康托尔三分集

康托尔三分集的性质及应用

摘要：本文通过对康托尔三分集的定义的描述，这里将康托尔三分集记为P，经过分析康托尔三分集的定义方法可以得出P为闭集，以及对其性质的讨论，得到（其四个重要的性质，分别为：(1)P是完备集；（2）P没有内点；（3）[0，1]\P 是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1；（4）P的基数为c。并由此通过测度的定义及性质进一步对其测度的大小进行确定，得出其测度为零。有了性质，我们进一步讨论康托尔三分集的应用，研究康托尔三分集对我们的数学理论和应用等方面的意义。在此基础上有进一步分析它的不足之处。

关键词：康托尔三分集测度闭集疏朗集合

内容：

一、康托尔三分集的定义

康托尔三分集是由德国数学家康托尔构造的，它是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写，用传统的几何术语很难对它进行描述，它既不是满足某些简单条件的轨迹，也不是一个简单方程的解集，它是一种新的几何对象。下面我们一起来看看它的具体定义方法。

我们先将闭区间[0,1]三等分，去掉中间的开区间（1\3,2\3）,剩下两个闭区间[0,1\3]，[2\3,1]。又把这两个闭区间个三等分，去掉中间的两个开区间，即

（1\9,2\9），（7\9,8\9）。一般地，当进行到第n次时，共去掉1-

2n个开区间，还剩下n2个长度是n 3的互相隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这n2个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此进行下去，就从[0,1]去掉了可数个互不相交且没有公共端点的开区间，如下图所示：

又因为直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F的余集）所得到的集，所以康托尔三分集为闭集。并且我们把康托尔三分集记为P。

二、康托尔三分集的性质

1、P为完备集

由于P的临界区间的作法，它们的任何两个之间根本不存在公共端点，故P 没有孤立点，因而P自密，又因为P为闭集，因此P为完备集。

2、P没有内点

我们观察P的做法，不难看出，去掉过程进行到第n次为止时，剩下n2个长

度是n -3的互相间隔离的闭区间，因此任何一点0x ∈P 必含在这n 2个闭区间的某一个里面，从而在0x 的任意邻域)3,(0n x U -内至少有一点不属于P ，但n -3→0（n →∞）,故0x 不可能是P 的内点。

P 既然是没有内点的闭集，那么在任一开区间I 内必至少含有开集c P 的一点，从而I 内比至少有一子开区间，其中不含P 的点。在这里我定义凡是一个点集E （不限于1R 中），如果其具有性质：空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E 的点，则称E 为疏朗集合。因此P 为一个疏朗集合。

3、[0，1]\P 是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1。

第n 次去掉的1-2n 个长度为n 3

1区间，因此[0，1]\P 中互不相交的开区间的长度之和为1321n 1

=∑∞

=-n n ，若P 有长度，其长度只能为零，即P 的测度为0. 4、P 的基数为c 。

若[0,1]中的数用三进制小数表示，第一次去掉的区间）（3

2,31中每个数的第一小数都是1，以此类推，第二次去掉的两个区间中的每个数的第二位小数都是

一。以此类推，第n 次去掉的1-2n 个长度为n 3

1区间的每个数的第n 位小数都是1，因此所有每位小数可以仅用0或2表示的数是永远不会去掉的。

我们又定义映射如下：P →]1,0[：ϕ对]1,0[x ∈，若∑∞

==12n n n a x ，则∑∞

==13)(n n n b x ϕ，其中⎩⎨⎧===,1,2,0,0n n n a a b 由以上分析P x ∈)(ϕ，且易知ϕ是单射，因此c P ==≥]1,0[])1,0([ϕ。又]1,0[⊂P ，又有c P =≤]1,0[，因此c P =。

三、康托尔三分集的测度

虽然上面我们讨论康托尔的性质时说到了康托尔三分集的长度，并且说明它的测度为零，但那只是粗略的提了下，下面我们对它的测度为零进一步给出证明。

在这里我们记P 的余集为G ，即G=[0,1]-P 是开集，由直线上开集的构造，可记 ∞

==1n n G G 其中n G 为第n 次去掉的所有开区间的并集。

由康托尔三分集的作法知，n G 为1-2n 个互不相交的长度为

n

31的开区间的并，并且)(n n m G G m ≠=ϕ。

由G 可测知P=[0，1]-G 可测，而P+G=[0，1]，所以

1]1,0[m ==+m mG P ，故：

0113211)(1111

11=-=-=-=-=-=∑∑∑∞

=-∞=∞=n n n n n n n mG G m mG mP 即康托尔三分集的测度为0.

由于康托尔三分集的测度为0，由勒贝格积分的定义我们可以推出若)(x f 为定义在康托尔三分集（P ）上的函数，则有(L)⎰P

dx x f )(=0 四、康托尔三分集的应用

对一门学科，研究其性质并不是我们的最终目的，而对它的应用才是最终目的，前面我们已经对康托尔三分集的性质进行了分析研究，下面我们来进一步看它在数学、经济等方面的应用。

康托尔三分集在数学方面的应用：

由于康托尔三分集的许多奇特性质，使得其在构造反例中被广泛应用，它的研究在整个数学研究中起了十分重要的作用，使许多问题迎刃而解。下面我们举例说明它的具体用处。

命题1 可列集的测度为零，但测度为零的集合不一定为可列集。

例如康托尔三分集的测度为零，但它为不可列集。

命题2 如果A 、B 为R1上的正测集，则A+B 包含一个区间。反之不成立，即A+B 包含一个区间，但可能m(A)=m(B)=0。

例如A 、B 均为康托尔三分集时就是其中的反例

康托尔三分集在数学中还有其它的应用在这里不一一举例，我们来看下它在经济方面的应用，由于康托尔三分集是将一条直线分割成三份，去掉一份，留下两个线段，把剩下的两份线段各自再分割成为两份，连续重复删去三分之一线段，保留两个线段，而这两个线段将形成四个相同的线段，这个过程循环往复，被切割为无限多个线段其长度是一样的，这是转变中的自相似性和对称性，可以应用于股价的量度上在新股群体中寻找目标，我们发现，上市后即暴跌的新股，在经过暴跌后一定会产生对称性反弹。我们可以选择新股上市后创出的最高价，将之视为一条直线，将其连续切割两次，每一次都分割成三份，最终把分割结果累加为四份，而这将会是新股从最高价下跌的终点站，并且会由此价位开始反弹。应用这个原理我们可以进一步分析股票的涨跌情况。

五、康托尔三分集的不足

康托尔三分集是最早出现的分形。首先，它具有自相似性，即其局部与整体彼此相似，这是分形的一个重要特征。其次，它是无穷操作或迭代的结果，呈现出一种特别精细的结构这种奇异的几何图形，但即便如此康托尔三分集还是有明显的不足，那就是没有将极限引入定理之中，对于很多问题都无法用极限来解决。另外康托尔三分集的构造是基于集合论的一种集合的划分方法，在集合论上还能进一步推广。这两个问题都有待我们去进一步解决。