例谈夹逼准则在计算二重极限中的重要作用
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（ ）ｆｉ ｌ １ Ⅲ ｎ ≤ ： ｓ
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１
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１
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（ ０， ＞ ） ＞ Ｙ ０ ；
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由 南 于
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（ 用 夹 逼 准 则 计 算 极 限 的方 法 简称 为夹 逼 准 则 方 法 ） 计 利 在
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由于 ｌ （ 一１ ＋ ｉ Ｉ ２ｌ ａ ｒ ｌ ）＝０ 所 以 由 夹 逼 准 则 知 ｙ＋１ Ｉ ，
…
鲁等斋
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函数的连续性 、 重要 极 限 、 价 无 穷 小 代 换 等 一 些 常 用 的 方 等 法 都 不 适 用 ， 可 利 用 重 要 不 等 式 （Ｉ） 绝 对 值 不 等 式 但 或
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ｙ
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（ ） 一 十∞ ，一 ０ ３ 由 ｙ 可 知 ＞ ， ０ 则
分析
对 于 这 一 类 型 的 二 重 极 限 计 算 问 题
由 Ｉ ＋Ｉ ≥ Ｉ ＋ Ｉ 一１ Ｉ Ｙ＋１ Ｙ ， Ｉ
算 二重极限时极其 重要 ， 可以解 决许 多二重 极 限计算 中 它 较 为 复 杂 的 不 同 类 型 的 问 题 ， 涉 及 的知 识 较 少 ， 方 法 灵 且 但
活． 要 应 用 下 列 内 容 ： 主 １ 夹 逼 准 则 ． 设 二 元 函数 ， ，） 点 Ｐ （。ｙ ） 去 心 邻 域 Ｕ Ｐ ） （ Ｙ在 。 ，。 的 （ 。 （ ｌ ＞ ，Ｙ ＞ 时 有 定 义 ． （ ） 或 Ｉ Ｍ １Ｉ Ｍ） 当 ，）∈Ｕ（ ） 或 ｌＩ ， （ ＞
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的 连 续 性 、 要 极 限 、 价 无 穷 小 代 换 以及 无 穷 小 与 有 界 函 重 等 数 的 乘 积 仍 为 无 穷 小 量 等 方 法 时 ， 实 与 一 元 函 数 求 极 限 确 的 方 法 类 似 ， 类 问 题 一 般 而 言 也 相 对 容 易 ． 计 算 一 元 函 此 而 数 极 限 时 常 用 的 洛 必 达 法 则 一 般 不 能 直 接 用 于 计 算 二 重 极 限 ． 在 计 算 一 元 函数 极 限 时 不 是 很 常 用 的 夹 逼 准 则 方 法 但
（ ） 行放缩 ， 用夹逼准则方法． Ⅱ 进 应 解 （ ） 为 １因
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放 缩 后 的二 元 函 数 可 通 过 换 元 转 化 为 一 元 函 数 ， 时 这
专 研 究
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谈夹逼准贼窳谛纂 熏撅隈申鲶熏熏镶
◎ 朱 杏 华 肖建 中 （ 苏省 南京 信 息 工 程 大 学数 理 学 院 江 ２０ ４ ） １０ ４
《 等数学》 高 中关 于 二 重 极 限 的计 算 在 多元 函 数 微 分 学
理 论 中极 为 重 要 ， 教 材 中 ， 于 受 篇 幅 限 制 等 因 素 ， 二 但 由 对
≤
＋
＋
重 极 限 的计 算 方 法 交 代 甚 少 ， 一 句 话 “ 与 一 元 函 数 类 似 用 有 的运算法则 ” 一带 而 过 ， 他 《 等 数 学 》 材 也 是 这 种 处 理 其 高 教
方式． 实上 ， 事 当所 要 计 算 的二 重 极 限 可 直 接 运 用 二 元 函数
，
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ｆ ｆ ） ， 存 在 函数 ｇ ， ）ｈ ，） 同 时 满 足 ： Ｙ＞ 时 若 （ Ｙ ，（ Ｙ且
（Ｉ） （ Ｙ ≤， ， ） （ Ｙ ； ｇ ， ） － Ｙ ≤ ， ） （ ） ｉ ｇ ， ）＝ｌ ｈ ， ）： 或 ｌ ｇ ， ）＝ Ⅱ ｌ （ ， ａ ｒ ， ｉ （ ｙ Ａ（ ｉ （ Ｙ ａ ｒ ａ ｒ
则 二重 极 限 Ｊ ｆ ，） 或 ｌ ｆ ，） 存 在 ， 极 限 为 Ａ ｉ （ ）（ ｉ （ Ｙ） ｍ ， ａ ｒ 且 ．
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因 。南Ｖ 十 ・ 十 为≤十南＝ ｙ ・ ｅ ‘ Ｊ
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２ 常 用 不 等 式 ．
（Ｉ） ＋ ｙ 或 ＋ ≥２ Ｙ ≥２ ｘ ｌ Ｉ ｙ （ Ⅱ） ＋ｙ ≤ Ｉ ＋Ｉ Ｉ Ｉ １ １ Ｙ ；
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则 达 不 到 目 的．
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分析
对 于 这 一 类 型 的 二 重 极 限 计 算 问 题
由 Ｉ ＋Ｉ ≥ Ｉ ＋ Ｉ 一１ Ｉ Ｙ＋１ Ｙ ， Ｉ
算 二重极限时极其 重要 ， 可以解 决许 多二重 极 限计算 中 它 较 为 复 杂 的 不 同 类 型 的 问 题 ， 涉 及 的知 识 较 少 ， 方 法 灵 且 但
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的 连 续 性 、 要 极 限 、 价 无 穷 小 代 换 以及 无 穷 小 与 有 界 函 重 等 数 的 乘 积 仍 为 无 穷 小 量 等 方 法 时 ， 实 与 一 元 函 数 求 极 限 确 的 方 法 类 似 ， 类 问 题 一 般 而 言 也 相 对 容 易 ． 计 算 一 元 函 此 而 数 极 限 时 常 用 的 洛 必 达 法 则 一 般 不 能 直 接 用 于 计 算 二 重 极 限 ． 在 计 算 一 元 函数 极 限 时 不 是 很 常 用 的 夹 逼 准 则 方 法 但
（ ） 行放缩 ， 用夹逼准则方法． Ⅱ 进 应 解 （ ） 为 １因
０ ≤
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ｌ 一１ｊ＋ Ｊ ＋ １Ｉ Ｙ
而夹准知ｉ ｌ － 由逼则 （＋ ｏ ＊ ２ ｌ ｍ ．
放 缩 后 的二 元 函 数 可 通 过 换 元 转 化 为 一 元 函 数 ， 时 这
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理 论 中极 为 重 要 ， 教 材 中 ， 于 受 篇 幅 限 制 等 因 素 ， 二 但 由 对
≤
＋
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重 极 限 的计 算 方 法 交 代 甚 少 ， 一 句 话 “ 与 一 元 函 数 类 似 用 有 的运算法则 ” 一带 而 过 ， 他 《 等 数 学 》 材 也 是 这 种 处 理 其 高 教
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，
！ ： （ １ １ （ ２二 二 ２ ± １ ± ２
Ｉ 一 １Ｉ＋ Ｉ ＋ １Ｉ ｙ
＋
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ｆ ｆ ） ， 存 在 函数 ｇ ， ）ｈ ，） 同 时 满 足 ： Ｙ＞ 时 若 （ Ｙ ，（ Ｙ且
（Ｉ） （ Ｙ ≤， ， ） （ Ｙ ； ｇ ， ） － Ｙ ≤ ， ） （ ） ｉ ｇ ， ）＝ｌ ｈ ， ）： 或 ｌ ｇ ， ）＝ Ⅱ ｌ （ ， ａ ｒ ， ｉ （ ｙ Ａ（ ｉ （ Ｙ ａ ｒ ａ ｒ
则 二重 极 限 Ｊ ｆ ，） 或 ｌ ｆ ，） 存 在 ， 极 限 为 Ａ ｉ （ ）（ ｉ （ Ｙ） ｍ ， ａ ｒ 且 ．
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