习题解答_现控理论_第6章

6-1 对线性系统

作状态反馈v

-

=K,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。

u+

x

解将反馈律代入状态空间模型，则有

因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为

6-2 对线性系统

作输出反馈u=-H y+v,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。

解将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有

即

因此，当()

+可逆时，闭环系统输出方程为

I DH

将反馈律和上述输出方程代入状态方程，则有

当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为

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6-3 给定被控系统的状态方程为

试确定一个状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2±j 处。

解 1) 判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为

则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。

2) 求能控规范II 形:

因此系统开环特征多项式f (s )=s 2-2s-5,而由期望的闭环极点-2±j 所确定的期望的闭环特征多项式

f (s )=s 2+4s+5,得系统的状态反馈阵K 为

则在反馈律u =-K x +v 下的闭环系统的状态方程为

通过验算可知,该闭环系统的极点为-2±j,达到设计要求。

6-4 给定被控系统的状态方程为

问能否确定一个状态反馈阵K,使闭环系统的极点分别配置在下列位置:

(1) s 1=-2, s 2=-2, s 3=-2, s 4=-2

(2) s 1=-3, s 2=-3, s 3=-3, s 4=-2

(3) s 1=-3, s 2=-3, s 3=-3, s 4=-3

解： 由于开环系统模型为约旦规范形，因此由模态判据知，该系统特征值2的子系统完全能控，因此2重的开环极点2 可以任意配置；而特征值-2对应的2维子系统不完全能控，但由于其对应的2维子系统的能控性矩阵的秩为1，故2重的开环极点-2应有一个可以任意配置，一个不能配置

（不能控）。

根据上述分析结果，可以判定如下：

(1) s 1=-2, s 2=-2, s 3=-2, s 4=-2

由于期望闭环极点有一个为-2，因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-2，而一个不能配置的极点也为-2，符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望位置上。

(2) s 1=-3, s 2=-3, s 3=-3, s 4=-2

由于期望闭环极点有一个为-2，因此，可以将可任意配置的3个极点配置为-3，而一个不能配置的极点还为-2，符合期望极点要求。故，应存在状态反馈律将闭环极点配置在期望位置上。

(3) s 1=-3, s 2=-3, s 3=-3, s 4=-3

由于期望闭环极点没有-2极点，因此，不存在状态反馈律将不能配置的极点-2还为配置在期

望的4个极点的任何一个上。

6-5 判断下述系统是否能镇定，若能镇定，试设计一个状态反馈使系统成为稳定的。

(1) u x x ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100310100001 (2) u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100201020101 解: (1) 先对系统进行能控性分解

表明系统不完全能控,取能控性分解变换矩阵c P 为

004010130c P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 10310100.2500

c P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是可得

1010130001c c A P AP -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 1100c B P B -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

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原系统的能控性分解为

由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可

镇定的。

再对能控部分进行极点配置。由上可知,系统的能控部分为

110113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 设*A 为具有期望特征值的闭环系统矩阵，且1111*~~~K B A A -=,本例中设期望的闭环极点取为-3和-2，

因此有 显然,当反馈阵1~K 为 此时,闭环极点为-3和-2。

求取原系统的状态反馈镇定矩阵K

经检验,状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。

(2) 先对系统进行能控性分解

表明系统不完全能控,取能控性分解变换矩阵c P 为

010003120c P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12011000.1/30

c P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是可得

1010130002c c A P AP -⎡⎤-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

； 1100c B P B -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

原系统的能控性分解为

由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可

镇定的。

(2) 对能控部分进行极点配置。由上可知,系统的能控部分为

110113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 设*A 为具有期望特征值的闭环系统矩阵，且1111*~~~K B A A -=,本例中设期望的闭环极点取为-1和-2，

因此有 显然,当反馈阵1~K 为

此时,闭环极点为-1和-2。

(3) 求取原系统的状态反馈镇定矩阵K

经检验,状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。

6-6 已知系统状态空间模型的各矩阵为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=001100010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100001C 试判断该系统的输出反馈可镇定性。

解 设输出反馈u =[h 1 h 2]y ,因此闭环系统的系统矩阵为