2019山东省青岛市高中自主招生考试数学模拟试题

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2019年山东省青岛市高考数学一模试卷(文科)

2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合B＝{x∈N|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，5，6，7}B．{2，3，4，5}C．{2，3，5}D．{2，3}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝3+2i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量．如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数．在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一．根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A．493B．383C．183D．1234．（5分）调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出k的值为（）A．7B．6C．5D．46．（5分）在△ABC中，，，则（）A．B．C．D．7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7；数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A．13B．48C．78D．1568．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：9，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±8x9．（5分）某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．B．64﹣8πC．64﹣12πD．64﹣16π10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数，若a＝f（2），b＝f（3），c＝f（5），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b12．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．（﹣∞，0]∪D．（﹣∞，0）∪二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为．15．（5分）已知椭圆C：的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l 垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6，则椭圆C的方程为．16．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）在△ABC中，，BC＝3，，D为线段AC上的一点，E为BC 的中点．（Ⅰ）求∠ACB；（Ⅱ）若△BCD的面积为3，求DE的长度．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面PCD．（Ⅰ）证明：平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AB＝2，Q为线段PB的中点，求三棱锥Q﹣PCD的体积．19．（12分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在（175，225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．产品质量/毫克频数（165，175]3（175，185]9（185，195]19（195，205]35（205，215]22（215，225]7（225，235]5（Ⅰ）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附表：P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：）（Ⅱ）按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x（单位：百件）产品中，得到次品数量y（单位：件）的情况汇总如表所示：x（百件）0.52 3.545y（件）214243540根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝；）20．（12分）已知抛物线W：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在W上，AF的中点坐标为（2，2）．（Ⅰ）求抛物线W的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线W相切于点P（异于原点），与抛物线W的准线相交于点Q，证明：FP⊥FQ．21．（12分）已知函数，a≤1，e＝2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）当a≤0时，证明：函数f（x）只有一个零点；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数）；以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2：ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M和N两点（均异于点O），求线段MN 的长．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）对任意x∈R，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合B＝{x∈N|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，5，6，7}B．{2，3，4，5}C．{2，3，5}D．{2，3}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合B＝{x∈N|2≤x＜6}＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{2，3，4，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝3+2i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数的运算．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：由（2﹣i）z＝3+2i，得＝．则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量．如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数．在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一．根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A．493B．383C．183D．123【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题；5M：推理和证明．【分析】先阅读题意，再结合进位制进行简单的合情推理得：农民采摘的果实的个数是3×40+1×41+3×42+2×43＝183，得解【解答】解：由题意有：农民采摘的果实的个数是3×40+1×41+3×42+2×43＝183，故选：C．【点评】本题考查了进位制及进行简单的合情推理，属中档题4．（5分）调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】B7：分布和频率分布表．【专题】11：计算题；31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图的性质直接求解．【解答】解：在①中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故①正确；在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%，故②正确；在③中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．故③错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出k的值为（）A．7B．6C．5D．4【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由流程线循环4次，输出k．【解答】解：初始值k＝9，s＝1，是，第一次循环：s＝，k＝8，是，第二次循环：s＝，k＝7，是，第三次循环：s＝，k＝6，是，第四次循环：s＝，k＝5，否，输出k＝5．故选：C．【点评】本题考查程序框图的循环，属于简单题．6．（5分）在△ABC中，，，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由平面向量的基本定理得：：＝＝＝（）﹣＝，得解【解答】解：＝＝＝（）﹣＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属中档题．7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7；数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A．13B．48C．78D．156【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列通项公式求出a7＝6，从而b7＝a7＝6，再由S13＝＝13b7，能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7，∴＝6a7，解得a7＝6∵数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，∴b7＝a7＝6，∴S13＝＝13b7＝13×6＝78．故选：C．【点评】本题考查等比数列的前13项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：9，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±8x【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得＝2，即可求出渐近线方程．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则＝，∴＝9，∴＝2，∴C的渐近线方程为y＝±2x，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．B．64﹣8πC．64﹣12πD．64﹣16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5Q：立体几何．【分析】根据三视图知该几何体是一正方体，截去两个相同的圆柱体，结合图中数据求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去两个半径为2的圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V＝43﹣•π•22•4＝64﹣8π．故选：B．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图象与性质．【分析】根据图象确定A，同时确定函数的周期和ω，利用五点法求出φ的值即可得到结论．【解答】解：由图象知函数的最大值为A＝4，＝﹣（﹣）＝．即T＝＝，即ω＝，即f（x）＝4sin（x+φ），由五点对应法得×（﹣）+φ＝0，得φ＝，得f（x）＝4sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的求解，利用图象确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．11．（5分）已知函数，若a＝f（2），b＝f（3），c＝f（5），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以得出，从而得出c＜a，同样的方法得出a＜b，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：＝，，＝；∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故选：D．【点评】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．12．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．（﹣∞，0]∪D．（﹣∞，0）∪【考点】5B：分段函数的应用．【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出当x＞0时，函数的导数，研究函数的极值和图象，作出函数f（x）的图象，由数形结合进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，函数f′（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，即当x＝e时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（e）＝2e﹣elne＝2e﹣e＝e，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，作出函数f（x）的图象如图：要使f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或＜a＜e，即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪，故选：D．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．【考点】F1：归纳推理．【专题】11：计算题；5M：推理和证明．【分析】由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为＝，得解【解答】解：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型可得：此点取自阴影部分的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】1：常规题型；11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求解．【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由z＝﹣x+y，得y＝x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最小，此时z最小，由，解得A（1，），此时z min＝+1＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．15．（5分）已知椭圆C：的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6，则椭圆C的方程为．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件列出方程，求解a，b即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆C：的离心率为，可得＝．A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6，2a×＝6，解得b＝，＝．a2＝b2+c2，解得a＝2，则椭圆C的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．16．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；4A：数学模型法；5U：球．【分析】分别计算出四棱锥P﹣ABCD的体积V和表面积S，利用公式计算出该四棱锥的内切球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的体积为＝，如下图所示，易证PD⊥AD，PD⊥CD，P A⊥AB，PC⊥BC，所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积为，所以，四棱锥P﹣ABCD的内切球的半径为，因此，此球的最大表面积为．【点评】本题考查球体表面积的计算，考查计算能力，属于中等题．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）在△ABC中，，BC＝3，，D为线段AC上的一点，E为BC 的中点．（Ⅰ）求∠ACB；（Ⅱ）若△BCD的面积为3，求DE的长度．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理，，可求sin∠ACB，然后结合大边对大角可求∠ACB；（2）由s△BCD＝3，结合三角形的面积公式可求DC，然后在△CDE中，由余弦定理可得，DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CD×cos∠ACB，即可解得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得，，∴sin∠ACB＝＝，∵0＜∠ACB＜π，且AB＜BC，∴∠ACB＜A，∴∠ACB＝；（2）△BCD中，由s△BCD＝3可得，BC•DC sin∠ACB＝3，∴＝3，∴DC＝2，△CDE中，由余弦定理可得，DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CD×cos∠ACB，＝＝，∴DE＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面PCD．（Ⅰ）证明：平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AB＝2，Q为线段PB的中点，求三棱锥Q﹣PCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取PD的中点O，连接AO，由已知可得AO⊥PD，再由面面垂直的判定可得AO⊥平面PCD，得到AO⊥CD，由底面ABCD为正方形，得CD⊥AD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面P AD，则平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥平面PCD，求出A到平面PCD的距离d＝AO＝，进一步求得Q到平面PCD的距离h＝，再由（Ⅰ）知，CD⊥平面P AD，得CD⊥PD，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点O，连接AO，∵△P AD为等边三角形，∴AO⊥PD，∵AO⊂平面P AD，平面P AD∩平面PCD＝PD，平面P AD⊥平面PCD，∴AO⊥平面PCD，∵CD⊂平面PCD，∴AO⊥CD，∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AO∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，又∵CD⊂平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AO⊥平面PCD，∴A到平面PCD的距离d＝AO＝．∵底面ABCD为正方形，∴AB∥CD，又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，∴A，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，∴Q到平面PCD的距离h＝．由（Ⅰ）知，CD⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴CD⊥PD，∴．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．（12分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在（175，225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．产品质量/毫克频数（165，175]3（175，185]9（185，195]19（195，205]35（205，215]22（215，225]7（225，235]5（Ⅰ）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附表：P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：）（Ⅱ）按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x（单位：百件）产品中，得到次品数量y（单位：件）的情况汇总如表所示：x（百件）0.52 3.545y（件）214243540根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝；）【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据直方图求出2×2列联表即可；（Ⅱ）求出相关系数，从而求出回归方程，代入x的值判断即可．【解答】解：（Ⅰ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知：合格品的个数为：100×（1﹣0.04）＝96，故2×2列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200故K2＝≈1.418＜2.072，故在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关；（Ⅱ）由已知可得：＝（0.5+2+3.5+4+5）＝3，＝（2+14+24+35+40）＝23，x i y i＝0.5×2+2×14+3.5×24+4×35+5×40＝453，＝0.52+22+3.52+42+52＝57.5，由回归直线的系数公式得：＝＝＝＝8.64，故＝﹣＝23﹣8.64×3＝﹣2.92，故＝x+a＝8.64x﹣2.92，当x＝20时，y＝169.88＜180，符合题意，故按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产2000件的任务．【点评】本题考查了2×2列联表，考查求回归方程问题以及函数代入求值，是一道常规题．20．（12分）已知抛物线W：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在W上，AF的中点坐标为（2，2）．（Ⅰ）求抛物线W的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线W相切于点P（异于原点），与抛物线W的准线相交于点Q，证明：FP⊥FQ．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标，得到A的坐标，然后求解p即可得到抛物线方程．（Ⅱ）先求导，可得直线l的方程，求点Q的坐标，根据向量的运算和向量的数量积即可证明【解答】解：（Ⅰ）抛物线W：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，），点A在W上，AF 的中点坐标为（2，2），可得A（4，4﹣），可得：16＝2p（4﹣），解得：p＝4．则C的方程为：x2＝8y．证明：（Ⅱ）由y＝x2，可得y′＝x，设点P（x0，x02），则直线l的方程为y﹣x02＝x0（x﹣x0），即y＝x0x﹣x02，令y＝﹣2，得Q（，﹣2）∴＝（x0，x02﹣2），＝（，﹣4）∴•＝x0•﹣4（x02﹣2）＝0，∴FP⊥FQ．【点评】本题考查了抛物线的方程，直线方程，向量的运算等基础知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题21．（12分）已知函数，a≤1，e＝2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）当a≤0时，证明：函数f（x）只有一个零点；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4G：演绎法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的单调性即可证得题中的结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论分类讨论研究函数的极值点确定实数a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知：f’（x）＝1﹣e x+ax．令g（x）＝1﹣e x+ax，g’（x）＝a﹣e x．当a≤0，g’（x）＜0，所以f'（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减．因为f’（0）＝0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（0）＝0，故f（x）只有一个零点．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a≤0不合题意．当0＜a＜1时，因为x∈（﹣∞，lna），g′（x）＞0；x∈（lna，+∞），g′（x）＜0．又因为f'（0）＝0，所以f’（lna）＞0；又因为．因为函数．所以φ（a）＞φ（1）＝1＞0，即．所以存在，满足f’（x1）＝0．所以．此时f（x）存在两个极值点x1，0，符合题意．当a＝1时，因为x＝（﹣∞，0），g’（x）＞0；x＝（0，+∞），g’（x）＜0；所以g（x）≤g（0）＝0；所以f'（x）≤0，即f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以f（x）无极值点，不合题意．综上可得：0＜a＜1．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性与零点，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数）；以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2：ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M和N两点（均异于点O），求线段MN 的长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；（Ⅱ）设M，N的极坐标并分别代入C1，C2可得ρ1，ρ2，再利用|MN|＝|ρ1|+|ρ2|可得．【解答】解：（Ⅰ）因为曲线C1的参数方程为（α为参数），所以C1的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5①，在极坐标系中，将代入①得ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，化简得，C1的极坐标方程为：ρ＝4cosθ+2sinθ②．（Ⅱ）因为直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），且直线l与曲线C1和和曲线C2分别交于M，N，可设M（ρ1，），N（ρ2，），将M（ρ1，）代入②得ρ1＝4cos+2sin＝4×（﹣）+2×＝﹣，将N（ρ2，）代入曲线C2：ρ＝4sinθ得ρ2＝4sin＝4×＝2．所以|MN|＝|ρ1|+|ρ2|＝|﹣|+2＝3．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）对任意x∈R，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32：分类讨论；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）a＝1时函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|，去掉绝对值，分段讨论求不等式f（x）+x＞0的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式求得f（x）的最大值f（x）max，把f（x）≤3恒成立化为f（x）max≤3，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|＝|x﹣2|﹣|x+1|，①当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x﹣2）+（x+1）＝3，不等式f（x）+x＞0可化为3+x＞0，解得x＞﹣3，所以﹣3＜x≤﹣1；②当﹣1＜x＜2时，f（x）＝﹣（x﹣2）﹣（x+1）＝﹣2x+1，不等式f（x）+x＞0可化为﹣x+1＞0，解得x＜1，所以﹣1＜x＜1；当x≥2时，f（x）＝（x﹣2）﹣（x+1）＝﹣3，不等式f（x）+x＞0可化为x﹣3＞0，解得x＞3，所以x＞1；综上，不等式f（x）+x＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}；（Ⅱ）因为f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|≤|（x﹣2）﹣（x+a）|≤|a+2|，所以f（x）max＝|a+2|，对任意x∈R，f（x）≤3恒成立，所以|a+2|≤3，所以﹣3≤a+2≤3，解得﹣5≤a≤1，所以实数a的取值范围是[﹣5，1]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2019届山东省青岛市高三高考模拟检测（二模）数学（文）试题

2019届山东省青岛市高三高考模拟检测（二模）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求解出集合，再根据交集的定义得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2．“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果. 【详解】当时，，则为纯虚数可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件；当为纯虚数时，，解得：可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件；综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定问题，属于基础题.3．已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A．3 B．9 C．12 D．15【答案】D【解析】根据数量积的运算法则求解即可得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.4．函数在区间上的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x→0时，x sin x+lnx＜0，分析可得答案．【详解】根据题意，f（x）＝x sin x+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝x sin x+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；又由x→0时，x sin x+lnx＜0，排除C；故选：B．【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析．5．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（）A．B．C．D．【解析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.6．已知为坐标原点，点，分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上的一点，且，与轴交于点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据垂直关系可知为通径，从而得到；利用平行关系可知，从而得到结果.【详解】由可知：为通径的一半，且为中点本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用问题，属于基础题.7．若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.,,故,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等。

2019年山东省青岛市中考数学模拟试卷含答案

2019年山东省青岛市中考数学模拟试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．0.1010012．下列运算正确的是（）A．a•a4=a5 B．a3+a3=a6C．（a2）3=a5D．3a﹣a=33．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣24．如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（）A． B．C．D．5．2016年我国启动了新一代“E级超算”（计算速度达到每秒100亿亿次）样机系统的研制，预计今年底能够研制成功，这比美国计划在2025年造出“E级超算”提早8年，“E级超算”的计算速度用科学记数法表示为（）A．1.0×1017B．1.0×1018C．1.0×1019D．1.0×10206．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=25°，∠ACE=60°，则∠A=（）A．105°B．95°C．85°D．25°7．我国自主研制的世界首颗空间量子科学实验卫星“墨子号”，圆满完成4个月的在轨测试任务后，于2017年1月18日正式交付用户单位使用．在试验期间的某周，“墨子号”向地面接收站发送的信息量如下表：这七天发送的信息量的众数是（）A．198 B．200 C．202 D．2108．已知一次函数y=ax+5和y=bx+3，若a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限9．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（）A．60°B．55°C．50°D．45°11．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（）A．B．C．D．12．有3个正方形按如图所示放置，其中大正方形的边长是1，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1+S2等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．因式分解：3y2﹣12=．14．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是．15．在平面直角坐标系内，以点P（﹣1，0）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．16．以x为自变量的二次函数y=x2﹣（b﹣2）x+b﹣3的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．计算：（1）计算：（﹣1）2017+2cos45°﹣（2）化简：÷（1﹣）．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，0），B（4，2），C（2，3）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．19．2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？（2）条形统计图中，m=，n=；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？20．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1440万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励9元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？21．如图，在Rt△ABC中，C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB 为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求AD的长．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）22．如果m是从﹣1，0，1，2四个数中任取的一个数，n是从﹣2，0，3三个数中任取的一个数，则二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为．23．如图，点A的坐标为（﹣5，0），直线y=x+t与坐标轴交于点B，C，连结AC，如果∠ACD=90°，则t=．24．如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH 的长为．25．一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=，a n=（n≥2，且n为整数），则a1+a2+a3+…+a2017=．四、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）26．已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为d===．根据以上材料，解答下列问题：（1）点P（1，﹣1）到直线y=x+1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q的坐标为（0，4），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+8的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+1与y=﹣2x+6平行，A、B是直线y=﹣2x+1上的两点且AB=8，P是直线y=﹣2x+6上任意一点，求△P AB的面积．27．如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP．（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．28．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）（s≠0）．（1）当s=2时，t=1时，求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）若（1）中的抛物线与x轴交于点B，过B作OA的平行线交抛物线于点D，求△BDO 三条高的和；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣1≤s＜2时，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．0.101001【考点】27：实数．【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．【解答】解：，，是无理数，0.101001是有理数，故选D2．下列运算正确的是（）A．a•a4=a5 B．a3+a3=a6C．（a2）3=a5D．3a﹣a=3【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、a•a4=a5，正确，符合题意；B、a3+a3=2a3，错误，不合题意；C、（a2）3=a6，错误，不合题意；D、3a﹣a=2a，错误，不合题意；故选：A．3．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：B．4．如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（）A． B．C．D．【考点】I6：几何体的展开图．【分析】根据含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体可判断B、C、D，故此可得到答案．【解答】解：A、能折成正方体，故A正确；B、含有田字形，不能折成正方体，故B错误；C、含有田字形，不能折成正方体，故C错误；D、凹字形，不能折成正方体，故D错误；故选A．5．2016年我国启动了新一代“E级超算”（计算速度达到每秒100亿亿次）样机系统的研制，预计今年底能够研制成功，这比美国计划在2025年造出“E级超算”提早8年，“E级超算”的计算速度用科学记数法表示为（）A．1.0×1017B．1.0×1018C．1.0×1019D．1.0×1020【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：100亿亿=1.0×1018．故选：B．6．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=25°，∠ACE=60°，则∠A=（）A．105°B．95°C．85°D．25°【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．【分析】先根据角平分线的性质求出∠ACD的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°．∵∠B=25°，∴∠A=120°﹣25°=95°．故选B．7．我国自主研制的世界首颗空间量子科学实验卫星“墨子号”，圆满完成4个月的在轨测试任务后，于2017年1月18日正式交付用户单位使用．在试验期间的某周，“墨子号”向地面接收站发送的信息量如下表：这七天发送的信息量的众数是（）A．198 B．200 C．202 D．210【考点】W5：众数．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：在这7个数据中，出现次数最多的为202，出现3次，即众数为202，故选：C．8．已知一次函数y=ax+5和y=bx+3，若a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】根据k的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限，然后根据a、b 的情况即可求得交点的位置．【解答】解：∵一次函数y=ax+5中a＞0，∴一次函数y=ax+5的图象经过第一、二、三象限．又∵一次函数y=bx+3中b＜0，∴一次函数y=bx+3的图象经过第一、二、四象限．∵3＜5，∴这两个一次函数的图象的交点在第二象限，故选C．9．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解不等式组得：，再分别表示在数轴上即可得解．【解答】解：由5x﹣4＜4x得x＜4，由≥3，得x≤﹣3，则不等式组的解集为x≤﹣3，故选：D．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（）A．60°B．55°C．50°D．45°【考点】M6：圆内接四边形的性质；M4：圆心角、弧、弦的关系．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣110°=70°．∵且=，∠BAC=20°，∴∠DCE=∠BAC=20°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=70°﹣20°=50°．故选C．11．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，然后根据反比例函数的性质确定出c的取值范围，最后根据二次函数的性质即可做出判断．【解答】解：∵一次函数y=ax+b经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∵反比例函数y=的图象在一、三象限，∴c＞0，∵a＜0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下，∵b＞0，∴＞0，∵c＞0，∴与y轴的正半轴相交，故选C．12．有3个正方形按如图所示放置，其中大正方形的边长是1，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1+S2等于（）A．B．C．D．【考点】LE：正方形的性质．【分析】再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：∵AB=1，∴AC=，根据图形可得：∵=，∴S1=S△ADC=，∵S2==，∴S1+S2=+=，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．因式分解：3y2﹣12=3（y+2）（y﹣2）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3y2﹣12，=3（y2﹣4），=3（y+2）（y﹣2）．14．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是9．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得（n﹣2）•180°=140°n，解得n=9，故答案为：9．15．在平面直角坐标系内，以点P（﹣1，0）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（2，0），（﹣2，0）．【考点】MB：直线与圆的位置关系；D5：坐标与图形性质．【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵由题意得，OM=1，MP=，∴OP==2，∴P（2，0）．同理可得，N（﹣2，0）．故答案为：（2，0），（﹣2，0）16．以x为自变量的二次函数y=x2﹣（b﹣2）x+b﹣3的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是b＞3．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】由于二次函数y=x2﹣（b﹣2）x+b﹣3的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣（b﹣2）x+b﹣3的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，当抛物线的顶点在x轴上方时，则b2﹣1≥0，△=（b﹣2）2﹣4（b﹣3）≥0，解得b为任意实数；当抛物线的顶点在x轴的下方时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=（b﹣2）＞0，b﹣3＞0，∴△=（b﹣2）2﹣4（b﹣3）＞0，①b﹣2＞0，②b﹣3＞0，③由①得b为任意实数，由②③得b＞3，∴此种情况不存在，∴b＞3，故答案为：b＞3．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．计算：（1）计算：（﹣1）2017+2cos45°﹣（2）化简：÷（1﹣）．【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据乘方、二次根式的化简、特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法即可．【解答】解：原式=﹣1+﹣=﹣1；（2）原式=÷（﹣）=•=．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，0），B（4，2），C（2，3）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【考点】P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；（2）将△A1B1C1三顶点分别向左平移3个单位，得到其对应点，顺次连接即可得．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（﹣4，0）、B2（﹣7，2）、C2（﹣5，3）．19．2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？（2）条形统计图中，m=60，n=90；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；（2）C所对应的人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C 所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答；（3）根据B所占的百分比×360°，即可解答．【解答】解：（1）105÷35%=300（人），答：一共调查了300名同学，（2）n=300×30%=90（人），m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．故答案为：60，90；（3）×360°=72°．答：扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是72度．20．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1440万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励9元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2015年投入资金给×（1+增长率）2=2017年投入资金，列出方程求解可得；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1500（1+x）2=1500+1440，解得：x=0.4或x=﹣2.4（舍），答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为40%；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×9×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，解得：a≥1700，答：今年该地至少有1700户享受到优先搬迁租房奖励．21．如图，在Rt△ABC中，C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB 为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求AD的长．【考点】ME：切线的判定与性质．【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证；（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，利用勾股定理求出BG的长，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∵OG⊥BC，∠C=90°，∴OG∥AC，∴△BOG∽△BAC，∴，即=，∴AD=．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）22．如果m是从﹣1，0，1，2四个数中任取的一个数，n是从﹣2，0，3三个数中任取的一个数，则二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法；H3：二次函数的性质．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出在二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：由列表可知所有等可能的情况数有12种，其中P（m，n）在在二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的有6种，所以二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率==，故答案为：．23．如图，点A的坐标为（﹣5，0），直线y=x+t与坐标轴交于点B，C，连结AC，如果∠ACD=90°，则t=﹣．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】由直线y=x+t与坐标轴交于点B，C，得B点的坐标（﹣t，0），C点的坐标为（0，t），由A点的坐标为（﹣5，0），∠ACD=90°，用勾股定理列出方程求出n的值．【解答】解：∵直线y=x+t与坐标轴交于点B，C，∴B点的坐标为（﹣t，0），C点的坐标为（0，t），∵A点的坐标为（﹣5，0），∠ACD=90°，∴AB2=AC2+BC2，∵AC2=AO2+OC2，BC2=OB2+OC2，∴AB2=AO2+OC2+OB2+OC2，即（﹣t+5）2=52+t2+（﹣t）2+t2解得t1=﹣，t2=0（舍去），故答案为﹣．24．如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为3．【考点】LE：正方形的性质．【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE ﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），AG2+BG2=AB2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=12，CE=BG=9，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE﹣BG=12﹣9=3，同理可得HE=3，在Rt△GHE中，GH=，故答案为：3．25．一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=，a n=（n≥2，且n为整数），则a1+a2+a3+…+a2017=1008．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可．【解答】解：∵a1=，a n=，∴a2===2，a3===﹣1，a4===，…∴这列数每3个数为一循环周期，∵2017÷3=672…1，∴a2017=a1=，又∵a1+a2+a3=+2﹣1=，∴a1+a2+a3+…+a2017=672×+=1008．故答案为1008．四、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）26．已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为d===．根据以上材料，解答下列问题：（1）点P（1，﹣1）到直线y=x+1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q的坐标为（0，4），半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+8的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+1与y=﹣2x+6平行，A、B是直线y=﹣2x+1上的两点且AB=8，P是直线y=﹣2x+6上任意一点，求△PAB的面积．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式计算即可；（2）求出点Q（0，4）到直线y=x+8的距离d即可判断；（3）在直线y=﹣2x+6上取一点Q（0，6），根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，6），到直线y=﹣2x+1的距离d=，利用平行线的性质即可解决问题；【解答】解：（1）根据点到直线的距离公式可知：点P（1，﹣1）到直线y=x+1的距离d==．（2）结论：判断⊙Q与直线y=x+8相切．理由：根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，4）到直线y=x+8的距离d==2．∵⊙Q的半径为2，∴d=r，∴⊙Q与直线y=x+8相切．（3）在直线y=﹣2x+6上取一点Q（0，6），根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，6），到直线y=﹣2x+1的距离d==，∵直线y=﹣2x+1与y=﹣2x+6平行，∴S△PAB=•AB•d=•8•=4．27．如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP．（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．【考点】L8：菱形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出∠MPF=∠NPE，推出∠EPF=∠MPF，由∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，推出∠EPF+∠BAD=180°即可；（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出FM=NE，由PA=PA，PM=PN，推出Rt△PAM≌Rt△PAN，推出AM=AN，推出AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，再证明PA=2AM即可解决问题；（3）结论：AF+AE=PA•cos．证明方法类似（2）；【解答】解：（1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．∵四边形ABCD是菱形，∴∠PAM=∠PAN，∴PM=PN，∵PE=PF，∴Rt△PMF≌Rt△PNE，∴∠MPF=∠NPE，∴∠EPF=∠MPF，∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，∴∠EPF+∠BAD=180°．（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，∴FM=NE，∵PA=PA，PM=PN，∴Rt△PAM≌Rt△PAN，∴AM=AN，∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，∵∠BAD=120°，∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，∴AE+AF=PA．（3）结论：AF+AE=PA•cos．理由：如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，∴FM=NE，∵PA=PA，PM=PN，∴Rt△PAM≌Rt△PAN，∴AM=AN，∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，∵∠BAD=θ，∴∠PAM=，易知AM=PA•cos，∴AF+AE=PA•cos．28．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）（s≠0）．（1）当s=2时，t=1时，求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）若（1）中的抛物线与x轴交于点B，过B作OA的平行线交抛物线于点D，求△BDO 三条高的和；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣1≤s＜2时，求a的取值范围．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）由题意可知A（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，由于抛物线过原点，所以将（0，0）代入即可求出a的值．（2）根据A（2，1）可求出OA的直线解析式，由于DB∥OA，所以一次项系数必定相等，从而可求出直线BD的解析式，联立直线BD与抛物线的解析式即可求出D的坐标，然后根据勾股定理分别求出OD、BD的长度，再求出△BOD的面积即可求出△BDO三条高的和．（3）t=s2﹣s，由于A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点，所以y=a（x﹣s）2+t，将（0，0）代入该式后可得s=（a+1）s2，利用s的范围即可求出a的范围．【解答】解：（1）由题意可知A（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，由于抛物线过原点，∴将（0，0）代入y=a（x﹣2）2+1，∴解得a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1，（2）令y=0代入y=﹣（x﹣2）2+1，∴解得x=4或x=0，∴B（4，0）设直线OA的解析式为：y=kx，将A（2，1）代入y=kx，∴k=，∵BD∥OA，∴设直线BD的解析式为：y=x+m，将B（4，0）代入y=x+m，∴m=﹣2∴直线BD的解析式为：y=x﹣2联立解得：x=4或x=﹣2∴D（﹣2，﹣3）∴由勾股定理可知：OD=，BD=3，设OB、OD、BD边上的高分别为h1，h2，h3，∴h1=3又∵OB=4，∴S△BDO=OB•h1=6，∴BD•h3=O D•h2=6，∴h2=，h3=，∴△BDO三条高的和h1+h2+h3=3++，（3）由题意可知：t=s2﹣s，∵A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点，∴y=a（x﹣s）2+t，又因为该抛物线经过原点，∴0=as2+t，∴0=as2+s2﹣s，∴s=（a+1）s2，当s=0时，此时，a全体实数，当s≠0时，此时﹣1≤s＜0或0＜s＜2，∴a=，∴a≤﹣2或a＞﹣，综上所述，a≤﹣2或a＞﹣，。

山东省2019年青岛市高考模拟检测(二模)数学理科试题

青岛市高考模拟检测数学（理科）答案第1页（共7页）2019年青岛市高考模拟检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．A C DB B BC A AD D C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．25；14．3；15；16．12a <．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）解：（1）因为sin 1sin sin c B b a C A +=--+所以由正弦定理得1c b b a c a +=--+·······························································2分整理得222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-·······································································5分因为0A π<<，所以23A π=········································································6分（2）因为12a c ==,23A π=所以由余弦定理2222cos a b c bc A=+-得22208144212cos 3b b π=+-⨯解得4b =或16b =-（舍）·········································································10分所以112sin 124sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分青岛市高考模拟检测数学（理科）答案第2页（共7页）18．（本小题满分12分）解：（1）由题知：面⊥FNH 面NHG ，面 FNH 面NHNHG =因为FH NH ⊥，⊂FH 平面FHN所以⊥FH 平面NHG ······································································3分所以NG FH ⊥··············································································4分（2）以点2O 为坐标原点，分别以1222,,O O E O G O 为z y x 、、轴建立空间直角坐标系2O xyz-所以(0,1,2),(1,0,0),(0,1,2)N G F -，设(,,2)H m n ，则221m n +=)0,1,(+=n m NH 设平面NFG 的法向量1111(,,)n x y z = ，因为1100n NG n NF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以111111(,,)(1,1,2)0(,,)(0,2,0)0x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅=⎩，所以11112020x y z y +-=⎧⎨=⎩,即法向量1(2,0,1)n = ···········································6分因此1115sin ||5||||NH n NH n α⋅===== 所以2233m n =+，解得1,22n m =-=，所以点1(,,2)22H -················8分设面NHG 的法向量2222(,,);n x y z = 因为2200n NG n NH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以222222(,,)(1,1,2)031(,,)(,0)022x y z x y z ⋅-=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222222031022x y z x y +-=⎧+=⎪⎩,即法向量213(1,2n = ································10分因为面MNFE 的法向量3(1,0,0)n =，所以2323||1cos 2||||n n n n θ⋅== 所以面NHG 与面MNFE 所成锐二面角的平面角大于3π·······················12分M N 1O 2O E F HG ∙∙yx z青岛市高考模拟检测数学（理科）答案第3页（共7页）19．（本小题满分12分）解：由题知121||||||,||22NF NS PF PF ==所以121212||||||||||2NF NF PF PF F F ++==>因此动点P 的轨迹W 是以21,F F 为焦点的椭圆···················································2分又知222,322==c a ，所以曲线W 的标准方程为1322=+y x ······························································3分又由题知)6,(A x A所以(A A OA OS x ⋅=⋅== ，所以32=A x ·····························································································5分又因为点)6,32(A 在抛物线C 上，所以6=P ，所以抛物线C 的标准方程为y x 622=····························································6分（2）设)26,(),,(-Q P P x Q y x P 由题知OP OQ ⊥，所以60,2P P Q x x -=即(0)2P Q P P x x x =≠所以2211||||OP OQ +=)(3232323112222222P P P P P P P y x x x y y x ++=+++····································9分又因为31,132222P P P P x y y x -==+所以1)31(323)(323222222=-++=++P P P P P P x x x y x x 所以2211||||OP OQ +为定值，且定值为1··························································12分20．（本小题满分12分）解：（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即772211182.479.2()()iii i y y y y ==>--∑∑··········1分所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．····················2分所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元）···································3分（2）由已知可得：0.52 3.5452035x ++++-==，所以23x =························4分8.587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =············································5分所以0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+················6分所以当20x =亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=所以当20x =亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大············································7分（3）因为(0.520.020.520.02)0.9544P X -<<+=所以10.9544(0.50)0.97722P X +>==，10.9544(0.50)0.02282P X -≤==······8分因为(0.520.10.520.1)0.6826P X -<<+=，所以10.6826(0.53)0.15872P X ->==··························································9分所以(0.500.53)0.97720.15870.8185P X <≤=-=·······································10分设每台发动机获得的奖励为Y （万元），则Y 的分布列为：Y025P 0.02280.81850.1587所以每台发动机获得奖励的数学期望为()00.022820.818550.1587 2.4305E Y =⨯+⨯+⨯=（万元）···························12分21．（本小题满分12分）解：(1)由已知1k =-,所以22()()xxx a f x x a e e -+=+=所以22222()2'()()'x x x x xx a xe x a e x x af x e e e+-+-+-===··································1分①若1a ≥,在R 上恒有2()(1)10u x x a =--+-≤所以2(1)1'()0xx af x e --+-=≤,所以()f x 在(0,)+∞上为单调递减;·····················2分②若1a <,2()(1)1u x x a =--+-图象与x 轴有两个不同交点,设2()(1)10u x x a =--+-=的两根分别为1211x x ==+（ⅰ）若01a <<,1201,1x x <<>,所以当10x x <<时,()0u x <;当12x x x <<,时,()0u x ≥;当2x x >时,()0u x <所以,此时()f x 在1(0,)x 上和2(,)x +∞上分别单调递减;在12(,)x x 上单调递增;（ⅱ）若0a ≤,1210,12x x =-≤=+所以,2(0,)x x ∈上总有()0u x >;在当2x x >上,()0u x <所以此时()f x 在2(0,)x 上单调增,在2(,)x +∞上单调减.·······································5分综上：若1a ≥,()f x 在(0,)+∞上为单调递减；若01a <<,()f x 在1(0,)x 上和2(,)x +∞上分别单调递减;在12(,)x x 上单调递增;若0a ≤,()f x 在2(0,)x 上单调增,在2(,)x +∞上单调减.······························6分(2)由题知0,1a k ==,所以2()xf x x e =，令()(1)xg x e x =-+对任意实数0x >,'()10xg x e =->恒成立，所以()(1)(0)0xg x e x g =-+>=,即10xe x >+>············································7分则222(1)ln (1)(1)ln (1)(ln )xx e m x x x x m x x x x m x -+>+-+=+-····················8分令2()ln h x x m x=-所以222'()(ln )'2m x mh x x m x x x x-=-=-=因为02m e <≤,所以222'()(ln )'2m x mh x x m x xx x-=-=-==所以x ∈时,'()0h x <,0h =;)x ∈+∞时,'()0h x >所以2()ln h x x m x =-在(0,)+∞上有最小值所以ln (1ln )222m m m h m =-=-·····················································11分因为02e <≤,所以ln 12<,所以1ln 02m ->所以(1ln )022m m ->,即02m e <≤时,对任意0x >,2()ln 0h x x m x =->所以2(1)ln 0xx e m x x -+>所以方程()(1)ln 0f x m x x -+=无实根.·························································12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解：（1）因为直线l过点P ，且倾斜角为α所以直线l的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)·········································2分因为圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=所以22cos sin 10ρρθθ---=所以圆C的普通方程为：22210x y x +---=，圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+-=·····················································5分（2）直线l的参数方程为cossin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入圆C 的标准方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=整理得22cos 40t t α--=设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则122cos t t α+=·······························7分所以||||PM PN -=12|||2cos |t t α+==，2cos 2α=±·······························9分因为0απ≤<，所以4πα=或34π································································10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）当2a b c ===时，()|2||2|2f x x x =-+++所以()8f x <⇔2228x x ≤-⎧⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩所以不等式的解集为{|33}x x -<<·································································5分（2）因为0,0,0a b c >>>所以()||||||||f x a x x b c a x x b c a b c a b c=-+++≥-+++=++=++因为()f x 的最小值为1，所以1a b c ++=························································8分所以2222()2221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=因为2222222,2,2ab a b bc b c ac a c≤+≤+≤+所以22222212223()a b c ab ac bc a b c =+++++≤++所以22213a b c ++≥···················································································10分。

【考试必备】2018-2019年最新青岛二中初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【5套试卷】

是(
)
x＋ 1>0，
A.
x－ 3>0
x＋ 1>0，
B.
3－ x>0
x＋ 1<0，
C.
x－ 3>0
x＋ 1<0，
D.
3－ x>0
8．已知二次函数的图象 (0 ≤ x≤ 3) 如图所示，关于该函数在所给自变
量取值范围内，下列说法正确的是
(
)
A．有最小值 0，有最大值 3
B．有最小值－ 1，有最大值 0
2018-2019
年最新青岛二中自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）
考试时间： 90 分钟总分： 150 分
一、选择题（本题有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确
选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．
注意可以用多种不同的
方法来选取正确答案．
（ 1）观察下列算式：
2
① 1 3 3 － 2 ＝ 3－ 4＝－ 1
2
② 2 3 4 － 3 ＝ 8－ 9＝－ 1
2
③ 3 3 5 － 4 ＝ 15－ 16＝－ 1
④ __________________________
……
(1) 请你按以上规律写出第 4 个算式；
(2) 把这个规律用含字母的式子表示出来；
B
．8
C
． 10
D
． 17
6、今年 5 月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有 17 位同学参加选
拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前
8 名进入决赛，若知道某同学
分数，要判断他能否进入决赛，只需知道

【考试必备】2018-2019年最新青岛二中初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【5套试卷】

2018-2019年最新青岛二中自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）考试时间：90分钟总分：150分一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□３3ab＝3a2b，则□内应填的代数式()A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周O长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为 3 ，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．6 B．8 C．10 D．176、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（）A.中位数B.众数C.平均数D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.x＋1>0，x－3>0B.x＋1>0，3－x>0C.x＋1<0，x－3>0D.x＋1<0，3－x>08．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值 3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值 3D．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )水平面主视方向A ．2.5B ．2 2C. 3 D. 510．青岛二中广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）（A ）两个外离的圆（B ）两个外切的圆（C ）两个相交的圆（D ）两个内切的圆12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac >0；②abc >0；③8a ＋c >0；④9a ＋3b ＋c <0.其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x ______时，分式13－x有意义．14．在实数范围内分解因式：2a 3－16a ＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝________.17．若一次函数y＝(2m－1)x＋3－2m的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有________个小圆. (用含n的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1（2）．先化简，再计算：x2－1 x2＋x÷x－2x－1x，其中x是一元二次方程x2－2x－2＝0的正数根．20．（本题共2个小题，每题6分，共12分）（1）.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．（2）．描述证明海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明．21．（本题12分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果统计如图一：其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：测试项目测试成绩/分测试成绩/分测试成绩/分甲乙丙笔试929095面试859580图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图一和图二；(2)请计算每名候选人的得票数；(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？22．（本题12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y＝kx交于A(3，203)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.(1)求点B的坐标及直线AB的解析式；(2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．23、（本题12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2）若⊙O的半径为2．∠F=60，求弓形AB的面积24．（本题12分）已知双曲线y ＝k x与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)、B (m,2)、c (－3，n )三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．O FEABDC25．（本题共2个小题，每题7分，共14分）（1）观察下列算式：① 1 3 3－22＝3－4＝－1② 2 3 4－32＝8－9＝－1③ 3 3 5－42＝15－16＝－1④ __________________________……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．（2）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数y＝kx(k>0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为1 2 .(1)求k和m的值；(2)点C(x，y)在反比例函数y＝kx的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；(3)过原点O的直线l与反比例函数y＝kx的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.2018-2019年最新青岛二中自主招生考试数学模拟精品试卷答案（第一套）1.答案 B解析据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a|≥0.2.C3.答案 C解析□＝3a2b÷3ab＝a.4.答案 A解析x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．5.C6.A7.答案 B解析观察数轴，可知－1<x<3，只有x＋1>0，3－x>0的解集为－1<x<3.8.答案 C解析当0≤x≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.9.答案 D解析在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，所以OB＝12＋22＝ 510.答案 A解析y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，抛物线开口向下，函数有最大值4.11.D12.答案 D解析由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2－4ac >0，故①正确．抛物线开口向上，得a >0；又对称轴为直线x ＝－b2a＝1，b ＝－2a <0.抛物线交y 轴于负半轴，得c <0，所以abc >0，②正确．根据图象，可知当x ＝－2时，y >0，即4a －2b ＋c >0，把b ＝－2a 代入，得4a －2(－2a )＋c ＝8a ＋c >0，故③正确．当x ＝－1时，y <0，所以x ＝3时，也有y <0，即9a ＋3b ＋c <0，故④正确．二．填空题13.答案≠3解析因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 14.答案2a (a ＋2 2)(a －22)15.答案9.63310－5解析0.0000963＝9.63310－5.16.答案105°解析如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.17.答案m <12解析因为直线经过第一、二、四象限，所以2m －1<0，3－2m >0，解之，得m <12.18.答案n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4解析第1个图形有2＋4＝(132＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(233＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(334＋4)个小圆，……第n 个图形有[n (n ＋1)＋4]个小圆．三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.解：原式＝1＋32322－12＝312.（2）解：原式＝x＋1x－1x x＋1÷x2－2x＋1x＝x－1x2xx－12＝1x－1.解方程得x2－2x－2＝0得，x1＝1＋3>0，x2＝1－3<0.当x＝1＋3时，原式＝11＋3－1＝13＝33.20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x2＋17) cm，正六边形周长为6(x2＋2x) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．整理得x2＋12x－85＝0，配方得(x＋6)2＝121，解得x1＝5，x2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为53(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.答：这两段铁丝的总长为420 cm.（2）解：如果ab＋ba＋2＝ab，那么a＋b＝ab.证明：∵ab＋ba＋2＝ab，∴a2＋b2＋2abab＝ab，∴a2＋b2＋2ab＝(ab)2，∴(a＋b)2＝(ab)2，∵a>0，b>0，a＋b>0，ab>0，∴a＋b＝ab.21.解：(1)乙30%；图二略．(2)甲的票数是：200334%＝68(票)，乙的票数是：200330%＝60(票)，丙的票数是：200328%＝56(票)，(3)甲的平均成绩：x 1＝6832＋9235＋85332＋5＋3＝85.1，乙的平均成绩：x 2＝6032＋9035＋95332＋5＋3＝85.5，丙的平均成绩：x 3＝5632＋9535＋80332＋5＋3＝82.7，∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．22.解：(1)∵双曲线y ＝k x 过A (3，203)，∴k ＝20.把B (－5，a )代入y ＝20x，得a ＝－4.∴点B 的坐标是(－5，－4). 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，将A (3，203)、B (－5，－4)代入得，203＝3m ＋n ，－4＝－5m ＋n ，解得：m ＝43，n ＝83.∴直线AB 的解析式为：y ＝43x ＋83.(2)四边形CBED 是菱形．理由如下：易求得点D 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(－2,0)．∵BE //x 轴，∴点E 的坐标是(0，－4)．而CD ＝5, BE ＝5, 且BE //CD . ∴四边形CBED 是平行四边形. 在Rt △OED 中，ED 2＝OE 2＋OD2,∴ED ＝32＋42＝5，∴ED ＝CD . ∴四边形CBED 是菱形.23.解：证明：（1）BF 与⊙O 相切，连接OB 、OA ，连接BD ，∵AD ⊥AB ，∴∠BAD=90°，∴BD 是直径，∴BD 过圆心. ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D ，∵AD ⊥AB ，∴∠ABD+∠D=90°，∵AF=AE ，∴∠EBA=∠FBA ，∴∠ABD+∠FBA=90°，∴OB ⊥BF ，∴BF 是⊙O 切线.(2)∵∠F=600，∴∠D=900-∠F=300,∴∠AOB=600,∴△AOB 为等边三角形..S 弓形AB=33224336026022.24.解：(1)把点A (2,3)代入y ＝kx得：k ＝6.∴反比例函数的解析式为：y ＝6x.把点B (m,2)、C (－3，n )分别代入y ＝6x得：m ＝3，n ＝－2.把A (2,3)、B (3,2)、C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2，解之得a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为：y ＝－13x 2＋23x ＋3.(2)描点画图(如图)：S △ABC ＝12(1＋6)35－123131－123634＝352－12－12＝5.25.（1）.解：(1)436－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n ()n ＋2－()n ＋12＝－1.(3)n ()n ＋2－()n ＋12＝n 2＋2n －()n 2＋2n ＋1＝n 2＋2n －n 2－2n －1 ＝－1. 所以一定成立．（2）解：(1)∵A (2，m )，∴OB ＝2，AB ＝m ，∴S △A OB ＝12OB 2AB ＝12323m ＝12，∴m ＝12.∴点A 的坐标为(2，12)．把A (2，12)代入y ＝k x ，得12＝k2，∴k ＝1.(2)∵当x ＝1时，y ＝1；当x ＝3时，y ＝13，又∵反比例函数y ＝1x在x >0时，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，y 的取值范围为13≤y ≤1.(3) 由图象可得，线段PQ 长度的最小值为 22.。

2019届山东省青岛市高考模拟检测数学（理）试题

故选：A．
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．“ ”是“复数
为纯虚数”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【详解】
复数 z 则 a﹣2＝0，a+2≠0．
a﹣2+（a+2）i（a∈R）为纯虚数，
故 AB 的中点 G 的横坐标为
；
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其性质，注意抛物线的几何性质、定义的应用，属于基础题．
【详解】
根据几何体的三视图，
转换为几何体为：
根据三视图中的线段的长度，整理得：AB＝2 ，BE＝AE＝DE＝2，利用勾股定理，解得：CE ，
故 AC
，
所以：直线 AC 和下底面的夹角最小．
，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转化，线面夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 8．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长
C．5
D．6
【答案】A 【解析】据题意，设 AB 的中点为 G，根据直线方程可知直线恒过定点，据此过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M，BN⊥l 于 N，根据|FA|＝2|FB|，推断出|AM|＝2|BN|，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，进而分析可得|OB|＝|BF|，进而求得点 B 的横坐标，则点 B 的坐标可得，又由 B 为 P、A 的中点，可得 A 的横坐标，进而由中点坐标公式分析可得答案．

山东省青岛市2019届高三第四次模拟考试数学(理)试卷

山东省青岛市2019届高三第四次模拟考试高三理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1．，则( )A． 1 B． C． D．2．要得到的图像，只需将函数的图像( )A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移3．已知集合，，则集合中元素的个数为A． 2 B． 3 C． 4 D． 54．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在复平面内，复数的对应点坐标为，则复数为A． B． C． D．6．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于（）A． B． 2 C． 1 D．7．若AC⊥BC，AC=BC=1，点P是△ABC内一点，则的取值范围是（）A．（﹣，0） B．（0，） C．（﹣，） D．（﹣1，1）8．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若，则λ+μ的值为（）A． B． C． 2 D．9．已知两个单位向量和夹角为60°，则向量-在向量方向上的投影为（）A． B． 1 C． - D．﹣110．若，则实数k的值为（）A． -6 B． 6 C． -3 D． 311．已知函数，若存在实数，使得，则A． 2 B． 3 C． 4 D． 512．已知定义在R上的函数和分别满足，，则下列不等式恒成立的是A． B．C． D．二、填空题13．已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是__________.14．在△ABC中，CA=2CB=2，，O是△ABC的外心，若=x+y，则x+y=_______________________．15．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、.C的对边，则＝________．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则三、解答题17．已知点（1）求关于的函数关系式；（2）当时，的最大值为4，求的值.18．已知A、B、C是的三内角，且，是判断此三角形的形状．19．已知函数，（1）求函数的单调增区间；（2）函数的图像可由函数的图像经过怎样的变换得到？20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin，（1）求sinC的值；（2）若△ABC的外接圆面积为（4+）π，试求的取值范围．21．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知(1）求的值；(2）若，求边c的值.22.在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；数学理科检测参考答案1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11.A 12.C13． 14． 15．1 16．17．【详解】（1）由题意得，∴．（2）即时，函数取得最大值，且，由，解得． ∴． 18．【详解】由题意可得，∴，，又，，，，又B 、C 是三角形内角，∴，，∴三角形为等腰三角形． 19．【详解】由题意得，（1）由，得，∴函数的单调增区间为．（2）由函数的图象得到函数图象的变换过程如下：先将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，最后将函数图象上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），便可得到函数的图象．20．【详解】（1）△ABC中，由sinC+cosC=1﹣sin，得2sin cos=2sin2﹣sin，∵sin＞0，∴cos﹣sin=﹣，两边平方得1﹣sinC=，解得sinC=；（2）由（1）知sin＞cos，∴＞，∴C＞；∴cosC=﹣=﹣；由正弦定理得，c=2RsinC，∴c2=4R2sin2C=（4+）；由余弦定理得，c2=（4+）=a2+b2﹣2ab•（﹣）≥2ab（1+），∴0＜ab≤；∴•=abcosC∈[﹣，0），即•的取值范围是[﹣，0）21．（1）由及正弦定理得即又所以有即而，所以(2）由及0＜A＜，得A＝因此由得即，即得由知于是或所以，或若则在直角△ABC中，，解得若在直角△ABC中，解得22.，的极坐标方程为，．曲线C的极坐标方程方程为即得，利用，得曲线C的直角坐标方程为．因为，，所以所以的值为．。

青岛市2019年春季高考第一次模拟考试数学试题

青岛市2019年春季高考第一次模拟考试数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目,最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1.已知集合A={1,2,3,4}，B={4,5}则右图阴影区域包含的元素为（） A.2,3,4 B.1,2,3 C.1,2 D.32.函数02()1log (1)xf x x =-+-的定义域是（） A.（1,2） B.(,2]-∞ C. (0,1)(1,2] D.[2,)+∞3.给下图的容器甲注水，下面的图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度和时间的函数关系：（）A4.已知向量()2,1a n →=-，()1,b n →=-，数列{}n a 的通项公式n a a b →→=⋅，则5a =（）A. -124B. -126C. 20D. 305．定义在（-5,5）的偶函数()f x 在区间[0,5)上的局部图像如图所示，则不等式()f x <0的解集为（）A.（1,4） B. (-4,-1)(1,4) C. (-1,0)(1,4) D. (-5,-4)(-1,0)(1,4)6.已知向量(,2),(3,4),a k b →→=-=且//a b →→，则||a →=（） A. 22 B.52 C. 103D. 5 7.设直线230ax y --=与直线410x y ++=互相垂直，则实数a 的值是（） A. 8 B. -8 C.12 D. 12- 8.“p ⌝为真”是“p q ∨为真”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】依题意当￢p 为真，则p 为假，此时不论q 是真是假，p q ∨都不为真；当p q ∨为真，则p 、q 都为真，推不出与p 为假.所以“p ⌝为真”是“p q ∨为真”的既不充分也不必要条件.故选D.9.直线2x y -=与圆225x y +=交于,A B 两点，则弦长||AB =( )A. 2B. 4C. 3D. 2310.若423401234(1)x a a x a x a x a x +=++++则1234a a a a +++的值为（）Ａ．0 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．1711.在平面直角坐标系中，关于,x y 的不等式10Ax By ++>（AB>0）表示的区域可能是( )12.已知非零向量,a b →→满足||||a b a b →→→→+=-，则向量,a b →→的关系是（） A.同向平行 B.异向平行 C.垂直 D. 关系不确定 13.若圆221(1)(1)2x y +++=与直线sin 20x y θ-+=相切，则角θ的取值集合是（） A. }|,4k k z πθθπ⎧=±∈⎨⎩B. }|,2k k zπθθπ⎧=±∈⎨⎩ C. }|2,4k k zπθθπ⎧=±∈⎨⎩D. }|2,4k k zπθθπ⎧=±∈⎨⎩14.已知双曲线221(0)2x y b b-=>的离心率2e = ） A. 2y x =± B.(21)y x =± C.y x =± D. (21)y x =±15.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应（）Ａ．从东边上山Ｂ．从西边上山Ｃ．从南边上山Ｄ．从北面上山则在抽取的100件产品中，甲、乙两条流水线不合格品．．．．的件数分别为（） A.8,4 B.3,2 C.5,4 D.92,9617.如图，椭圆方程22132x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，12,P P 在椭圆上且12,P P 关于y 轴对称，则1112||||F P F P +=( ) A. 23 B. 22 C. 3 D. 218.青岛某职业中学团委计划从4名男生，3名女生中任意选取2人，参加某项公益活动，则选取的两人恰好为一男一女的概率为（）Ａ．721 Ｂ．27 Ｃ．47Ｄ．1619.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）1A1D1C 1BＡ．15Ｂ．25Ｃ．35 Ｄ．4520.如图，过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点p ，点A和点B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，若向量()AB OP R λλ=∈,则椭圆的离心率e =( ) A. 12B. 22C. 32D. 13二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.若38,,23c 三个数成等比数列，则c =_____22.已知函数(1)2log 0()102x xx f x x -⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()2f a =，则a =______23.在ABC ∆中，30,15,10,A B c ︒︒∠=∠==则=a _____;24.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，若抛物线过点（-3,2），则抛物线标准方程为_______.25.．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： ① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是 .三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题7分）某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：E AFB CMN D（1）写出该城市人口数y （万人）与年份x （年）的函数关系；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)27. （本小题8分）已知在等差数列{}n a 中，599,13a a == （1）求数列{}n a 的前n 项和n s ；（2）若数列{}n b 满足(1)nn n b a =-，求{}n b 的前20项和20T28. （本小题8分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD（1）求证：AC PB ⊥；（2）在线段PD 上是否存在一点E,使平面AEC //PB ,若有请指出点E 的位置，并给予证明；若没有请说明理由。

青岛九中2019年自招数学试题及答案

保密★启用前青岛九中2019年自主招生考试笔试数学试题友情提示：答题前请仔细阅读以下说明1.考试时间为90分钟,试卷满分120分。

试卷由Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分构成。

Ⅰ卷为单项选择题，共40分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。

2.第Ⅰ卷共2页，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。

第Ⅱ卷共2页，请将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸相应位置上，答在试卷上或不在规定区域答题均无效。

第Ⅰ卷（40分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1.某商场购进一批服装，每件进价为300元，由于换季促销，商场决定将这种服装按标价的八折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是（）A ．360元B ．400元C ．450元D ．500元2.如图，O ⊙的半径为2，ABC ∆是O ⊙的内接等边三角形，则O ⊙的内接矩形BCDE 的面积是（）A ．2B ．32C ．334D ．343.直线n mx y +=与抛物线)02>++=a c bx ax y （交于),5(),,2(q B p A -两点，则关于x 的不等式c bx ax n mx ++<+2的解集是（）．A.2-<x B.52<<-x C.5>x D.52>-<x x 或4.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别是S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（）A.16 B.17 C.18 D.195.若不等式组只有两个整数解2和3，则对于整数a 和b ，能组成的有序数对（a ，b ）共有（）对.A.2B.6C.9D .126.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中收录的杨辉三角比欧洲的帕斯卡三角早了500多年，里面蕴含许多有趣的规律，如图所示，第10行的中间数和第101行中的第三个数分别是（）A ．252101B ．2524950C ．2525050D ．12649507.如图，等边三角形ABC 中，D 为AC 边上一点，连接BD ,M 为BD 上一点，并且MD =2BM ,连接AM 并延长交BC 于点E ,︒=∠60AMD ,则CD AD的值为（）A ．13+B ．512-C ．215+D ．1-38.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，则下列结论：①abc <0②a ＋b ＋c ＝－2③④b>－1．其中正确的结论是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④第Ⅱ卷（80分）二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）9.的值为）（22)30(tan 3-212-3-++.10.一组数：4、5、－1、x 、－2的中位数是x ，其中x 是方程052=-x x 的根，那么这五个数的平均数为.11..1]2.0[,1]2.1[][-=-=的最大整数，如表示不超过定义x x 的解是时，方程当0][211-2=-+≤≤x x x x ______________.21－<a12.已知()0122=-+-a ab b a 满足、,=++++++++++)2019)(2019(1.......)2)(2(1)1)(1(11b a b a b a ab 则.13.已知x 为正实数，且1-2-2-622x x xx =，则x 的值为__________.14.如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =3，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA +DE 的最小值为_____．15.定义二次函数的图像与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数()21324=+-+-y x mn x mn 有唯一不动点，且0<mn ，则此二次函数的图像与x 轴两个交点间的距离是.16.如图，点A 、B 是反比例函数图像上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点E （-1,0）为线段OD 的三等分点，且OE<DE 连接AE 、BE ，若S △ABE =27，则k 的值为.三、解答题（本大题共3小题，满分40分）17.（本题满分10分）随着道路交通的不断完善以及生活水平的提高，我市周边旅游业蓬勃发展，已知我市周边旅游景区有A 、B 、C 、D 、E 等著名景点，旅游部门统计绘制出2018年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：（1）2018年“五•一”期间，我市周边景点共接待游客万人，扇形统计图中A 景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图（画图后请标注相应的频数）．（2）根据近几年到我市旅游人数增长趋势，预计2019年“五•一”节将有150万游客选择来我市旅游，请估计有多少万人会选择去E 景点旅游？（3）青岛九中外联社团有3个男生和2个女生，现从中选出两人去景点A 调研，求选出的两人中至少有一名女生的概率.请用画树状图或列表法加以说明.18.（本题满分12分）某科学研究院要研制一种新型升温材料，并将材料分为A 、B 两组，用不同工艺做升温对比实验，实验开始时，温度都是20摄氏度，经过x 分钟时，A 、B 两组材料的温度分别)0(≠=k xk y是A y 摄氏度、B y 摄氏度，其中（部分图像如图所示），又知当x =20分钟时，两组材料的温度相等.（1）分别求A y 、B y 关于x 的函数关系式;（2）在80≤≤x 的什么时刻，两组材料的温差最大？最大温差是多少？（3）当200≤≤x 时，若两组材料温差不超过42摄氏度，则实验时间x 应该控制在什么范围内？19.（本题满分18分）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 为坐标原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点初次落在直线y=x 上时则停止旋转．在旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点D ，BC 边交x 轴于点E ，连接DE （如图示）．（1）求边AB 从开始旋转到停止所扫过的面积；（2）设△DBE 的周长为L ，在旋转正方形OABC 的过程中，证明：L 是定值，并求出这个定值;（3）设DE=m ，，的面积为S ODE ∆求S 与m 的函数关系式，当m 为何值时S 最小，最小值是多少?(备用图)m x y b kx y BA +--=+=2)60(21,青岛九中2019年自主招生考试笔试数学参考答案一、选择题（每题5分，共40分）1.C; 2.D; 3.D; 4.B; 5.B; 6.C;7.A;8.B;二、填空题（每题5分，共40分）9.7；10.1.2；11.－1或0；12.20212020；13.3；14.233；15.7；16.－6三、解答题（本大题共3小题，满分40分）17.（1）100，108°，频数为24（图略）........................................................3分（2）150×12%=18...................................................................................................5分（3）女1女2男1男2男3女1女1女2女1男1女1男2女1男3女2女2女1女2男1女2男2女2男3男1男1女1男1女2男1男2男1男3男2男2女1男2女2男2男1男2男3男3男3女1男3女2男3男1男3男2共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，至少有一名女生的情况有14种，.........8分P (两人中至少有一名女生）=1072014=........................................................................................................10分18.（1）将点（0,20）代入B y ，得20=-1800+m,即m=1820................................................1分2060211820)60(2122++-=+--=∴x x x y B ........................................................2分点（0,20）代入A y ，b=20........................................................................................................3分因为交点的横坐标为20，把x =20,带入B y 得，y =1020.所以交点坐标为（20,1020），把（20,1020）代入A y ，得k=50,2050+=∴x y A .........................................................................................................4分（2）设两组材料的温差为w,()()50)10(211021205018206021222+--=+-=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=x xx x x y y w A B －..................................................6分因为,021＜-=a 所以抛物线开口向下，又因为对称轴为直线x =10，所以，当80≤≤x 时，w 随x 的增大而增大，.488取得最大值时，当w x =∴.........8分（3）当w=42时，4250)10(212=+--x 解得，14;621==x x ...........................................................................................................10分又因为0≤x ≤20，根据图像可得，当温差w ≤42时，201460≤≤≤≤x x 或.......................................................................................................12分19.解：（1）如图，S 阴=S △OA ’B’+S 扇形OBB '﹣S △OAB ﹣S 扇形OAA '=S扇形OBB’﹣S 扇形OAA ’=()2236045223604522πππ=⨯-⨯...........................................4分(2）L 值无变化证明：延长BA 交y 轴于F 点，由旋转可得；∠AOF=∠COE 在△OAF 与△OCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠OC OA EOC FAO COEAOF 90∴△OAF ≌△OCE （AAS ）....................................................................................................6分∴OE=OF ，AF=CE 在△ODF 与△ODE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=OD OD EOD FOD OE OF 45∴△ODF≌△ODE （SAS ）.....................................................................................................8分∴FD=DE∴L=DE+DB+BE=DF+DB+BE=FA+AD+DB+BE=CE+AD+DB+BE=AB+BC=4；∴L 为定值，这个定值为4；......................................................................................11分（3）∵△ODF≌△ODE （SAS ）FD=DE=m ∴m m OA DF S S ODF =⨯⨯=⨯==22121△.................................................14分设AD=n ，则AF=m ﹣n ，DB=2﹣n ，∴BE=BC－CE=2-AF=2-(m-n)=2-m+n ∵222BE DB DE +=∴()()22222n m n m +-+-=............................................16分∴0422=+--m mn n ∵()()168424-22≥-+=+--=m m m m △∴()舍去；或424424--≤-≥m m ∴当4-24424=-=最小值时，S m。

2019青岛三模数学理

①若 f (x) cos x , x [0, ] ，则 f1(x) cos x ， x [0, ] ， f2 (x) 1， x [0, ] ； ②函数 f (x) x3 3x2 , x [0,1] 是[0,1] 上的“ 2 阶收缩函数”；
③若函数 f (x) x2 , x [1, 4] 是[1, 4] 上的“ k 阶收缩函数”，则 k 3 ．
1
1 32

1 34

1 32n2

；
16．已知双曲线

：
x a
2 2

y2 b2
1(a 0,b
0) 的左右焦点分别为 F1
,
F2 ，点 P 是双曲线
的右支上异于顶点的一个点， PF1F2 的内切圆的圆心为 I ，过 F2 作直线 PI 的垂线，垂足为 M ，O 为坐标原点，给出以下结论：① PF1F2 的内切圆的圆心 I 在直线 x a 上；② | OM | a ；③若 F1IF2 ，则 PF1F2 的面积为 b2 tan ；④ PF1F2 的
已知数列{an} 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ， a1 1 , anan1 2Sn 1 ．（1）求数列{an} 的项 a2n1 ；（2）求数列{an} 的前 2n 项和 S2n ．
数学（理科）试题第 4页（共 6页）
18．（12 分）
足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，具有广泛的社会影响，深受世
青岛市 2019 年高三自主检测
数学（理科）
本试题卷共 6 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

【2019年中考数学】山东省青岛市2019年中考数学模拟试卷(一)(含答案)

山东省青岛市2019年中考数学模拟试卷（一）（解析版）一、选择题（共9小题，每小题3分，满分24分）1．﹣0.2的倒数等于（）A．0.2 B．﹣5 C．﹣ D．52．如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．为了响应中央号召，2016年某市加大财政支农力度，全市农业支出累计约达到53200万元，其中53200万元用科学记数法可表示为（）A．5.23×104元 B．5.23×109元 C．523×109元D．5.23×109元4．某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94．那么，这组数据的众数和中位数分别是（）A．96，94.5 B．96，95 C．95，94.5 D．95，955．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（）A．19个B．15个C．12个D．10个6．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（b，a）C．（﹣b，a）D．（b，﹣a）9．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.49．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x 的函数图象可能为（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分21分，共有6道小题，每小题3分）9．计算：（﹣1）2﹣×（2013﹣π）0+（）﹣1=．10．将正面分别标有数字1，2，3，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是．11．王师傅检修一条长600米的自来水的管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务．设王师傅原计划每小时检修管道x米，依题意列方程是．12．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB=．13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH ⊥AB于H，连接OH，则∠DHO=度．14．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最小是个．15．作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．在一块三角形废料上，要裁下一个半圆形的材料，使直径在线段BC上，并且要尽可能的充分利用好原三角形废料，请画出这个半圆形．三、解答题（共9题，94分）16．（9分）计算（1）求一次函数y=﹣2x+2和y=x=1的交点坐标．（2）化简：（﹣）•．19．（6分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？（达标包括A级和B级）19．（6分）某商场设定了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成16个扇形），并规定：顾客在商场消费每满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄和蓝色区域，顾客就可以分别获得50元、30元和10元的购物券．如果顾客不愿意转转盘，则可以直接获得购物券15元．（1）转动一次转盘，获得50元、30元、10元购物券的概率分别是多少？（2）如果有一名顾客在商场消费了200元，通过计算说明转转盘和直接获得购物券，哪种方式对这位顾客更合算？19．（6分）如图1，圆规两脚形成的角α称为圆规的张角．一个圆规两脚均为12cm，最大张角150°，你能否画出一个半径为20cm的圆？请借助图2说明理由．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.99，tan15°≈0.29，sin95°≈0.99，cos95°≈0.26，tan95°≈3.93）20．（9分）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．（1）求证：BF=CF．（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形BDCF为菱形并说明理由．22．（10分）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过190元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．23．（10分）阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．”这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．请判断此时“==”的关系是否成立？（2）完成上术探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．过点C作CD⊥AB于D．∵在Rt△ABC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=．∴=，=．∴=．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证=．∴==的．请将上面的过程补充完整．（3）运用上述结论解答问题①如图4，在△ABC中，如果∠B=60°，∠C=45°，AB=2，那么AC=．．②在锐角△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，求S△ABC24．（12分）已知：矩形ABCD，DA=3cm，DC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求线段DN的长；（2）试求出多边形DAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，D，N，M三点共线？（4）t为何值时，以△DAN的一边所在直线为对称轴翻折△DAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？2019年山东省青岛市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题3分，满分24分）1．﹣0.2的倒数等于（）A．0.2 B．﹣5 C．﹣ D．5【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，0 没有倒数，求一个数的倒数，把这个数的分子和分母掉换位置即可．【解答】解：﹣0.2的倒数等于﹣5，故选B【点评】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用，明确：1的倒数是1，0没有倒数．2．如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】由主视图的定义可得．【解答】解：这个几何体的主视图是，故选：D【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．3．为了响应中央号召，2016年某市加大财政支农力度，全市农业支出累计约达到53200万元，其中53200万元用科学记数法可表示为（）A．5.23×104元 B．5.23×109元 C．523×109元D．5.23×109元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：53200万=5.23×109，故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下：90，96，91，96，95，94．那么，这组数据的众数和中位数分别是（）A．96，94.5 B．96，95 C．95，94.5 D．95，95【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中96是出现次数最多的，故众数是96；而将这组数据从小到大的顺序排列（90，91，94，95，96，96），处于中间位置的那个数是94、95，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（94+95）÷2=94.5．故这组数据的众数和中位数分别是96，94.5．故选：A．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（）A．19个B．15个C．12个D．10个【分析】小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有90次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．【解答】解：3=12（个）．故选：C．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．6．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（b，a）C．（﹣b，a）D．（b，﹣a）【分析】根据旋转前后的三角形全等及所在象限符号的特点可得所求点的坐标．【解答】解：∵△AOB≌△A′OB′，∴A′B′=AB=b，OB′=OB=a，∵A′在第二象限，∴A′坐标为（﹣b，a），故选C．【点评】考查点的旋转问题；用到的知识点为：旋转前后图形的形状不变．9．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=34.6，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，故选D．【点评】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x）2=b．9．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x 的函数图象可能为（）A．B．C．D．【分析】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，从而得出函数的图象．【解答】解：设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE=x，∴DH=x，∴AH=m﹣x，∵EH2=AE2+AH2，∴y=x2+（m﹣x）2，y=x2+x2﹣2mx+m2，y=2x2﹣2mx+m2，=2[（x﹣m）2+]，=2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选A．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象．二、填空题（本题满分21分，共有6道小题，每小题3分）9．计算：（﹣1）2﹣×（2013﹣π）0+（）﹣1=2．【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质化简求出答案．【解答】解：（﹣1）2﹣×（2013﹣π）0+（）﹣1=1﹣2×1+3=2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．10．将正面分别标有数字1，2，3，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片组成的数恰好为“12”的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两张卡片组成的数恰好为“12”的只有1种情况，∴两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．王师傅检修一条长600米的自来水的管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务．设王师傅原计划每小时检修管道x米，依题意列方程是﹣=2．【分析】设王师傅原计划每小时检修管道x米，根据在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，列方程即可．【解答】解：设王师傅原计划每小时检修管道x米，由题意得，﹣=2．故答案为﹣=2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．12．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB=45°．【分析】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°再根据圆周角定理，即可求解．【解答】解：连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°，故答案为：45°．【点评】此题主要考查了圆周角定理，综合运用了正方形的性质以及圆周角定理是解答此题的关键．13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH ⊥AB于H，连接OH，则∠DHO=25度．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=BD=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO==25°，故答案为：25．【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．14．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最小是5个．【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行2个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：2+2+1=5个．故答案为：5．【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．15．作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．在一块三角形废料上，要裁下一个半圆形的材料，使直径在线段BC上，并且要尽可能的充分利用好原三角形废料，请画出这个半圆形．【分析】如图作∠BAC的平分线AM交BC于O，作ON⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径画半圆即可．【解答】解：如图作∠BAC的平分线AM交BC于O，作ON⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径画半圆即可．半圆O即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．三、解答题（共9题，94分）16．（9分）计算（1）求一次函数y=﹣2x+2和y=x=1的交点坐标．（2）化简：（﹣）•．【分析】（1）通过解方程组可得到两直线的交点坐标；（2）先把括号内通分后进行同分母的减法运算，然后把分子因式分解后约分即可．【解答】解：（1）解方程组得，所以一次函数y=﹣2x+2和y=x﹣1的交点坐标为（1，0）；（2）原式=•=•=a+3．【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了分式的混合运算．19．（6分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？（达标包括A级和B级）【分析】（1）通过对比条形统计图和扇形统计图可知：学习态度层级为A级的有50人，占部分八年级学生的25%，即可求得总人数；（2）由（1）可知：C级人数为：200﹣120﹣50=30人，将图1补充完整即可；（3）各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比，所以可以先求出：360°×（1﹣25%﹣60%）=54°；（4）从扇形统计图可知，达标人数占得百分比为：25%+60%=95%，再估计该市近20000名初中生中达标的学习态度就很容易了．【解答】解：（1）50÷25%=200（人）；故答案为：200；（2）C级人数：200﹣120﹣50=30（人）．条形统计图如图所示：（3）C所占圆心角度数=360°×（1﹣25%﹣60%）=54°．（4）20000×（25%+60%）=19000（名）．答：估计该市初中生中大约有19000名学生学习态度达标．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（6分）某商场设定了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成16个扇形），并规定：顾客在商场消费每满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄和蓝色区域，顾客就可以分别获得50元、30元和10元的购物券．如果顾客不愿意转转盘，则可以直接获得购物券15元．（1）转动一次转盘，获得50元、30元、10元购物券的概率分别是多少？（2）如果有一名顾客在商场消费了200元，通过计算说明转转盘和直接获得购物券，哪种方式对这位顾客更合算？【分析】（1）由转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先求得转转盘获得购物券的平均值，再与15元比较，即可知哪种方式对这位顾客更合算．【解答】解：（1）∵转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，∴P（获得50元购物券）=，P（获得30元购物券）=，P（获得10元购物券）=；（2）转转盘：×50+×30+×10=＜15，∴直接获得购物券的方式对这位顾客更合算．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（6分）如图1，圆规两脚形成的角α称为圆规的张角．一个圆规两脚均为12cm，最大张角150°，你能否画出一个半径为20cm的圆？请借助图2说明理由．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.99，tan15°≈0.29，sin95°≈0.99，cos95°≈0.26，tan95°≈3.93）【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠B的度数，过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义可求出BD的长，故可得出结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=150°，∴∠B=∠C==15°，过点A作AD⊥BC于点D，∴BD=AB•cos∠B≈12×0.99≈11.6cm，∴BC≈23.2＞20cm，∴能画出一个半径为20cm的圆．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．20．（9分）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，，解得，，答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副，由题意得，m≤3（40﹣m），解得，m≤30，设买40副球拍所需的费用为w，则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）=﹣40m+11200，∵﹣40＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=30时，w取最小值，最小值为﹣40×30+11200=10000（元）．答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．（1）求证：BF=CF．（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形BDCF为菱形并说明理由．【分析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF=AD=BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD=BD，进而可证明BF=CF；（2）当AC=BC时，四边形BCFD为菱形，根据菱形的判定得出即可；【解答】解：（1）证明：DE⊥BC，∠ACB=90°，∴∠BED=∠ACB，∴DF∥AC，∵CF∥AB，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AD=CF，∵D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，∵BD∥CF，∴四边形BDCF是平行四边形，∴CD=BF，∴BF=CF；（2）当AC=BC时，四边形BDCF为菱形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴DC=BD，∵四边形BDCF是平行四边形，∴四边形BDCF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．22．（10分）杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元．按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过190元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1340万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由．【分析】（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围100≤x≤190；（2）设公司第一年获利W万元，则可表示出W=﹣（x﹣190）2﹣60≤﹣60，则第一年公司亏损了，当产品售价定为190元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）假设两年共盈利1340万元，则﹣x2+36x﹣1900﹣60=1340，解得x的值，根据100≤x≤190，则x=160时，公司两年共盈利达1340万元．【解答】解：（1）设y=kx+b，则由图象知：，解得k=﹣，b=30，∴y=﹣x+30，100≤x≤190；（2）设公司第一年获利W万元，则W=（x﹣60）y﹣1500=﹣x2+36x﹣3300=﹣（x﹣190）2﹣60≤﹣60，∴第一年公司亏损了，当产品售价定为190元/件时，亏损最小，最小亏损为60万元；（3）若两年共盈利1340万元，因为第一年亏损60万元，第二年盈利的为（x﹣60）y=﹣x2+36x﹣1900，则﹣x2+36x﹣1900﹣60=1340，解得x1=200，x2=160，∵100≤x≤190，∴x=160，∴每件产品的定价定为160元时，公司两年共盈利达1340万元．【点评】本题是一道一次函数的综合题，考查了二次函数的应用，还考查了用待定系数法求一次函数的解析式．23．（10分）阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．”这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．请判断此时“==”的关系是否成立？（2）完成上术探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．过点C作CD⊥AB于D．∵在Rt△ABC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=．∴=CD，=CD．∴=．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证=．∴==的．请将上面的过程补充完整．。

★试卷3套精选★青岛市2019年中考数学模拟联考试题

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥CD∥EF∴△ABE∽△DCE，∴，故选项B正确，∵EF∥AB，∴，∴，故选项C，D正确，故选：A．【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．下列命题是假命题的是（）A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等【答案】C【解析】解：A．外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项正确；B．等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；故选C．3．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．故选A．考点：反比例函数系数k的几何意义．4．将1、2、3、6按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（）A6B．6 C2D3【答案】B【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】第一排1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，由此可知：（1，5）表示第1排从左向右第5，（13，1）表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第1，则（1，5）与（13，1）表示的两数之积是1．故选B ．5．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1）【答案】C【解析】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C ．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键. 关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.6．已知关于x 的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】∵方程2x+a ﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a ﹣9=0，解得a=1．故选D ．7．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．60050x -＝450x B ．60050x +＝450x C ．600x ＝45050x + D ．600x ＝45050x - 【答案】B【解析】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．【详解】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，由题意得：60045050x x=+．故选B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．8．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝() ()a b a baa bb+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣2x，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．9．若数a，b在数轴上的位置如图示，则（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．﹣a﹣b＞0【答案】D【解析】首先根据有理数a，b在数轴上的位置判断出a、b两数的符号，从而确定答案．【详解】由数轴可知：a＜0＜b，a<-1，0<b<1,所以,A.a+b<0，故原选项错误；B. ab＜0，故原选项错误；C.a-b<0，故原选项错误；D.0a b-->,正确.故选D．【点睛】本题考查了数轴及有理数的乘法，数轴上的数：右边的数总是大于左边的数，从而确定a，b的大小关系．10．已知函数2(3)21y k x x=-++的图象与x轴有交点．则k的取值范围是( )A．k<4 B．k≤4C．k<4且k≠3D．k≤4且k≠3【答案】B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点.二、填空题（本题包括8个小题）11．因式分解：x 2y-4y 3=________.【答案】y （x++2y ）（x-2y ）【解析】首先提公因式y ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式()224(2)(2)y x y y x y x y =-=-+．故答案是：y （x+2y ）（x-2y ）．【点睛】考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．如图，在四边形纸片ABCD 中，AB ＝BC ，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝150°.将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD ＝_________.【答案】3或 23【解析】根据裁开折叠之后平行四边形的面积可得CD 的长度为3+4或3【详解】如图①，当四边形ABCE 为平行四边形时，作AE ∥BC ，延长AE 交CD 于点N ，过点B 作BT ⊥EC 于点T.∵AB ＝BC ，∴四边形ABCE 是菱形．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∠ABC ＝150°，∴∠ADC ＝30°，∠BAN ＝∠BCE ＝30°，∴∠NAD ＝60°，∴∠AND ＝90°.设BT ＝x ，则CN ＝x ，BC ＝EC ＝2x.∵四边形ABCE 面积为2，∴EC·BT ＝2，即2x×x ＝2，解得x ＝1，∴AE ＝EC ＝2，EN ＝22213-= ， ∴AN ＝AE ＋EN ＝2＋3 ，∴CD ＝AD ＝2AN ＝4＋23.如图②，当四边形BEDF 是平行四边形，∵BE ＝BF ，∴平行四边形BEDF 是菱形．∵∠A ＝∠C ＝90°，∠ABC ＝150°，∴∠ADB ＝∠BDC ＝15°.∵BE ＝DE ，∴∠EBD ＝∠ADB ＝15°，∴∠AEB ＝30°.设AB ＝y ，则DE ＝BE ＝2y ，AE ＝3y.∵四边形BEDF 的面积为2，∴AB·DE ＝2，即2y 2＝2，解得y ＝1，∴AE ＝3，DE ＝2，∴AD ＝AE ＋DE ＝2＋3.综上所述，CD 的值为4＋23或2＋3.【点睛】考核知识点：平行四边形的性质，菱形判定和性质．13．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x ＋b 的解集是 ▲ ．【答案】－2＜x ＜－1或x ＞1．【解析】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质．不等式k 1x ＜2k x ＋b 的解集即k 1x －b ＜2k x的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y ＝k 1x －b 在双曲线2k y=x下方的自变量x 的取值范围即可．而直线y ＝k 1x －b 的图象可以由y ＝k 1x ＋b 向下平移2b 个单位得到，如图所示．根据函数2k y=x 图象的对称性可得：直线y ＝k 1x －b 和y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x的交点坐标关于原点对称．由关于原点对称的坐标点性质，直线y ＝k 1x －b 图象与双曲线2k y=x图象交点A′、B′的横坐标为A 、B 两点横坐标的相反数，即为－1，－2．∴由图知，当－2＜x ＜－1或x ＞1时，直线y ＝k 1x －b 图象在双曲线2k y=x 图象下方． ∴不等式k 1x ＜2k x＋b 的解集是－2＜x ＜－1或x ＞1． 14．如果a c e b d f===k （b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=_____．【答案】3【解析】∵a c e b d f===k ，∴a=bk ，c=dk ，e=fk ，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)， ∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，故答案为：3. 15．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．【答案】20【解析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x 个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x 的方程，解方程即可得.【详解】设原来红球个数为x 个，则有1010x +=1030，解得，x=20，经检验x=20是原方程的根.故答案为20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.16．若圆锥的底面半径长为10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为_____．【答案】2【解析】侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【详解】设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×5，解得x=1．故答案为2．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大．17．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________2cm．【答案】16【解析】分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．详解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．故答案为：16π．点睛：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．18．已知菱形的周长为10cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是_____cm1．【答案】14【解析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：如图，在菱形ABCD中，BD＝2．∵菱形的周长为10，BD＝2，∴AB＝5，BO＝3，∴22534AO=-=，AC＝3．∴面积168242S=⨯⨯=．故答案为14．【点睛】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．求反比例函数的表达式在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标求△PAB 的面积．【答案】（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P坐标（，0），(3)S△PAB= 1.1．【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由S△PAB=S△ABD ﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，解得a=3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=kx，得k=3，∴反比例函数的表达式y=3x ，（2）把B （3，b ）代入y=3x 得，b=1 ∴点B 坐标（3，1）；作点B 作关于x 轴的对称点D ，交x 轴于点C ，连接AD ，交x 轴于点P ，此时PA+PB 的值最小， ∴D （3，﹣1），设直线AD 的解析式为y=mx+n ，把A ，D 两点代入得，331m n m n +=⎧⎨+=-⎩，解得m=﹣2，n=1， ∴直线AD 的解析式为y=﹣2x+1，令y=0，得x=52， ∴点P 坐标（52，0），(3)S △PAB =S △ABD ﹣S △PBD =12×2×2﹣12×2×12=2﹣12=1.1．点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.20．如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE ⊥直线L 且25AE cm =，手臂60AB BC cm ==，末端操作器35CD cm =，AF 直线L .当机器人运作时，45,75,60BAF ABC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒，求末端操作器节点D 到地面直线L 的距离.（结果保留根号）【答案】（30220+）cm.【解析】作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，解Rt CBG ∆和Rt ABH ∆，分别求出CG 和BH 的长，根据D 到L 的距离()BH AE CD CG =+--求解即可.【详解】如图，作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，在Rt CBG ∆中，∠BCD=60°，BC=60cm ，∴cos6030CG BC =⋅︒=，在Rt ABH ∆中，∠BAF=45°，AB=60cm ，∴sin45302BH AB =⋅︒=，∴D 到L 的距离()302255(30220)BH AE CD CG cm =+--=+-=+.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段. 21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，O 为BC 边上一点，以OC 为半径的圆O ，交AB 于D 点，且AD=AC ，延长DO 交圆O 于E 点，连接AE.求证：DE ⊥AB ；若DB=4，BC=8，求AE 的长.【答案】（1）详见解析；（2）62【解析】（1）连接CD ，证明90ODC ADC ∠+∠=︒即可得到结论；（2）设圆O 的半径为r ，在Rt △BDO 中，运用勾股定理即可求出结论.【详解】（1）证明：连接CD,∵OD OC =∴ODC OCD ∠=∠∵AD AC = ∴ADC ACD ∠=∠90,90,OCD ACD ODC ADC DE AB ∠+∠=︒∴∠+∠=∴⊥.（2）设圆O 的半径为r ，()2224+8,3r r r ∴=-∴=，设()22222,84,6,6+662AD AC x x x x AE ==∴+=+∴=∴==.【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．22．元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A ）、白鹿原（记为B ）、兴庆公园（记为C ）、秦岭国家植物园（记为D ）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．求小明选择去白鹿原游玩的概率；用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．【答案】（1）14；（2）116 【解析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A ）、白鹿原（记为B ）、兴庆公园（记为C ）、秦岭国家植物园（记为D ）中的一个景点去游玩，∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝14；（2）画树状图分析如下：两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝116．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．23．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．求证：BE = DF ；连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AEMF 是菱形，证明见解析.【解析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE ≌△ADF ；（2）由于四边形ABCD 是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD ；联立（1）的结论，可证得EC=CF ，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC （即AM ）垂直平分EF ；已知OA=OM ，则EF 、AM 互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF 是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠D=90°，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，∵AD AB AF AE ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADF ≌Rt △ABE （HL ）∴BE=DF ；（2）四边形AEMF 是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC （正方形四条边相等），∵BE=DF （已证），∴BC-BE=DC-DF （等式的性质），即CE=CF ，在△COE 和△COF 中，CE CF ACB ACD OC OC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△COE ≌△COF （SAS ），∴OE=OF ，又OM=OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵AE=AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．24．解方程：3x x --239x -=1 【答案】2x =-【解析】先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再验根.【详解】解：去分母得：()2x x 33x 9+-=- 解得：x 2=-检验：把x 2=-代入2x 950-=-≠所以：方程的解为x 2=-【点睛】本题考核知识点：解方式方程. 解题关键点：去分母，得到一元一次方程，.验根是要点. 25．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y 最大？并求出最大利润．【答案】（1）180；（2）每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．【解析】分析：（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．详解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），故答案为180；（2）由题意得：y=（x ﹣40）[200﹣10（x ﹣50）]=﹣10x 2+1100x ﹣28000=﹣10（x ﹣55）2+2250∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．点睛：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．26．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.第一批饮料进货单价多少元？若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.【解析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；（2）设销售单价为m 元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，则：1600600032x x ⨯=+ 解得：8x =经检验：8x =是分式方程的解答：第一批饮料进货单价为8元.（2）设销售单价为m 元，则： ()()8200106001200m m -⋅+-⋅≥，化简得：()()2861012m m -+-≥，解得：11m ≥，答：销售单价至少为11元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．2．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（）A ．24B ．18C ．12D ．9【答案】A 【解析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解．【详解】∵E 是AC 中点，∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（）．x…1-012…y…1-74-2-74-…A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点【答案】B【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧故选B.【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是()A．直三棱柱B．长方体C．圆锥D．立方体【答案】A【解析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．故选A．本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．5．下列各式计算正确的是( )A633=B1236=C．3535+=D1025=【答案】B【解析】A选项中，∵63、∴本选项错误；B选项中，∵123=36=6⨯，∴本选项正确；C选项中，∵35=35⨯，而不是等于3+5，∴本选项错误；D选项中，∵10102=5÷≠，∴本选项错误；故选B.6．cos30°=（）A．12B．22C．3D．3【答案】C【解析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.【详解】3 cos30︒=故选C.【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.7．对于命题“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题的是（）A．∠1＝50°，∠1＝40°B．∠1＝40°，∠1＝50°C．∠1＝30°，∠1＝60°D．∠1＝∠1＝45°【答案】D【解析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【详解】“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题为∠1＝∠1＝45°．故选：D．【点睛】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）A．45B．54C．43D．34【答案】D【解析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tanA＝BCAC ＝34，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．9．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A．210x x--=B．24690x x-+=C．2x x=-D．220x mx--=【答案】B【解析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.【详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根,B. 24x6x90-+=, △=36-144=-108<0,∴原方程没有实数根,C. 2x x=-, 2x x0+=, △=1>0,∴原方程有两个不相等的实数根,D. 2x mx20--=, △=m2+8>0,∴原方程有两个不相等的实数根,故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.10．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤3a b2 =．你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴x b 12a 3=-=-，∴2b a 3=-＜1．∴ab ＞1．故①正确． ②如图，当x=1时，y ＜1，即a+b+c ＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞1，∴2a ﹣2b+2c ＞1，即3b ﹣2b+2c ＞1．∴b+2c ＞1．故③正确． ④如图，当x=﹣1时，y ＞1，即a ﹣b+c ＞1， ∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞1． ∵b ＜1，∴c ﹣b ＞1．∴（a ﹣b+c ）+（c ﹣b ）+2c ＞1，即a ﹣2b+4c ＞1．故④正确． ⑤如图，对称轴b 12a 3=-=-，则3a b 2=．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1），那么m 的值为_____．【答案】2【解析】把点（2，1）代入y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3，即可求出m 的值. 【详解】∵抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1）， ∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式. 12．函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是_____．【答案】x ≠1【解析】根据分母不等于0，可以求出x 的范围；【详解】解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；故答案是：x≠1，【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下：A．70分，80分B．80分，80分C．90分，80分D．80分，90分【答案】B．【解析】试题分析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中80出现12次，出现的次数最多，故这组数据的众数为80分；中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此这组40个按大小排序的数据中，中位数是按从小到大排列后第20，21个数的平均数，而第20，21个数都在80分组，故这组数据的中位数为80分.故选B．考点：1.众数；2.中位数.14．如图，点,A B是反比例函数(0,0)ky k xx=>>图像上的两点（点A在点B左侧），过点A作AD x⊥轴于点D，交OB于点E，延长AB交x轴于点C，已知2125OABADCSS∆∆=，145OAES∆=，则k的值为__________．【答案】203【解析】过点B作BF⊥OC于点F，易证S△OAE=S四边形DEBF=145，S△OAB=S四边形DABF，因为2125OABADCSS∆∆=，所以2125DABFADCSS∆=四边形，425BCFADCSS∆∆=，又因为AD∥BF，所以S△BCF∽S△ACD，可得BF:AD=2：5，因为S△OAD=S△OBF，所以12×OD×AD =12×OF×BF，即BF:AD=2：5= OD：OF，易证：S△OED∽S△OBF，S△OED：S△OBF=4:25，S△OED：S四边形EDFB=4:21，所以S△OED=815，S△OBF= S△OED+ S四边形EDFB=815+145=103, 即可得解：k=2 S△OBF=203.【详解】解：过点B作BF⊥OC于点F，由反比例函数的比例系数|k|的意义可知：S△OAD=S△OBF，∴S△OAD- S△OED =S△OBF一S△OED，即S△OAE=S四边形DEBF=145，S△OA B=S四边形DABF，∵2125OABADCSS∆∆=，∴2125DABFADCSS∆=四边形，425BCFADCSS∆∆=，∵AD∥BF∴S△BCF∽S△ACD，又∵425BCFADCSS∆∆=，∴BF:AD=2：5，∵S△OAD=S△OBF，∴12×OD×AD =12×OF×BF∴BF:AD=2：5= OD：OF易证：S△OED∽S△OBF，∴S△OED：S△OBF=4:25，S△OED：S四边形EDFB=4:21 ∵S四边形EDFB=145，∴S△OED=815，S△OBF= S△OED+ S四边形EDFB=815+145=103,∴k=2 S△OBF=203.故答案为20 3.【点睛】本题考查反比例函数的比例系数|k|的几何意义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理.15．若分式15x-有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】【解析】由于分式的分母不能为2，x-1在分母上，因此x-1≠2，解得x．解：∵分式15x-有意义，∴x-1≠2，即x≠1．故答案为x≠1．本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为2．16．分解因式：3x3﹣27x＝_____．【解析】首先提取公因式3x，再进一步运用平方差公式进行因式分解．【详解】3x3﹣27x＝3x（x2﹣9）＝3x（x+3）（x﹣3）．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n根图形需要____________根火柴.【答案】62n+【解析】根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.【详解】第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，……∴组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.故答案为6n+2【点睛】本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键.18．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．【答案】27π【解析】试题分析：设扇形的半径为r．则1206180rππ=，解得r=9，∴扇形的面积=21209360π⨯=27π．故答案为27π．考点：扇形面积的计算．三、解答题（本题包括8个小题）19．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．【答案】（1）14；（2）34．。

2019年自主招生数学模拟试卷含答案解析(已核已印)

2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。

2019年山东省青岛市重点中学第十七中学提前自主招生考试数学试题及答案(PDF版)

2019年山东省青岛市第十七中学提前招生数学试题一、填空题（每小题6分，共60分）1．计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°＝．2．化简：（﹣）÷得，当a＝﹣2+，其值是．3．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是．第3题第4题第6题4．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则在45°，60°，75°，85°四个角度中，∠AMB的度数不可能是．5．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m 的值是．6．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为．7．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为．第7题第8题8．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则EF的值为．9．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：①abc ＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的序号有．第9题第10题10．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是．二、解答题（每小题15分，共60分）11．（15分）为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．12．（15分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．13．（15分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．14．（15分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，∠ADB＝30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作□PQMN．设运动的时间为x （s），□PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x＝；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．2019年山东省青岛市第十七中学提前招生数学试题参考答案与试题解析一、填空题（每小题6分，共60分）1．【答案】﹣1【解析】|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°＝3+1﹣4﹣2×＝﹣12．【答案】，【解析】原式＝÷＝，当a＝﹣2+时，∴原式＝＝．3．【答案】γ＝2α+β【解析】由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β．4．【答案】85°【解析】∵B是的中点，∴∠AOB＝2∠BDC＝80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB＝80°．则不符合条件的只有85°．5．【答案】2【解析】∵关于x的一元二次方mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵+＝4m，∴＝4m，∴m＝2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m＝2．6．【答案】8【解析】设A、B、C三点的坐标分别是A（，m）、B（，m），则△ABC的面积＝•AB•y A＝•（﹣）•m＝4，则k1﹣k2＝8．7．【答案】（6053，2）【解析】第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4＝504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×504＝6053，∴P2017（6053，2）．8．【答案】【解析】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC＝DE＝4，CP＝EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE＝OB，EF＝BP．设EF＝x，则BP＝x，DF＝DE﹣EF＝4﹣x，又∵BF＝OB+OF＝OE+OP＝PE＝PC，PC＝BC﹣BP＝3﹣x，∴AF＝AB﹣BF＝1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2＝DF2，即（1+x）2+32＝（4﹣x）2，∴x＝∴EF＝．9．【答案】②③⑤【解析】①∵a＞0，∴b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确．④∵点（﹣0.5，y1）在抛物线上，对称轴为x＝﹣1，∴（﹣1.5，y1）也在抛物线上，∵﹣1.5＞﹣2，且（﹣1.5，y1），（﹣2，y2）都在对称轴的左侧，∴y1＜y2，故④错误．⑤：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③⑤．10．【答案】5【解析】∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN+∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，又∵DO＝CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，∴AN2+CM2＝MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x，∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，的最小值是1﹣＝，故⑤正确；此时S△OMN综上所述，正确结论的个数是5个．二、解答题（每小题15分，共60分）11．【解析】（1）被调查的人数为：800÷40%＝2000（人），C组的人数为：2000﹣100﹣800﹣200﹣300＝600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°＝108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：＝．12．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2，∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM＝＝2，∴MN＝OM＝2．13．【解析】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x＝0时，y＝﹣（x﹣3）2+5＝．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0＝﹣×162+16b+，解得：b＝3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．14．【解析】（1）当PQ⊥AB时，BQ＝2PB，∴2x＝2（2﹣2x），∴x＝s．故答案为s．（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y＝2x×x＝2x2．②如图2中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y＝（2﹣x+2x）×x＝x2+x③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y＝（2﹣x+2）×[x﹣2（x﹣1）]＝x2﹣3x+4；综上所述，y ＝．（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB＝tan∠QPB，∴＝，解得x＝．②如图5中，当直线AM经过CD的中点E 时，满足条件．此时tan∠DEA＝tan∠QPB，∴＝，解得x＝，综上所述，当x＝或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．第11页（共11页）。

【猜题卷】山东省青岛市2019年高三自主检测数学(理科)试题

y
y
y
y
O
2
x
O2
x
O2
x
O
2
x
A
B
C
D
数学（理科）试题第 1页（共 6页）
3．已知{an}为等比数列， a10 , a30 是方程 x2 11x 16 0 的两实根，则 a20 等于
A． 3
B． 4
C． 4
D． 3
4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为 a ，且 46 a 2 ，则①处应填入的条件为
x4 项的系数为
；
15．在《九章算术》方田章“圆田术”（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，注述中所用的割圆术所体现的是一种
无限与有限转化的思想．比如在 2 2 2 中“……”即代表无限次重复，但
原数却是个定数 x ，这可以通过 2 x x 确定出来 x 2 ，类似地可得到：
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
P(K 2 k0 ) 0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706 3.841 6.635 10.828
（2）某国 “糖果盒”足球场计划购买 2 台相同的无人机用于 2020 年的比赛直播拍摄．每台该无人机有一易损零件在一年内需更换的次数为 5, 6 的概率分别为 0.4，0.6 ．该易损零件可在购买无人机时一同购买作为备件，每个 300 元；在无人机购买后若备件不足再购买，则每个 600 元．记 X 表示 2 台无人机一年内共需更换的易损零件的次数， k 表示购买无人机时同时购买的易损零件数．为保证两台无人机能正常使用，求购买易损零件所需费用 Y 的期望 E(Y ) 最小时 k 的值．

青岛十七中2019年自主招生考试

青岛十七中2019年自主招生考试数学笔试试题样题答案一、填空题（每小题6分，共60分） 1、—1； 2、21a ，223．γ=2α+β 4. 85° 5．m=2．6. 8．7.（6053，2）． 8．． 9.②，③，⑤ 10．5二、解答题（每小题15分，共60分） 1．解：（1）2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况， ∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．2．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°， ∴∠OAM=∠OBN=135°， ∵∠EOF=90°，∠AOB=90°， ∴∠AOM=∠BON ， ∴△OAM ≌△OBN （ASA ）， ∴OM=ON ；（2）如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵正方形的边长为4， ∴OH=HA=2， ∵E 为OM 的中点， ∴HM=4，则OM==2， ∴MN=OM=2．3．解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x ﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x ﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x ﹣3）2+5（0＜x ＜8）．（2）当y=1.8时，有﹣（x ﹣3）2+5=1.8，解得：x 1=﹣1，x 2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=﹣（x ﹣3）2+5=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x 2+bx+，∵该函数图象过点（16，0）， ∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x 2+3x+=﹣（x ﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．4．解：（1）当PQ ⊥AB 时，BQ=2PB ，∴2x=2（2﹣2x ）， ∴x=s ．故答案为s ．（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y=（2﹣x+2tx×x=x2+x③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（2﹣x+2）×[x﹣2（x﹣1）]=x2﹣3x+4；综上所述，y=．（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．此时tan∠DEA=tan∠QPB，∴=，解得x=，综上所述，当x=或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．。

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2019山东省青岛市高中自主招生考试数学模拟试题
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B ．C ．D ．
2．（4分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）A．8分钟B．7分钟C．6分钟D．5分钟
3．（4分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（）
A ．B．﹣6C ．D．6
4．（4分）（2008•青岛）如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为（）
A．（a﹣2，b﹣3）B．（a﹣3，b﹣2）C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3）
5．（4分）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A ，已知：，则线段DE的长是（）
A ．B．7C．4+3D．3+46．（4分）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
7．（4分）若x+=3，则x2+=_________．
8．（4分）如图，E、F分别是平行四边形ABCD 的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q ，若S△APD =15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________cm2．
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm．
10．（4分）对于正数x，规定f（x）=，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=_________．
11．（4分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每﹣局的输方去当下﹣局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21
局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是_________．
12．（4分）（2002•广州）如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，
EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S△AIJ=1，则正方形ABCD的面积为________．
三．解答题（共6小题，满分52分）
13．（6分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；
（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．
14．（8分）（2007•丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）
（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由．
15．（8分）某中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．
（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？
（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？16．（10分）如图，⊙O的直径EF=cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=cm．E、F、A、B四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B 与点F重合．
（1）当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？
（2）当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）．
17．（10分）（2008•广东）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
18．（10分）（2008•益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．。

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2019年山东省青岛市重点中学第十七中学提前自主招生考试数学试题及答案(PDF版)

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青岛十七中2019年自主招生考试