最优捕鱼策略CUMCM1996年A题

最优捕鱼策略CUMCM1996年A 题

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开

发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大

产量或最佳效益。

考虑对某种鱼的最优捕捞策略：

假设这种鱼分4 个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重

量(单位:g)分别为 5.07,11.55,17.86,22.99,各年龄组鱼的自然死亡率均为

0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为

510109.1⨯个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2 龄鱼和1龄鱼不产卵, 产卵和

孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产

卵总量比n 之比）为()n +⨯⨯11111022.1/1022.1渔业管理部门规定，每年只允许在

产卵孵化期前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下

网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例

系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕3龄鱼和

4龄鱼，其两 个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕

捞.

(1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年

龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).

(2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能

力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量（单位：条）分别为：

99991029.3101.10107.2910122⨯⨯⨯⨯，，， 如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司

应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

摘要 本文讨论了渔业资源开发项目中在实现可持续收获的前提下对某

种鱼的最优捕捞策略。

针对问题一：

通过对4龄鱼在年末的两种不同状态（全部死亡；仍为4龄鱼）的考虑，得

到了两个模型，再进一步考虑鱼的产卵和孵化是一个连续的过程，利用两个离散

变量的平均来代替连续变量建立第三个模型。最后求解在计算机上实现。

针对问题二：

1、先假设每年捕捞强度相等，建立了一个简单模型；

2、再假设每年捕捞强度不相等，建立一个复杂模型；

3、最后给出鱼群生产能力破坏不太大的含义（即鱼群减少率的上限），在它

的约束之

下再建立一个模型。

本文最大的特点是：离散和连续相结合，在本文的后面又将各种模型的结果

进行了比较，并给出了理论上的解释，得到令人满意的结果。

一、问题的假设

1、虽然鱼群本身是离散的，但是突然增加或减少的只是少数个体，与整体

相比很微小。因此我们可以近似假设大规模鱼随时间是连续变化的。

2、根据模型已知条件，我们可以设鱼每年在8月底瞬间将卵全部产完，卵

在12月底全部孵化完毕。

3、4 龄鱼在第4 年末未死亡的数量占全部数量的比例很小，因此可认为其

全部死亡，令其退出系统。

4、持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为1年，因此可以只

考虑鱼群数量在1 年内的变化情况。

5、不考虑环境的影响，各年龄组的平均死亡率均为0.8(1/年).

二、参数的说明

；：，年单位：年平均固定死亡率/1α

];1,0[:∈，t t 时间

;4,3,2,1:=，j j j 龄鱼

;:：g ，j g j 单位龄鱼每条鱼的平均重量

；m 龄鱼的卵量平均每条4:

用于问题一中的参数如下 ：

；：，k 年单位年平均捕捞率/1:

；n 每年产卵量:

；t j t x j 的数量龄鱼在时刻:)(

；，j j t x s j 43:)(或龄鱼的捕捞总重量时刻=

H ：年总收获量，即捕捞总重量。

用于问题二中的参数如下：

]5,0[:∈i i 年数

；i n i 年的产卵量第:

；t i j t x j i 的数量年时刻龄鱼在第:)(,

；，，j i j t t s j i 43:)(,=年的捕捞重量龄鱼第时刻

。，i ：H i 即捕捞总重量年总收获量第

三、问题的分析

（一）对于问题一的分析

1、的理解对死亡率α

我们定义平均死亡率α是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例

系数。由假设可知，它是一个与环境等其它因素无关的常数。由于鱼群的数量是

连续变化的，而1、2龄鱼全年以上及3、4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有

关，与其它因素无关。设鱼群量为x ，则在时间[t,t+∆t]内，鱼群数量的减少=

鱼群的死亡数量，即

t t x t x t t x ∆-=-∆+)()()(α )()()(t x t

t x t t x α-=∆-∆+ 当∆t →0时得

)()(t x dt t dx α-= 2、对于捕捞强度系数k 的理解

题目告诉我们，捕捞强度系数k 一定，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）

捕捞3、4 龄鱼，因此 只会影响3、4龄鱼群数量，而不会影响其它的鱼群的数

量。我们可以看到3、4龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k 有关，而且还与死

亡率α有关，类似第1点的分析，可以得到

)2.1()(42.0)()(t kx t x dt

t dx --=α )3.1()()()(t kx t x dt t dx --=α

其中x(t)表示3、4龄鱼的鱼群数量，t 表示每年的前8个月，即]3

2,0[∈t 3、对于持续捕获的理解

随着时间的推移，各种年龄组的鱼数量必将发生变化，但持续捕获要求每年

开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得

到关系式；上一年龄组鱼群年底的数量=下一年龄组鱼群年初的数量（1龄鱼除

外），即

)4.1(1),0()1(1>=+j x x j j

4、对成活率m 的应用

又假设知，此种鱼在每年的8月底一次产卵完毕，又已知3、4龄鱼每条产

卵的个数，因此可将每年的产卵量n 表示为 )5.1()]3

2()32(5.0[10109.1435x x n +⨯⨯=

又已知成活率

)6.1(1022.11022.11111

n m +⨯⨯= 产卵量X 成活率=1龄鱼每年年初的数量，即

)7.1()0(1x m n =⨯

5、对最高收获量的描述

根据第2点的分析，在t 时刻的捕捞重量

).(4)(3)(43t s t s t s 龄鱼捕捞重量龄鱼捕捞重量+=

则而,)()(,)(42.0)(444333g t kx t s g t kx t s ==

)8.1()()(42.0)(4433g t kx g t kx t s +=

由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞收获量即年收获量可以用t 时刻的捕

捞重量s(t)关于t 在捕捞期内的积分来刻划

)9.1()(3

2

0⎰=dt t s H