大学物理习题2

《普通物理》作业：动量与角动量 No.2
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一. 选择题
[ ] 1. A. B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示，若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动能之比E KA ／E KB 为 (A)
21。

(B) 2。

(C) 2。

(D) 2/2。

解：以m A . m B 及弹簧为研究对象，系统所受合外力为零，动量守恒 0=+B B A A v m v m
分量式为0=-B B A A v m v m
∴ 2==A
B B A m m v v ∴ 22212
1212222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==B A B A B B A A KB KA
v v m m v m v m E E ∴选B
[ ] 2. 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍，开始时粒子A 的速度为)43(j i +，粒子B
的速度为)72(j i -，由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为)47(j i -，此时粒子B 的速度等于
(A) j i 5-。

(B)j i 72-。

(C) 0。

(D)j i 35-。

解：以两个粒子为研究对象，无外力作用，动量守恒，即：
B B A B A v m j i m j i m j i m +-=-++)47()72()43(
∴ B A
B A B v m m j i j i m m j i +-=-++47)72(43 将4=A
B m m 代入，得j i v B 5-=，选A 。

[ ] 3. 如图所示，砂子从h ＝0.8m 高处落到以3m ／s 的速率水平向右运动的传送带上，取重力加速度g ＝10m ／s 2，传送带给予砂子的作用力的方向为
(A) 与水平夹角 53向下。

(B) 与水平夹角 53向上。

(C) 与水平夹角 37向下。

(D) 与水平夹角 37向下。

解：设单位时间内落到传送带上砂子的质量为ρ，以t ～t ＋dt 时间内落下的砂子d m 为研究对象，视为质点，d m ＝ρd t 。

根据质点的动量定理，在d m 落到传送带上到与传送带一
起运动的过程中
0d d d d v m v m t F I ⋅-⋅== 式中
)
s (m 48.010223101--⋅=⨯⨯==⋅=gh v s m v ， )(0v v F -=ρ
由矢量图可见，F 与水平方向夹角为
533
4101===--tg v v tg α ∴选B 。

[ ] 4. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，
当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为
(A) 2mv
(B)
22)/()2(v R mg mv π+ (C) v Rmg
π
(D) 0
解：重力为一恒力，根据冲量的定义，重力在12t t t -=∆时间内的冲量为
t g m dt P I t t ∆==⎰ 21
摆球以速率v 在轨道上运动半周，所需时间为 v
R
t π=∆ 所以，在这段时间内，重力冲量的大小为 v
R mg t mg I π=∆= 选C 。

[ ] 5. 一质点作匀速率圆周运动时
(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变。

(B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。

(C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。

(D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。

解：∵动量是矢量，质点作匀速率圆周运动时，速度方向不断变化
∴动量在不断变化 又∵角动量为v m r ⨯，由叉乘定义可知，角动量的大小. 方向均不变
∴选C 。

[ ] 6. 已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 (A)GMR m (B)R GMm (C)R G Mm (D)R
GMm 2 解：设地球绕日运动的速率为v ，由万有引力定律及牛顿运动定律
R
v m R mM
G 22= 可得
R
Gm v =，GMR m mvR = 选A 。

二. 计算题
1. 矿砂从传送带A 落到另一传送带B （如图），其速度的大小v 1＝4m/s ，速度方向与竖直方向成30º角，而传送带B 与水平成 15角，其速度的大小v 2＝2 m/s 。

如果传送带的运送量恒定，设为q m ＝2000kg/h ，求矿砂作用在传送带B 上的力的大小和方向。

解：设在某极短的时间∆t 内落在传送带B 上矿砂的质量为∆m ，即∆m ＝q m ∆t ，这时矿砂动量的增量为
12)(v m v m v m ∆-∆=∆∆ 1212221s m kg 98.3 75cos 2)(-⋅⋅∆=-+∆=∆∆t q v v v v m v m m
设传送带作用在矿砂上的力为F ，根据动量定理
)()()(2v m t F t g q t F t mg F m ∆∆=∆≈∆+∆=∆∆+
于是 N 21.298.3/)(==∆∆∆≈m q t v m F
方向：
θsin )
(2
v m t v m ∆=∆∆∆，θ＝29︒ 由牛顿第三定律，矿砂作用在传送带B 上的（撞击）力与F 大小相等方向相反，即等
于2.21N ，偏离竖直方向 1，指向前下方。

2. 如图所示，质量为M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m 的小球水平向右飞行，以速度1v （对地）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为v 2（对地），若碰撞时间为∆t ，试计算此过程中滑块对地的平均作用力和
滑块速度增量的大小。

解：(1) 小球m 在与M 碰撞过程中给M
的竖直方向冲
力在数值上应等于M 对小球的竖直冲力，而此冲力应等于小球在竖直方向的动量变化率即：
t
mv f ∆=2 由牛顿第三定律，小球以此力作用于M ，其方向向下。

对M ，由牛顿第二定律，在竖直方向上
N ―Mg ―f ＝0
N ＝Mg ＋f
又由牛顿第三定律，M 给地面的平均作用力也为
Mg t
mv Mg f F +∆=+=2 方向竖直向下。

(2) 同理，M 受到小球的水平方向冲力大小应为t
mv f ∆='1，方向与m 原运动方向一致。

根据牛顿第二定律，对M 有
t
v M
f ∆∆=' 利用上式的f '，即可得M mv v /1=∆。

3. 求半圆形均匀薄板的质心。

解：如图所示，设薄板半径为R ，质量为m ，面密度
)/(22R m A πρ=。

由质量分布的对称性可得板的质心在x 轴上，
而
πρ34R 21 0 22=-==⎰⎰dx x R x m m
xdm x R A c
4．空气对自由落体的阻力决定于许多因素，一个有用的近似假设是，空气阻力f 的大小与落体的速度ν成正比而方向相反，即νk f -=，其中k 为大于零的常数，其数值与速度无关，而由其它因素确定。

就物体在空气中由静止开始的自由下落考虑，并将Y 轴的正方向取为竖直向下。

试求物体运动的收尾速度（即物体不再加速时的速度）
解：物体在下落过程中除受重力外，还受空气阻力。

因此，其y 方向的合力为kv mg -。

根据牛顿运动定律，有
ma dt dv m kv mg ==- （1）
物体下落的加速度
m kv
mg a -=
（2） 当收尾时，即物体不再加速时：0=a ，由式（2）得 k mg v r = （3） （2）将式（3）代入式（1）后分离变量，得 dt m k v v dv r
=- 故
⎰⎰=-v t r dt m k v v dv 00
积分，有
t m k v v v r r -=-ln
得 )1(t m k r e v v --=。