2018年中考数学基础过关复习第八章图形的变化第4课时锐角三角函数与解直角三角形课件新人教版
【数学课件】2018年河北中考数学《4.4解直角三角形》复习课件和随堂演练
么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°
≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( )
【分析】
作辅助线构造直角三角形，利用解直角三角
形的知识进行解答．
【自主解答】
如图，过点A作BC的平行线AG，
过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°.
∵∠AEF＝143°， ∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∠EAH＝37°. 在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2， ∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72.
知识点二 解直角三角形 1．解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，
叫做解直角三角形．
3．解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角； (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角；
(3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角；
(4)已知直角、两条直角边，求其他边和角．
好好学习，天天向上。
第四节 解直角三角形
知识点一 锐角三角函数 1．锐角三角函数的定义
2．特殊角的三角函数值
由上表可知，当两角互余时，一角的正弦值等于另一角 的余弦值，即若∠A＋∠B＝90°，则sin 围内，sin α ，tan α 的值随
α 的增大而增大，cos α 的值随α 的增大而减小．
知识点三 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数的定义 命题角度❶
(5年0考)
求锐角三角函数的值
(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每 个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误 的是( )
A．sin α ＝cos α C．sin β ＝cos β
中考数学锐角三角函数(共56张PPT)
二、填空题
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离； (2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数)
解：(1) ∵AE=80，∠BAE=30°，∠ABE =90°, ∴BE=AEsin30°=80× =40(m). 答：旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2) ∵∠CED=∠AEB，∠DCE=∠ABE =90°,
∴∠D=∠BAE=30°.
∵CD=34 m,
∴DE=
=
=
(m).
∴DB=BE+DE=
≈40+
≈79(m).
答：海洋球D处到出口B处的距离为79 m.
二、填空题
11. 小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+ sin283°≈0．122+0．992=0．9945; sin222°+ sin268°≈0．372+0932=1．0018; sin229°+ sin261°≈0．482+0．872=0．9873; sin237°+ sin253°≈0．602+0．802=1．0000;
二、填空题
9. (2017北京)计算：4cos30°+
原式=4× +1-
+2
=
+1- +2=3.
-
+
.
10.(2017湘潭)某游乐场部分平面图如图Z2816所示，点C,E,A在同一直线上，点D,E,B在 同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m， C处与D处的距离为34 m，∠C=90°，∠ABE =90°，∠BAE=30°. (2≈1．4，3≈1．7)
图Z28-7
A.
m
B.
m
中考数学【锐角三角函数】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)
8．
cos 60°＝ 1 ，tan 30°＝
2
，∴cos 60°－tan 30°≠0，
∴(cos 60°－tan 30°)0＝1， 解：原式＝ 例7 分析
2 ＋1
3
十＋2
2 ＝3 2 ＋1．
1 32
1 计算 2
－(π －3.14)0－|1－tan 60°|－
3. 3 ＋1＋ 3 ＋2＝10.
第二十八章
本章小结 小结 1 本章概述
锐角三角函数
锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继 续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常 遇到的问题人手， 研究直角三角形的边角关系、 锐角三角函数等知识， 进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握 锐角三角函数和直角三角形的解法， 才能继续学习任意角的三角函数 和解斜三角形等知识， 同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合 思想，应牢固掌握． 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三 角函数(sin A，cos A，tan A)，知道 30°，45°，60°角的三角函数 值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题． 【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解 决实际问题． 【学习本章应注意的问题】 在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角 的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素， 会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形 来求解， 会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模 型，从而提高分析问题和解决问题的能力．
.
tan 60°＝
解：原式＝8－1－
专题 3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查 综合运用知识解决问题的能力. 例 8 如图 28－124 所示，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 为 AC 边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝4．
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．55B.2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°锐角α30°45°60°sin αcos αtan α类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABD CEF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
2018届中考北师大版数学一轮复习第30讲：锐角三角函数及其应用课件 (共28张PPT)
a b 边与角关系： sinA＝cosB＝___ cosA＝sinB＝______ c ， c ，
b a tanA＝______ a b ，tanB＝_____ 1 2absinα 面积关系：S＝________
锐角 α 是 a，b 的夹角
知识梳理
5、某楼梯的侧面如图所示，若 BC 的长约为 3.5 米，∠BCA 约为 29° ，则该楼梯的高度 AB 约为( A )
难点突破
解： （1）过点 C 作 CE⊥BD 于点 E， 则∠DCE＝18° ，∠BCE＝20° ， ∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18° ＋20° ＝38° .
（2）由已知得 CE＝AB＝30 m， 在 Rt△CBE 中，BE＝CE× tan20°≈30×0.36＝10.8(m)， 在 Rt△CDE 中，DE＝CD× tan18°≈30×0.32＝9.6(m)， ∴教学楼的高 BD＝BE＋DE≈10.8＋9.6＝20.4(m)． 答：教学楼的高约为 20.4 m.
坡度和坡角
越陡 坡度越大，坡角 α 越大，坡面________
知识梳理
方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角叫做方向角
难点突破
12 6、如图所示，一辆小车沿倾斜角为 α 的斜坡向上行驶 13 米，已知 cosα＝13，则小车上升 的高度是(
A )
A．5 米
B．6 米
C．6.5 米
图1
图2
图3
随堂检测
1、如图所示，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝5，BC＝3，则 cosB 的值是(
A )
3 A.5
4 B.5
3 C.4
4 D.3ຫໍສະໝຸດ 随堂检测2、如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚距离 为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶 端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( C )
中考数学基础过关复习 第八章 图形的变化 第4课时 锐角三角函数与解直角三角形课件
12/9/2021
12/9/2021
12/9/2021
核心考点解读
12/9/2021
考点1
12/9/2021
考 点 2 解直角三角形 1.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 ，叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的主要依据 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，c，则除直角∠C外的五个元素之间有如下关系： （1）三边之间的关系： a2+b2=c2 （勾股定理）.
12/9/2021
4.（2015 ·钦州）如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上 ，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北 偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里. （1）尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要 求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）； （3）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时 出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船 P处.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
12/9/2021
12/9/2021
12/9/2021
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考 点 4 仰角与俯角 在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹 角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角.
12/9/2021
考点5
12/9/2021
考 点 6 方位角 指南或指北的方向线与目标方向线所 成的小于90°的水平角，叫做方向角. 如图③，OA是表示北偏东60°方向的 一条射线. 注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方 向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向. 我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.
初三数学下《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(提高)+巩固练习
《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A是个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA 130°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方位角：要点诠释：1．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题
c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。
中考专题复习解直角三角形（含答案）
中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。
4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。
5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。
7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。
第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。
依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。
2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。
(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。
⽤字母表⽰，即。
坡度⼀般写成的形式，如等。
把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。
【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。
江苏苏州市2018年中考数学《锐角三角函数》复习精讲
2018年中考数学《锐角三角函数》复习精讲一、重点、难点梳理本单元学习的重点是锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、解直角三角形的方法以及它的实际应用.要正确理解其概念和意义，并能推出特殊角的三角函数值，会运用“转化”思想化斜三角形为直角三角形.通过建立解直角三角形的数学模型，解决距离、高度、角度等计算问题.在解决实际问题时，要正确理解俯角、仰角、方位角、方向角及坡角、坡度等常用术语.注意把握各类图形的特征，综合运用全等三角形、相似三角形和三角形的边角关系解决问题.学习的难点是构造直角三角形，从复杂的几何图形中找出基本图形，综合运用相关知识以及转化的思想、方程的思想、变与不变的思想等解决生产、生活中的实际问题.二、易混、易错点剖析不能准确把握直角三角形中边角之间的关系，张冠李戴，不管是否是直角三角形就盲目套用锐角三角函数的定义求解;不能正确迅速地从比较复杂的图形中找出基本图形，未能掌握“遇斜化直”的基本方法致使解题受阻;在求解直角三角形的应用问题时，不能正确理解常用术语的含义，出现计算、推理错误等等. 三、中考命题解读中考对锐角三角函数的概念及简单性质、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角等知识点的考查，多以中低难度客观题的形式呈现;解直角三角形实际应用的题目几乎是每卷必考，一般是中等难度的解答题，背景公平，贴近生活，颇具时代性，且与全等三角形、平行四边形等知识适度融合，具有一定的综合性.围绕直角三角形边角关系的探索规律、猜想验证、知识拓展等创新性题目近年来也悄然兴起，成为中考试卷一道亮丽的风景. 四、考点题型精讲考点1 锐角三角函数的概念例1 (2017·兰州)如图1，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A.513 B. 1213 C. 512 D. 1312 解析:如图1，在Rt ABC ∆中，90,130ACB AB ∠=︒=Q m, 50BC =m,120AC ∴==m. 505tan 12012BC BAC AC ∴∠===, 故选C.例2 (2016·荆州)如图2，在4X4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC ∆的顶点都在格点上，则ABC ∠的余弦值是( )A.2B.5 C. 12D. 5 解析:首要的问题是确定ABC ∆的形状，可以根据图形信息，尝试运用勾股定理的逆定理判断.易知，在ABC ∆中. 22220,5,25AC BC AB ===. ABC ∴∆是直角三角形，且90ACB ∠=︒.cos BC ABC AB ∴∠==故选D. 评注:锐角三角函数是在直角三角形中定义的，在求锐角三角函数值时，一定不能忽略这一点.例3 (2016·攀枝花)如图3，点(0,3),(0,0),(4,0)D O C 在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin OBD ∠=( )A.12 B. 34 C. 45 D. 35解析:依题意，易知3,4OD OC ==.90,5C O D C D ∠=︒∴=Q .如图3，连接CD ,由圆周角定理，得OBD OCD ∠=∠.3s i n s i n 5OD OBD OCD CD ∴∠=∠==.故选D. 评注:求一个角的三角函数值，通常有两种方法，找出(或构造)所求角所在的直角三角形，直接利用定义来求，如上面的例1，例2;抑或把所求角转化为直角三角形中与它相等的角间接求解，如本例和下面的例4等.例4 (2017·无锡)在如图4的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，,,,A B C D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan BOD ∠的值等于 .解析:解题的关键是构造直角三角形.平移CD 到C D ''交AB 于O '(还有其他的平移方法吗?)，如图4所示，则BO D BOD ''∠=∠.tan tan BOD BO D ''∴∠=∠.设每个小正方形的边长为a ，则,,3O B O D BD a ''''=====.作BE O D ''⊥于点E ，则BD O F BE O D ''⋅===''2O E '∴===. tan 3BEBO E O E'∴∠=='，故tan 3BOD ∠=.故填3.评注:在求解涉及直角三角形边角关系的问题时，如果题中没有可用的直角三角形，需要添加辅助线构造直角三角形来解决.常见辅助线的作法有作高或作平行线两种.本题综合运用了这两种方法.其中体现的转化思想十分重要，需要同学们用心体悟. 考点2 求特殊角的三角函数值 例5 (2017·平凉)计算:0113tan 30(4)()2π-︒+--.解析:原式312121=-=-=. 评注:对特殊角的三角函数值的考查，一般有两种方式:一是在难度较低的混合运算题中，将其和二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂等一并考查;二是在解直角三角形时，需要求出特殊角的三角函数值解决问题. 考点3 已知三角函数值求(锐)角例6 (2016·潍坊)若关于x 的一元二次方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A.15ºB.30 ºC.45 ºD.60 º解析: Q 关于x 的一元二次方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，2(4sin 24sin 0αα∴∆=-=-=，解得1sin 2α=. αQ 为锐角，30α∴=︒.故选B.评注:解题的关键是借助一元二次方程根的判别式得到一个关于sin α的等式，进而在sin α为锐角的约束条件下求解. 考点4 解直角三角形例7 (2016·西宁)⊙O 的半径为1，弦AB =AC =BAC ∠的度数为 .解析:因为题目中没有给出弦,AB AC 的位置关系，所以需分情况讨论:①如图5，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于,E OF AC ⊥于F .90OEA OFA ∴∠=∠=︒.由垂径定理，得,cos 2AE AE BE AF CF OAE OA ====∠==, cos 2AF OAF OA ∠==, 30,45,304575OAE OAF BAC ∴∠=︒∠=︒∠=︒+︒=︒;②如图6所示，仿①中的方法，可求得30,45.453015OAE OAF BAC ∠=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒.综上，答案为75º或15º.评注:忽视分类讨论，就有可能造成漏解.例8 (2017·徐州)如图7，已知AC BC ⊥，垂足为,4,C AC BC ==，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60º，得到线段AD ,连接,DC DB . (1)线段DC = ;(2)求线段DB 的长度.解析:(1)∵AC AD =，60CAD ∠=︒， ∴ACD ∆是等边三角形， 故4DC AC ==.(2)为构造直角三角形，作DE BC ⊥于点E . ∵ACD ∆是等边三角形， ∴60ACD ∠=︒. 又∵AC BC ⊥，∴906030DCE ACB ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴在Rt CDE ∆中，122DE DC ==，cos30CE DC =︒=∴BE BC CE =-=在Rt BDE ∆中，BD == 评注:本题需要综合运用旋转、等边三角形以及直角三角形中的边角关系等知识和转化的思想方法解决问题.考点5解直角三角形的应用.例9 (2017·新疆建设兵团)如图8，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC 为30 m ，在A 点测得D 点的仰角EAD ∠为45︒，在B 点测得D 点的仰角CBD ∠为60︒，求这两座建筑物的高度(结果保留根号).解析:在Rt BCD ∆中，60CBD ∠=︒，30BC =m ， ∵tan CDCBD BC=∠，∴tan CD BC CBD =∠=g (m)，即乙建筑物的高度为如图8，过A 作AF CD ⊥于点F ， 在Rt AFD ∆中，45FAD ∠=︒， ∴30DF AF BC ===m ，∴1)AB CF CD DF ==-=(m)，即为甲建筑物的高度.评注:解题的关键在于一是正确理解仰角、俯角等术语的含义，二是对特殊角的三角函数值能够了然于心.其实，特殊角的三角函数的取值和变化是有规律可循的，记忆起来并不难.如，正弦值逐渐增大，角度:(0)30456090α︒→︒→︒→︒→︒，01sin :(0)22α=→1222=→→→=. 例10 (2017·庆阳)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风景线是兰州最美的景观之一，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的,A B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量.如图9，测得45DAC ∠=︒，65DBC ∠=︒，若132AB =米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米?(结果精确到1米，参考数据: sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈)图 9解析:易知，若过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ， 则可出现两个直角三角形. 设BE x =，在Rt DE ∆中，tan DEDBE BE∠=， ∵65DBC ∠=︒， ∴tan65DE x =︒g . 又∵45DAC ∠=︒， ∴AE DE =∴132tan65x x +=︒g ， 解得115.8x ≈. ∴248DE ≈(米). 答:(略).评注:本题的解答体现了方程思想.当三角形中的线段不易直接求出时，需要依托方程求解.运用三角函数的定义建立方程，选好三角函数是关键.其一般规律是，当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦，无斜边时，就用正切，即所谓的“有斜用弦，无斜用切”.还应注意，当所求元素既可用乘法算式又可用除法算式表示时，尽量用乘法算式;既可用已知数值又可用中间数值运算时，尽量用已知数值;不要企求每一步都得出具体数值，“能拖则拖”，尝试整体处理，尽量缩小误差，降低运算的繁杂程度.例11 (2017·泸州)如图10，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70. n mile ，若读刨nb 由西向东航行30 n mile 到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30º方向上，求该渔船此时与小岛C 之间的距离.解析:过点C 作CD AB ⊥于点D .由题意，得30BCD ∠=︒. 设BC x =，则在Rt BCD ∆中，1sin 302BD BC x =︒=g ，cos30CD BC x =︒=g .∴1302AD x =+. ∵222AD CD AC +=，即2221(30))702x x ++=， 解得50x =(舍去负值).答:(略).评注:通过添加辅助线，构造两个直角三角形，借助于勾股定理，建立起了已知量与未知量之间的相互联系，使问题顺利得以解决.例12 (2017·江西)如图11，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角” α约为20º，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角” β约为100º.图11②是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直.(1)若屏幕上下宽20BC =cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长; (2)若肩膀到水平地面的距离100DG =cm ，上臂30DE =cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离72FH =cm.请判断此时β是否符合科学要求的100º?(参考数据:14sin 6915︒≈，14cos 2115︒≈，4tan 2011︒≈，14tan 4315︒≈，所有结果精确到个位) 解析:(1)∵在Rt ABC ∆中，tan BCA AB=，∴20554tan tan 2011BC BC AB A ==≈=︒(cm).(2)延长FE 交DG 于点I ，则2007228DI DG FH =-=-=(cm ).在Rt DEI ∆中，2814sin 3015DI DEI DE ∠===， ∵14sin 6915︒≈，∴69DEI ∠=︒，180********β∠=︒-︒=︒≠︒，故此时β不符合100º的科学要求.评注:本题取材既具有时代性，又十分贴近生活，还顺便普及了科学使用电脑的知识.命题者通过从现实场景中抽象出几何图形，用分数表出参考数据等举措，有效地降低了题目的难度.例13 (2017·威海)图12①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:①②③图12如图12②，AB BC⊥，垂足为点B，EA AB⊥垂足为点A，//CD AB，10CD=cm，120DE=cm，FG DE⊥，垂足为点G.(1)若3750'θ∠=︒，则AB的长约为cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG=cm，60θ∠=︒，求CF的长.解析:(1)如图123，作EP BC⊥于点P，作DQ EP⊥于点Q，则10CD PQ==，2390∠+∠=︒.∵190θ∠+∠=︒，且12∠=∠，∴33750'θ∠=∠=︒，则sin3120sin3750'EQ DE=∠=︒g g，∴120sin3750'1083.2AB EP EQ PQ==+=︒+≈g(cm).(2)如图12③，延长ED，BC交于点K，由(1)知360Kθ∠=∠=∠=︒.在Rt CDK∆中，tanCDCKK==∠在Rt KGF∆中，sinGFKFK===∠，则CF KF KC=-===，即为所求.评注:正确添加辅助线构造直角三角形，善于从复杂的图形中找出可用的简单图形和数量关系，是顺利解题的先决条件.考点6其他创新题型例14 (2017·嘉兴)如图13，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan1BAC∠=，21tan3BA C∠=，31tan7BA C∠=，计算4tan BA C∠=，…按此规律，写出tannBA C∠=(用含n的代数式表示).解析:如图13，过点C作4CE A B⊥于E，易得441A BC BA A∠=∠，∴4411tan tan4A BC BA A∠=∠=.在Rt BCE∆中，由41tan4A BC∠=，得4BE CE=，而1BC=，则CE=BE=而4A B==∴44A E AB BE=-=在4Rt A EC∆中，441tan13CEBA CA E∠==.又∵11tan1101BAC∠==⨯+，211tan3211BA C∠==⨯+，31tan 7BA C ∠= 1321=⨯+， 411tan 13431BA C ∠==⨯+，…， 由此规律，不难得出211tan (1)11n BA C n n n n ∠==⨯-+-+故答案为113，211n n -+. 评注:本题属于规律探究型问题，需运用定义，求出锐角三角函数的值，并结合已知数值，探求数字规律，现在的问题是，题目中与求解关联度很高的三角形都是斜三角形，需要“遇斜化直”，引垂线构造直角三角形，综合运用其中的边角关系解决问题.例15 (2017·福建)小明在某次作业中得到如下结果:2222sin 7sin 830.120.990.9945︒+︒≈+= 2222sin 22sin 680.370.93 1.0018︒+︒≈+= 2222sin 29sin 610.480.870.9873︒+︒≈+= 2222sin 37sin 530.600.80 1.0000︒+︒≈+=2222sin 45sin 45((122︒+︒=+= 据此，小明猜想:对于任意锐角α，均有22sin sin (90)1αα+︒-=. (1)当30α=︒时，验证22sin sin (90)1αα+︒-=是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请举出一个反例.解:(1)当30α=︒时，22sin sin (90)αα+︒-22sin 30sin 60=︒+︒221()2=+ 1=∴22sin sin (90)1αα+︒-=成立.(2)小明的猜想成立，证明如下:如图14，在ABC ∆中，90C ∠=︒，设A α∠=，则90B α∠=︒- ∴22sin sin (90)αα+︒-22()()BC AC AB AB=+ 222BC AC AB +=22AB AB=1= 评注:本题属于归纳猜想型问题，证明猜想的思路是，回到锐角三角函数的定义，在直角三角形中，借助勾股定理进行推证.本例的结论揭示了直角三角形中两个互余锐角的同名函数(正弦、余弦)之间存在的一种平方关系，它又可表述为22sin cos 1αα+=，这是一个非常有用的结论. 【中考演练】1.(2017·烟台)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AB =，BC =，则sin2A= . 2.(2016·陕西)已知抛物线223y x x =--+与x 轴交于,A B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接,AC BC ，则tan CAB ∠的值为( )A.12B. C. D. 23.(2017·衢州)计算:0(1)2tan 60π+⨯--︒.4.(2017·台州)如图15是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门AO 宽为1.2米，当车门打开角度AOB ∠为40︒时，车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈)图 155.(2017·宜宾)如图16，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B ，C ，测得30α∠=︒，45β∠=︒，量得BC 长为100米，求河的宽度(结果保留根号).6.(2017·黔东南州)如图17，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60º，根据有关部门的规定，39α∠≤︒时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)(参考数据:sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈ 1.41≈ 1.73≈ 2.24≈)7.(2017·河南)如图18所示，我国两艘海监船,A B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C .此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45º方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53º方向.已知A 船的航速为30海里/时，B 船的航速为25海里/时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据: 4sin 535︒≈，3cos535︒≈，4tan 533︒≈)8. ( 2017·常德)图19和图20分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座0.60BC =米，底座BC 与支架AC 所成的角75ACB ∠=︒，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮筐D 的距离 1.35FD =米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角60FHE ∠=︒，求篮筐D 到地面的距离(精确到0.01米).(参考数据:cos750.2588︒≈，sin750.9659︒≈，tan75 3.732︒≈ 1.732≈ 1.414≈)图 19 图 209.(2017·舟山)如图21是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放，高80AD =cm ，宽48AB =cm ，小强身高166cm ，下半身100FG =cm ，洗漱时下半身与地面成80︒ (80FGK ∠=︒)，身体前倾成125︒(125EFG ∠=︒)，脚与洗漱台距离15GC = cm(点,,,D C G K 在同一直线上).(1)此时小强头部E 点与地面DK 相距多少？(2)小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前进或后退多少?(sin800.98︒≈，cos800.18︒≈ 1.41≈，结果精确到0.1)10. (2017年赤峰)如图22，在ABC ∆中，设A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，会有sin AD C AC =，则12ABC S BC AD ∆=g 11sin sin 22BC AC C ab C ==g ，即1sin 2ABC S ab C ∆=. 艺同理，1sin 2ABC S bc A ∆=，1sin 2ABC S ac B ∆=.通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理一余弦定理:如图23，在ABC ∆中，若A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:(1)如图24，在D E F∆中，60F ∠=︒，D ∠，E ∠的对边分别是3和8.求DEF S ∆和2DE .1sin 2DEF S EF DF F ∆==g ;2222cos DE EF DF EF DF F =+-=g .(2)如图25，在ABC ∆中，已知AC BC >，60C ∠=︒，'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆分别是以AB ，BC ，AC 为边长的等边三角形，设ABC ∆，'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆的面积分别为1234,,,S S S S ，求证:1234S S S S +=+.答案:1. 122. D3.0(1)2tan 60π+⨯--︒122=⨯-=4. 依题意，过A 作AC OB ⊥于点C ， 在Rt AOC ∆中，40AOC ∠=︒， ∴sin 40ACOA︒=. ∵ 1.2OA =，∴sin 40 1.20.640.768AC OA =︒≈⨯=(米). ∵0.7680.8AC =<， ∴车门不会碰到墙.5.过点A 作AD BC ⊥于点D . ∵45β∠=︒，90ADC ∠=︒， ∴AD CD =.设AD CD x ==m ，则tan 30100x x ︒==+，解得1)x =.答：(略)6.如图27，假设点D 移到'D 的位置时，恰好39α∠=︒，过点D 作DE AC ⊥于点E ，作''D E AC ⊥于点'E .∵ 1.2CD =米，60DCE ∠=︒，∴sin 6012DE CD =︒==米)， 1cos601262CE CD =︒=⨯=(米). ∵DE AC ⊥，''D E AC ⊥，'//'DD CE ， ∴四边形''DEE D 是矩形.∴''DE D E ==米) ∵''39D CE ∠=︒，∴'''12.8tan 39D E CE =≈≈︒，∴''12.86 6.8EE CE CD =-=-=(米). 答:(略).7. 过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ， 则90CDA ∠=︒.已知45CAD ∠=︒，设CD x =， 则AD CD x ==.∴5BD AD AB x =-=-.在Rt BDC ∆中，tan53CD BD =︒g ， 即(5)tan 53x x =-︒g ，∴455tan 533204tan 53113x ⨯︒=≈=︒--. ∴20254sin 53sin 535CD x BC ==≈=︒︒∴B 船到达C 船处约需时间:25251÷=(小时).在Rt ADC ∆中，AC ==，0.9430=. 故C 船至少要等待0.94小时才能得到救援.8.如图28，过点E 作EP BC ⊥于P ，过点A 作AQ FP ⊥于Q . 在Rt ABC ∆中，∵tan ABACB CB∠=∴tan750.60 3.732 2.239AB CB =︒≈⨯=g (米)，易知四边形ABPQ 是矩形. ∴ 2.239PQ =米.又∵HE FP ⊥，AQ FP ⊥， ∴//HE AQ ，60FAQ FHE ∠=∠=︒. 在Rt FAQ ∆中，sin FQFAQ FA∠=，∴ 2.50 2.165FQ =≈(米). ∴ 2.165 1.350.815DQ FQ FD =-=-=(米)，0.815 2.239 3.05DP DQ PQ =+=+≈(米).答:(略).9.(1)如图29，过点F 作FN DK ⊥于点N ，过点E 作EM FN ⊥于点M . ∵166,100EF FG FG +==， ∴66EF =.∵80FGK ∠=︒，∴100sin8098FN =︒≈. 又∵125EFG ∠=︒，∴1801251045EFM ∠=︒-︒-︒=︒.∴66cos 4546.53FM =︒=≈.∴144.5MN FN FM =+≈.故此时小强头部E 点与地面DK 相距约144.5 cm.(2)如图29，过点E 作EP AB ⊥于点P ，延长OB 交MN 于点H . ∵48AB =，O 为AB 的中点， ∴24AO BO ==.∵66sin 4546.53EM =︒≈，即46.53PH ≈，100cos8018GN =︒≈，15CG =， ∴24151857OH =++=，5746.5310.4710.5OP OH PH =-=-=≈. 故小强应向前讲约10.5 cm.10.(1)在DEF ∆中，60F ∠=︒，D ∠，E ∠的对边分别是3和8，∴11sin 38sin 6022DEF S EF DF F ∆==⨯⨯⨯︒=g 222222cos 38238cos6049DE EF DF EF DF F =+-=+-⨯⨯︒=g(2)证明:如题图25， ∵60C ∠=︒，∴222222cos60AB AC BC AC BC AC BC AC BC =+-︒=+-g g ， 即222AB AC BC AC BC =+-g两边同乘以告1sin 602︒， 得2221111sin 60sin 60sin 60sin 602222AB AC BC AC BC ︒=︒+︒-︒g ， 即2221111sin 60sin 60sin 60sin 602222AC BC AB AC BC ︒+︒=︒+︒g . 又∵'ABC ∆，'BCA ∆，'ACB ∆都是等边三角形，∴11sin 602S AC BC =︒g221sin 602S AB =︒，231sin 602S BC =︒，241sin 602S AC =︒，故1234S S S S +=+.。
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。
xx 。
]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)解直角三角形》专题复一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
几何表示：因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以a²+b²=c²。
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。
二、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。
锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1.3）弦切关系：tanA= sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。
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注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方
向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向. 我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.
北部湾怎么考
B
C
A
5.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在
BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC
的周长.(结果保留根号)
［分析］根据正切的定义分别求出 AB 、 DB 的长，
结合图形求出DH，比较即可.
6.(2017· 北部湾模拟)如图，从坡上建 筑物AB观测坡底建筑物CD.从A点测 得C点的俯角为45°，从B点测得D点 的俯角为30°.已知AB的高度为10m， AB与CD的水平距离是OD=15m， 则CD的高度为 留根号）. m（结果保
（1）三边之间的关系： a2+b2=c2 （勾股定理）.
考点4
仰角与俯角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹 角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角.
考点5
考点6
方位角
指南或指北的方向线与目标方向线所 成的小于90°的水平角，叫做方向角. 如图③，OA是表示北偏东60°方向的 一条射线.
出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船
P处.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
核心考点解读
考点1
考点2
解直角三角形
1.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程
，叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的主要依据 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别 为a，b，c，则除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：
第4课时 锐角三角函数与解直角三角形
中考考什么
B
C
3.（2016 · 钦州）如图，为固定电线杆 AC，在离
地面高度为6m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面
上的BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为（C）
（结果精确到0.1m，参考数据：
sin48°≈0.74，cos48°≈0.67
，tan48°≈1.11）
A.6.7m B.7.2m
C.8.1m D.9.0m
4.（2015 · 钦州）如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上 ，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北
偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里.
（1）尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要 求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）； （3）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时