3.1 统计量 3.2 统计推断的常用分布

2 χ 2 = x1 + x 2 + ... + x n 2 2
服从χ ( n)分布 , 并记为 χ ～ χ 2 (n)
2
2
表示相互独立的标准正态变量的个数）。 （其中n 称为自由度 表示相互独立的标准正态变量的个数）。 其中 称为自由度,表示相互独立的标准正态变量的个数
对于服从 χ 2 ( n)分布的 χ 2 , 其均值和方差分别为 :
若总体 X 的均值 µ和方差 σ 2 有限 , 则当样本容量 n 充分大时 , 不管总体服从什么分布 , 其样本均值 x 近似服从均值是 µ、 方差为
σ2
n
的正态分布 ， 即
1 n σ2 x = ∑ xi ～ N ( µ , ) n i =1 n
在实际实用时,当总体分布未知时 对大样本情 在实际实用时 当总体分布未知时,对大样本情 当总体分布未知时 就可用中心极限定理. 形(n≥30),就可用中心极限定理 就可用中心极限定理
三、 t 统计量与 t 分布
定理3.4 定理
设 x1 , x2 ,..., xn是来自正态总体 N ( µ , σ 2 )的样本, x 与 s 2 分别是样本均值与样本方差, 则
x −µ ～t(n-1) s/ n
我们将所服从的t(n-1)分布称为自由度是 分布称为自由度是(n-1)的t分 我们将所服从的 分布称为自由度是 的分 布或学生分布,并记服从 分布的随机变量为 布或学生分布 并记服从t分布的随机变量为 。 并记服从 分布的随机变量为T。
(
)
= 0.9207
课堂练习：(2) (3) 课堂练习： (2) 0.0793 (3) 0.2557
二、样本方差的分布与 χ
定理3.3 定理
2
分布
设 x 1 , x 2 ,..., x n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 )的样本 , 则对于其样本方差 s 2 , 有
( n − 1) s
2
σ2
～χ
2
(n −1)
2 我们将服从的分布 χ2 (n −1) 称为自由度是(n-1)的 χ 称为自由度是 的 2 (卡方 分布 并记服从 χ 2 (卡方 的随机变量为 χ . 卡方)分布 卡方)的随机变量为 卡方 分布,并记服从 卡方
定义： 定义：
设随机变量 x1 , x 2 ,..., x n 相互独立 , 且都服从标准正态 分布N (0,1), 则称
E( χ 2 ) = n, D( χ 2 ) = 2n
.χ2—分布的密度函数 分布的密度函数 分布的密度函数f(y)曲线 曲线
分位点 ： 设X ~ χ2(n)，若对于α：0<α<1， α α ， 存在χα (n) > 0 满足
2
P{χ ≥ χα (n)} = α , 或 ∫
2 2
2
+∞
2
为 χ 2 (n) 分布的上侧α分位数。 分布的上侧α分位数。 则称 χα (n)
lim f ( t ) = ϕ( t ) = 1 e n→ ∞ 2π
−t 2
2
, −∞ < x < ∞
3.分位点 3.分位点 设T～t(n) T t(n)，若对 α:0<α<1,存在tα(n)>0 :0<α<1, t (n)>0， 满足P{T≥tα(n)}=α， P{T≥ (n)}=α P{T 则称tα(n) t (n)为 t(n)的上侧分位点 t(n)
2 λ = χ 0.025 (21) 解（1）由分位数的定义可知， ）由分位数的定义可知， 查表P173可得 : λ = 35.479
χ 2 (21) < λ = 0.025,即P χ 2 (21) ≥ λ = 0.975 (2) P
∴ 查表P173 ,可得λ = 10.283
10药 2班 第5周 星期二 3,4节 10药学英语1&2班
第三章
一、统计量
参数估计
二、统计推断的常用分布 三、参数的点估计 四、参数的区间估计
§3.1
一、总体与样本
统计量
总体:对某一问题的研究对象全体称为总体 总体。 总体:对某一问题的研究对象全体称为总体 个体:组成总体的每个观察单元，称为个体 个体:组成总体的每个观察单元，称为个体。 总体的参数: 总体的参数:总体的数字特征即总体指标。 总体可以是具体事物的集合， 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合， 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限个个体 无限个 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。 该特征与研究目的有关。
主讲： 主讲：林沛玉
一、样本均值 x 分布与中心极限定理
定理3.1 若x1,L, x n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 )的样本, 则其样本均值x有：
σ
n
1 n σ2 x = ∑ xi ~ N ( µ , ) n i =1 n
1 D( x) = 2 n
n
σ ( x) =
即样本均值的抽样分布仍为正态分布， 即样本均值的抽样分布仍为正态分布，且
例如 : x1, x2 ,...x10是来自N ( 5,1)的简单样本,x 是 容量为10的样本均值,则x 服从什么分布?并求: (1) E ( x );(2) D( x );(3) P( x > 5)
1 答 : x服从N (5, )的分布 10
(1) E ( x ) = µ = 5
σ2
1 ( 2 ) D( x ) = = n 10
χα ( n )
f ( x)dx = α
临界值
2 χα (n)
例：求卡方分布的临界值。 求卡方分布的临界值。
2 P本2 ≥ χα (表8 − ,3 {χ P139n)} = α Excel : 课
(1) P χ 2 (21) > λ = 0.025 (2) P χ 2 (21) < λ = 0.025
当泛指一次抽样结果时, 样本x1 , x2 ,..., xn是n个随机 变量, 则样本均值x 与样本方差s 2等也都是随机变量.
课堂练习 :
2 总体X 服从N ( µ , σ 2 ), 其中µ未知, σ 2 = σ 0 为已知参数, x1 , x2 ,..., xn
是从总体抽取的一组样本, 则下列各式中属于统计量的是 :
二、统计量
定义 : 我们将样本x1 , x2 , ..., xn的不含任何未知参数 的函数ϕ ( x1 , x2 , ..., xn )称为统计量.
注意：统计量完全依赖于样本， 注意：统计量完全依赖于样本，不应含有分布的任何参 由于样本是随机变量，故统计量也是随机变量。 数。由于样本是随机变量，故统计量也是随机变量 常用的统计量主要有： 常用的统计量主要有： 1 n 样本平均值 : x = ∑ x i n i =1 1 n 1 n 2 2 2 2 样本方差:S = ∑ (x i − x) = n − 1 ∑ x i − n(x) n − 1 i =1 i =1
临界值 tα (n)
注:
t1−α (n) = −tα (n)
Excel : 课本P附表 8 − 3 139表 附表6 查P175附表
p[t (4) > λ ] = 0.99 ⇒ λ = ? λ = −3.7469
Biblioteka Baidu
t1−α (n)
( 3 ) P ( x > 5) = 1 − P ( x < 5) = 1 − F ( 5)
= 1 − φ ( 0)
5−5 = 1−φ( ) 1/ 10
= 0.5
阅读： 阅读：P50例3-1. 例 练习： 习题三： 练习：P63习题三：1. 习题三
定理3.2(中心极限定理 中心极限定理) 定理 中心极限定理
t—分布 分布
1.构造 若X~N(0, 1), Y~χ2(n), X与Y独立，则 χ
X T= ~ t (n). Y /n
t(n)称为自由度为n的t—分布。
2.
t(n) 的概率密度曲线为 (n)
2.基本性质 2.基本性质: 基本性质 f(t)关于t=0 t=0(纵轴)对称。 (1) f(t) t=0 f(t)的极限为N(0，1) N(0， (2) f(t) N(0 1)的密度函数，即
例1：从某地区统计中得知，该地区郊区平均每一家 从某地区统计中得知， 庭年收入为3160元 标准差为800元 庭年收入为3160元，标准差为800元。从此郊区抽取 3160 800 50个家庭为一随机样本， 50个家庭为一随机样本，平均每年收入为以下数字 个家庭为一随机样本 的概率是多少? 的概率是多少? （1）多于3000元；（2）少于 多于3000元；（2 3000 3000元；（3 3000元；（3）在3200元到3300元之间。 3200元到3300元之间。 元到3300元之间 题中没有告知总体服从正态分布， 解:题中没有告知总体服从正态分布，但样本容量足够 题中没有告知总体服从正态分布 ），据中心极限定理 大（n=50），据中心极限定理， x 近似服从正态分布。 ），据中心极限定理， 即有: 即有
1 n σ2 x = ∑ xi ～ N ( µ , ) n i =1 n
x
(1) µ
= µ = 3160
σ
x
=
σ
800 = = 113.14 n 50
P x〉3000 = 1 − P( x ≤ 3000)
= 1 − φ ( −1.41) = φ (1.41)
3000 − 3160 = 1 − F (3000) = 1 − φ 113.14
(1)∑ ( xi − σ ) ;
i =1
n
n
2 2 0
(2)∑ ( xi − µ );
i =1
n
(3)∑ ( xi − x ) 2 ;
i =1
1 (4) µ + ( x1 + x2 + x3 ) 3
2
§3.2 统计推断的常用分布
抽样分布：是指统计量作为随机变量所服从的概率分布。 抽样分布：是指统计量作为随机变量所服从的概率分布。 我们主要学习常用统计量样本均值与样本方差 我们主要学习常用统计量样本均值与 样本均值 相关的常用抽样分布。而在大多数情形， 相关的常用抽样分布。而在大多数情形，统计量服 从正态分布或以正态分布为渐近分布，所以正态分 从正态分布或以正态分布为渐近分布，所以正态分 布是最常用抽样分布。 布是最常用抽样分布。后面我们还要学习同样起着 分布、 分布 分布、 分布 分布。 重要作用的 χ 2 分布、t分布、F分布。
1 E ( x) = ∑ E ( xi ) = µ n i =1
n
∑ D( x ) =
i =1 i
σ2
n
标准化后,定理 样本均值 x 标准化后 定理 x−µ Z= ~ N (0, 1) 的结果可转化为: 的结果可转化为 σ/ n
练习： 自测思考题三： 练习：P63自测思考题三： 自测思考题三 1（第一、二空格）， ，5 （第一、二空格），4， ），
例如： 总体 一批产品 一批灯泡 个体 每件产品 每个灯泡 特征 等级 寿命
一年的日平均气温
每天日平均气温 度数 坐标 号码
数轴上某一线段 线段中每一点 一批彩票 每张彩票
当总体数量很大时，只能从中抽取部分个体进行研究。 当总体数量很大时，只能从中抽取部分个体进行研究。 从总体中取出的若干个体，称为样本 从总体中取出的若干个体，称为样本。 样本中所含个体的个数，称为样本容量 样本中所含个体的个数，称为样本容量。 例如:在研究广州市民的年收入时 随机抽取广州 例如 在研究广州市民的年收入时,随机抽取广州 在研究广州市民的年收入时 市民100名来进行调查 这100名广州市民的年收 名来进行调查,这 市民 名来进行调查 名广州市民的年收 入就构成了一个样本,而样本容量就是 入就构成了一个样本 而样本容量就是100. 而样本容量就是 简单随机抽样:总体中每个个体被抽取的可能性 简单随机抽样 总体中每个个体被抽取的可能性 是均等的,而且每抽取一个个体时总体分布不变 是均等的 而且每抽取一个个体时总体分布不变. 而且每抽取一个个体时总体分布不变 在随机抽样中,样本 应具有: 在随机抽样中 样本 x1 , x 2 , x 3 ... x n 应具有 (1)独立性： x1 , x 2 , x 3 ... x n 相互独立 独立性 相互独立. (2)代表性 代表性: x1 , x 2 , x 3 ... x n 与总体 相同的概率分布。 与总体X相同的概率分布 代表性