八年级下册数学--二次根式知识点整理
人教版数学八年级下 16.1 二次根式
课时1
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作 ， 0的算术平方根是0.
−2
∴ =3
1
1
= 2= .
3
9
1
9 .
16.1 二次根式
课时2
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
（1）什么叫二次根式？如何表示？
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式.
其中“ 1”称为二次根号.
（2）二次根式有意义的条件是什么？
被开方数（式子）为非负数， （≥0）.
+3
当 x 为何值时，
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数化成假分
数.
2
11
如3 ×a通常写作 a.
3
3
（5）除法运算通常用分数线.如3÷
3
通常写作 .
（6）在实际问题中，若有单位且代数式是几个式
子的和或差时，要将代数式用括号括起来. 如温度
由2℃上升t℃后是（2+t）℃.
列代数式的常用方法：
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
例2 化简：
（1） 16 .
（2）
−5 2.
解：（1）原式= 42 = 4.
（2）原式=5.
利用二次根式的性质3：
2
= =
-a（a<0）
新人教版八年级下册数学复习提纲
八年级数学下册知识点总结第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。
3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 27.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=（a ≥0，b ≥0）；（b ≥0，a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围=-a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；（1）x x --+315； （2）22)-(x例3、 在根式，最简二次根式是（ ） A．1) 2) B ．3) 4) C．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x xy y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中，．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b << 例1、比较与的大小。
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年级数学下册知识点归纳非常全面
八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。
4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。
5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
八年级下册数学二次根式知识点总结
八年级下册数学二次根式知识点总结
一、二次根式的定义。
形如√(a)(a≥ 0)的式子叫做二次根式。
其中，a叫做被开方数。
二、二次根式有意义的条件。
被开方数a≥ 0时，二次根式√(a)有意义。
三、二次根式的性质。
1. √(a^2) = a
当a≥ 0时，√(a^2) = a；当a < 0时，√(a^2) = -a
2. (√(a))^2 = a (a≥ 0)
3. √(ab) = √(a)·√(b) (a≥ 0, b≥ 0)
4. √((a/b)) = (√(a))/(√(b)) (a≥ 0, b > 0)
四、二次根式的运算。
1. 二次根式的乘法：√(a)·√(b) = √(ab) (a≥ 0, b≥ 0)
2. 二次根式的除法：(√(a))/(√(b)) = √((a/b)) (a≥ 0, b > 0)
3. 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式进行合并。
五、最简二次根式。
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
六、同类二次根式。
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和运算法则，同时要熟练掌握化简二次根式的方法，以提高解题的准确性和效率。
八年级上下册数学知识点整理
⎧ ④ a 把第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或 0。
2． 二次根式的性质① a 2 = a =⎨a(a ≥ 0) ⎩ - a(a ≤ 0)；② ( a ) 2 = a(a ≥ 0)③ ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0) ；a = (a ≥ 0,b > 0)bb 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. （1）被开方数中因式的指数都为 1；（2）被开方数不含有分母。
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。
2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．2.二次根式的乘法:两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
即a ⋅b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0).3.二次根式的除法:两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。
4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式， 分 母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：a c +bc =(a+b)c (c ≥ 0)a ⋅b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0).aa =b b （a ≥ 0,b>0）( a )n = a n ( a ≥ 0)5.混合运算：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有有二次根式，我们 就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。
2a 2a 2a第十七章 一元二次方程 17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2．一般形式 y=ax ²+b x +c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 2叫做二次项,a 是二次项 系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法-b ± b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac 3．求根公式 x = ： x = , x = ； 1 2△= b 2 - 4ac ≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ：△＞0 时，方程有两个不相等的实数根△＝0 时，方程有两个相等的实数根△＜0 时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1 ． 一 般 来 说 ， 如 果 二 次 三 项 式 ax2 + bx + c （ a ≠ 0 ） 通 过 因 式 分 解 得ax 2 + bx + c = a( x - x )( x - x ) ； x 、 x 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根 1 2 1 2 2．把二次三项式分解因式时；如果 b 2 - 4ac ≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果 b 2 - 4ac ＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3． 实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 的允许取之范围内，变量 y 随变量 x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式 y = f ( x )4．函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量 y 是自变量 x 的函数， 那么对于 x 在定义域内取定的一个值 a ，变量 y 的对应值叫做当 x=a 时的函数值。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
新人教版八年级数学下册知识点总结归纳 (1)
八年级数学（下册）知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．典型例题1．(1). （A ）5-（B ）5或5-（C ）25 （D ）5(2). （A ）3-（B ）3或3-（C ）9（D ）3(3)计算= ※ ．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；(4)实数a ，ba +的化简结果为 ※ ．2. (1)x 的取值范围为（※）.（A ）1x = （B ）1x ≥ （C ）1x > （D ）1x < (2)函数y =x 的取值范围是 ※ ．3．(1)下列各式计算正确的是（※）. （A ）2222-=-（Bab = （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯ （D ）336=÷(2)下列各式计算正确的是（※）. （A ）12223=-（B）2+= （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯（D ）336=÷4 (1)（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）； （20)a >.(2).（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）（2））5（）.（第14题）b ax勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
新人教版八年级下册数学知识点归纳
新人教版八年级下册数学学问点归纳二次根式【学问回忆】1.二次根式：式子a 〔a ≥0〕叫做二次根式。
2.最简二次根式：必需同时满意以下条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：〔1〕〔a 〕2=a 〔a ≥0〕； 〔2〕 5.二次根式的运算：〔1〕因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a 〔a ＞0〕==a a 2a -〔a ＜0〕0 〔a =0〕；ab =a ·b 〔a≥0，b≥0〕；b ba a=〔b≥0，a>0〕． 〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的安排律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是〔 〕 A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例5、数a ，b ，假设2()a b -=b －a ，那么 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简及计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把〔a －b 〕－1a －b 化成最简二次根式例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中51+，51-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -4、比较数值 〔1〕、根式变形法当0,0a b >>时，①假如a b >>a b <<例1、比较的大小。
初二下册数学二次根式知识点
初二下册数学二次根式知识点
一、二次根式的定义
二次根式是一种常见的函数，是表示二次函数y = ax2+ bx+ c (a≠ 0) 的根的简写形式。
它一般由一个未知数 x 和一些常数 a、b、c 组成，它的形式如：ax2+ bx+ c= 0。
二次根式又称二次方程根，二次根式中的常数 a、b、c 可以推倒出
二次函数 y = ax2+ bx+ c，这时 x 可以表示为 ax2+ bx+ c = 0中它的解，也就是 y 轴上的两个变化点，这样 x 就变成了 ax2+ bx+ c = 0 中
一个变量，而不是一个常数。
二、二次根式的解法
1、求根公式法
即已知二次根式 ax2+ bx+ c = 0，求解 x 的一般解法，首先用根公
式法，即设 x1、x2 是该方程的根，则有：
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
根据以上两式可求出：
x1 = [-b + √(b2- 4ac)]/2a x2 = [-b - √(b2- 4ac)]/2a
2、分部分求根法
即将二次根式分成两部分，一部分是首项与其系数之积 ax2，另一部
分是常数项 c，将两部分分别化简。
(1) 首先将 ax2 化简为 A，求出 bx + c = 0 的解 x1；
(2) 然后将 A + bx = 0 化简为 ax2 + bx = -c，求出其解 x2
二次根式的解有一般解和特殊解，当a、b、c中有变数时，可以用一般解；当a、b、c中有常数时，可以用特殊解。
三、二次根式的应用
1、二次根式可以用来求解一元二次方程，根据一元二次方程 y = ax2+ bx+ c = 0 的特点，可以求出两个不同的解，分别为 x1、x2。
八年级数学下册-第16章 二次根式(教师版)
2023-2024学年人教版数学八年级下册章节知识讲练1.理解二次根式的意义。
2.掌握二次根式的几个运算性质。
重点：掌握二次根式的运算性质难点：掌握运算性质的推导过程知识点01：二次根式的定义【高频考点精讲】形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性知识点02：二次根式的主要性质【高频考点精讲】（1）())0(2≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a （3）)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）)0,0(≥>=b a ab a b 二次根式的性质是根式化简的依据。
知识点03：最简二次根式【高频考点精讲】被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.53一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•崂山区期末）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．＝4C．（）2＝2D．＝﹣2解：A 、，故A 不符合题意；B 、，故B 不符合题意；C、，故C 符合题意；D、，故D 不符合题意；故选：C ．2．（2分）（2023秋•梅县区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：不能合并，故选项A 错误，不符合题意；，故选项B 错误，不符合题意；÷3＝＝，故选项C 错误，不符合题意；，故选项D正确，符合题意；故选：D．3．（2分）（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（）A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，∴5﹣2＜n＜5+2，∴3＜n＜7，∴+|8﹣n|＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5，故选：A．4．（2分）（2023秋•平阴县期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A．＝3，不符合题意；B．＝2，不符合题意；C．是最简二次根式，符合题意；D．＝，不符合题意；故选：C．5．（2分）（2023秋•射洪市期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．6．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．6﹣＝5，所以B选项不符合题意；C．×＝＝，所以C选项符合题意；D．＝|﹣2|＝2，所以D选项不符合题意．故选：C．7．（2分）（2023春•铁西区期中）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（）A．6.5B．3C．2D．4解：＝2，而与最简二次根式能合并成一项，所以2t﹣1＝3，解得t＝2，故选：C．8．（2分）（2023春•沂南县期中）下列运算中，结果正确的是（）A．B．2×＝3C．÷＝D．解：A．＝2，所以A选项不符合题意；B．2×＝2×3＝6，所以B选项不符合题意；C．÷＝＝，所以C选项符合题意；D．3﹣＝2，所以D选项不符合题意；故选：C．9．（2分）（2023春•涵江区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（）A．0B．2C．3D．7解：∵，且是整数，∴7n是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整式的平方的数）∴n的最小值是7．故选：D．10．（2分）（2023春•雄县期中）已知，，求a2﹣b2的值．嘉琪同学的解题步骤如下：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）…①＝…②＝…③＝0…④其中，首先出错的步骤是（）A．①B．②C．③D．④解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝＝．首先出错的步骤是②．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•成华区期末）计算：＝1．解：＝2024﹣2023＝1，故答案为：1．12．（2分）（2023秋•绥化期末）若，那么x+y＝2．解：∵+y2＝0，∴2﹣x＝0，y＝0，∴x＝2，y＝0；故x+y＝2．故答案为：2．13．（2分）（2022秋•思明区校级期末）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝8．解：由题意，得：解得：，∴a +b ＝8．14．（2分）（2023•安徽二模）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x ≤3．解：由题意得，3﹣x ≥0，解得，x ≤3，故答案为：x ≤3．15．（2分）（2023•洪泽区二模）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x ≥﹣3．解：根据题意得：x +3≥0，解得x ≥﹣3．故答案为：x ≥﹣3．16．（2分）（2023秋•简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为，．解：＝10，＝2，＝，故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．故答案为：，．17．（2分）（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：第1个等式：a 1＝＝﹣1，第2个等式：a 2＝＝，第3个等式：a 3＝＝2﹣，第4个等式：a 4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a 1+a 2+a 3+…+a n ＝﹣1．解：第1个等式：a 1＝＝﹣1，第2个等式：a 2＝＝，第3个等式：a 3＝＝2﹣，第4个等式：a 4＝＝﹣2，…a 1+a 2+a 3+…+a n＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案为：﹣1．18．（2分）（2023•南岗区校级模拟）计算的结果为．解：原式＝3﹣2＝．故答案为：．19．（2分）（2022秋•临猗县期末）已知y ＝﹣﹣1，求x +y ＝2．解：由题意得：，解得：x ＝3，则y ＝﹣1，x +y ＝3﹣1＝2，故答案为：2．20．（2分）（2023春•璧山区校级期中）已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点，如图所示，化简＝﹣b．解：∵a ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0，∴原式＝|a |﹣|c ﹣a |+|b ﹣c |＝﹣a ﹣c +a +c ﹣b ＝﹣b ．故答案为：﹣b ．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•沙坪坝区校级开学）解不等式组或化简计算．（1）；（2）．解：（1），解①得：x＞1，解②得：x≤2，所以不等式组的解集为：1＜x≤2；（2）原式＝＝﹣122．（6分）（2023秋•凌海市期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．23．（8分）（2022秋•永兴县期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD 和正方形ECFG 的边长；（2）求阴影部分的面积．解：（1）正方形ABCD 的边长为：BC ＝，正方形ECFG 的边长为：CF ＝；（2）∵BF ＝BC +CF ，BC ＝2，CF ＝4，∴BF ＝6；∴S △BFG ＝GF •BF ＝24；又S △ABD ＝AB •AD ＝4，∴S 阴影＝S 正方形ABCD +S 正方形ECFG ﹣S △BFG ﹣S △ABD ＝8+32﹣24﹣4，＝12．24．（8分）（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝﹣；②＝+．（2）应用：化简．（3）拓展：＝．（用含n 的式子表示，n 为正整数）解：（1）①＝＝﹣；②＝＝+；故答案为：①；②+；（2）＝+++...+＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣；（3）＝+++...+＝+++...+＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）＝，故答案为：．25．（8分）（2023春•黔东南州期中）先阅读，后解答：，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）将下列式子进行分母有理化：①＝；②＝；③＝2﹣；④＝﹣1．（3）类比（2）中④的计算结果，计算：．解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是．故答案为：，．（2）①；②；③；②．故答案为：、、、．（3）＝＝＝．26．（8分）（2023春•亭湖区校级期末）阅读材料已知下面一列等式：；；；（1）请用含n的等式表示你发现的规律；（2）利用等式计算：；（3）计算：．解：（1）根据题意，由规律可得：它的一般性等式为，故答案为：；（2）＝＝＝＝；（3）＝＝＝．27．（8分）（2022秋•市中区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．28．（8分）（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；＝＝＝2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．解：（1）原式＝＝+；（2）归纳总结得：＝﹣（n≥1）；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9。
(精品)八年级下册数学--二次根式知识点整理152
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如3、分母≠04、绝对值：｜a ｜=a （a≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
a ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如可以写作。
2255（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子表示非负数a 的算术平方根，因此a≥0，≥0。
其中a≥0是有意义a a a 的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
a （5）形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b 与是相乘的关系。
要注意当b 是分a a 数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。
832232练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）； （2）； （3）；6-18x2+1（4）； （5）； （6）3； （7）（x ＜- ）3-8x2+2x +1｜x ｜1+2x 12二、当x取什么实数时，下列各式有意义？2-5x4x2+4x+1（1）；（2）二、二次根式的性质：3练习：计算（1）（）2 (2) （4）2 (3) Error!x2-2x+1x2-6x+9（4）- （6）+ （1≤x≤3）a a2★（）2（a≥0）与的区别与联系：a a2（）2三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
例：3，x ，x+y ，（x≥0），-ab ，（t≠0，x 3都是代数式3x st 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1（将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。
第07讲 二次根式(解析版)-八年级数学
第07讲二次根式1.了解二次根式的概念2.理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围。
3.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简知识点1：二次根式1.二次根式的概念一般地，我们把形如)0a a ≥（的式子的式子叫做二次根式，”“称为称为二次根号．如321.0,3，都是二次根式。
知识点2：二次根式有无意义的条件知识点3：二次根式的性质1.)0a a ≥（的性质2.)0a a 2≥（）（的性质3.a2的性质a ）（（1）正用：（2）逆用：若a ≥0，则数范围内分解因式考点一：根据二次根式概念判断二次根式例1．（2023春•津南区期中）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（x＞0）；⑧；⑨．A．7个B．6个C．5个D．4个【答案】B【解答】解：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（x ＞0）；⑧；⑨中，只有③；⑥；⑨不符合二次根式的定义，故是二次根式的有6个．故选：B．【变式1-1】（2023春•雄县月考）若为二次根式，则a的值可以是（）A．2B．﹣0.1C．﹣2D．﹣5【答案】A【解答】解：∵是二次根式，∴a≥0，∴a的值可以是2．故选：A．【变式1-2】（2023春•金安区校级月考）下列式子中是二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、中，当a＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、中，当x＜1时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、，（x+1）2≥0恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；D、中，被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．【变式1-3】（2023春•青秀区校级月考）下列各式是二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、a2+1≥1，则是二次根式，故此选项符合题意；B、无意义，故此选项不符合题意；C、当a＜0时，无意义，故此选项不符合题意；D、属于三次根式，故此选项不符合题意；故选：A．考点二：根据二次根式的定义求字母的值例2.（2023春•崇左月考）已知是正整数，则自然数n的最小值为（）A．0B．2C．3D．12【答案】C【解答】解：∵是正整数，n是整数，∴n的最小值是3．故选：C．【变式2-1】（2023春•西青区期中）已知是整数，非负整数n的最小值是（）A．4B．3C．2D．0【答案】D【解答】解：∵，且是整数，∴是整数，即2n是完全平方数，∴2n≥0，∴n的最小非负整数值为0，故选：D．【变式2-2】（2020春•江岸区校级期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（）A．0B．1C．2D．8【答案】C【解答】解：∵＝2且是整数∴2n是完全平方数∴正整数n的最小值是2故选：C．【变式2-3】（2023春•天门校级月考）是一个正整数，则n的最小正整数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：由是一个正整数，得12﹣n＝9，n＝3，故选：C．考点三：根据二次根式有意义条件求范围例3.（2023•贵港二模）若在实数范围内有意义，则x的值有可能是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得：x≥3，故选：D．【变式3-1】（2023•宁波模拟）使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：使有意义，则x+1≥0，解得：x≥﹣1，在数轴上表示为：．故选：A．【变式3-2】（2023•长春模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．x≤2D．x≥2【答案】C【解答】解：式子在实数范围内有意义，则2﹣x≥0，解得：x≤2．故选：C．【变式3-3】（2023春•淮北月考）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．0≤x＜1B．0≤x≤1C．x≥0且x≠1D．x＞1【答案】A【解答】解：根据题意得：，解得：0≤x＜1．故选：A．考点四：根据二次根式有意义求值例4.（2023春•东宝区月考）若，则（x+y）2023等于（）A．1B．5C．﹣5D．﹣1【答案】D【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x＝2．∴＝0+0﹣3＝﹣3．∴（x+y）2023＝（2﹣3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故选：D．【变式4-1】（2022春•高青县期末）若，则（x+y）2022等于（）A．1B．5C．﹣5D．﹣1【答案】A【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x＝2．∴＝0+0﹣3＝﹣3．∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．故选：A．【变式4-2】（2023春•慈溪市期中）若x，y为实数，且++2y＝4，则x+y的值为（）A．2B．3C．5D．不确定【答案】B【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，2y＝4y＝2．x+y＝1+2＝3．故选：B．【变式4-3】（2023春•潮南区期中）已知x、y为实数，且y＝+1，则x+y的值是（）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】C【解答】解：∵x﹣2023≥0，2023﹣x≥0，∴x﹣2023＝0，∴x＝2023，∴y＝1，∴x+y＝2023+1＝2024，故选：C．考点五：利用二次根式的性质化简（数字型）例5.（2023春•乐清市期中）下列等式正确的是（）A．B．＝±4C．＝﹣5D．＝1【答案】A【解答】解：A．＝，故此选项正确，符合题意；B．＝4，故此选项错误，不符合题意；C．＝，故此选项错误，不符合题意；D．＝，故此选项错误，不符合题意．故选：A．【变式5-1】（2023春•东莞市校级期中）下列式子正确的是（）A．＝0.6B．＝﹣13C．＝﹣D．＝±7【答案】C【解答】解：A．∵0.62＝0.36，∴A选项不符合题意；B.＝＝13，不符合题意；C．负数的立方根是负数，符合题意；D.＝7，不符合题意．故选：C．【变式5-2】（2023春•汉阳区期中）化简：＝（）A．B．﹣2C．4D．2【答案】D【解答】解：．故选：D．【变式5-3】（2023春•澄迈县月考）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】D【解答】解：原式＝×＝，故选：D．考点六：根据二次根式性质化简（字母及复合型）例6.（2023春•普兰店区期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣a+b B．a﹣b C．﹣b D．b【答案】A【解答】解：由数轴可得：a﹣b＜0，故原式＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b．故选：A．【变式6-1】（2022秋•开福区期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（）A．0B．﹣2C．﹣2a D．2b【答案】B【解答】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝﹣2．故选：B．【变式6-2】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6【答案】A【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．考点七：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式例7.（2023春•云浮校级期中）若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（）A．2x﹣4B．﹣2C．2D．4﹣2x 【答案】C【解答】解：∵1＜x＜3，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，原式＝|x﹣3|+|x﹣1|＝﹣（x﹣3）+（x﹣1）＝﹣x+3+x﹣1＝2．故选：C．【变式7-1】（2023春•武穴市月考）已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（）A．5﹣2a B．2a﹣5C．﹣3D．3【答案】B【解答】解：∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴﹣＝|a﹣1|﹣|a﹣4|＝a﹣1+a﹣4＝2a﹣5，故选：B．【变式7-2】（2023春•东湖区校级期中）已知﹣1＜x＜3，化简：＝4．【答案】4．【解答】解：∵1＜x＜3，∴x﹣3＜0、x+1＞0，则原式＝|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4，故答案为：4．考点八：含隐含条件的参数范围化简二次根式例8.（2023春•花山区校级期中）化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵有意义，∴a﹣1＞0，∴1﹣a＜0，∴＝﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣．故选：B．【变式8-1】（2023春•黄陂区校级月考）把根号外的因式移入根号内，结果为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由已知可得：，∴x﹣1＜0，即1﹣x＞0，∴．故选：B．【变式8-2】（2023春•德城区校级月考）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（）A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10【答案】A【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，∴5﹣2＜n＜5+2，∴3＜n＜7，∴+|8﹣n|＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5，故选：A．考点九：复杂的复合二次根式化简例9.（2022春•宜秀区校级月考）已知|2020﹣a|+＝a，则4a﹣40402的值为（）A．8084B．6063C．4042D．2021【答案】A【解答】解：由题意得，a﹣2021≥0，解得，a≥2021，原式变形为：a﹣2020+＝a，则＝2020，∴a﹣2021＝20202，∴4a＝4×20202+8084，∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，故选：A．1．（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【答案】B【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．2．（2023•番禺区一模）下列计算正确的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝2D．＝±2【答案】A【解答】解：A．正确；符合题意．B.＝2；不符合题意．C.＝﹣2；不符合题意．D.＝2；不符合题意．故选：A．3．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：＝＝，故选：D．4．（2023•潮南区模拟）实数a，b在数轴上对应点的位置如图，则化简的结果为（）A．2a﹣b B．2a+b C．b D．﹣2a+b【答案】C【解答】解：由图可得：a＜0，b＞0，|a|＜|b|，∴+|a+b|＝|a|+（a+b）＝﹣a+a+b＝b．故选：C．1．（2023春•巴南区期中）下列式子一定是二次根式是（）A．B．πC．D．【答案】D【解答】解：A、该代数式无意义，不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；D、是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．2．（2023春•荆州月考）若是整数，则正整数a的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：；由是整数，得a最小值为6，故选：C．3．（2022春•裕安区校级期中）若x，y为实数，且y＝2++，则|x+y|的值是（）A．5B．3C．2D．1【答案】A【解答】解：∵，∴，∴x＝3，∴|x+y|＝|3+2|＝5，故选：A．4．（2023•萧山区模拟）下列各式中，正确的是（）A．＝﹣4B．＝﹣2C．＝3D．＝±4【答案】C【解答】解：A.＝|﹣4|＝4，因此选项A不符合题意；B．由于负数没有平方根，因此无意义，因此选项B不符合题意；C.，即9的算术平方根，9的算术平方根是3，所以＝3，因此选项C符合题意；D.，即16的算术平方根，16的算术平方根是4，所以＝4，因此选项D不符合题意；故选：C．5．（2023春•涡阳县期中）化简的结果是（）A．3﹣πB．﹣3﹣πC．π﹣3D．π+3【答案】C【解答】解：原式＝|3﹣π|＝π﹣3，故选：C．6．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故选：A．7．（2023春•大冶市期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|a ﹣b|+得（）A．0B．2a C．2b D．﹣2b【解答】解：根据数轴得a＜0，b＞0，a﹣b＜0，原式＝|a|﹣|a﹣b|+|b|＝﹣a+a﹣b+b＝0，故选：A．8．（2022秋•大名县期末）化简二次根式的结果为（）A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【答案】A【解答】解：∵﹣8a3≥0，∴a≤0∴＝2|a|＝﹣2a故选：A．9．（2023春•泰山区校级期中）把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，所以，＝﹣＝﹣．故选：D．10．（2023春•上杭县期中）已知是整数，则正整数n的最小值是．【答案】6．【解答】解：24＝22×6，∵是整数，∴正整数n的最小值是6．故答案为：6．11．（2022秋•青浦区校级期末）化简：＝．【答案】4x．【解答】解：原式＝4x．故答案为：4x．12．（2022秋•芙蓉区校级期末）如果＝2﹣a，那么a的取值范围是．【答案】a≤2．【解答】解：∵＝2﹣a，∴2﹣a≥0，解得：a≤2．故答案为：a≤2．。
八年级数学下册第1章二次根式知识点总结范文(页)
八年级数学下册第1章二次根式知识点总结范文（页）#飞驰教育个性化辅导讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如.的式子叫二次根式，其中&叫被开方数，只有当二是一个非负数时，才有意义.【例2】若式子有意义，则某的取值范围是J某3举一反三：1、使代数式：某—2某—〔有意义的某的取值范围是2、如果代数式Jm—有意义，那么，直角坐标系中点p(mn)的位置在(imnA、第一象限B、第二象限C第三象限D、第四象限【例3】若【例3】若y=.某5+5某+2022,则某+y=解题思路：式子、a(a>0)某50某5，y=2022,则某+y=20225某0’举一反三:1、若.举一反三:1、若.某11某2(某y)，■则某-y的值为(3、当a取什么值时，代数式、、2a11取值最小，并求出这个最小值。
__11的值.已知a是亦整数部分，b是亦的小数部分，求a的值。
若<17的整数部分为某，小数部分为y，求某的值.b2y知识点二：二次根式的性质【知识要点】非负性：是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.(.a)2a(a0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a0)a(a0)注意a(a0)a(a0)注意：(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.—2a(a0)—2a(a0)a的范围是非负(1)a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2)(a)2a的范围是非负数.(3)a2和(..a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】【例4】若2c420,则a举一反三:已知直角三角形两边某、【例4】若2c420,则a举一反三:已知直角三角形两边某、y的长满足|+..-./y25y6=°,则第三边长为.2、若ab1与.a2b4互为相反数，则2005b如一:.—疏-(公式c.a)2a(a0)的运用)［例5】化简:\a1(—)2的结果为(A4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三：3举一反三：3已知直角三角形的两直角边分别为、、2和5，则斜边长为a(a0)的应用)a(a0)［例6】已知某2,则化简.'某［例6】已知某2,则化简.'某24某4的结果是举一反三:2、化简■.4某24某12某32得((A)2(B)4某4(C)—2(D)4某43、已知a0，化简求值：卜4(a—Ha举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简IA2bB.2bC2aD.2a【例8】化简某28某16的结果是2某-5，则【例8】化简(A)某为任意实数(B)1<某<4(C)某>1(D)某<1举一反三：若代数式（2a）2.(a4)2的值是常数2，则a的取值范围是（d.a2或a4a.a>4b.a<2d.a2或a4或a=1D.a<1【例9】如果aa22a11，那么a或a=1D.a<11、如果a..孑~6a~93成立，那么实数a的取值范围是（）A.a0B.a3;C.a3;D.a32、若(某3)2某30，则某的取值范围是()(A)某3(B)某3(C)某3(D)某3【例10】化简二次根式aa22的结果是3a2(B).a2(O2(D)a21、把根号外的因式移到根号内：当b>0时，bi{=某知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
人教版八年级数学下册二次根式
求此三角形的周长．
解：由题意得 ∴a=3，
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测 拓广探索题
先阅读，后回答问题：
16.1 二次根式/
当x为何值时， x x 1有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
门出来呢？ 0 -4 1
我们都是非负数，
1 可出来之前我们有
-1
4 正数，零和负数.
a为任意数
a
1
1161
44
16
平方之门 算术平方根之门
a2
a2
【想一想】 你发现了什么？
33
素养目标
16.1 二次根式/
2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
1. 经历探索性质（ a ）2 = a（a≥0）和 a2 = a （a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、 猜想的思想方法.
所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64
总结：若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
巩固练习
16.1 二次根式/
4. 已知y = x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3＋2×8=25.
探究新知 知识点 1
16.1 二次根式/
2
a
（a≥0)
性质
（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫 做a的平方根. a的平方根是 a
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二次根式1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如3、 分母≠04、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。
如25 可以写作 5 。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。
其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。
（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。
要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3-8 ； （5）x 2+2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 12）二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质：练习：计算（1）（35）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）-（- 18）2（6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3）★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
例：3，x ，x+y ，3x （x ≥0），-ab ，st （t ≠0，x 3都是代数式注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等） （1） 将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。
如2x+3＞3x-5是关系式。
练习：下列式子：①0；②π2③2+x=4；④x-23＞1；⑤2a+3b ；⑥2-x (x ≤2)，其中是代数式的有（ ）列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
练习：列代数式（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）x+5-3-2x；（2）2x-11-x；（3）x-3+3+x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用a2 =｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2题型五：a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简（a-b+c）2-2｜c-a-b｜题型六：逆用（ a ）2 = a（a≥0）在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
一、二次根式的乘法法则a ．b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
（2）推广① a ． b ．c =abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a b ．cd =ac bd③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
练习：（1）28 ．7 ；（2）14．256 ；（3）4xy ．1y(4)627 ．（-2 3 ）二、二次根式乘法法则的逆用ab = a ． b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如（-4）×（-9）≠-4 ．-9 。
（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：abcd = a ． b ． c ． d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）练习：化简（1）300 ；（2）（-14）×（-112）；（3）200a5b4c3；（4）132-122；（5）16x4+32x2三、二次根式的除法法则a b =ab（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。
若a ，b 都是负数，虽然ab＞0，a b 有意义，但 a ， b 在实数范围内无意义；若b=0，则ab 无意义。
（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如414必须先化成174，以免出现414= 4 ×14这样的错误。
（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。
推广：（m a ）÷（n b ）=（m ÷n ）×（ a ÷ b ），其中a ≥0，b ＞0，n ≠0。
练习：计算（1）48 ÷ 6 ； （2）-27 ÷（31038）； （3）a4b4a 3b ÷（-a 4b ； （4）72a 2b 6b四、二次根式除法法则的逆用a b = a b （a ≥0，b ＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ＞0。
公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可。
例如计算-3-4，不能写为-3-4 =-3 -4，而应写为-3-4=34 = 3 4= 3 2 。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为 ab （a ≥0，b ＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。
当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。
练习：化简（1）549 ； （2）81×125144 ； （3）121b 516a2 五、最简二次根式的概念★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式； （2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。
★化简二次根式的一般方法练习：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。
（1）0.3 ； （2）25xy ； （3）y x ；（4）x 3 ；（5）a 3+6a 2+9a ； （6）2（x 2-y 2）；（7）32n ；（8） 2 3拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式．．．．．（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。
分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有：a 与a ；a+b 与a+b ；a-b 与a-b ；a+b 与a-b ；a b+c d 与a b-c d 等。
练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1）240；（2）1.25；（3）1720；（4）75a 2b典型例题剖析题型一：二次根式乘除法法则成立的条件（1）若x+3．x-3=（x+3）（x-3）成立，则（）A、x≥3B、x≥-3C、-3≤x≤3D、x为任意实数（2）如果xx-6=xx-6成立，那么（）A、x≥6B、0≤x≤6C、x≥0D、x＞6 题型二：二次根式的化简化简：（1）12ab．9a34；（2）412-402；（3）x4+x2题型三：二次根式的乘法混合运算计算：（1）212÷328×（-5227）；（2）2a2-b26a×a3a+6b÷（45a-bb）题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：（1）535；（2）-32；（3）-2a12a；（4）-a-1a；（5）xyx（x＜0，y＜0）题型五：二次根式的大小比较比较大小：（1）72与311；（2）-211与-3 5二次根式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。
3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b25、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 一、可以合并的二次根式★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。
合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m a+n a=（m+n ） a练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。