平面射影几何简介

因为 l1 l2 ,所以由三线共点的条件知,存在两组不全为
零的实数1 , 1;2 , 2使得
31,32 ,33 1 11,132 ,13 1 21,22 ,233 ,
41 ,432 ,43 2 11,132 ,13 2 21,22 ,233 .
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原命题 (1) 上三点共线当且仅 当它们的齐次坐标组成 的行列式为0.
(2) 若三点 P1, P2 , P3 不
共 线,则三线 P1P2 , P2P3, P3P1 不共点。 (3) Desargues定理:在 上,如果两个三角形的 对应顶点的连线共点,则 它们的对应边的交点共 线。
对偶命题 (1) 上三线共点当且仅当 它们的齐次坐标组成的行 列式为0。 (2) 上若三线 l1,l2 ,l3不共 点,则三点l1l2 , l2l3, l3l1 不共 线。 (3) Desargues逆定理:在 上 ,如果两个三角形的 对应边的交点共线,则它 们的对应顶点的连线共点。
其中, 1, 2 , 3 均为非零数。由以上三等式得
1 p1,p2,p3 2 q1,q2,q3 3 r1,r2,r3 0,
故P,Q,R三点共线。
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§3 交比
➢ 1.交比的定义和性质 ➢ 2.调和点列与调和线束 ➢ 返回
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1.交比的定义和性质
设 A, B,C, D 共线,A,B为通常点,C≠B。先将共 线三点的简单比值(A,B,C)推广到C可以为无穷远点:当 C为无穷远点时,规定(A,B,C)=-1。 定义3.1:设在 上四点A,B,C,D共线,A,B为两个不同的 通常点,C≠B,D≠A,B.称(A,B,C)与(A,B,D)的比值为 A,B,C,D的交比,记为(A,B;C,D),即
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§2 对偶原理
既然直线也有齐次坐标,因此从齐次坐标的观点来 看, 上的点与直线的地位对等。为了方便,两点A,B确 定的直线用AB表示,两直线 l1 , l2 的交点用 l1l2表示。如 果 点P在直线l上,就说点P与直线l关联;如果直线l经过点P, 就说直线l与P关联。
设 (点,线)是 上一些点和一些直线的关联关系 的一个命题,那么,把命题中的点都改写成直线,把直线 都改写成点,并且保持关联关系不变及其它一切表述不 变,则得到的命题 (线,点)称为原命题 (点,线)的对偶 命题。
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射影平面上的对偶原理:在 上,如果一个命题 (点, 线)可以证明是一条定理,则它的对偶命题 (线,点)也
可以证明是一条定理。 我们已经证明上述表中的命题(1)成立,根据对偶原
理,可以肯定它的对偶命题 (1)也成立。
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Desargues定理:在 上,若两个三角形的对应顶点
的连线共点,则它们的对应边的交点共线。 下面我们来证明Desargues定理,从而也就证明了
了P 两个0 相交平O面P与1 以及P两 平面外的一点O,将点0到1
变成
的交点 的法则,此法则称为
的以O为中心的中心投影 (如图6.1)。在中心投影下,点
的共线关系是保持不变的。
2
O M
N
0 P'
P
1
图 6.1
3
但是,对于OM // 1 的点 M 0在1 上没有象,因而中心 投影不是映射;同样对于ON // 0的点N 1在 0上没原
A, B;C, D ( A, B,C ) AC : AD AC gDB (3.1)
( A, B, D) CB DB CB AD
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若A,B,C各不相同,当D=B时,规定(A,B;C,D)=0。利用
共线四点的交比,我们可以定义 上共点四线的交比。
设 li (i 1, 2, 3, 4)是过点O的四直线, l1 l2 , 任取一条不过O
线。
我们把无穷远点的几何轨迹称为无穷远直线,根据 无穷远点的齐次坐标的特点，无穷远直线可由方程
x3 0
(1.4)
来表示。
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于是,射影平面上,任何方程
a1 x1 a2 x2 a3 x3 0,
(1.5)
其中，
a12
a
2 2
a32
Hale Waihona Puke Baidu
0
都是某条直线的方程。如果
a12
a
2 2
0
，则称为射影直线。如果
如果中心投影在两个射影平面 0和1 上进行,就能 使中心投影成为一个双射 :0 1 ，其中投影中心 O 0 1. 如果点P 0 , 使 OP与1 交于点 P ,则 (P) P ;如果点 N 1使ON // 0 , 则N的原象为 0 中 与ON平行的直线l上添加的无穷远点;
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O N
M
l
0 P'
第六章 平面射影几何简介
➢ 1.引言 ➢ 2.齐次坐标,射影平面 ➢ 3.对偶原理 ➢ 4.交比 ➢ 5.射影变换与二次曲线的射影 ,分类 ➢ 6.极点和配极 ➢ 返回
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引言
从上一章中知道平面的仿射变换的重要特性是把
共线的三点变成共线的三点。我们还会遇到更一般的 从
一平面到另一平面0保与持点1 的共线关系的映射。例如,给
x x1 , y x2
x3
x3
(1.1)
联系的任何三个不全为零的实数x1, x2 , x3称为点P关于
仿射标架O;e1,e2的齐次(仿射)坐标,记为 P[ x1 , x2 , x3 ].
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若 [ x1, x2 , x3 ] 是点P的齐次坐标,则对任意非零实数
λ， x1, x2, x3 也是点P的齐次坐标,因而点P的齐次
a1,a2,a3 c1,c2,c3 'a1 ',a2 ',a3 ' 'c1 ',c2 ',c3 ' 2 q1,q2 ,q3 ,
b1,b2,b3 c1,c2,c3 'b1 ',b2 ',b3 ' 'c1 ',c2 ',c3 ' 3 r1, r2 , r3 .
点的齐次坐标分别为 Aa1,a2,a3 , Bb1,b2,b3 ,
C c1,c2,c3 , A' a1 ',a2 ',a'3 , B'b1 ',b2 ',b3 ',C 'c1 ',c2 ',c3 '. Dd1,d2,d3 .
设 AB 与 AB相交于点P[ p1, p2 , p3 ], AC 与 AC 相交于点 Q[q1, q2 , q3 ], BC 与BC 相交于点 R[r1, r2 , r3 ]. 因为 AA, BB,CC 三线共点于D ，所以存在三组不全 为0的实数 ,;, ; , 使得
(a1,a2,a3 ) b1,b2,b3 . 于是我们可以用直线方程的
系数 (a1 , a2 , a3 ) 来表示直线,把 (a1 , a2 , a3 )称为直线的齐 次坐标。
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方程(1.5)表示直线 (a1, a2 , a3 )上的所有点,称为直线 的点方程。如果让 (a1, a2 , a3 ) 变动，(1.5)表示过固定点 x1, x2, x3 的所有直线,故又称为点的线方程。经过定点 的所有直线称为线束。
实际上 x1, x2, x3 是 上的点关于某一仿射标架的齐次 坐标。因此, 上齐次坐标为 x1, x2, x3 的点可理解为
坐标为 x1, x2, x3 的向量，共线的非零向量在 上表示
同一点。
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几何模型
取定 R3中的一个球面,不妨取中心在原点,半径为1
的单位球面S 2 ，在S 2上定义一种关系~：P~ P 当且仅 当P, P是一对对径点。关系~是等价关系，S 2上关于~
a1
a
2
0，
则
(1.5)表示无穷远直线。方程(1.5)称为直线的普通方程。
在射影平面上,任何两条直线都相交,这是因为线性方程 组
总有非ab零11xx解11 。ba2特2xx22别地ba33,xx两33 条00平., 行直线(1交.6于) 无穷远点 。
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对于射影直线而言,如果它的方程为(1.5),则无穷远 点 a2,a1,0在此射影直线上,且是此射影直线上的唯 一的无穷远点。实际上(a2 ) : a1表示仿射坐标中的直线 a1 x a2 y a3 0 的方向,因而直观上,射影直线就是欧 氏平面上的直线添加上此直线的方向所得到的。
它的逆定理。 证明 :如图6.3,设三角形 ABC与三角形 ABC 的对
应顶点的连线 AA, BB,CC 相交于点D.
1)如果A与 A 重合,则 AB与AB 交于A( A ),AC与 AC交于点A( A )。设BC与BC交于点R,则显然
A,A,R共线。
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P
B B
D
A
A
C
C
Q
图6.3
R
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(2)设任何一组对应顶点不重合,在 上取定一标架,各
象。为了使中心投影成为一个映射并且是双射,就需要 在 0与1上添加一些新的点,使点M 0都有象,点N 1 都有原象。这样的添加了点的平面就形成了射影平面 的概念 。
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§1 齐次坐标,射影平面
➢ 1.齐次坐标，射影平面 ➢ 2.直线的齐次坐标方程 ➢ 返回
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1.齐次坐标,射影平面
在p 欧氏有平仿面射π坐上标给定x,一y 仿. 我射们标把架与Ox;,e1y,由e2关,那系么任意点
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扩大的欧氏平面是射影平面的一种模型,下面再介
绍两种。
(1)解析模型。在去掉原点O的欧氏空间 R3 0中定义
一种关系~:点Puuxur1, x2, x3uu~ur点 P y1, y2, y3 当且仅当存在
非零实数λ,使 OP 即OP
( x1 , x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ).
点的直线l,设 lli Ai (i 1, 2, 3, 4)。如果 A1, A2; A3, A4 有定
义,则定义共点四线 li i 1, 2, 3,4的交比为 l1, l2;l3, l4 A1, A2; A3, A4 . (3.2)
下面证明(3,2)与截线l的选取无关.
设 li 的齐次坐标为 i1,i2,i3 , Ai ai3,ai2,ai3 , i 1, 2, 3,4.
l
P
1
图 6.2
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如果点 M 0使OM // 1, 则M的象为 1 中与OM
平行的直线 l 上添加的无穷远点;直线 M 0 OM // 1
上添加的无穷远点的象为直线 N 1 | ON //0上的无
穷远点，如图6.2。 由于射影平面上的直线方程(1.5)是三元一次齐次
方程,所以 a1 x1 a2 x2 a3 x3 0 与 b1 x1 b2 x2 b3 x3 0 表示同一直线当且仅当存在非零实数λ，使
很明显关系~是等价关系, R3 0 关于等价关系~的等
价类的集合构成射影平面的解析模型,记为 P 2或RP 2
点 P x1, x2, x3 的等价类记为 [ x1, x2 , x3 ]
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直观上，P2 是把空间中过原点的直线视为一点,即
P2 R3 过原点的直线
{[x1, x2, x3] (x1, x2, x3) R3 0} R3 0/ ~
的等价类的集合就组成射影平面的几何模型,记为S2 / ~ . 由于每一对对径点确定空间中过原点的唯一一条
直线,因而本质上 , , P 2 , S 2 / ~ 是一样的。因为 更为
直观,因此我们用 作为射影平面的模型。其中解析模 型P 2更容易推广到高维的情形,即n维射影空间
Pn Rn1中过原点的`直线 。
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2. 直线的齐次坐标方程
因为欧氏平面π上的任何直线都由方程
a1 x a2 y a3 0, (a12 a22 0)
(1.2)
给出,并且任何这样的方程都是某一条直线的方程,所以
π上的任何直线在齐次坐标下都由方程
a1 x1 a2 x2 a3 x3 0,
(a12
a
2 2
0)
(1.3)
给出,并且任何一个这样的方程都对应着π上的一条直
d1, d2 , d3 a1, a2 , a3 'a1 ', a2 ', a3 ' b1, b2 , b3 'b1 ', b2 ', b3 ' c1, c2 , c3 'c1 ', c2 ', c3 ' .
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因而有
a1,a2,a3 b1,b2,b3 'a1 ',a2 ',a3 ' 'b1 ',b2 ',b3 ' 1 p1,p2,p3 ,
坐标不唯一。 对于P∈π，显然有 x3 0 点P的仿射坐标(x,y)称为点
P的非齐次(仿射)坐标。 对于齐次坐标[x1, x2 , 0]不表示π上的任何点,我们把齐
次坐标为[x1, x2,0] 的点称为无穷远点。在π上加进这 些无穷远点后称为扩大的欧氏平面,记为 。我们把 扩大的欧氏平面称为射影平面。平面π上的点称为 的通常点。