杆件的轴向拉伸和压缩

F
F
16
第三节 轴向拉（压）杆横截面上的应力 注意：
◦ 应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将 它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量
与截面垂直的应力分量称为正应力 （或法向应力），用
表示；
与截面相切的应力分量称为剪应力 （或切向应力），用
表示。
17
第三节 轴向拉（压）杆横截面上的应力
14
2F
例题
F y 350 n n
F
G Ay
50
Ny
F Ay N y 0
Ny F Ay 50 2.46 y
58.6
15
第三节 轴向拉（压）杆横截面上的应力

定义：内力在一点处的集度称为应力
◦ 应力与杆件的截面尺寸及截面上的内力有关

引用应力的原因：
◦ 解决材料的强度问题；
21
（2）、计算机各段的正应力
AB段： BC段： BC CD段： CD DE段： DE
AB
F1 50 10 3 MPa 125MPa A1 400
F2 30 10 3 MPa 100MPa A2 300
F3 10 10 3 MPa 33.3MPa A2 300
23
第四节 拉（压）杆变形 虎克定律
◦ 英国科学家胡克（Robet Hooke，1635~1703）于 1678年首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的
FN l l EA
l FN 1 l A E
E
◦ 试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一极 限值，则正应力和正应变成线性正比关系
FN A
Байду номын сангаас

注意：只有外力合力沿杆的轴线方向才能使用
19
第三节 轴向拉（压）杆横截面上的应力
20
例：一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为
A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
材料强度（拉压）110MPa。试求各横截面上的应力。 解： 计算轴力画轴力图 利用截面法可求 得阶梯杆各段的 轴力为F1=50kN, F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。 轴力图。
x
0, F2 F1 FRA 0
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN BD段： FNBD=F2=10kN
27
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。 (4)、计算各段应力 AB段：
AB
N1 F1 10kN
N1 N2 F2 N3
25

X 0
BC段
X 0
N 2 F2 F1
F4
CD段
N 2 F1 F2 10 20 10kN X 0
N3 F4 25kN
N kN

10 10
x
2、绘制轴力图。
13
例题
F
F 2F 2F
34
三类强度问题： 3. 计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用 材料的许用应力，计算杆件所能承受的许可轴 力，再根据此轴力计算许用载荷，表达式为：

FN,max A

在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在 工程中仍然是允许的
35

已知：一个三角架，AB杆由两根80×80×7等边 角钢组成，横截面积为A1，长度为2 m，AC杆由 两根10号槽刚组成，横截面积为A2，钢材为3号 钢，容许应力 [ ] 120MPa 。求：许用载荷？
36
解：
（1）、对A节点受力分析：
Fy 0
FNAB sin 30 FP 0
Fx 0 FNAB cos30 FNAC 0
FP FNAB 2 FP sin 30 FNAC FNAB cos30 1.732FP
（2）、计算许可轴力
查型钢表：A1
[F ]
整个杆件伸长0.015mm。
29

低碳钢拉伸时的力学性能
◦ 低碳钢为典型的塑性材料； ◦ 具有明显的应力应变曲线；
30


工作应力； 塑性材料，当工作应力达到屈服极限时，构件已 发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为 失效，因此把屈服极限作为塑性材料极限应力； 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂 是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材 料的极限应力
28
（6）计算杆件的总变形
l l AB lBC LCD FNAB l AB FNBD lBC FNBD lCD EAAC EAAC EACD
1 20 103 100 ( 3 200 10 500 10 103 100 10 103 100 ) =0.015mm 500 200
11
2、轴力图
轴力与截面位置关系的图线称为轴力图.
9KN
F A B 3F 2F C
3KN 2KN
4KN
F
2F
4KN 2KN
5KN
12
例题
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
F1 F1 F1
F3
3
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 F4 出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。 AB段
24
第四节 拉（压）杆变形 横向变形
◦ 杆件横向尺寸的变化； ◦ 横向绝对变化：
◦ 横向相对变化：
d d d1
/
◦ 泊松(Poisson)比：
d / d
/
/
泊松 1781—1840）法国数学家。1798年入巴黎综合工 科学校深造，师从拉普拉斯、拉格朗日。1800年毕业后 留校任教，1802年任副教授,1806年接替傅里叶任该校 教授。1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎理 学院力学教授。1812年当选为巴黎科学院院士。
该公式即为-强度条件
33
三类强度问题： 1. 强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用 应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强 度条件，以判别构件能否安全工作。 2. 设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料 的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和 尺寸，表达式为：

A
FN ,max

F4 20 10 3 MPa 100MPa A3 200
22
第四节 拉（压）杆变形 轴力作用下的变形：
◦ 纵向变形 ◦ 横向变形

纵向变形： 长为 l 的等直杆，在轴向力作用下，伸长了
l l1 l
线应变（Longitudinal strain ）为：
l l
3



概念 内力、截面法 轴向拉（压）杆截面上的应力 拉（压）杆的变形
4
5

轴向受力特点及变形特点：
◦ 杆件是直杆 ◦ 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线 重合 ◦ 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短
拉伸
F F F
压缩
F
6

什么是内力：
◦ 前提：有外力作用其上，导致发生变形； ◦ 结果：内部相对位置的变化，产生附加内力；
应力的单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa” 1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1GPa=109Pa 1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm2
18
第三节 轴向拉（压）杆横截面上的应力 二、横截面上的应力


平面假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面 (cross-section )仍保持为平面，两平面相对的位 移了一段距离。 轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分布
FNAB 20 103 40MPa AAC 500
FNBD 10 103 20MPa AAC 500
BC段： BC CD段： CD
FNBD 10 103 50MPa ACD 200
(5)、计算杆件内最大应力
max
10 103 50MPa 200

31


把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值 称为许用应力( ) 大于1的因数n 称为安全因数； 许用拉应力( t ) 许用压应力( c )

32

为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力必 须小于许用应力；
max

FN A max
支座简化
无多余约束 几何不变体
判定规则
二力平衡 力的可传递 三力汇交 力偶 力的平移
系统平衡
静定结构 主矢=0 主矩=0
力系平衡
求解支座反力
受力简图
注意：静力学中所研究的对象是刚体



把结构从基础上剥离； 获得结构受到的所有力； 进一步分析结构内在的力学特征 为进行结构构件设计提供依据
2
第四章
通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。
8
20KN 20KN
1
40KN
2
1
2 40KN
20KN
20KN
9
1
F
2
F
3
1
2
3
10KN 10KN
1 6KN 1
2
3 6KN
2
3
10
三、轴力图：


定义：用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂 直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此 表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力 图。 轴力与截面位置关系的图线

内力与外力关系：
◦ 外力越大，变形越大，内力越大； ◦ 材料具有内力限值。

疑问：
◦ 相同外力，材料变形不一样，内力是否一样？ ◦ 相同外力，材料相同，截面不同，内力是否一样？
7
二、截面法：
◦ 内部某一部分与相邻部分间的相互作用的内力 ◦ 关键思路：平衡 ◦ 方法：截、代、平
Fx 0
FN F
10.86cm 2 2 21.7cm 2 A2 12.74cm 2 2 25.48cm 2
37
由强度计算公式：
[ FP ] A[ ]
max
2 2
FN ,max A

FNAB 21.7 10 mm 120MPa 260kN 2 2 FNAC 25.48 10 mm 120MPa 306kN
25
第四节 拉（压）杆变形
例： F1=30kN，F2 =10kN , AC段的横截面面积
AAC=500mm2,CD段的横截面面积 ACD=200mm2，弹性模量E=200GPa。 试求：
（1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。
26
解：(1)、计算支反力
F
FP1
FP 2
FNAB 260 130kN 2 2
FNAC 1.732 306 176.5kN 1.732
（3）、计算许可载荷：
FP min FP!, FP 2
130kN
38