高等代数线性变换的值域与核

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线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例 在线性空间 P[x]n 中，令
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线性变换的值域与核的概念
定义 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合 称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零 向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ） 表示.
若用集合的记号则
A V = {A ξ|ξ ∈ V}, A −1(0) = {ξ|A ξ = 0, ξ ∈ V}.
注 上面的定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.
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线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
证 设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果 有
线性变换的值域与核的概念
命题 线性变换的值域与核都是 V 的子空间.
证 事实上，由
A α + A β = A (α + β),
kA α = A (kα)
可知，A V 对加法与数量乘法是封闭的，同时，A V 是非空的， 因此 A V 是 V 的子空间.
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这个式子说明，A ξ ∈ L(A ε1, A ε2, · · · , A εn). 因此 A V 包含在 L(A ε1, A ε2, · · · , A εn) 内. 这个式子还表明基像组的线性组合还 是一个像，因此 L(A ε1, A ε2, · · · , A εn) 包含在 A V 内. 这样， A V = L(A ε1, A ε2, · · · , A εn).
2 A 的 .... .... . . . . .... .... .... . .
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线性变换的值域与核的性质
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换，ε1, ε2, · · · , εn 是 V 的一 组基，在这组基下 A 的矩阵是 A，则
A 的秩 + A 的零度 = n 证 设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果 有
A 的秩 + A 的零度 = n
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线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
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线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏.
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线性变换的秩与零度
例 在几何空间 R3 中，设子空间 U 为坐标平面 OXY，W 为 z 轴， PU 是向子空间 U 的投影变换. 则 ImPU = U，ker PU = W，从 而秩 (PU)= 2，零度 (PU)= 1.
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线性变换的值域与核的性质
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换，ε1, ε2, · · · , εn 是 V 的一 组基，在这组基下 A 的矩阵是 A，则
1 A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间，即
A V = L(A ε1, A ε2, · · · , A εn).
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线性变换的值域与核的概念
由 A α = 0 与 A β = 0 可知
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线性变换的值域与核的概念
由 A α = 0 与 A β = 0 可知 A (α + β) = 0, A (kα) = 0.
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线性变换的值域与核的性质
2) 根据 1)，A 的秩等于基像组的秩. 另一方面，矩阵 A 是由基 像组的坐标按列排成的. 在前一章 § 8 中曾谈过，若在 n 维线性 空间 V 中取定了一组基之后，把 V 的每一个向量与它的坐标对 应起来，我们就得到 V 与 Pn 的同构对应. 同构对应保持向量组 一切线性关系，因此基像组与它们的坐标组（即矩阵 A 的列向 量组）有相同的秩.
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线性变换的值域与核的概念
由 A α = 0 与 A β = 0 可知
A (α + β) = 0, A (kα) = 0.
这就是说，A −1(0) 对加法与数量乘法是封闭的. 又因为 A (0) = 0，所以 0 ∈ A −1(0)，即 A −1(0) 是非空的. 因此，A −1(0) 是 V 的子空间.
1 A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间，即 A V = L(A ε1, A ε2, · · · , A εn).
2 A 的秩 = A 的秩. 证 (1) 设 ξ 是 V 中任一向量，可用基的线性组合表示为
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线性变换的值域与核的概念
命题 线性变换的值域与核都是 V 的子空间.
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线性变换的值域与核的性质
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换，ε1, ε2, · · · , εn 是 V 的一 组基，在这组基下 A 的矩阵是 A，则
1 A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间，即 A V = L(A ε1, A ε2, · · · , A εn).
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线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏.
例 在线性空间 P[x]n 中，令
D(f(x)) = f′(x).
则 D 的值域就是 p[x]n−1，D 的核就是子空间 P，从而秩 (D)= n − 1，而零度 (D)= 1.
2 A 的秩 = A 的秩.
证 (1) 设 ξ 是 V 中任一向量，可用基的线性组合表示为
ξ = x1ε1 + x2ε2 + · · · + xnεn.
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线性变换的值域与核的性质
于是
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l1ε1 + · · · + lrεr + lr+1εr+1 + · · · + lsεs = 0.
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线性变换的值域与核的概念
定义 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合 称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零 向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ） 表示.
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1 A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间，即 A V = L(A ε1, A ε2, · · · , A εn).
2 A 的秩 = A 的秩.
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线性变换的值域与核的性质
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换，ε1, ε2, · · · , εn 是 V 的一 组基，在这组基下 A 的矩阵是 A，则
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线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
A 的秩 + A 的零度 = n
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线性变换的值域与核的性质
2) 根据 1)，A 的秩等于基像组的秩. 另一方面，矩阵 A 是由基 像组的坐标按列排成的. 在前一章 § 8 中曾谈过，若在 n 维线性 空间 V 中取定了一组基之后，把 V 的每一个向量与它的坐标对 应起来，我们就得到 V 与 Pn 的同构对应. 同构对应保持向量组 一切线性关系，因此基像组与它们的坐标组（即矩阵 A 的列向 量组）有相同的秩.
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线性变换的值域与核的性质
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换，ε1, ε2, · · · , εn 是 V 的一 组基，在这组基下 A 的矩阵是 A，则
1 A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间，即 A V = L(A ε1, A ε2, · · · , A εn).
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线性变换的值域与核的性质
于是
A ξ = x1A ε1 + x2A ε2 + · · · + xnA εn.
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线性变换的值域与核的性质
于是
A ξ = x1A ε1 + x2A ε2 + · · · + xnA εn.
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线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例 在线性空间 P[x]n 中，令
D(f(x)) = f′(x).
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