3.1 统计量 3.2 统计推断的常用分布

临界值 tα (n)
注:
t1−α (n) = −tα (n)
Excel : 课本P附表 8 − 3 139表 附表6 查P175附表
p[t (4) > λ ] = 0.99 ⇒ λ = ? λ = −3.7469
t1−α (n)
1 n σ2 x = ∑ xi ～ N ( µ , ) n i =1 n
x
(1) µ
= µ = 3160
σ
x
=
σ
800 = = 113.14 n 50
P x〉3000 = 1 − P( x ≤ 3000)
= 1 − φ ( −1.41) = φ (1.41)
3000 − 3160 = 1 − F (3000) = 1 − φ 113.14
σ2
～χ
2
(n −1)
2 我们将服从的分布 χ2 (n −1) 称为自由度是(n-1)的 χ 称为自由度是 的 2 (卡方 分布 并记服从 χ 2 (卡方 的随机变量为 χ . 卡方)分布 卡方)的随机变量为 卡方 分布,并记服从 卡方
定义： 定义：
设随机变量 x1 , x 2 ,..., x n 相互独立 , 且都服从标准正态 分布N (0,1), 则称
E( χ 2 ) = n, D( χ 2 ) = 2n
.χ2—分布的密度函数 分布的密度函数 分布的密度函数f(y)曲线 曲线
分位点 ： 设X ~ χ2(n)，若对于α：0<α<1， α α ， 存在χα (n) > 0 满足
2
P{χ ≥ χα (n)} = α , 或 ∫
2 2
2
+∞
2
为 χ 2 (n) 分布的上侧α分位数。 分布的上侧α分位数。 则称 χα (n)
2 χ 2 = x1 + x 2 + ... + x n 2 2
服从χ ( n)分布 , 并记为 χ ～ χ 2 (n)
2
2
表示相互独立的标准正态变量的个数）。 （其中n 称为自由度 表示相互独立的标准正态变量的个数）。 其中 称为自由度,表示相互独立的标准正态变量的个数
对于服从 χ 2 ( n)分布的 χ 2 , 其均值和方差分别为 :
三、 t 统计量与 t 分布
定理3.4 定理
设 x1 , x2 ,..., xn是来自正态总体 N ( µ , σ 2 )的样本, x 与 s 2 分别是样本均值与样本方差, 则
x −µ ～t(n-1) s/ n
我们将所服从的t(n-1)分布称为自由度是 分布称为自由度是(n-1)的t分 我们将所服从的 分布称为自由度是 的分 布或学生分布,并记服从 分布的随机变量为 布或学生分布 并记服从t分布的随机变量为 。 并记服从 分布的随机变量为T。
若总体 X 的均值 µ和方差 σ 2 有限 , 则当样本容量 n 充分大时 , 不管总体服从什么分布 , 其样本均值 x 近似服从均值是 µ、 方差为
σ2
n
的正态分布 ， 即
1 n σ2 x = ∑ xi ～ N ( µ , ) n i =1 n
在实际实用时,当总体分布未知时 对大样本情 在实际实用时 当总体分布未知时,对大样本情 当总体分布未知时 就可用中心极限定理. 形(n≥30),就可用中心极限定理 就可用中心极限定理
t—分布 分布
1.构造 若X~N(0, 1), Y~χ2(n), X与Y独立，则 χ
X T= ~ t (n). Y /n
t(n)称为自由度为n的t—分布。
2.
t(n) 的概率密度曲线为 (n)
2.基本性质 2.基本性质: 基本性质 f(t)关于t=0 t=0(纵轴)对称。 (1) f(t) t=0 f(t)的极限为N(0，1) N(0， (2) f(t) N(0 1)的密度函数，即
( 3 ) P ( x > 5) = 1 − P ( x < 5) = 1 − F ( 5)
= 1 − φ ( 0)
5−5 = 1−φ( ) 1/ 10
= 0.5
阅读： 阅读：P50例3-1. 例 练习： 习题三： 练习：P63习题三：1. 习题三
定理3.2(中心极限定理 中心极限定理) 定理 中心极限定理
2 λ = χ 0.025 (21) 解（1）由分位数的定义可知， ）由分位数的定义可知， 查表P173可得 : λ = 35.479
χ 2 (21) < λ = 0.025,即P χ 2 (21) ≥ λ = 0.975 (2) P
∴ 查表P173 ,可得λ = 10.283
1 E ( x) = ∑ E ( xi ) = µ n i =1
n
∑ D( x ) =
i =1 i
σ2
n
标准化后,定理 样本均值 x 标准化后 定理 x−µ Z= ~ N (0, 1) 的结果可转化为: 的结果可转化为 σ/ n
练习： 自测思考题三： 练习：P63自测思考题三： 自测思考题三 1（第一、二空格）， ，5 （第一、二空格），4， ），
二、统计量
定义 : 我们将样本x1 , x2 , ..., xn的不含任何未知参数 的函数ϕ ( x1 , x2 , ..., xn )称为统计量.
注意：统计量完全依赖于样本， 注意：统计量完全依赖于样本，不应含有分布的任何参 由于样本是随机变量，故统计量也是随机变量。 数。由于样本是随机变量，故统计量也是随机变量 常用的统计量主要有： 常用的统计量主要有： 1 n 样本平均值 : x = ∑ x i n i =1 1 n 1 n 2 2 2 2 样本方差:S = ∑ (x i − x) = n − 1 ∑ x i − n(x) n − 1 i =1 i =1
(1)∑ ( xi − σ ) ;
i =1
n
n
2 2 0
(2)∑ ( xi − µ );
i =1
n
(3)∑ ( xi − x ) 2 ;
i =1
1 (4) µ + ( x1 + x2 + x3 ) 3
2
§3.2 统计推断的常用分布
抽样分布：是指统计量作为随机变量所服从的概率分布。 抽样分布：是指统计量作为随机变量所服从的概率分布。 我们主要学习常用统计量样本均值与样本方差 我们主要学习常用统计量样本均值与 样本均值 相关的常用抽样分布。而在大多数情形， 相关的常用抽样分布。而在大多数情形，统计量服 从正态分布或以正态分布为渐近分布，所以正态分 从正态分布或以正态分布为渐近分布，所以正态分 布是最常用抽样分布。 布是最常用抽样分布。后面我们还要学习同样起着 分布、 分布 分布、 分布 分布。 重要作用的 χ 2 分布、t分布、F分布。
10药 2班 第5周 星期二 3,4节 10药学英语1&2班
第三章
一、统计量
参数估计
二、统计推断的常用分布 三、参数的点估计 四、参数的区间估计
§3.1
一、总体与样本
统计量
总体:对某一问题的研究对象全体称为总体 总体。 总体:对某一问题的研究对象全体称为总体 个体:组成总体的每个观察单元，称为个体 个体:组成总体的每个观察单元，称为个体。 总体的参数: 总体的参数:总体的数字特征即总体指标。 总体可以是具体事物的集合， 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合， 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限个个体 无限个 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。 该特征与研究目的有关。
lim f ( t ) = ϕ( t ) = 1 e n→ ∞ 2π
−t 2
2
, −∞ < x < ∞
3.分位点 3.分位点 设T～t(n) T t(n)，若对 α:0<α<1,存在tα(n)>0 :0<α<1, t (n)>0， 满足P{T≥tα(n)}=α， P{T≥ (n)}=α P{T 则称tα(n) t (n)为 t(n)的上侧分位点 t(n)
例如： 总体 一批产品 一批灯泡 个体 每件产品 每个灯泡 特征 等级 寿命
一年的日平均气温
每天日平均气温 度数 坐标 号码
数轴上某一线段 线段中每一点 一批彩票 每张彩票
当总体数量很大时，只能从中抽取部分个体进行研究。 当总体数量很大时，只能从中抽取部分个体进行研究。 从总体中取出的若干个体，称为样本 从总体中取出的若干个体，称为样本。 样本中所含个体的个数，称为样本容量 样本中所含个体的个数，称为样本容量。 例如:在研究广州市民的年收入时 随机抽取广州 例如 在研究广州市民的年收入时,随机抽取广州 在研究广州市民的年收入时 市民100名来进行调查 这100名广州市民的年收 名来进行调查,这 市民 名来进行调查 名广州市民的年收 入就构成了一个样本,而样本容量就是 入就构成了一个样本 而样本容量就是100. 而样本容量就是 简单随机抽样:总体中每个个体被抽取的可能性 简单随机抽样 总体中每个个体被抽取的可能性 是均等的,而且每抽取一个个体时总体分布不变 是均等的 而且每抽取一个个体时总体分布不变. 而且每抽取一个个体时总体分布不变 在随机抽样中,样本 应具有: 在随机抽样中 样本 x1 , x 2 , x 3 ... x n 应具有 (1)独立性： x1 , x 2 , x 3 ... x n 相互独立 独立性 相互独立. (2)代表性 代表性: x1 , x 2 , x 3 ... x n 与总体 相同的概率分布。 与总体X相同的概率分布 代表性
当泛指一次抽样结果时, 样本x1 , x2 ,..., xn是n个随机 变量, 则样本均值x 与样本方差s 2等也都是随机变量.