关于二次曲线切线问题的两点注记

摘 要 讨 论 二 次 曲线 切 线 的 相 关 问 题 ， 明 无 奇 异 点 的二 次 曲线 若 有 沿 渐 近 方 向 的 切 线 ， 一 定 是 包 含 两 证 则
条 平 行 直 线 的线 心二 次 曲 线 ； 二 次 曲线 外 的 中心 ， 过 曲线 没 有 切 线 ． 关 键 词 二 次 曲 线 ； 线 ； 异 点 ； 近 方 向 切 奇 渐
或 者
Ａ 一 ０， ｚ ， ）： ０ （ ， Ｆ（ ｏ ＝ （ Ｘ ｙ）一 ０ ， ） （） ６
如果 沿渐 近方 向的直 线
Ａｌ ＋ Ｂ１ ＋ Ｃ１— ０ ｚ Ｙ （） ２
则 二次 曲线 （ ） 切线 ］ １ 有
在该 曲线 上 ， 则该 二 次 曲线 的方程 可写 成
Ｆ（ ）三 （ ｚ ＋ Ｂ１ ＋ Ｃ１ （ ｘ， Ａｌ ） Ａｘ ＋ Ｂ ＋ Ｃ）一 ０ ｙ ． （） ３
中图分类号 ０１ ２ １ ８ ． 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ２０ ０ －３ ０ ８ １ ９ （ ０ ２ ０ － ０ ５０
文献 Ｅ ｉ利 用二 次 曲线 切 线 的定 义 分 别讨 论 了 ｌ 过二 次 曲线上 一 点切 线 的求 法及 过 二次 曲线外 一 点
切线 的两 种求 法 ， 到 了存 在 奇 异 点 的 二 次 曲 线 的 得 具体 类 型． 文将 对 该 文 研 究 的 二 次 曲线 的 切 线 问 本
题 做 两点 补 充 ， 为此 ， 首先 给 出文 中使 用 的记号
Ｆ （ ）三 ａ ｌ ｘ， １ 。＋ ２ １ｘ 斗一 ２Ｙ ＋ ａ２ｙ ｎ２ 。
如下 引理 ．
Ａ一 ［ Ｆ１ ｚ ，ｏ ＋Ｙ （ ｏＹ ） 。 Ｘ （ ｏＹ ） Ｆ２ｚ ， ｏ ］ 一
根 据二 次 曲线切 线 的定义 可 知 ， 果 如
△一 ０ （ （ ， Ｘ ｙ）≠ Ｏ ）， （） ５
引理 １ 对 于二 次 曲线
Ｆ（ ３ ： ０， ｘ， ， ） （） １
（ ａ ３一 Ｃｌ ） ＋ （ ａ ３ Ｃ１ Ｙ＋ ａ ３ ２ １ Ａ ｚ ２ ２一 Ｂ） ３．
因为直 线 （ ）在 曲线 （ ）上 ， 以 ２ １ 所
２ ３一 Ｃ１ ａ１ Ａ
—
一 一 —］
一
２２ ａ ３一 Ｃ１ Ｂ
一 磐 Ｃ ，
１ 一
由此则 得式 （ ） 立． ３ 成 定 理 １ 有 奇异 点 的二 次 曲线 一定 有 沿渐 近方 向的切 线 ； 无奇 异点 的二 次 曲线 若 有 沿 渐 近方 向 的
证 明 不 妨 记
（ ， Ｘ ｙ） Ｆ（ ｏ 。 ． ｚ ， ）
是否 每种 二 次 曲线 都有 这 两 种 情 况 的切 线 ？ 是 的 不 话 什 么样 的曲线有 沿 渐 近 方 向 的切 线？ 么样 的 曲 什
线 只有沿 渐 近方 向 的切线 ？ 回答 这个 问题 ， 给 出 为 先
一 Ｂ ：Ａ
收稿 日期 ：０ １０ —Ｏ 修 改 日期 ：０ １１ —４ ２ １－ ５３ ； ２ １ —２２ 作 者 简 介 ： 德 金 （ ９ ７ ） 男 ， 东 武 城 人 ， 授 ， 事 几 何 与 拓 扑 刘 １５ － ， 山 教 从 的 教 学 与 研 究 ． ｍａｌｔ ＿ ｅ ｎ ｏ ＠ １ ６ ｃｒ Ｅ ｉ ｉ ｄｊ ＿ ｋ ２ ．ｏ ：ｕ ｉ ｎ
２ １ ＋ ２ ２Ｙ＋ ３ ， ａ３ ａ３ ３ （ ）三 ａ １ 。＋ ２ １ｘ ＋ ａ ２ ｚ， ｌｚ ａ２ ｙ ２Ｙ ， Ｆ１ ， ）兰 １ｚ＋ 口 ２ 一 １ ， （ １ １Ｙ 口 ３ Ｆ２ ， ）三 ａ ２ （ １ｚ＋ ａ ２ ｆ ａ ３ ２Ｙ－ ２ ， —
证 明
而 直 线
因为 Ｘ ： ｙ为 渐近 方 向的充 要条 件 是
（ ， Ｘ ｙ） ： ０ ． （） ４
若 二 次 曲 线 （ ）没 有 奇 异 点 ， 它 有 沿 渐 近 １ 且
Ａ１ ＋ Ｂ１ ＋ Ｃ１： ０ ｚ Ｙ
方 向 的切 线 （ ） 则 直 线 （ ）一 定 满 足 条 件 （ ） ７， ７ ６ ，
其 中 ａ （， ＝ １ ２ ，）是任 意 实数 ．
文［ ］在 给 出 二 次 曲 线 的 切 线 定 义 之 后 指 出 ： １
二次 曲线 的切 线有 两种 可 能 的情 况 ， 一是 具 有 非 渐
近方 向的切线 ， 是具 有 渐近 方 向的切 线 ． 二 现在 要 问
切 线 ， 一 定是包 含 两条 平行 直线 的线 心二 次 曲线． 则
是 方程 （ ）的一个 根 ， 以可设 ４ 所 （ ）＝ （ ｚ＋ Ｂ ） Ａ ， Ａ１ １ （ ｘ＋ Ｂ ） ｙ ，
于 是
Ｆ（ ）三 （ ｚ＋ Ｂ１ ） Ａｘ ＋ Ｂ ｚ， Ａ１ （ ｙ）＋ ２ １Ｘ＋ ２ ２Ｙ＋ ａ ３＝ ａ３ ａ３ ３
（ Ａ ｚ＋ Ｂ Ｙ＋ Ｃ ） Ａ （ ｘ＋ Ｂ ） ｙ ＋
｛ ｘＸ Ｘ 。 ｔ ＝＋ ’ ：ｏ ． ￣
㈩
可 见 ， 二 次 曲线有 奇 异 点 （ 。 ） 则 过 奇 异 点 的 若 ｚ， ， 。 直 线 （ ）无 论 沿 渐 近 方 向还 是 沿 非 渐 近 方 向 都 是 ７ 二 次 曲线 的 切 线 ． 非 渐 近 方 向 时 ， Ｘ， 沿 （ ｙ）≠ ０， 直 线 （ ）与 曲线 相 交 于 两 个重 合 的点 ； 渐 近 方 向 ７ 沿 时 ， Ｘ， （ ｙ）一 ０ 直 线 （ ， ）是 曲线 的 一部 分 ．
第１ ５卷 第 ２ 期
２１ Ｏ ２年 ３月
高 等 数 学 研 究
ＳＴ Ｕ ＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ２ １１ ， ．
Ｍ ａ ．，２Ｏ１ ｒ ２
关 于二 次 曲线切 线 问题 的 两点 注记
刘德 金
（ 州 学 院 数 学 系 ，山东 德 州 ２ ３ ２ ） 德 ５ ０ ３