一类非线性泛函微分方程的振动性准则
一类函数方程的振动准则
２ １ 拒 ０２
（） ３
贝 Ⅱ
≤ ≤１ ｎ＝１２ 且 ｌ ＝ ， ，Ｌ， ｉ ｍＡ
ｎ—’ ∞
这里 是方程（） １ 在区间［ １１１１ （ ） ］ ＋ ， 上唯一的实根。 Ａ
３ 主要 结果
ｉ 耍 ｐ （ Ａ （ ） Ｑｔ （ （ ｔ ＝＞ ） 里 ）
（ “ ） Ｐ ｔ （ ￡≥ Ⅱ （ ） ）
１
（） ５
将（） ５式代人（） ， １式 得
（ ） （ ） ｔ ＋ ） Ｉ （ ） ｘｅ ≥ｐ ｔ （ ） ｌＱ（ （Ⅱ Ｐ １ ＝ ｔ） （ｔ ｌ ）
．
（） ６
由条件 （）存在一个 ￡ ０和 ｔ≥ｔ， ４， ＞ ３ ２使得 ￡ ，≥ｔ时 ∈，ｔ ３
２１ ０２年 ８ 月
一
类 函数 方 程 的振 动 准 则
戴 丽 娜
（ 东石油化 工学院 理 学院数 学 系， 东 茂名 ５５ ０ ） 广 广 ２０ ０
摘要 ： 主要研究 了高 阶非线性变系数时滞 函数方程的解的振动性 。采 用反 证法和迭代法 ， 得到该 方程 解振动 的若 干个 充分
条件 ， 并且还 以实例对结果进行 了说 明和验证 。
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（） １
．
其 中， Ｑ（ ＝１２ Ｌ， ： Ｒ ， Ｒ Ｐ， ｉｉ ，， ｍ） ， 是 ＝（ ， 上 的一 个无 界子 集 。 由条 件 ，ｉ ｔ ０ ∞） ｌ ｍＯ ＝∞，∈， 表 ｔ 。 示 函数 Ｏ 的 ｉ 迭代 ， 即 ０ｔ ，“ ｔ （ｉ ， ＝０ １２ ； ，ｆ ０ ≥１ ｔ 次 亦 。 ＝ｔ０ ＝０ ｏｔ ｉ ，，Ｌ ａ ａＩ ， ） ＞ 为正 整数 （ ＝１２ Ｌ，） 且 ，， ｓ并
具有变号系数的一阶非线性泛函微分方程的解的振动性
=
O
( 1 )
解 的振动性 充 分条件 的课 题
%
`
,
本 文研 究较 一般 的变 号 系数 方嘿
:
(t )
+
p ( t ) F (劣 (g
,
(t ))
,
劣
(9
2
(t ))
,
…
,
劣
(g
,
(t) ))
二
0
,
( 2 ) 从而 也得 到
分 别 就 滞 后 型 与超 前 型 的 情 况 下 了方 程 ( 」) 相 应 的结论 如同一般 文 献一 样
(t
。 。
) 〕C [ g ( g ( 矛 * ) )
G (t
。 。
从而 对 (
2 ) 两 边从 G ( t
)到
具有变号系数 的 一阶非 线 性 泛 函 微 分方程 的 解 的振动性 积分
,
2,
然 后 由 ( 3 ) 与 ( 6 ) 可推出
“
(t
。 。
)
一 x
(G (t , `￡ ) F
。 。
)) ( ) )
1 9 8 9
年
韩 山 师 专学报 ( 自然 科 学 版 )
27
具 有 变 号 系数 的 一 价 昨 线 性
泛 函 微 分 方 程 的 解 的
振
动 性
王 根 强
; 1
近 年来
,
引
言
,
一 阶 泛 函微 分 方 程 解 的 振 动 性 理 论 发展 得 很 快
,
但 目前 大 多 数 研 究 都 局 限
于 系数 是定 号 的情形 了研究
{g ( t ) }
一类二阶混合非线性微分方程的振动准则
林锦滢，陈腾杰
关键词
振动性，二阶，微分方程，混合非线性，Riccati变换
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(4), 815-825 Published Online April 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.84092
已有大量文献研究了方程(1)的特殊情形，如(见[1]-[6]及其中的参考文献)
(r (t ) y′)′ + q (t ) y = e(t )
(2)
(r (t ) y′)′ + q (t ) f ( y) = e(t )
(3)
大多数著名的振动准则都关系到 f 和 q 在区间 [t0 , +∞) 上的积分，这使得这些结果很难被应用到更加
Received: Apr. 6th, 2019; accepted: Apr. 21st, 2019; published: Apr. 28th, 2019
Abstract
New oscillation criteria for a class of second-order mixed nonlinear damping equations are obtained by means of the integral averaging technique and a new kernel function combined with the Elure integral. The new results have a higher generality than some of previous results. The zero distribution information of the solution is also obtained.
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理
一阶非线性中立型微分方程的振动性定理摘要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差1引言泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。
这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。
本文考虑一阶非线性中立型微分方程:(1.1)其中在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。
2基本定理定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且,(2.1)则有。
证明由(1.1)和(2.1)易得y’(t)≤0且最终不恒等于0。
下面证明y(t)>0。
假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。
特别地,β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。
由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。
证毕。
3应用定理 2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。
若微分不等式没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。
证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有,且,即。
在定理2的条件下,上述不等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。
一类高阶非线性泛函微分方程解的振动性
一
类高 阶非线性泛函微分方程解 的振动性
丘冠英
（ 嘉应学院 数学 系， 广东 梅州 ５４１） １０ ５
摘 ： 一 高 非 性 函 分 程 ￡ （１Ｆｆ（￡， （ｆ）０ 中 奇 ，究 解 要 对 类 阶 线 泛 微 方 （＋ 一） （ｚ （） ＾） ＝， 为 数研 其 的 ） ，ｇ） （） 其
虑情况 ２． ） 因为当 ￡ １ ≥￡ 时 （ ＞Ｏｚ （ ＞０ 所以 ￡ ） ， ） ， 存在 了 ｔ 和一个正常数 ｄ 和 ｄ 使得 ≥ ｚ
（ （） ≥ ｄ ｇ ￡） ｌ ｄ （ ≥ ｈ ￡ ）
叫）［ ＋ 丽
）（ （
中的 １证 明相似． ）
］ ‘ ×
（ ￡ ￡ ＾（） ） × ＾ （）（ 一 ￡）
Ｉ ｂ １＾￡ 。 （ｚｒ （（） ｛ （（ ） ｈ ￡ （２＾ ） ） ） ，’
ｔ Ｔ ≥ １
Ｉ ） （ ） ㈤ 一 （ ０
县 振 动 的 ， 日微 分 不 等 式 并
因此
， 一『 （ Ｌ ￡ Ｉ ）
振动性 ， 得到 ３ 个新 的解 的振动性准则 ， 得结果推广和 改进 一些文献 中的若干结论． 所
关键 词 ：高阶；非线性；泛 函微分方程 ；振动性
中图分类号 ：Ｏ１５ ７ 文献标识码 ： Ａ
Ｏｓ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｈ ｇ ｅ － ｒ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒ ｆ ｎ ｔｏ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｃｌ ｔｏ ｆａ ｃａ ｓｏ ｉｈ ｒｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ｕｎｙｎ Ｕ ａ －ｉｇ
第４ 期
丘冠英 ： 高阶非线性泛 函微分方程解 的振动性 一类
・１７ ・ ６
砌∽ ≥ ）
因此式 （） ９变为
一类非线性变系数中立型微分方程振动的充分条件
摘 要 给 出 一类 非线 性 变 系 数 中立 型微 分 方 程 在 弱 条 件 下 振 动 的 几 个 充 分 条 件 ． 关 键 词 中 立 型微 分方 程 ； 动 ； 振 充分 条件
０１ ５ ７ ７ ． 文 献标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ － ３ ９ ２ １ ） ４ ０ １ — ３ ０ ８ １ ９ （ ０ ２ ０ —０ ９ ０
２ （ ）＜ ０， ￡
当 ｔ 分大 时 ， 方程 （ ）的解 （） Ｏ ＜ ０ ， 充 若 １ ＞ （ ） 则称 之为 最终正 （ ）解 ； 解 ｚ ￡ 负 若 （）既不 最终 为 正 ， 也不 最终 为负 ， 则称 之振 动． 方 程 （ ）的任 一解 都 若 １ 是振 动 的 ， 则称方 程 （ ）振动 ． １ 设有 常数 ａ＞ ０ 记 ，
中 图分 类 号
设 非线性 中立型微 分方 程为
（ ￡ ｚ（ ）一 Ｐ（ ） 一 ｒ ） ￡ ｚ（ ） ＋
的四个 简便 的充分 条件 ． 引理 １ 若 ｚ 为方程 （）的最终 正（ 解 ， （ ） １ 负） 且
（） １ ０＜ （ ）≤ １ ，
Ｑ（） （ ￡ ￡ － ｚ（ 一 ） 厂 ）一 ０（ ≥ ｒ ， ￡ ）
证 明 只证 明 ｚ ￡ （）为 方程 （ ）的最 终 正解 的 １
情形． 在此情 形 下 ， 然成 立 显
２ （ ＜ ｏ， ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
算 数 学 研 究 ． ｍａｌ￣ｆ０ ６ ７ １３ ｔｍ Ｅ ｉ ２００＠ ６．ｏ ：
２ ０
高 等 数 学 研 究
２１ ０ ２年 ７月
并且 存 在 ｔ ≥ ｒ 当 ｔ ｔ ， （）＞ ｏ 假设 ， ≥ 时 ｚ ￡ ．
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ５ 修 改 日期 ： ０ ２０ — ４ ２ １ — ６０ ； ２ １ — ５１
非线性抛物型泛函偏微分方程组解的振动性
拉普拉斯算子 ， Ⅳ是 的单位外法向量 。
在本文中 ， 我们总假定下列条件成立 ：
（ ） ｉ ｔ ， （ ）∈ｃ Ｒ＋ Ｒ＋ ， ∈Ｉ ， ｎ Ｈ１ ａ （ ） ａ ｔ （ ； ） ｉ ｍ ｋ∈Ｉ ，
系数的情况进行讨论 的， 而对于非线性扩散系数情
况下的偏微分方程组的振动性的研究还很少 ， 仅见
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第７ 卷
第５ 期
２０ ３月 ０７年
科
学 技
术
与
工
程
＠
Ｖ０． Ｎｏ ５ １７ ．
Ｍａ ．２ ０ ｒ ０７
１７ —８ ９ ２０ ） —６ １０ ６ １ １１ （ ０ ７ ５０ ７ —３
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ａ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｃｅ ｃ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｇｎ ｅ ｉ ｎ
则系统（ ） （ ） １ ， ２ 式的所有解在 Ｇ内振动 。 证明 （ 用反证法 ）假设 系统 （ ） ２ 式有一 １ ，（ ）
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６２ ７
科
学
技
术
与
工
程
７卷
个ｊ 振动解 （ ｔ ＝ （ ｔ ，２ ｔ ， （ Ｅ ， （ ， （ ） …， ， ） ） ， ｔ） ， ） 不失一般性可设 ， ｔ ｔ＞ 当 ＞ ０ Ｏ时 ， （ ｔ Ｉ Ｉ Ｉ ， ＞ ） ０ ，。令 ｚ（ ｔ ＝ ｉ ｔ ， ＝ ｇｕ（ ｔ ，０ ，∈ ｍ ｛ ） 。 （ ）６ ｓｎ ） 贝 ， ６ ， ｚ（ ， ＞ ， ｔ ∈ ×［０∞） ｉ ｉ ｔ Ｏ（ ） ） ， ｔ， ，∈，。由（ ２ 可 Ｈ）
（ ＋ ｛ ｔ 一∑ （ ｝ （一 ≥ ｆ 吼（ ） ） ｔ ｖ ｔ ） ）ｉ
（）＋ ｔ ｇ 一
一类非线性多变时滞微分方程的振动性
Ｉ ＝
１
（（ 寺） （ 、 二 ７ 、 ） 下ｔ ， ＋ ） （号 ｔ ） ＋
一
定义 ３ 当 ｎ ∞ 时 ， 存 在 Ｒ 一 如果 中一个趋 于 无穷 的序列 ｛ 】 使得 ： （）＝ｐ ｔ ）， （） ｆ． Ｎ ｐ ｔ （ ＋ ｐ ｔ
逐点收 敛于 ｐ ｆ ， ： （）的 即
方 程
Ｘｔ ｔ ， （ ）＝ ｔ （ ｔ一 ． ） ｒ 。 ） ，
（ ＝∑Ａ（， Ｔ（ ） ｔ ） ｔ （ｋ ））
＝ｌ
（） １
的振 动性 。式 （ ） １ 中 ∈Ｃ （ ×（ ．）Ｒ） 满 一 ， 且
足 （ ， ） ｆ ＝０。 ， ≤ ∞ 。 ｒ （） ０ ｔＥＲ ０＜ （ ｆ）在 Ｒ
上是 一 致 收敛 的 ，＇ ￡ 为 单 调 非 减 的 连 续 函 数 ， ｑ（） ｋ
下 （） ｔ， ｌ ｔ ＝∞ ， ｔ≤ 且 ｉ （ ） ｍｒ 尼＝Ｉ２， ， 且在 Ｒ ， … ｍ，
其 中 ｒ∈Ｒ ＝ ［ ∞ ）， ０， ｆ∈Ｃ （ ×（ ，） 兄） ０ Ｒ 一 ， （ ＜ ≤ ∞）。对所有 ｔ∈Ｒ 都有 ｔ０ ＝０。借助 ．）
第 １ ０卷 第 ｌ ６期 ２ １ ６月 ００年 １７ ．８ ５ ２ １ ） ６３ １ ．４ ６ １ １１ （ ００ １．８ ３０
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ ０ Ｎｏ １ Ｊ ｎ ０ ０ Ｌ１ ．６ ｕ ｅ２ １
Ｓ ｉ ｅ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｃｅ ｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｇｎ ｅｉ ｎ
于该方 程 的线性 近似方 程
上是 一致 收敛 的 ， 利用 式 （ ） １ 的线性 近似方 程
一类非线性耦合时滞泛函微分系统的振动性准则
一类非线性耦合时滞泛函微分系统的振动性准则李连忠;李晓雯;陈燕【摘要】本文利用广义Riccati技巧和积分平均技巧，讨论了一类非线性耦合时滞泛函微分系统的振动性，得到了若干新的振动准则，所得结果推广和改进了相应文献中的已有结论，并通过两个实例，说明了本文准则可应用于以前所不能处理的情形．%For a pair of coupled nonlinear delay differential systems, we obtain some new oscillation criteria of Kamenev - type and Philos - type. The results are independent and have improved some previous results to a great extent.【期刊名称】《泰山学院学报》【年(卷),期】2011(000)003【总页数】7页(P1-7)【关键词】振动性;泛函;时滞;微分系统【作者】李连忠;李晓雯;陈燕【作者单位】泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安271021;泰山学院附属中学,山东泰安271000;泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安271021【正文语种】中文【中图分类】O175.7本文考虑下列非线性耦合时滞泛函微分系统的振动性问题，其中函数a，b，σ，f，g满足:(H2)f∈C1(R，R)，g∈C(R，R)，且对任意的u≠0，有:在一定的假设条件下，系统(1)存在连续解，我们的研究限制在系统(1)在右半区间［T0，∞］内存在连续解的情况，其中T0≥t0为依赖于系统具体解的数.通常的，一个定义在区间［T0，∞］上的实值连续函数如果存在任意大的零点，则称之为振动的，否则称为非振动的.系统(1)的解(x(t)，y(t))称为是振动的，如果x(t)和y(t)都是振动的，否则就称(1)的解是非振动的.由系统(1)是否满足条件可将系统(1)分为四种情况进行讨论，再由对称性的考虑，可按以下两种情况进行讨论，本文仅讨论(2)成立的情况，关于条件(3)成立的情况我们将另行撰文讨论.1 预备知识系统(1)的一种特殊情况是对于系统(4)的振动性及非振动性研究，已经取得了若干优秀成果，读者可以参考Kordonis与Philos文［1］，Kwong与Wong文［2］，Mirzov文［3－5］，以及Li与Cheng文［6］中的结果.首先，由Philos文［7］，我们定义函数H=H(t，s)属于函数类W，记为H∈W，如果D={(t，s)∶t≥s≥t0}，H∈C(D，R+)满足:(H3)H(t，t)=0，当t0≤s＜t＜+∞时H(t，s)＞0;(H4)H(t，s)关于s具有连续非正的偏导数∂H/∂s，且存在某个h∈Lloc(D，R)，p∈C1(［t0，∞)，(0，∞))使得其次，我们还将用到下面引理.引理1［8］假设条件(H1)、(H2)成立，再设函数a(t)在任意形如［T0，∞)的区间内不恒为零，(x(t)，y(t))为系统(1)的非振动解，则作为解的组成部分的函数x(t)亦是非振动的.同样，如果函数b(t)在任意形如［T0，∞)的区间内不恒为零，(x(t)，y(t))为系统(1)的非振动解，则作为解的组成部分的函数y(t)亦是非振动的.因此，若下列假设条件(H5)成立，(H5)函数a(t)和b(t)都在任意形如［T0，∞)的区间内不恒为零，T0≥t0.则系统(1)的任一非振动解(x(t)，y(t))的组成部分x(t)与y(t)皆最终定号，且从系统(1)的第一个方程，由x(t)的振动性可推出y(t)的振动性.Saker在文［8］中研究了微分系统(1)，给出了系统振动的若干充分条件，我们列出文［8］的主要结果如下(文［8］中的函数p(t)≡1):定理A［8］设条件成立，记r(t)=，如果存在函数ρ(t)∈C1 (［t0，∞)，(0，∞))满足其中，q(t)=kk1b(σ(t))σ'(t)，Q(t，s)=h(t，s)则系统(1)的任意解是振动的.定理B［8］设函数r，H，h，q，Q，W，ρ同定理A，且条件(H1)－(H3)成立，设下列条件(C2)与(C3)成立，再设存在函数m∈C(［t0，∞)，R)满足条件(C4)和(C5):其中，m+(t)=max{m(t)，0}.则系统(1.1)的任意解是振动的.定理C［8］在定理B中将条件(C3)替换为其它条件不变，则系统(1.1)的任意解同样是振动的.2 主要结果下面，应用Philos文［7］和Li文［9］处理二阶方程的方法，同时利用广义Riccati技巧和积分平均技巧，我们给出系统(1)振动的新准则，本文的结论推广和改进了Kwong与Wong文［2］，Li与Cheng文［6］，以及Saker文［8］中的结论.定理2.1设条件(H1)－(H5)成立，记r(t)=，如果存在两个函数ρ(t)，p(t)∈C1(［t0，∞)， (0，∞))，对某个β≥1和H∈W，下式成立，其中，q(t)，W(t)同定理，则系统(1)的任意解是振动的.证明采用反证法，假设系统(1.1)在区间［T0，∞)内存在一个非振动解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.于是由条件(H5)和引理1，函数x(t)亦是非振动的，更进一步，我们发现在变量替换u=－x，v=－y之下，系统(1)在相同的假设条件下变换为与其自身相同形式的系统.不失一般性，我们假设x(t)和x(σ(t))在区间［T0，∞)内恒为正. 定义函数由Saker文［8］定理2.1的证明知ω(t)＞0且满足下面微分不等式，于是有其中，u(t)在(6)式中以s代替t，两边同乘上H(t，s)p(s)后从T到t积分，对于某个β≥1和所有的t≥T≥T0，得于是，我们有:特别的，从而下式成立，于是可得上式与假设条件(5)式矛盾，这样就完成了定理2.1的证明.推论2.2 在定理2.1中将条件(5)替换为和其它条件不变，则系统(1)的任意解是振动的.注2.3 在定理2.1的式(5)和推论2.2的式(8)中，将“lim sup”替换为“lim inf”，其它条件不变，仍可得到系统(1)的解振动的结论.定理2.4 设条件(H1)－(H5)成立，函数r，H，h，p，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，并假设H∈W满足并且，如果存在函数m∈C(［t0，∞)，R)，对某个β＞1，对所有的t≥T≥t0，有其中，m+(t)=max{m(t)，0}.则系统(1.1)的任意解是振动的.证明采用反证法，假设系统(1.1)在区间［T0，∞)内存在一个非振动解(x(t)，y(t))，其中T0≥t0.由定理2.1前半部分的证明，对于某个β＞1和所有的t≥T≥T0，我们有于是我们有从而对任意的β＞1，由(10)可得所以有特别的下式成立，下面证明若不然，将有由(9)，存在常数ξ＞0，满足令η为任意大的一个正数，由(15)，存在t1＞t0，当t≥t1时，有记z(t)则当t≥t1时，由(16)，存在t2≥t1，对所有的成立，这意味着对所有的t≥t2，有z(t)≥η，由η的任意性，我们有)=∞，于是，而这与(13)矛盾，所以(14)成立，由(12)与(14)易得这与(11)矛盾，于是定理得证.推论2.5在定理2.4中，将条件(10)和(11)中的“lim sup”替换为“lim inf”，其他条件不变，定理结论仍成立.注2.6 定理2.4中我们去掉了Saker定理B、C中的限制条件(C3)和(C6)，仍然得到了系统(1)振动的结论，所以我们的结果要优于Saker文［8］的结果.注2.7 对H，h，p的不同取法可以给出系统(1)振动的若干准则.例如令β=1，取p(t)≡1，t∈［t0，∞)，本文定理2.1退化为Saker定理A;在此基础上再取H(t，s)=(t－s)λ，其中λ≥0为常数，则当λ=n为整数时，我们的定理2.1退化为Saker文［8］中的定理2.1;当λ=0时，我们的定理2.1退化为Saker文［8］中的定理2.2;另外取p(t)≡1，H(t，s)=(t－s)λ，t≥s≥t0，则h(t，s)=，其中λ≥0为常数，并且对任意的s≥t0，有即定理2.4中的条件(9)自然成立，于是由定理2.4，我们有以下讨论.推论2.8 设条件(H1)、(H2)和(H5)成立，函数r，q，ρ，Q，W，ω同定理2.1，λ≥0为常数，如果存在函数m∈C(［t0，∞)，R)，对某个β＞1，对所有的t≥T≥t0，与(11)成立.则系统(1)的任意解是振动的.再分别取λ=2，0，我们有:推论2.9 推论2.8中的条件(17)替换为其他条件不变，仍可得系统(1)的任意解是振动的.推论2.10 推论2.8中的条件(17)替换为其他条件不变，仍可得系统(1)的任意解是振动的.例2.11 考虑下列简单的微分系统此处，a(t)=t，b(t)=1=k1，容易验证条件(H1)、(H2)和(H5)成立.选取β=2，ρ(t)≡1，计算得并且有即(11)与(19)式成立，从而由推论2.10知微分系统(20)的任意解是振动的.例2.12 考虑下列非线性时滞泛函微分系统其中，a(t)=，f(y)=y(1+ y2)，g(x)=x(1+x2).容易验证条件(H1)、(H2)和(H5)成立，且k=k1=1.选取β=4，ρ(t)=t，计算得于是有又容易验证(11)式成立，从而由推论2.9知系统(21)的任意解是振动的.然而，可以验证下列两式成立，即Saker定理B、C中的限制条件(C3)和(C6)不成立，定理B、C不能应用于非线性时滞泛函微分系统(2.21)，这也说明了我们的结论要优于以往的结论.［参考文献］［1］I.G.Kordonis，Ch.G.Philos.On the oscillation of nonlinear two－dimensional differential system［J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1998，126:1661－1667.［2］M.K.Kwong，J.S.W.Wong.Oscillation of Emden－Fowler system ［J］.Diff.Integ.Eqns.，1988，(1):133－141.［3］D.D.Mirzov.Oscillatory properties of solutions of a system of nonlinear differential equations［J］.Differentsial＇nye Uravaneniya.，1973，9:581－583.［4］D.D.Mirzov.The oscillation of solutions of a system of nonlinear differential equations［J］.Math.Zametki，1974，16:511－567.［5］D.D.Mirzov.Oscillatory properties of solutions of a nonlinear Emden－Fowler differential system［J］.Differentsial＇nye Uravaneniya，1980，16:1980－1984.［6］W.T.Li，S.S.Cheng.Limiting behaviors of nonoscillatory solutions of a pair of coupled nonlinear differential equations［J］.Proc.Ednb.Math.Soc.，2000，43，457－473.［7］Ch.G.Philos.Oscillation theorems for linear differential equation of second order［J］.Arch.Math，1989，53:483－492.［8］S.H.Saker，L.H.Erbe.Oscillation of solutions of a pair of coupled nonlinear delay differential equations［J］.Portugaliae Mathematica，2003，60:319－336.［9］H.J.Li.Oscillation criteria for second order linear differential equations ［J］.J.Math.Anal.Appl.，1995，194:217－234.。
一类高阶非线性泛函方程的振动准则
一类高阶非线性泛函方程的振动准则戴丽娜;林全文【期刊名称】《肇庆学院学报》【年(卷),期】2012(033)002【摘要】研究了变系数高阶非线性泛函方程x（g（t））=P（t）x（t）＋m∑im1 Qi（t）x（gK＋i（t））,的解的振动性。
得到了一些新的振动准则．所得蛄论推广了目前已有结果，此外，给出了新振动准则在差分方程中的一些应用．%This paper studies the oscillation of the solutions of high order nonlinear functional equation with variable coefficientsx（g（t））=P（t）x（t）＋m∑im1 Qi（t）x（gK＋i（t））and some new oscillation criteria are obtained. The researches in this paper extend or improve some existent results at present. Some applications of differential equation are given.【总页数】6页(P13-18)【作者】戴丽娜;林全文【作者单位】广东石油化工学院理学院．广东茂名525000;广东石油化工学院理学院．广东茂名525000【正文语种】中文【中图分类】O175.7【相关文献】1.带有振动系数的一类高阶中立型非线性受迫微分方程的振动准则 [J], 王国巧;邢文雅2.一类具连续分布滞量的高阶非线性中立型偏微分方程的振动准则 [J], 罗李平;欧阳自根3.一类高阶线性泛函方程的振动准则 [J], 戴丽娜;伍思敏;林全文;苏新晓;;;;4.高阶非线性泛函方程解的振动准则 [J], 徐艳芬;戴丽娜;伍思敏;曾世轩5.高阶非线性泛函方程解的振动准则 [J], 徐艳芬;戴丽娜;伍思敏;曾世轩;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性
(Ⅱ) 若 L=∞ ,则 g1 (t) " g2 (t) " gl (t) " gn (t) " f(x! ,x! ,… , x ! , …,x ! ) lim inf t→∞ t y 2 f(y(t ),y(t),… , y(t ) , … , y( t) ) ≥lim inf ≥C>0 t→∞ y+ t, f( L, L, L, L) c 由此 ,令 c1 =mi n , ,则存在充分大的 t 2 >t 1 ,使得 2L 2
t→ ∞ n
Hale Waihona Puke y"(t) t y 2
t y' g1 (t) " g2 (t) " gl (t) " , …,x ! gn (t) " - q(t)f(x! ,x! , …, x ! ) 1 2 = z(t ) t 2 t y y 2 2 由 y'(t)>0, 可知l im y(t)=L, 其中 L 为有限正数或 ∞。
+ ,
≥c. u 定义 1 函 数 x( t) 称为方 程 ( 1) 的 解 ,如 果 x(t ) ∈C([t - 1 , ∞) , R+ ) ,x
(2)
f( u1 , u2 , … , ul , …, un )
f(y! g1 (t) " ,y! g2 (t) " , …, x ! gl (t) " , …,y ! gn (t) " ) ≥lim inf t→∞ y+ t , ≥lim inf f(y(t ),y(t),
1. 引言
近年来, 中立型泛函微分方程的振动理论得到了 很大的发展 ,出现 了很多研究成果,Eebe,Kong 等已在专著中给出了很好的总 结, 参见文[ 1]
一类具连续分布滞量的高阶非线性中立型偏微分方程的振动准则
摘 要 ： 研究一类具连续 分布滞量的偶数阶非线性偏泛 函微分方程 的边值 问题 ， 出了该类方程在三类边值条件下 型 ； 泛 函微 分 方程 ； 动 性 ； 续 分布 滞量 非 偏 振 连 中 图 分 类 号 ： ７ ．９ Ｏ１ ５ ２ 文 献 标 识 码 Ａ
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解 的振动 性 ， 中（ ，）∈ ｎ× 兰 Ｇ， ≥ ２是偶 数 ， ＲＭ是有 界域 ，ｎ逐片 光滑 ， ＋ ［ ，ｏ ， 其 ｚ￡ ７ ＂ ／ ｎ ｃ ａ Ｒ 一 ０ ｏ ） 且
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．得 果 广 包 了 ［ 的 要 果 文９ 部 结 ． 所 结 推 和 含 文８ 主 结 和 ［ 的 分 果 ］ ］
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第 ３ Ｏ卷 第 １ 期
２０ ０ ７年 ３ 月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学ｇ ） ｔ
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬｉｏ ｉｇ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔｏ ） ｏ ｒ ａ ａ ｎｎ ｒ ｌ ｏ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｎ Ｓ ｉ
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１ ６
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
第３ Ｏ卷
由 于 方 程 （ ）中 的 积 分 是 Ｓ ｉｌ ｅ １ ｔｅｔ ｓ积 分 ， 而方 程 （ ）包 含 了如 Ｆ时 滞 偏 微 分 方 程 ｊ 因 １ ，
非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性的开题报告
非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性
的开题报告
题目：非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性
研究方向：数学分析
研究背景：
非线性泛函微分方程是研究物理、工程和生物等领域中的重要数学模型之一。
这类方程往往具有复杂的非线性特性，从而导致方程的解构成一个复杂的动力学系统。
因此，研究非线性泛函微分方程的稳定性和振动性，对深入理解物理、工程和生物等领域的现象和问题具有重要的意义。
研究内容和方法：
本研究的重点是研究非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性。
具体来说，研究内容包括以下几个方面：
1. 探究非线性泛函微分方程的稳定性条件，研究稳定性与方程参数之间的关系，建立稳定性的数学模型。
2. 研究非线性泛函微分方程的临界状态下的有界振动性，分析振动的时空特性，建立振动的数学模型。
3. 运用微分方程理论和分析方法，进行数学建模和数值分析，验证理论分析的正确性和适用性。
本研究主要采用微分方程理论和分析方法进行数学建模和分析，辅以数值分析方法验证理论分析的正确性和适用性。
研究意义和应用：
通过研究非线性泛函微分方程的稳定性和临界状态下的有界振动性，可以深入理解物理、工程和生物等领域中的相关现象和问题。
此外，本研究还可以为相关领域的工程设计和控制提供指导和参考。
一类三阶非线性时滞泛函微分方程的振动性
ｐ ） ＜０，，ｚ ＞０且 ｐ （） ｐ『 ） （ ，￡
若
㈤ ， ｔ ｃ＞ ０ ￣
（） ３
收 稿 日期 ：０７— ６—０ ２０ ０ ８
作者简介 ： 崇勋（９ ３一） 男， 东济宁人 ， 州学院数 学系教授 ， 任 １４ ， 山 琼 主要从事微分 方程稳 定性 、 函微分方程振 动性研 泛
（ ２ｈｇ ∈ Ｃ ［００ ， ，ｉ （） ＝ ∞ ； Ａ）， （ ｔ，０）Ｒ）ｌ ｍｇ ｔ
（ ３ （） ＝ｍｉ ｛， （ ） ， ｔ ＞０ （）＞０，ｍｔ（ ）＝ ∞ ； Ａ） ｔ ｎ ｔ ｔ ｝ （ ） ｇ ， ｔ ｌ ｒｔ ｉ （ ｆ∈ ｃ Ｒ， ，厂 Ａ） （ Ｒ） （ ）＞０ ）≥ ｋ＞０ ≠ ０， 数． √（ ， ｋ常 定 义 １ 方 程 （ ）的解 称 为振 动 的 ， １ 如果 它有任 意 大的零 点 ； 则称 它 为非振 动 的． 否
中 图分 类 号 ： １５ Ｏ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： ０ ８—６ ２ （０ ８ Ｏ ０ ０ —０ １０ ７ ２ ２０ ）５— ０ １ ４
０ 引言
文献 ［ ］ ［ ］给 出 了三 阶微 分方 程 的振动 结果 ， １ 、７ 是考 虑下 列形 式 的方 程 ： （）＋ｎ ｔｙ （）＋ｂ ｔｙ ｔ （ ）” ｆ （） ＋Ｃ ｔＹ ｇ ｔ ）＝０ （） （ （ ） 并且 通过 将方程 （ Ｅ）化为 二 阶方程 的方 法来 建立方 程 的振 动准 则 ． （） Ｅ
第１ ５卷
第 ５期
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ． １１ ５
琼 州 学 院学 报 Ｊｕｎｌ ｆ ｉｎｚｏ ｎｖｒｔ ｏｒａ ｏ ｏｇｈ ｕＵ ｉ ｓｙ Ｑ ｅ ｉ
２０ ０ ８年 １ Ｏ月 ２ 日 ８
一类非线性中立双曲型偏泛函微分方程的振动性
【）［ ＋ ）， （］ ｘ ｕ卜＂） ｇ击 （ 耋 ｕ ］ ， （ Ｏ）＝ （ Ｍ ｚ （一 ＋ ｔ ｋ ） ，（
口￡ （）ｕｘ ） Ｊ＝ Ｉａ ｔｈ ｕｘｔ ｒ ｔ）ａ （，— ｊ ） ， （） ｕａ （， ＋∑ ｉ ） （（，— ｊ ） ）ｕｘｔ ｒ ｔ） （ ｉ （ （
微分不等式技 巧 ， 获得这类方程分 别在 Ｒ ｂｎ Ｄｒ ｈｅ 边值条件下 所有解振 动 的若 干新 的充 分性条件 ， ｏｉ、 ｉｃｌｔ ｉ
表 明其振 动是 由时滞量引起 的 ， 得结果推广了最近文献的相关结果 ． 所
关键词 ： 曲型 ； 泛函微分方程 ； 动性 ； 双 偏 振 偏差变元
ｅ ｕａｉ ｎ ｗｉ ｄｅ ｉｔｎ ａ ｇ ｑ ｔｏ ｓ ｔ ｈ ｖ ａｉ ｇ ｒｕｍｅ ｔ ｉ ｓｕ ｉ ｄ Ｂｙ ｍｐ ｏ ｉ ｇ ｈ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｎｓ ｓ ｔｄｅ ． ｅ ｌｙ ｎ ｔ ｅ ｅ ｅቤተ መጻሕፍቲ ባይዱａｉｅ Ｒｉｃ ｔ ａ ｓ ｒ ｔ ｎ ｎ ｃ ａｉ ｎ ｆ ｍａ ｉ ａ ｄ ｔ ｏ ｏ ｔ ｅ ｅ ｈ ｉ ｕ ｏ ｉｆｒ ｎ ｉｌ ｎｅ ｕ ｌ ｉｓ。 ｓ ｍｅ ｈ ｔｃ ｎ ｑ ｅ ｆ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｉ ｑ ａ ｉ ｅ ａ ｔ ｏ ｎｅ ｗ ｓ ｆｃｅ ｔ ｏ ｉ ｏ ｓ ｏ ｏ ｃ ｌ ｔｎ ｆ ｌ ｓ ｌｔｏ ｓ ｆ ｕ ｉｎ ｃ ｎｄｔ ｎ ｆｒ ｓ ｉ ａ ｏ ｏ ａｌ ｏｕ ｉ ｎ ｏ ｉ ｌ
（ ￡ ，）∈ Ｑ ×Ｒ＋ Ｇ 三 （ Ｅ）
分别 在边 值条 件 ：
譬 ＋ （，ｕ ， ＝ ， ， ∈ａ Ｒ ， 丝 ｒ ￡ （ ｆ ０（ 力× ＋ ） ） ） ＯＶ
收 稿 日期 ：０ １ ０ — ６ ２１— １０
（ ） Ｂ，
基 金项 目： 广东省 自然科学基金 资助项 目（ １ １０ ０ １００ ４ ８ ５０ ９０ ０ ０ ４ ） 作者简 介 ： 林文贤 （９ ６ ） 男 ， １６ 一 ， 广东潮州人 ， 山师范学 院教授． 韩
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和非 线性 微分方 程 ”ｔ （ ）＋Ｐ ｔ （ （） ｓｎ ｒ ｔ ）＝ｅ ｔ ， （）Ｉ 丁 ｔ ）Ｉ ｇ （ （ ） （） ｔ ｔ ０
ｔ ｔ ０ ．
（．） １ ３
（．） １４
线性方 程 的振 动性 ， 中假定 ）是 二次 可微 的振 动 函数 ， 种方法 已在文献 ［ ８ 中被推 广． 其 这 ７， ］ 最近， 孙元 功在 文献 ［ ］ ６ 中研究 了延滞 微 分方程 （． ）其 中 ， １３ ， Ａ≥ １ Ｐ和 ｅ ， 允许 变号 ． 但孙 在文献 ［ ］ ６ 中
＋。 ） 。 ；
（． ） １１
（ｉ ｉ）ｇ ： 一 尺是 连续 的 ， 对于 ｙ ０， （ ） Ｃ＞ ； 尺 且 ≠ ｇＹ≥ ０ （ｉ ｉ）ｒ： 一 风 连续 且不 减 ， 于 ｔ ｔ， （）≤ ｔ并 且 ｌ （）＝∞ ； ｉ ， 对 。 ￡ ， ｉ ｍ ｔ （ｖ ／ ｉ） ： 连续并且 ｆ ｘ， ≥ （ （ ） （） 且存在常数 使得 对所有 ｘ ， 满足 （ ） ＞ ，， ， ＃０ ≥ ０．
（） （ （） ） （ ￡） ｅｔ振动的若 ｆ ， ｒ ￡）ｇ （） ＝ （）
关键 词 ： 泛函微分方程 ； 振动性； 延滞方程． 中图分 类号 ： １５１ Ｏ７． 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ： ０ － ３ （００ ０－ １－ １ １ ３７ ２ １）３ ０２ ５ ０ ５ ０ ０
１ 引 言
考察 下 列带强 迫项 的二 阶非 线性微 分 方程 （）＋Ｐ ， （） （ （） ） （ （） ￡ （）（ ｔ ， Ｊ ） ｇ ）＝ｅ ￡ 『 （） 的振动性 ， 中 ￡ ｔ ０ ， 其 。 我们 假定 以下 条件成 立 ： （ｉ） ： 一 Ｒ 是 连续 的 ， 且 对于 ｔ ｔ， 区间 ［ ∞ ） ，（） ， 里 ， ｔ ， ） Ｒ ＝［ ， Ｐ ， ｏ 并 。 。在 ｔ ， 上 Ｐ ｔ≠０ 这 ：［ ∞ ， 。 ０ ０
第 ３期
屈 玉 东， ： 类非 线性泛 函微 分方程 的振 动性 准则 等 一
１ ３
２ 相似 的振动 准则 ， 中 ） ） 其 满足 一定 的增性 条件 ．Ｇ ｖｎｌ ｕ ｅ ｉｒ Ｆ和 Ｚ ｆ 在 文献 ［ ３１ ］ 论 的基 础 ｉＡ ａ ｒＡ ｅ １ —８ 结 上 在文献 ［０ 中得 到 了相 似 的振动 准则 ． １］
第３ ６卷
第 ３期
曲 阜 师 范 大 学
Ｊｕｎｌ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ｌ ｏｒａ ｆ ｕｕ ｏｍａ
Ｖ０ ． ６ Ｎｏ ３ １３ ．
２１ ０ ０年 ７月
Ｊ ｌ ０１ ｕｙ２ ０
一
类 非 线 性 泛 函 微 分 方程 的振 动 性 准 则
屈 玉东① ， 李连忠① 孟凡伟① ② ③，
在本 文 中 ， 我们将 用 另一种 方法 得到 方程 （ ． ） １１ 的一些 新 的振 动准则 ， 我们 的结果 改 进 了文 献 ［ ， ，０ ６９１］
中的主要 结果 ．
的推广 ， ． 当 ｒ ）＝ｔ ， （ 时 方程 （ ． ）具 有形式 １３
（）＋ （ ）Ｉ （ ）Ｉ ｇ （） ＝ｅ ｔ ， ￡ Ｐ ￡ ｔ ｓｎ ｆ （）
对于方程（ ． ） １４ 的振动性 已有广泛的研究 ｌ 一般情况下 ， ３ ． 我们可 以通过 Ｋ ｒａ ｓ ¨中的方法得到一般非 ａ ｓ ｏ¨ ｔｔ
Ｈ ｍｅａｉ ． ａ ｄｎ Ｇ Ｇ．和 Ｋｅｚ ．Ｓ ｒｎ Ｇ ．在文 献 ［２ 中开始研 究． 来 ， １］ 后 受此 文 的启 发 ， ｏｏｃｅｋ ｕＶ在 文献 ［ ， Ｒ ｇｖｈｎｏＹ １ ２ 中利用 推广 的 Ｒｃａｉ 换得 到方程 （ ．） ］ ｉｃｔ变 １ １ 的一 些振 动性 准则 ． 方 程 （ ．） 以看做是 二 阶延滞 微分 方程 １１可
并没有考虑 ０＜Ａ＜ １ 的情形． 后来 ，ａｍ ｋＤ Ｃ ｋ ａ ．和 Ｔｒ ｋ Ａ 利用文献 ［ ］ ｌ ａｌ ． ｙ ６ 中的结果 ， 出了微分方程 （ ． 给 １
收稿 日期 ：０９１ ・７ ２０ —２１
基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ Ｉ８ 和山东省 自然科学基金 （ Ｒ ０ ９ Ｍ １ ） １７ １ １ ） Ｚ２ ０Ａ ０ １ ． 作者简 介： 屈玉东 ，男 ， ９ ３ ， １８ 一硕士 ；研究方向 ： 常微分方程 ；Ｅｍａ ： ｕｕ ｏｇ０ ３ ６ ．ｏ ・ ｉ ｑ ｙｄｎ２ ０ ＠１ ３ ｃｍ； ｌ 孟凡伟 ， ， ９ ３ ， 男 １６ 一博士 ， 教授 ， 士生导师 ； 博 研究方向 ： 常微 分方程 ；Ｅ ｍ ｉ：ｗ ｎ ＠ｑｎ ．ｄ ．ｎ ． ａ ｆｍｅｇ ｆｕｅ ｕ ａ ｌ
本文 只考虑 ｛ ｔ Ｉｔ Ｔ ≠ ０的解 ． １１ 存 ｔ∞ 上 １ ｕ Ｉ ）： （ ｝ 方
程（ ． ） １１ 的解称为振动的， 若它的零点集合无界 ， 否则 ， 称为是非振动的． 方程（ ．） １ １ 称为是振动 的， 若它所有 的解是 振动 的． 近 十年来 ， 阶微分 方程 振 动性 的研 究 发 展 相 当迅 速 ， 见 文献 ［ －０ ．方 程 （ ． ） 二 详 １２ ］ １ １ 的振 动 性 首 先 由
（ ①曲阜师范大学数学科学学院， ７１ ， ２３ ５曲阜市； ６ ②山东轻工业学院， ０５ ， ２ ３ 济南市； ５ ． ３ ③泰山学院数学与系统科学学院， ７ ， ２ｌ 山东省泰安市） ｌ
摘要： 给出了带强迫项的二阶非线性微分方程 （） ｐ ｚ ＋（
干新 的充分条件 ， 改进并推广了孙元功（ ０ ３ 的结果． ２０ ）