第二章 连续时间系统的时域分析

C
iR i s t R L
iL C
ic

a
v t

b
根据KCL，得到 iR t iL t iC t iS t 代入上面元件伏安关系，并化简有
d iS t d 2 vt 1 d vt 1 C v t dt2 R dt L dt
起始点的跳变
换路定律： iL(0-)= iL(0+) , vc(0-)= vc(0+)
原理：利用系统内部储能的连续性，即电容上
电荷的连续性和电感中磁链的连续性。
条件：电路中无冲激电流（或阶跃电压）强迫 d vt 作用于电容 i t C
C
dt
电路中无冲激电压（或阶跃电流）强迫 作用于电感 vL (t ) L diL (t )
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n阶线性时不变系统的模型

一个线性系统，其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt

dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
8
说明——不同的物理系统可能有相同的数学模型

如图示机械系统，
m
f
Fs
机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧 的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f，外 加牵引力为 FS t ，其外加牵引力FS t 与刚体运动速度 vt 间的关系可以推导出为
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1) 若初始条件不变，输入信号x(t) = sin t u(t)，则 系统的完全响应 y(t) = ？ 2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y '(0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？
18
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号x(t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t)
由输入x(t)的形式，设方程的特解为 yp(t) = Cet t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
d 2i (t ) di ( t ) d 2e( t ) de( t ) 7 10i ( t ) 6 4e( t ) 2 2 dt dt dt dt
22
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
束 及互 联 的约 束 ，得 方程组：
d vC t L iL t iL t R2 dt d it C vC t iL t dt
2 S + e2(t) 1 e1(t) i(t)
R1 iC(t) C iL(t) R2
R1it vc t et
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 ： (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件（0+状态/导出的起始状态）：
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以 (k ) 后的解， 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20
5
电网络的两个约束特性：
（1）元件端口的电压与电流约束关系
i R (t ) R

vR (t )

iC (t )
C

vC (t )

i L (t )
L

vR (t ) RiR (t )
vR (t ) iR (t ) R
1 t diL (t ) vC (t ) iC ( )d vL (t ) L C dt 1 t dvC (t ) iL (t ) vL ( )d iC (t ) C L dt
vL (t )

（2） 各电路的电流、电压约束关系（即电路定律 KVL、 KCL）
6
例题——列写系统方程

求下图所示并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
a
iR i s t R L
iL C
ic
v t

b
7
解答：
1 电阻 iR t vt R 电感 i t 1 t v d L L 电容 i t C d vt
it A1e （4）完全响应： A2e
5t
8 5
t 0
23
2
S
R1 1
yh (t ) A1e t A2te t Ant n1e t
(3) 特征根是成对共轭复根
i i ji , i n / 2
yh (t ) e1t ( A1 cos1t A2 sin 1t ) e it ( An1 cosit An sin it )

若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为n阶常系 数线性微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。 提示：本课程大量对系统的分析问题就是从这个方程开始 的。
10
模型求解——求响应 1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
特征方程为 特征根为 齐次解yh(t)
2 6 8 0
1 2， 2 4
yh (t ) A1e2t A2e4t
t>0
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[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) x(t ), t 0

系统分析过程
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束 经典法 零输入 : 可利用经典法求 解方程 : 双零法零状态 : 利用卷积积分法求解 变换域法

经典法:高等数学中的一般常系数线性微分方程求解法； 卷积积分法: 任意激励分解为冲激信号之和，利用冲激信号 的系统响应——单位冲激响应，采用分解的逆过程——组合， 得到信号的响应。
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[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) x(t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号x(t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y (t ) yh (t ) yp (t ) A1e
2 t
A2e
4 t
1 y (0) A1 A2 1 5 11 3 解得 A1 A2 1 2 6 y ' (0) 2 A1 4 A2 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
1 t e 3
i
n
i 1
齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定
特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
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一、经典时域分析方法
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根
k (k 1,...n)
yh (t ) A1e1t A2e 2t Ane nt
(2) 特征根是等实根 1 2 ... n
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2.3 起始点的跳变(初始条件的确定）
分析 激励加入：t=0时刻
响应区间：t≥0+
0
0
0
t
起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
建立i(t)的微分方程，并求解i(t)在t>0时的变化。
解： （2）求齐次解：特征方程： a2+7a+10=0 齐次解 ih t A1e 2t A2e 5t 程得： B=8/5
2t
→特征根： a1=-2, a1=-5
t 0
（3）求特解： t>0时， e2(t)=4V, 设rp(t) = B代入方
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一、经典时域分析方法
常用激励信号对应的特解形式P46表2-2
输入信号 E Kt Ke (特征根 sa) Keat(特征根 s=a) Ksin0t 或 Kcos0t Keatsin0t 或 Keatcos0t
at
特解 B A+Bt Aeat Aeat +Bteat Asin0t+ Bcos0t Aeatsin0t+ Beatcos0t
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[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) x(t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号x(t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
d FS t d 2 vt d vt m f kv t dt2 dt dt

这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系 数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高 阶微分方程表示。
机械量 电量 机电类比法
y(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) e(t ) * h(t )
求解齐次微分方程得到零输入响应
利用卷积积分可求出零状态响应
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一、经典时域分析方法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh(t)和特解yp(t)组成
y (t ) y h (t ) y p (t ) r t Ai e t rp t
3
连续时间系统的时域分析
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积 分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学 习各种变换域方法的基础。 系统数学模型的时域表示
输入输出描述 : 一元N阶微分方程 状态变量描述 : N元Fra Baidu bibliotek阶微分方程
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2.2 系统微分方程的建立与求解
第二章 连续时间系统 的时域分析
1
2
2.1 引言
连续时间系统数学模型建立：线性时不变系统的数学模型， 即n阶常系数线性微分方程，后面对线性时不变系统的讨 论就是从此方程入手。 系统分析：求响应——常系数线性微分方程的求解方法， 并从产生响应的激励的角度将系统响应划分为零状态响应 和零输入响应。 “信号与系统”中求解的响应主要是零状态响应。基于输 入-输出系统分析法，系统的零状态响应求解是通过建立 激励信号与典型信号的关系，对于线性时不变系统这种关 系在相应的响应中也是存在的，因而只需对典型信号的响 应应用这种关系即可求得所求信号的响应。 基于第一章信号的脉冲分解，将单位冲激信号作为典型信 号，所得响应称为冲激响应。任意激励信号与冲激响应的 卷积即为系统的零状态响应。