抛物线的方程得准线方程，较简单.14.已知二项式()1nx +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则()2111nx x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项为______. 【答案】16 【解析】 【详解】【分析】由已知求得n ，写出6(1)x +二项展开式的通项，由x 的指数为0或2求得r 值，则答案可得．【详解】(1)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，6n ∴=．6(1)x +展开式的通项为166()r r r rr T C x C x +==，∴令0r =，6(1)x +展开式的常数项为061C =；令2r ，6(1)x +展开式的2x 项为222615C x x =则21(1)(1)n x x++展开式中常数项为1111516⨯+⨯=． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查两个二项式的乘积的指定项，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15.关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =在区间5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题序号都填上） 【答案】②③ 【解析】 【分析】由三角函数解析式，结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解. 【详解】解：对于①，令()0f x =，即23x k ππ+=，则126x k ππ=-，则1212,22k k mx x m Z ππ--==∈，即12x x -必是2π的整数倍，即①错误； 对于②，令222232k x k πππππ-≤+≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭5,1212k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即()y f x =在区间5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，即②正确； 对于③，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-，当0k =时，6x π=-，即()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，即③正确；对于④，令232x k πππ+=+，解得212k x ππ=+，解2126k πππ+=-，k 无整数解，即④错误，综上可得正确的命题的序号是②③， 故答案为：②③.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了运算能力，属基础题.16.在几何体P ABC -中，PAB ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且2AB BC ==，AB BC ⊥，则P ABC -的外接球的表面积等于__________． 【答案】28π3【解析】由题意，取,AB PB 的中点E F ，，连接,AF PE ，且AF PE M ⋂=，则点M 为正三角形PAB 的中点，1333ME PE ==，易证PE ⊥平面ABC ，取AC 中点D ，连接ED ， 作OD ∥PE ，OM ∥ED ，连接OA ，则OA 为外接球的半径，又33OD ME ==，122AD AC ==，则22213OA OD AD =+=， 所以外接球的表面积为22128433S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，从而问题可得解.点睛：此题主要考查简单组合体的表面积的计算，以及三棱锥外接球半径的求问题，属于中高档题型，也是常考题型.在解决此类问题的过程中，常以三棱锥为基础，构造出长方体（或是正方体），则该长方体的体对角线即为此三棱锥的外接球的直径，再根据球的表面积公式进行运算即可.三、解答题17.某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如下的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[)120,150的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率. 【答案】（Ⅰ）118，128，见解析；（Ⅱ）5234. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据中位数的概念可得出中位数值，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可； （Ⅱ）由分层抽样的概念可得应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合结合相互独立事件同时发生的概率公式确定出概率即可. 【详解】（Ⅰ）根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：1221141182+=， 乙班抽出同学分数的中位数：1281281282+=. 乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平； 甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. （Ⅱ）根据茎叶图可知： 甲、乙两班数学成绩为优秀人数分别为10、14，其中140分以上的有2人，3人，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人.设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A ，则()2334283115710145234C C C C P A C C ⋅⋅=⋅=. 故，抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234.【点睛】本题主要考查由茎叶图求中位数，排列组合求概率，相互独立事件同时发生的概率，属于中档题.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记()211n n b a =+，设数列{}n b 的前n 项和为n T .求证：14n T <. 【答案】（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知242n n n S a a =+构造211142n n n S a a +++=+，两式相减化简可得.（Ⅱ）求出()221144121n b n n n ==+++，放缩()1111()4141n b n n n n <=-++利用裂项法求和可得.【详解】（Ⅰ）已知，242n n n S a a =+，①所以，211142n n n S a a +++=+，②②－①得，22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1120n n n n a a a a +++--=；因为10n n a a ++>，所以，12n n a a +-=.由211142S a a =+得，12a =，故{}n a 为等差数列，公差2d =.因此，()2122n a n n =-⨯=. （Ⅱ）因为，()()22111111()441414121n b n n n n n n n ==<=-+++++所以，11111111111(1)()()...()4242343441n T n n <-+-+-++-+ 111(1)414n =-<+. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项及用裂项法求和.已知n S 求n a 的三个步骤:(1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写．用裂项法求和的裂项原则及规律:(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．19.如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，90APB ∠=︒，M ，N 分别是CD ，PB 的中点.（1）求证：//CN 平面PAM ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角等于60︒，求二面角M AP C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（211133【解析】 【分析】（1）利用平行四边形判定法则，证明CN 平行ME ，然后结合直线与平面平行判定，即可．（2）建立直角坐标系，分别计算两平面的法向量，然后结合向量数量积，即可．【详解】（1）取线段AP 中点E ，连结EN ，EM ，因为E ，N 分别是PA 、PB 的中点，所以//EN AB 且12EN AB =， 正方形ABCD 中，M 是CD 的中点.所以//CM AB 且12CM AB =， 所以//CM EN 且CM EN =， 故四边形CNEM 为平行四边形， 从而//CN ME ，又因为CN ⊄平面PAM ，ME ⊂平面PAM ，所以//CN 平面PAM .（2）过P 作PO AB ⊥于O ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面ABCD ，又PA ⋂平面ABCD A =，从而AO 为直线PA 在平面ABCD 内的射影， 故PAO ∠为直线PA 与平面ABCD 所成角，所以60PAO ∠=︒.如图，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB ，OP 所在的直线 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则()0,1,0A -，(3P ，()4,1,0M ，()4,3,0C ，()4,2,0AM =，(3AP =，()4,4,0AC =.设()111,,m x y z =，()222,,n x y z =分别为平面APM 和APC 的法向量，则00m AM m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111142030x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令123y =得()3,23,2m =--，00n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222244030x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令23y =()3,3,1n =--， 11133cos ,719m n m n m n ⋅===⋅ 所以二面角M AP C --11133. 【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定和二面角计算方法，难度较大．20.已知ABC 的两个顶点坐标是(3,0)B -，(23,0)C ，ABC 的周长为843+O 是坐标原点，点M 满足2OA AM =-.（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于,P Q 两点，若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ △面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22104x y y +=≠；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】（Ⅰ）8AB AC BC +=>,点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.利用定义法求点A 轨迹方程，利用2OA AM =-求出点M 的轨迹E 的方程即可.（Ⅱ）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠与点M 的轨迹E 的方程联解，利用根与系数关系与直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列建立方程求出12k =±，再求出弦长PQ =.点O 到直线l的距离d ==运用三角形面积公式建立关于m 的表达式求出最值.【详解】（Ⅰ）已知8AB AC BC +=>，所以，点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）. 因为，28a =，c =，所以，4a =，2b =.所以，点A 的轨迹方程为()2210164x y y +=≠.设(),M x y ，()00,A x y .由2OA AM =-得，0022x x y y =⎧⎨=⎩，又22001164x y +=.故，点M 的轨迹E 的方程为()()22221164x y +=，即()22104x y y +=≠.（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()()()222222641614116410k m kmk m =-+-=-+>△，即22410k m -+>，且122814km x x k -+=+，()21224114m x x k-=+，故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.∵直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，∴()2221212121212k x x km x x my y k x x x x +++⋅==， 即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k =，即12k =±. 由0>，及直线,OP OQ 的斜率存在，得202m <<，∵12PQ x =-==，点O 到直线l 的距离d ==.112OPQ S PQ d =⋅==≤△，当21m =时取等号，此时直线l 的方程为112y x =±±，OPQ S 的最大值为1.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解. 21.已知函数()ln f x x x =，()212g x x =. （Ⅰ）求函数()f x 在[](),10t t t +>上的最值；（Ⅱ）若对0b a >>，总有()()()()[]m g b g a f b f a ->-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）①当101t t e<<+<时，满足条件的t 不存在； ②当101t t e <<<+即10t e <<时，()min 11()f x f e e ==-；③当11t t e ≤<+即1t e≥时，()()min ln f x f t t t ==（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）解出导函数方程的根，讨论根与给定区间关系，分类讨论函数单调区间，从而求出函数最值. （Ⅱ）对()()()()[]m g b g a f b f a ->-进行等价变换构造新函数()2ln 2m h x x x x =-，解决恒成立问题；分离参数ln 1x m x +≥，不等式恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数()ln 1x x xϕ+=，利用导数求()x ϕ最值可解.【详解】（Ⅰ）因为()ln 1f x x '=+；令()ln 10f x x '=+=得，1x e=. 当1(0,)x e∈时，0f x ，()f x 单调递减； 当1(,)x e∈+∞时，0f x，()f x 单调递增.①当101t t e <<+<时，满足条件的t 不存在； ②当101t t e <<<+即10t e <<时，()min 11()f x f e e ==-；③当11t t e ≤<+即1t e≥时，()()min ln f x f t t t ==.（Ⅱ）因为，()()()()[]m g b g a f b f a ->-等价于()()()()mg b f b mg a f a ->-，令()()()2ln 2m h x mg x f x x x x =-=-， 因为0b a >>，总有()()()()[]m g b g a f b f a ->-成立，所以，()h x 在0,上单调递增.问题化为()ln 10h x mx x '=--≥对()0,x ∈+∞恒成立.即ln 1x m x+≥对()0,x ∈+∞恒成立. 令()ln 1x x xϕ+=，则()2ln x x x ϕ-'=.由()2ln 0x x x ϕ-'==得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减，()()max 11x ϕϕ==，故m 的取值范围是：[)1,+∞.【点睛】本题考查利用函数的单调性求最值及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤: (1)求()f x '；(2)确定()f x '在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点、以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. （1）求线段AB 的中点P 的直角坐标；（2）设点M 是曲线C 上任意一点，求MAB △面积的最大值.【答案】（1）9,44P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭（2）4 【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，设A 、B 的参数分别为1t 、2t ，利用韦达定理求出线段AB 中点P 对应的参数，代入直线l 的参数方程可求得点P 的直角坐标；（2）利用弦长公式求得AB ，求出圆心到直线l 的距离，由此可求得圆C 上的点M 到直线l 距离的最大值，利用三角形的面积公式可求得MAB △面积的最大值.【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程可化为24cos ρρθ=，化为直角坐标方程得()2224x y -+=， 将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：2213242t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得230t -=， 设A 、B 的参数分别为1t 、2t，由韦达定理得：12t t +=，于是1222P t t t +==-. 设()00,P x y，则0093412x y ⎧⎛==⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯= ⎪ ⎝⎭⎩，故点P的直角坐标为9,44P ⎛- ⎝⎭； （2）由（1）知：12t t +=，123t t ⋅=-， 所以，12AB t t =-==，又直线l 的普通方程为30x --=，圆心()2,0C 到直线l 的距离为12d ==，圆的半径2r .所以，点M 到直线l 的距离的最大值为max 52h d r =+=. 因此，MAB △面积的最大值为：max 15224S AB h =⋅==. 【点睛】本题弦的中点坐标的求解，同时也考查了三角形面积最值的求解，涉及直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23.已知不等式21211x x m ++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a 、b 、c 满足a b c M ++=，求证：13222a b b c+≥++【答案】（1）[]3,1-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出2121x x ++-的最小值，由此可得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（2）由题意可得1a b c ++=，可得出()()222a b b c +++=，可得出()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，利用基本不等式可证得结论. 【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()212121212x x x x ++-≥+--=，所以，12m +≤，解得31m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]3,1-；（2）因为，1M =，所以，1a b c ++=，()()222a b b c ∴+++=， 所以，()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()321214422222a b b c b c a b ⎡+⎡⎤+=++≥⨯+=+⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣. 即13222a b b c+≥+++【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
河北省衡水市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
河北省衡水市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(1)x f x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f(a)<f(b) <f(c)B ．f(b) <f(c) <f(a)C ．f(a) <f(c) <f(b)D ．f(c) <f(b) <f(a)【答案】C【解析】【分析】 利用导数求得()f x 在(),a +∞上递增，结合y c =与22,log ,x y y x y x ===图象，判断出,,a b c 的大小关系，由此比较出()()(),,f a f b f c 的大小关系.【详解】因为()()e x f x x a ¢=-，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增； 在同一坐标系中作y c =与22,log ,x y y x y x ===图象，22log a b c ==Q ，可得a c b <<，故()()()f a f c f b <<.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.2．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】 双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故. 故选：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12 【答案】D【解析】【分析】 分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()2222212404y k x k x k x k y x =-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+，因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k =+， 所以41612λ=-=-故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
河北省衡水中学高三下学期三调考试数学(理)试题
河北衡水中学2021~2021学年度 高三下学期数学第三次调研〔理科〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 复数z 满足iiiz 2134++=，那么复数z 在复平面内对应的点在〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 集合}0)12(log |{3≤-=x x A ，}23|{2x x y x B -==，全集R U =，那么)(B C A U 等于〔 〕A ．]1,21( B ．)32,0( C ．]1,32( D ．)32,21(),2(ππα∈,且)4sin(2cos 3απα-=，那么α2sin 的值为〔 〕A ．181-B ．181C ．1817-D ．18174. 2)(,12)(xx g x x f x=-=，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．)()()(x g x f x h +=是偶函数 B ．)()()(x g x f x h +=是奇函数 C. )()()(x g x f x h =是奇函数 D ．)()()(x g x f x h =是偶函数E ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率是2，直线AC 的斜率为k ，那么||k 等于〔 〕 A ．2 B ．23 C. 25D ．3 ABC ∆中，NC AN 41=，P 是直线BN 上的一点，假设AC AB m AP 52+=，那么实数m 的值为〔 〕A ．4-B ．1- C. 1 D ．4)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的象与直线)0(A a a y <<=的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，那么)(x f 的单调递减区间是〔 〕A ．)](36,6[Z k k k ∈+ππB ．)](6,36[Z k k k ∈-ππ C. )](36,6[Z k k k ∈+ D ．)](6,36[Z k k k ∈-8. 某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入〔单位：万元〕，分别记为1a ，2a ，…，10a 〔如：3a 表示5月3号的门票收入〕，下表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框输出的结果为〔 〕A ．3B ．4 C. 5 D ．69.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是〔 〕A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C. 甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 10.如，正方体''''DC B A ABCD -的外接球的体积为π23，将正方体割去局部后，剩余几何体的三视如下，那么剩余几何体的外表积为〔 〕A ．2329+B ．33+或2329+ C. 32+ D ．2329+或32+11.如，抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过点)1,0(-A 作直线l 与抛物线相交于Q P ,两点，点B 的坐标为)1,0(，连接BQ BP ,，设BP QB ,与x 轴分别相交与N M ,QB 的斜率与PB 的斜率之积为3-，那么MBN ∠的大小等于〔 〕A ．2π B ．4π C. 32π D ．3πR b a ∈,，且b x a e x +-≥)1(对R x ∈恒成立，那么ab 的最大值是〔 〕A ．321e B ．322e C. 323e D ．3e 第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕92017)11(xx +-的展开式中，含3x 项的系数为 ．14. 在公元前3世纪，古希腊欧几里得在?几何本来?里提出：“球的体积〔V 〕与它的直径〔D 〕的立方成正比〞，此即3kD V =，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不理解，他们将体积公式3kD V =中的常数k 称为“立圆率〞或“玉积率〞.类似地，对于等边圆柱〔轴截面是正方形的圆柱〕、正方体也可利用公式3kD V =求体积〔在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长〕.假设运用此体积公式求得球〔直径为a 〕、等边圆柱〔底面圆的直径为a 〕、正方体〔棱长为a 〕的“玉积率〞分别为1k ，2k ，3k ，那么=321::k k k ．⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤≥1330,kx y x y y x ，确定的可行域D 能被半径为22的圆面完全覆盖，那么实数k 的取值范围是 ． 16.如，O 为ABC ∆的重心，90=∠BOC ，假设AC AB BC ⋅=24，那么A 的大小为 ．三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 数列}{n a 的前n 项和为n S ，01≠a ，常数0>λ，且n n S S a a +=11λ对一切正整数n 都成立. 〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕设100,01=>λa ，当n 为何值时，数列}1{lgna 的前n 项和最大？ 18.某同学在研究性学习中，搜集到某制药厂今年前5个月甲胶囊消费产量〔单位：万盒〕的数据如下表所示：x 〔月份〕 1 2 3 4 5y 〔万盒〕 4 4 5 6 6〔1〕该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=，根据表中数据已经正确计算出6.0ˆ=b ，试求出a 的值，并估计该厂6月份消费的甲胶囊产量数；X ，求X 的分布列和数学期望.ABCDEF 如下，其中ABCD 为矩形，DAE ∆为等腰等腰三角形，AE DA ⊥，四边形AEFB 为梯形，且BF AE //， 90=∠ABF ，22===AE BF AB .〔1〕假设G 为线段DF 的中点，求证：//EG 平面ABCD ；〔2〕线段DF 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于521？假设存在，请指出点N 的位置；假设不存在，请说明理由.20.如，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 左、右顶点为A 、B ，左、右焦点为1F 、2F ，4||=AB ，32||21=F F .直线m kx y +=〔0>k 〕交椭圆E 于点D C ,两点，与线段21F F 、椭圆短轴分别交于N M ,两点〔N M ,不重合〕，且||||DN CM =.〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕设直线AD ，BC 的斜率分别为21,k k ，求21k k 的取值范围. ax xbxx f -=ln )(，e 为自然对数的底数. 〔1〕假设函数)(x f 的象在点))(,(22e f e 处的切线方程为0432=-+e y x ，务实数b a ,的值；〔2〕当1=b 时，假设存在],[,221e e x x ∈，使a x f x f +≤)(')(21成立，务实数a 的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，斜率为1的直线l 过定点)4,2(--.以O 为极点，x C 的极坐标方程为0cos 4sin 2=-θθρ.〔1〕求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；〔2〕两曲线相交于N M ,两点，假设)4,2(--P ，求||||PN PM +的值. 23.选修4-5：不等式选讲函数|23||12|)(-++=x x x f ，且不等式5)(≤x f 的解集为}5354|{bx a x ≤≤-，R b a ∈,. 〔1〕求b a ,的值；〔2〕对任意实数x ，都有53||||2+-≥++-m m b x a x 成立，务实数m 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10: BDAAB 11、12：DA二、填空题13. 84- 14.1:4:6ππ 15.]31,(-∞ 16.3π三、解答题17.解：〔1〕令1=n ，得0)2(,22111121=-==a a a S a λλ，因为01≠a ，所以λ21=a ，当2≥n 时，n n S a +=λ22，1122--+=n n S a λ，两式相减得)2(221≥=--n a a a n n n ，所以)2(21≥=-n a a n n ，从而数列}{n a 为等比数列， 所以λnn n a a 2211=⋅=-.〔2〕当01>a ，100=λ时，由〔1〕知，2lg 22lg 100lg 1002lg 1lg ,1002n a b a n nn n n n -=-====，所以数列}{n b 是单调递减的等差数列，公差为2lg -，所以01lg 64100lg 2100lg6621=>==>>>b b b当7≥n 时，01lg 2100lg 77=<=≤b b n ，所以数列}1{lg na 的前6项和最大. 18.解：〔1〕3)54321(51=++++=x ，5)66544(51=++++=y ，因线性回归方程a x b yˆˆˆ+=过点),(y x ，∴2.366.05ˆ=⨯-=-=x b y a∴6月份的消费胶囊的产量数：8.62.366.0ˆ=+⨯=y. 〔2〕3,2,1,0=X ，4254810)0(3935====C C X P ，21108440)1(392514====C C C X P ，1458430)2(391524====C C C X P ，211844)3(3934====C C X P ，其分布列为 X 0 1 2 3P425 2110 145 211 ∴3432112145121100425)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 19.〔1〕因为AE DA ⊥，AB DA ⊥，A AE AB = ，故⊥DA 平面ABFE ，故⊥CB 平面ABFE ，以B 为原点，BC BF BA ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如下的空间直角坐标系，那么)0,2,0(F ，)1,0,2(D ，)21,1,1(G ，)0,1,2(E ，)1,0,0(C ，所以)21,0,1(-=EG ，易知平面ABCD的一个法向量)0,1,0(=n ，所以0)0,1,0()21,0,1(=⋅-=⋅n EG ，所以n EG ⊥，又⊄EG 平面ABCD ，所以//EG 平面ABCD .〔2〕当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于521.理由如下： 直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为521，即直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值为52，因为)0,0,2(),1,2,2(=-=CD FD ，设平面FCD 的法向量为),,(1111z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011CD n FD n ，得⎩⎨⎧==+-020221111x z y x ，获得11=y 平面FCD 的一个法向量)2,1,0(1=n假设线段FD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值等于52，设)10(≤≤=λλFD FN ，那么),2,2()1,2,2(λλλλ-=-=FN ，),22,2(λλλ-=+=FN BF BN ， 所以5248952)22()2(52||||||,cos sin 2222111=+-⋅=+-+⋅=⋅>=<=λλλλλαn BN n BN n BN ，所以01892=--λλ，解得1=λ或91-=λ〔舍去〕 因此，线段DF 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为521. 20.解：〔1〕因为322,42==c a ，所以1222=-=c a b ，所以椭圆的方程为1422=+y x . 〔2〕将直线m kx y +=代入椭圆1422=+y x ，得0448)41(222=-+++m mkx x k . 设),(),,(2211y x C y x D ，那么22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+， 又),0(),0,(m N k m M -，由||||DN CM =得N M x x x x +=+21，即kmk km -=+-2418，因为0,0>≠k m ，得21=k ，此时22,222121-=⋅-=+m x x m x x ， 因为直线l 与线段21F F 、椭圆短轴分别交于不同两点， 所以323≤-≤-m 且0≠m ，即2323≤≤-m 且0≠m . 因为2,2222111-=+=x y k x y k ，所以)2()2(122121+-=x y x y k k ，两边平方得212121211212212222212122222221)(24)(24)2)(2()2)(2()2)(41()2)(41()2()2()(1x x x x x x x x x x x x x x x x x y x y k k +++++-=++--=----=+-= 2222)1()1(22)2(2422)2(24-+=-+-+-+--=m m m m m m ，所以1211121---=-+=m m m k k ，又因为12121---=m k k 在]23,0(),0,23[-上单调递增，所以34723123111231231347+=-+≤-+≤+-=-mm ，且111≠-+m m ，即34734721+≤≤-k k ，且121≠k k，所以]347,1()1,347[21+-∈ k k . 21.解：〔1〕由得1,0≠>x x ，a x x b x f --=2)(ln )1(ln )('，那么22)(2222e ae be e f -=-=，且434)('2-=-=a b e f ，解之得1,1==b a . 〔2〕当1=b 时，a x x x f --=2)(ln 1ln )('，又a x a x x a x x x f -+--=-+-=--=41)21ln 1(ln 1)ln 1()(ln 1ln )('222+故当21ln 1=x 即2e x =时，a x f -=41)('max . “存在],[,221e e x x ∈，使a x f x f +≤)(')(21成立〞等价于“当],[2e e x ∈时，有a x f x f +≤max min )(')(〞又当],[2e e x ∈时，a x f -=41)('max ，∴41)('max =+a x f ， 问题等价于“当],[2e e x ∈时，有41)(min ≤x f 〞.①当41≥a 时，)(x f 在],[2e e 上为减函数，那么412)()(22min ≤-==ax e e f x f ，故24121e a -≥； ②当41<a 时，a x x f -+--=41)21ln 1()('2在],[2e e 上的值域为]41,[a a --， 〔i 〕当0≥-a ，即0≤a 时，0)('≥x f 在],[2e e 上恒成立，故)(x f 在],[2e e 上为增函数，于是41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，不合题意； 〔ii 〕当0<-a ，即410<<a 时，由)('x f 的单调性和值域知，存在唯一∈0x ),(2e e ，使0)('=xf ，且满足当∈0x ),(0x e 时，0)('<x f ，)(x f 为减函数；当∈0x ),(20e x 时，0)('>x f ，)(x f 为增函数.所以),(,41ln )()(200000min e e x ax x x x f x f ∈≤-==，所以412141ln 141ln 22000-<->-≥e e x x x a ，与410<<a 矛盾. 综上，得a 的最小值为24121e-. 22.解：〔1〕由0cos 4sin 2=-θθρ得0cos 4sin 22=-θρθρ，所以曲线C 的直角坐标方程为042=-x y ，即x y 42=，所以直线l 的参数方程为是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222〔t 为参数〕.〔2〕将直线l 的参数方程代入x y 42=中，得到0482122=+-t t ，设N M ,对应的参数分别为21,t t ，那么21221=+t t ，04821>=t t ，故212||||||||2121=+=+=+t t t t PN PM .23.解：〔1〕假设21-≤x ，原不等式可化为52312≤+---x x ，解得54-≥x ，即2154-≤≤-x ； 假设3221<<-x ，原不等式可化为52312≤+-+x x ，解得2-≥x ，即3221<<-x ；假设32≥x ，原不等式可化为52312≤-++x x ，解得56≤x ，即5632≤≤x ；综上所述，不等式5|23||12|≤-++x x 的解集为]56,54[-，所以2,1==b a .〔2〕由〔1〕知2,1==b a ，所以3|21||2||1|||||=---≥++-=++-x x x x b x a x ， 故3532≤+-m m ，0232≤+-m m ，所以21≤≤m ，即实数m 的最大值为2.。
河北省衡水市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题2．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 【答案】A【解析】 【分析】根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.【详解】 由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A 【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+【答案】A 【解析】 【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
河北省廊坊市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
河北省廊坊市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 2．设实数满足条件则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.3．已知集合{}|0A x x =<，{}2|120B x x mx =+-=，若{}2A B =-I ，则m =（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－8【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，{}2A B =-I ，可知2B -∈，代入计算即可求出m .由{}2A B =-I ，可知2B -∈， 又因为{}2|120B x x mx =+-=， 所以2x =-时，2(2)2120m ---=， 解得4m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的概念，属于基础题.4．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解之即可. 【详解】解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2ea e =-， 故选：D.本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到221(2)(1)1a e e e e---=-是关键，考查运算能力，属于中档题．5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直” 则(1)2(2)0a a a ++⨯-=，解得0a =或3a =，所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 8．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断：①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④ B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明. 【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f-=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题. 9．已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A ．94B ．5C ．54+ D ．9【答案】A 【解析】 【分析】 利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 10．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ）A B ．4C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模． 【详解】()()()212112111i i iz i i i i -=+=+=+++-Q ，2,z i z ∴=-∴= 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则||OP θ==23cos 212sin 5θθ∴=-=-.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.12．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B ．C ．73D 【答案】D 【解析】 【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=3e ∴==. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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河北省衡水市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 3．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-【答案】C 【解析】 【分析】 由图象可知213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .【详解】 依题意，213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-, 解得12m =-；因为()13112cos sin 2cos cos 6222f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21313sin cos cos 2cos 2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.4．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.5．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3πB ．23π C ．πD ．43π 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求. 【详解】 如图所示：设内切球球心为O ，O 到平面ACM 的距离为d ，截面圆的半径为r ， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1， 又因为O AMC M AOC V V --=，所以123AMC AOC d S S ⨯⨯=V V ， 又因为()()221122526,221222AMCAOC S S =⨯-==⨯=V V所以12633d ⨯=，所以63d =，所以截面圆的半径3r==，所以截面圆的面积为23Sππ=⋅=⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.7．已知直线x y t+=与圆()2222x y t t t R+=-∈有公共点，则()4t t-的最大值为（）A．4 B．289C．329D．327【答案】C【解析】【分析】根据()2222x y t t t R+=-∈表示圆和直线x y t+=与圆()2222x y t t t R+=-∈有公共点，得到43t≤≤，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为()2222x y t t t R+=-∈表示圆，所以220->t t，解得02t<<，因为直线x y t+=与圆()2222x y t t t R+=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r≤，即≤解得43t≤≤，此时43t≤≤，因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()4t t-的最大值34329⎛⎫=⎪⎝⎭f.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B I 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2 B ．(]2,4 C ．[)4,+∞ D ．(),0-∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意知{}02A ⊆，且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 【详解】由题意知，{}=02A B I ，，则{}02A ⊆，，故2a >， 又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤， 所以本题答案为B. 【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B I 中的元素是解题的关键，属于基础题.9．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．228(0,][,]939UB ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99UD ．(0,1]【答案】A 【解析】 【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k=0时，解2839ω≤≤， 当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939U .故答案为：A. 【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.10．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） AB ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】 【分析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =， 所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>Q2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos 2B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭ sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题. 11．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.12．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】 【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个， 具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=， 但合并计算时会有重复，重复数量为224+=， 事件的样本点数为：444228++--=个． 故不同的样本点数为8个，81324=. 故选：A 【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。