经济学中的 “弹性”大全

第二章 弹性分析
影响商品需求的任何因素变动将导致商品需求发生改变，商品销售方渴望知道，如果他们对商品销售价格进行调整、对商品质量进行改进或者提高售后服务水平等等，其商品的市场需求将如何变化；同样，政府也想知道，调整税收将如何影响产品和劳务的市场需求，更一般地说，函数自变量变化能在多大程度上影响函数因变量变化。

为了更好地进行定量分析，经济学家选择了一个被命名为弹性（η）的定量分析指标，弹性描述了函数因变量对自变量变化的敏感程度，即自变量变化1%个单位时，因变量将变化百分之几个单位。

如果函数表达式为()y f x =，那么，我们可以利用数理工具将函数图像上11(,)A x y 和22(,)B x y 两点之间的弧．弹性．．
刻画如下： 100%100%y y x y x x y
x
η∆⨯∆===⋅∆∆⨯因变量变化的百分数弧弹性()自变量变化的百分数 （2-1） 当11(,)A x y 、22(,)B x y 两点无限靠近，即0x ∆→时，弧弹性演化成点弹性．．．，同样，我们可以利用数理工具将点弹性刻画如下：
dy x dx y
η==⋅因变量变化的百分数点弹性()自变量变化的百分数 （2-2） 第一节 弹性的数理刻画与几何意义
面对具有函数关系的变量，比如()y f x =，或者123(,,,...,)n y f x x x x =，经济
学研究中，常常需要考察自变量变化()x ∆对因变量变化()y ∆的影响力度(
y x
∆∆)。

如果仅仅研究11(,)A x y 和22(,)B x y 两个状态，那么，最理想的研究工具当然是y x
∆∆，因为y x ∆∆直观地显示：自变量变化1单位时，因变量变化y x ∆∆单位，但是，这种比较静态方法没有经济学边际分析意义。

由于导数具有边际分析意义，所以，经济学更多地利用导数()dy dx
刻画自变量变化()dx 对因变量变化()dy 的影响力度，但是，对目标函数求导的结果往往是
一个不具有经济学含义的导函数，因此，经济学引入弹性概念，用以描述自变量变化1%个单位时，因变量变化百分之几个单位，即dy x dx y η=⋅，或者y x x y
η∂=∂。

经济学常常利用导数与弹性进行经济分析。

经济学利用导数的正负号判断函数单调性，从而判断经济变量之间表现为同方向变化还是反方向变化；利用弹性符号η替代dy x dx y
，不仅消除了表达式中的微分符号、简化了表达式，而且η具有直观经济学含义。

我们首先将注意力聚焦于弹性的数理刻画，然后将视线转移到弹性的几何意义。

一、需求的价格弹性
需求弹性分为需求的价格弹性、需求的收入弹性和需求的交叉弹性等①。

我们将在下文分别详细探讨。

需求的价格弹性描述了商品需求量对商品价格变化的敏感程度。

假设某商品的需求函数为()Q f P =，则该商品需求的价格弹性可以表示为：
100%100%Q Q P Q P P Q
P
∆⨯∆===⋅∆∆⨯需求量变化的百分数需求的价格弹性价格变化的百分数 （2-3） 式（2-3）刻画了某商品的销售价格从1P 变化到2P 时，该商品需求曲线上点11(,)A P Q 和点22(,)B P Q 之间的弧弹性大小，其中，21Q Q Q ∆=-，21P P P ∆=-，12()/2Q Q Q =+，12()/2P P P =+。

商品价格与商品需求量之间的反方向变化必然导致0Q P P Q
∆⋅<∆，但是，商品需求量对商品价格变化的敏感程度仅仅取决于||Q P P Q ∆⋅∆的大小，而与Q P P Q
∆⋅∆的符号无关，同时，为了方便不同弹性之间进行相互比较，我们将需求的价格弹性调整为：
① 国内市场大量充斥着假冒伪劣产品的情况下，商品质量对商品需求量的影响甚至超过了价格对商品需求量的影响，所以，研究商品的质量弹性是件非常有意义的工作，但是，由于商品质量高低程度难以量度和计量，因此，经济学一般避开了这个“话题”。

||Q P Q P P Q P Q
∆∆=⋅=-⋅∆∆需求的价格弹性 （2-4） 式（2-4）刻画了需求曲线上两点之间的弹性大小，因此，我们称之为弧弹性．．．。

如果0P ∆→，那么，必然有0Q ∆→，当需求曲线上两点之间的变化量无限趋向于零时，我们称之为点弹性．．．
，点弹性的具体表达式为： 0lim ||||P Q P dQ P dQ P P Q dP Q dP Q
∆→∆=⋅=⋅=-⋅∆需求的价格弹性 （2-5） 我们也可以将需求的价格弹性表示为ln ln d Q d P η=
①，值得注意的是，dQ P dP Q η=⋅更适合于处理线性问题，ln ln d Q d P
η=更适合于处理非线性问题。

例题1： 假设某商品的需求函数为b Q aP =，其中，a 和b 为非零常数，则需求的价格弹性为多少？
解答： 方法①：ln ln ln ln ln b d Q Q aP Q a b P b d P η=⇒=+⇒=
= 方法②：11
b b b dQ dQ P P abP abP b dP dP Q aP
η--=⇒=== 心得体会：面对非线性问题时，首先对需求函数两边同时取对数，将之转换为线性形式，然后利用ln ln d Q d P
η=求弹性，可以大大简化运算过程。

①证明1：利用微分方法：
1ln ln ln 1ln dQ dQ d Q dQ d Q Q Q Q dP d P dP d P dP P P P η⎫=
=⎪⎪⇒==⎬⎪==⎪⎭ 证明2：利用导数方法：
ln 1ln ln ln ln 1ln d Q dQ d Q d Q P dQ dQ Q Q d P Q dP d P dP d P dP P P η⎫=⇒=⎪⎪⇒==⎬⎪=⇒=⎪⎭
证明3：利用链式法则：
ln 1ln ln 1ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln ln ln dQ dQ d P dQ dQ dQ P d Q d Q dQ dQ P dQ dP d P dP d P P d P dP d Q d Q dQ dQ d P dQ d P Q d P Q dP d P dQ d P Q d P η⎫==⇒=⎪⎪⇒====⎬⎪==⎪⎭
二、需求的收入弹性
需求的价格弹性描述了商品需求量对该商品价格变化的敏感程度，但是，政府决策部门和经济学理论研究人员都想知道商品需求量（Q ）对消费者收入（M ）变化的敏感程度，于是我们引入需求的收入弹性。

与需求的价格弹性完全类似，我们可以将需求的收入弹性刻画如下：
dQ M dM Q =
⋅需求的收入弹性 ( 2-6) 如果0dQ dM
>，那么，表明消费者对该商品的需求随着收入的增加而增加，我们称这类商品为正常品．．．；如果0dQ dM
<，那么，表明消费者对该商品的需求随着收入的增加而减少，我们称这类商品为低等品．．．；如果0dQ dM
=，那么，表明消费者对该商品的需求与收入无关，我们称这类商品为中性品．．．。

我们可以将上述分析归纳如下：
000dQ dM dQ dM dQ dM ⎧>⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<⎪⎩
我们将此类商品称为正常品我们将此类商品称为中性品我们将此类商品称为低等品，；
，；，。

0M dQ Q dM >⇒与dQ M dM Q
⋅的符号相同，因此，我们可以借用需求的收入弹性作为分类标准，对商品分类①进行如下刻画：
0ηηηη⎧⎪<⎪⎪⎨⎪<<⎧⎪⎨⎪>⎩⎩
低等品()商品中性品(=0)必需品(01)正常品奢侈品(1)
① 特别注意：将商品分类为低等品、正常品和中性品的唯一标准是需求的收入弹性，与任何其它指标无关，这对掌握好收入效应非常紧要！另外，没有哪种商品天然就是低等品或正常品。

对某个消费是低等品的商品对另一个消费者可能是正常品，对同一个消费者来说，某商品在某时期是正常品，但在另一时期可能是低等品，在某一时期的低等品，但在另一时期也可能是正常品。

例题2：证明：两商品模型中，如果其中一种商品为劣等品，那么，另一种商品必为奢侈品。

解答：
我们知道：劣等品的收入弹性小于0，正常品的收入弹性大于0，奢侈品的收入弹性大于1。

在两商品模型中，假设商品X 为劣等品，另一种商品为Y ，则有/0/dX X dM M
<，消费者预算约束方程X Y XP YP M +=两边同时对M 求导数，得1X Y dX dY P P dM dM +=，对其进行整理可得//1//X Y XP YP dX X dY Y dM M M dM M M
⨯+⨯=，由于/0/dX X dM M <，所以，必有/1/Y YP dY Y dM M M ⨯>，又因为01Y YP M
<<，因此，必有/1/dY Y dM M
>，即Y 商品的收入弹性大于1，从而命题得证。

心得体会：因为我们将商品分类的标准是需求的收入弹性，所以，在具体分析时必须“凑”出需求的收入弹性表达式，否则分析过程便难以为继。

这种“凑”弹性表达式的方法在经济学分析中得到了广泛应用，希望读者好好体会。

三、需求的交叉弹性
即使与被研究商品相关的所有其它条件保持不变，相关商品价格发生变化也会影响消费者对被研究商品的需求量。

与被研究商品相关的商品包括替代品和互补品。

在消费中可以相互替代以满足消费者某种欲望的商品被称为替代品．．．
，如雪碧和可乐、王老吉与加多宝等。

在其它条件不变的情况下，对被研究商品而言，如果替代品价格上涨，那么，消费者对被研究商品的需求量增加；如果替代品价格下跌，那么，消费者对被研究商品的需求量减少。

消费者将某两种商品相互捆绑使用，以满足消费者某种欲望的商品被称为互．补品．．
，如汽车与汽油、左脚鞋与右脚鞋等。

在其它条件不变的情况下，对被研究商品而言，如果其互补品价格上涨，那么，消费者对被研究商品的需求量减少；如果其互补品价格下跌，那么，消费者对被研究商品的需求量增加。

因为替代品和互补品的价格变动影响商品需求量，为了对这类经济现象进行定量分析，我们不得不提及商品需求的交叉弹性。

//A A B B
Q Q A B P P ∆==∆商品需求量变化率需求的交叉弹性商品价格变化率
我们也可以根据商品交叉弹性大小将商品分类为替代品、互补品和无关品。

如果两种商品之间的需求交叉弹性大于零，则这两种商品是替代品。

对于替代品来说，如果商品B 涨价，则必然导致商品A 的需求增加，相反，如果商品B 跌价则必然导致商品A 的需求减少。

如果两种商品之间的需求交叉弹性小于零，则这两种商品是互补品。

对于互补品来说，如果商品B 涨价，则必然导致商品A 的需求减少；如果商品B 跌价，则必然导致商品A 的需求增加。

如果两种商品之间的需求交叉弹性等于零，我们称这两种商品为无关品。

四、供给弹性
供给弹性是指供给的价格弹性，被用来描述商品供给量对商品价格变动的敏感程度。

我们可以将供给弹性刻画如下：
Q P P Q
∆==⋅∆供给量变化率供给弹性价格变化率 供给弹性等于0表明完全无弹性，即无论价格怎样变化，供给量都不会，我们称这种现象为无弹性供给；供给弹性小于1表示供给缺乏弹性，即供给量的变化幅度小于价格变动幅度；供给弹性等于1表示供给量与价格同步变化；供给弹性大于1表示供给富有弹性，即供给量的变化幅度大于价格变化幅度。

五、短期弹性和长期弹性
弹性被用来描述自变量变化对因变量变化的影响，这时候我们必须十分清楚，量度商品需求量和供给量变化的时间跨度到底有多大。

如果时间很短，那么我们面对的便是短期需求或短期供给的变化，但是在长期，消费者和生产者会有足够长的时间来充分调整以适应价格的变动。

对于大多数商品来说，长期需求远比短期需求富有弹性。

原因之一就是消费者必须花较长时间才能改变他们的消费偏好，另一个原因是人们对某种商品的需求可能与另一种商品的存量有关。

考虑汽油价格变化对汽油需求的影响：短期内，汽油价格上升对汽油需求的影响非常小，因为司机也许会减少汽车使用量，但是他们不可能一夜之间减小他们的汽车排量（短期内，汽油涨价对汽车数量的影响可能相当有限），但在长期内，驾车者会改用更省油的汽车，所以，汽油价格上升对汽油需求量的影响较大，
汽油的长期需求比短期需求更富有弹性。

图2-1()a描述了这类商品的短期和长期需求曲线。

再考虑汽车涨价对汽车需求量的影响：如果汽车涨价，短期内，人们可能大幅度减少其购车数量（因为汽车为耐用品），长期内，人们不得不购买新车以替换旧车，需求量将再次上扬，结果汽车需求量的长期变化要比短期变化小得多。

图2-1()b显示了诸如汽车之类耐用品的短期需求曲线和长期需求曲线。

图2-1短期和长期对需求弹性的影响
图()a表明：短期内汽油价格上涨对汽油需求量的影响较小，原因在于人们不但不会放弃汽车这种代步工具，而且也不太可能减少汽车排量，但长期内人们可以用排量更小的汽车替代大排量汽车，于是，汽油价格上涨对汽油需求量的影响较大；图()b表明：短期内汽车涨价对汽车需求量的影响较大，原因在于汽车是耐用品，当汽车涨价时，短期内人们可以“忍着”不买新车，但长期内人们不得不以新车替换旧车，因此，汽车涨价在长期内对汽车的需求量影响较小。

短期和长期供给弹性也相差悬殊。

以大多数产品来说，长期供给弹性远大于短期供给弹性，因为短期内，厂商面临厂房、机器设备等生产能力约束。

厂商在短期内扩大生产能力的主要途径是延长工人的工作时间。

一般情况下，即使在短期内，商品价格比较小的变化也不会提高厂商的供给量，因为短期内提高产量的成本非常大（想想发达国家昂贵的加班费就会明白其中的道理），除非商品的价格出现大幅度的上升（这种情况极少发生）或者突然事件①。

但是，如果长期内
①汶川地震时急需大量帐篷，短期内无法增加生产线的情况下，即使不支付工资，工人也愿意三班倒地生产帐篷。

某商品的需求大幅度增加了或价格提高了，那么，必然导致更多的厂商进入该行业，从而扩大供给。

如果生铁的价格上涨，那么，短期内，由于受到生产能力约束，生铁供给量的增加相当有限，但在长期内，必然有更多的厂商进入生铁行业，从而大幅度地提高供给量，图2-2()a 描述了这类商品的短期供给曲线和长期供给曲线。

对某些商品而言，短期供给比长期供给更富有弹性。

如果钢材价格上涨，这将刺激厂商将更多的生铁冶炼成钢铁，于是钢材产量会大幅度上升，但在长期内，随着生铁存量下降，钢铁产量也会下降，所以，其供给的长期弹性要小于短期弹性。

图2-2()b 显示了这类商品的短期供给曲线和长期供给曲线。

图2-2短期和长期对供给弹性的影响
图2-2()a 表明：由于受到生产能力的约束，生铁的长期供给弹性大于短期供给弹性；图2-12()b 表明：由于受了中间产品生铁的约束，钢材的短期供给弹性大于长期供给弹性。

六、弹性的几何意义
尽管弹性包括弧弹性和点弹性，但我们只介绍更具边际分析意义的点弹性。

点弹性是指函数图像上某一点的弹性。

假设函数表达式为()y f x =，则弹性/||||/dy y dy x dx x dx y
η==⋅，图2-3直观展示了弹性的几何意义。

图2-3弹性的几何意义
函数图像上任一点的切线与函数相切的点将切线分为分别与X 轴和Y 轴相交的两条线段，切点到与Y 轴相交点的线段长度与切点到与X 轴相交点的线段长度的比值等于弹性。

/||||||||||||||||/||||||||||||
dy y dy x DP OD DP OD OD AP dx x dx y DB OC DB DP DB PB η==⋅=⋅=⋅==，因此，点弹性的几何意义：函数在任一点的切线与函数相切的点将切线分为分别与X 轴和Y 轴相交的两条线段，切点到与Y 轴相交点的线段长度与切点到与X 轴相交点的线段长度的比值等于弹性。

下文将以线性需求函数和非线性需求函数为例对经济学中弹性的几何意义进行进一步探讨。

1、线性需求函数的点弹性的几何意义。

设需求函数,(0,0)Q a bP a b =->>，R 为需求曲线上任意一点，则点R 的弹性为d dQ P dP Q
η=-⋅。

根据需求的价格弹性定义可得：||||||||||d dQ P OB OD dP Q OA OC η=⋅=⋅①，||||||||||||
OB CB CB OA CR OD ==②， 结合①②得||||||||||||||||||||||||d dQ P OB OD CB OD CB RB dP Q OA OC OD OC OC RA η=
⋅=⋅=⋅==。

所以，线性需求函数图像上任意一点的弹性的几何意义：线性需求函数图像上任意一点R 的弹性等于该点到线性需求曲线与横坐标轴的交点（B ）的距离与它到线性需求曲线与纵坐标轴的交点（A ）距离的比值。

图2-4线性需求函数点弹性的几何意义
线性需求函数图像上任意一点R 的弹性等于该点到线性需求曲线与横坐标轴的交点
（B ）的距离与它到线性需求曲线与纵坐标轴的交点（A ）距离的比值。

2、非线性需求函数的点弹性的几何意义。

非线性需求函数的点弹性的几何意义可以描述如下：假设非线性需求函数为()Q f P =，点S 为需求曲线上任意一点，延长过点S 的切线，使切线分别与横坐标和纵坐标分别相交于点G 和点F 。

根据需求的价格弹性的定义有：
||||||||||||||||||
d dQ P DG DS DG SG dP Q DS OD OD SF η=⋅=⋅==
图2-5非线性需求函数的弹性的几何意义
非线性需求曲线上任意一点S的弹性等于过该点的切线与横坐标轴的交点（G）的距离和过该点的切线与纵坐标轴的交点（F）的距离的比值。

所以，非线性需求函数图像上任意一点的弹性的几何意义：非线性需求曲线上任意一点S的弹性等于过该点的切线与横坐标轴的交点（G）的距离和过该点的切线与纵坐标轴的交点（F）的距离的比值。

从图形上看，为什么图2-4和图2-5的弹性的几何意义刚好与图2-3的弹性的几何意义成倒数关系？原因在于绘制数学函数图像时，习惯于将自变量（X）放置于横坐标轴上，将因变量（Y）放置于纵坐标轴上，而经济学在绘制需求曲线图像时，常将自变量（P）放置于纵坐标轴上，将因变量（Q）放置于横坐标轴上。

例题3：假设某商品需求函数为1005
Q P
=-，如果商品需求的价格弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是多少？
解答：方法①：
5
||||110
1005
dQ P P
P
dP Q P
η==>⇒>
-
；
max
100520
Q P P
=-⇒=
所以，商品价格(10,20]
P∈
方法②：利用弹性的几何意义直接求解
图2-6利用弹性几何意义直接求解
从图2-6中可以直接看出，当该商品需求的价格弹性的绝对值大于1时，商
品价格(10,20]P ∈
心得体会：“数形结合”不仅是求解高考数学题的法宝之一，也是经济学分析中的常用方法。

第二节 弹性在经济分析中的应用
“薄利多销”是我国传统的经营理念，所谓“薄利多销”是指以降低商品价格的方式进行促销，销售方可以得到更大利益。

这种思想在现实经济生活中具有普遍意义吗？我们可以用弹性理论对这一说法的正确性进行检验。

一、价格、销售量与总收益
掌握弹性分析工具后，我们可以对商品价格（P ）变动对总收益（TR ）的影响①进行数理分析，即验证函数()TR P 的单调性②。

从微商角度看，就是要考查dTR dP
的正负号，即价格降低1单位货币时，总收益将变化（增加或减少）多少单位货币。

假设商品的反需求函数为()P f Q =，则有TR PQ =，两边同时对P 求
导数可得： 0,1()(1)0,10,1dTR dQ PdQ Q P Q Q Q dP dP QdP ηηηη><⎧⎪=+=--=-==⎨⎪<>⎩
③ 当商品需求缺乏弹性（1η<）时，0dTR dP
>，即总收益（TR ）是价格（P ）的增函数，所以，总收益随商品销售价格的提高而增加，随商品价格的降低而下降。

由于食盐和香烟等商品非常缺乏弹性，所以，政府成立了盐业局和烟草局对其价格进行管制。

当商品需求富有弹性时（1η>）时，
0dTR dP <，即总收益（TR ）是价格（P ）
① 读者可能会认为利润最大化才是企业的经营目标，为什么要考虑总收益最大化呢？建议您思考航空公司机票打折情况。

因为乘坐飞机对大多数乘客来说是一种奢侈品，也就是说其需求收入弹性大于1，所以，降价可以在相当程度上吸引乘客，而航空公司的边际成本非常小，可以说航空公司的利润很大程度上决定于总收益；如果您新开了一家网店，在开张初期，为了吸引更多的顾客光顾您的网店、增加人气，您是考虑利润最大化还是总收益最大化呢？另外，对于软件等边际成本为0的行业来说，利润最大化等价于总收益最大化，因为：当边际成本()0dTC MC Q dQ ==时，00
d dTR dTC d dTR dQ dQ dQ dQ dQ ππ=-=⇔==。

② 现实经济生活中，厂商对其销售商品的价格操纵权力取决于其市场垄断力量的大小。

一般情况下，厂商对其商品的销售价格的操纵权力比较有限，更一般的情况是，厂商通过调整其产量而不是调整其价格进行利润最大化，所以，其总收益函数更一般地被记作()TR Q 。

③ 如果仅仅对总收益函数求导数，我们将无法判断导函数dTR dQ Q P dP dP
=+的正负符号，利用弹性定义后，不仅简化了导函数表达式，而且使导函数的正负符号变得一目了然。

的减函数，所以，总收益随商品销售价格的提高而下降，随商品价格的降低而增加。

在此条件下，“薄利多销”才具有现实意义，不过前提条件是厂商必须具有一定的市场力量。

如果该商品存在巨大的替代品市场，那么，这种降价促销方式的绩效将大打折扣。

所以，在替代品非常强的情况下，厂商一般不会主动考虑通过降价来扩大销售收益，如：麦当劳和肯德鸡、雪碧和可乐、王老吉和加多宝等。

当商品需求为单位弹性（1η=）时，0dTR dP
=，所以，对于单位弹性的商品，不管涨价还是降价，由于价格变动对总收益的影响刚好被销售量变化对总收益的影响所抵销了，所以，单位弹性时，总收益的大小与价格变动无关。

如图2-7，当价格从3A P =下降到1C P =时，A 、C 两点间的弧弹性．．．
等于1，即()/21()/2A C AC
A B Q
Q Q P
P P η∆+=-=∆+，此时，尽管商品的销售价格和销售数量均发生了改变，总收益却保持不变。

但是，斜率的绝对值等于1的线性需求曲线上各点的点弹性．．．大小各不相同，假设某商品的线性需求函数为4Q P =-（斜率的绝对值为1），那么，点(1,3)A 、点(2,2)B 和点(3,1)C 都位于该线性需求曲线上。

图2-7线性需求曲线各点弹性大小、弹性与总收益关系
线性需求曲线上各点弹性从右下方向左上方递增，其中，中点弹性等于1，中点右下方
弹性小于1，左上方弹性大于1。

点B 处，总收益最大（224TR PQ ==⨯=），此时，对应的价格2P =，对应的需求价格弹性1η=，无论价格从2P =上升到3P =，还是从2P =下降到1P =，总收益都会下降（3P =时，总收益313TR PQ ==⨯=；1P =时，总收益
133TR PQ ==⨯=）。

为什么在1η=处，改变商品销售价格会影响总收益呢？问题在于改变价格时，弹性也发生了变化，即改变价格时，不能保持1η=恒成立。

如果需求的价格弹性恒等于1，则有1dQ P dP Q
⋅=-，求解此微分方程得C Q P =（其中C 为某个常数），或者，如果某商品的需求函数表达式为C Q P =，则有2||/1dQ P C C P dP Q P P
η=⋅=⋅=，此时，需求曲线上各点的弹性恒等于1，即弹性1η=独立于价格P ，此时，价格变动不会引起弹性变化。

当弹性恒等于1时，无论价格如何变化总收益一直保持不变，即TR P Q C =⋅=恒成立。

因此，上文中描述“当1η=时，价格变化不会影响总收益”隐含了价格变动时，1η=必须恒成立。

上文考查了价格调整对总收益的各种可能影响，但前提条件是厂商必须具有一定的市场力量。

换个视角：如果厂商不是通过调整价格．．而是通过调整产量．．提高总收益，那么，产量与其总收益之间的关系如何？
假设在竞争性市场条件下，商品的市场销售价格等于P ，商品的市场需求量等于Q ，则该商品的市场需求函数可以表示为()Q f P =，厂商的总收益函数可以表示为TR PQ =。

总收益函数TR PQ =两边同时对Q 求导数可得：
0,11()(1)0,10,1
dTR dP QdP P Q P P P dQ dQ PdQ ηηηη>>⎧⎪=+=--=-==⎨⎪<<⎩ 假设线性反需求函数为P a bQ =-，则()TR PQ a bQ Q ==-，所以，总收益
曲线与横坐标轴的两个交点分别为(0,0)和(,0)a b ，对称轴为2a Q b =，即总收益在2a Q b
=时取得最大值。

我们不难求出厂商边际收益函数与平均收益函数：边际收益函数()2d TR MR a bQ dQ ==-，平均收益函数TR AR a bQ Q
==-。

从图2-8可以看出，当边际收益函数等于0时，总收益函数取得最大值。

图2-8 弹性与总收益关系
弹性的几何意义直观展示了线性需求函数上各点弹性的大小情况。

图2-7表明：当1η>时，总收益随销量的增加而增加；当1η<时，总收益随着销量的缩减而增加；当1η=时，总收益达最大化。

当商品需求富有弹性（1η>）时，有/0dTR dQ >，即总收益（TR ）是销售量（Q ）的增函数，所以，厂商的总收益将随销量的扩大而增加、随销售量的减少而降低，此时，厂商只要增加产量就能提高总收益。

当商品需求缺乏弹性（1η<）时，有/0dTR dQ <，即总收益（TR ）是销售。