数理方程例题I

数学物理方程例题和习题（2009-10-31）一、二阶常微分方程常数变易法二阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧='=>=+''βαω)0(,)0(0),()()(2y y x x f x y x y 先考虑对应齐次方程：02=+''y y ω。

利用辅助方程022=+ωm ， ωi m ±=得齐次方程通解)sin()cos()(21x C x C x y ωω+=将常数替换为待定的函数，即)sin()()cos()()(x x v x x u x y ωω+=有两个未知函数待定。

代入微分方程得恒等式，由一个等式不能唯一确定两个函数。

如果人为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得在上面表达式中，令第一个方栝号为零，得第一个等式0)sin()cos(='+'x v x u ωω同时，由)cos()sin(x v x u y ωωωω+-='继续求导数，得)]sin()cos([)]cos()sin([22x v x u x v x u y ωωωωωωωω+-'+'-=''代入方程，得第二个等式f x v x u ='+'-)cos()sin(ωωωω将两个等式联立，得线性代数方程组⎩⎨⎧='+'-=+'fx v x u x v x u )cos()sin(0)sin()cos(ωωωωωω 或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡-f v u x x x x 0)cos()sin()sin()cos(ωωωωωω 上式的系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于ωωωωωωω=-=)cos()sin()sin()cos(x x x x ∆利用克莱姆法则解方程组，有)sin()()cos()sin(01x x f x f x ωωωω-==∆，)cos()()sin(0)cos(2x x f fx x ωωωω=-=∆ )sin()(1/1x x f u ωω-=='∆∆，)cos()(1/2x x f v ωω=='∆∆)]cos()sin([)]sin()cos([x v x u x v x u y ωωωωωω+-+'+'='积分，得两个待定函数表达式10)sin()(1)(C d f x u x+-=⎰ξωξξω，20)cos()(1)(C dgx f x v x+=⎰ωξξω代入常数变易法假设的函数中，得)sin()cos(21x C x C y ωω+=⎰⎰+-xxd f x dx f x 0)()cos()sin(1)()sin()cos(1ξξωξωωξωξωω利用初始条件确定任意常数C 1和C 2，显然α=1C ，ωβ/2=C代入并利用三角函数和差化积公式，得⎰-++=xd f x x x x y 0)()](sin[1)sin()cos()(ξξξωωωωβωα二、二阶偏微分方程分类与化简例1．判别二阶微分方程 0910=++yy xy xx u u u 的类型并求通解。

解：利用判别式09252211212>-=-=a a a ∆所以方程是双曲型方程。

构造辅助方程09102=+-λλ解得：91=λ，12=λ，由9=dx dy ，1=dxdy积分，得19C x y +=，2C x y +=由此构造变换y x -=9ξ，y x -=η显然，变换矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1119y xy x Q ηηξξ 且03244]19[119551]19[≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-将变换表达式代入方程，化简得0=ξηu ，对其积分，得)()(ηξg f u +=其中，g f ,是两个任意一元函数（二阶连续可微）。

代回原来变量，得原方程的通解)()9(y x g y x f u -+-=三、分离变量法 1．固有值问题（1）第一类边界条件固有值问题⎩⎨⎧==∈=+''0)(,0)0(),0(,0L X X L x X X λ 固有值和固有函数2)(L n n πλ=，x Ln x X n πsin )(=，（n=1，2，……） （2）第二类边界条的固有值问题⎩⎨⎧='='∈=+''0)(,0)0(),0(,0L X X L x X X λ 固有值和固有函数2)(L n n πλ=，x Ln x X n πcos )(= 例2．求解欧拉方程固有值问题⎪⎩⎪⎨⎧===+'+''==0,0012e x x y y y y x y x λ 解：作变换：)exp(t x =，即x t ln =，未知函数的导数为 dtdyx dx dt dt dy dx dy 1== )(1)(11222222dt dydxy d x dt dy dx d x dt dy x dx y d -=+-= 代入微分方程，得0)(22=++-y dt dydt dy dty d λ方程化简为：022=+y dtyd λ，对应边界条件：0,010====t t y y所以固有值和固有函数为：2)(πλn n =，t n y πsin = 代回原自变量，固有函数为：)ln sin(x n y π=2．双曲型方程分离变量法⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(),(0,0)0,0(,0002x u x u u u t L x u a u t t t L x x xx tt ψϕ 满足边界条件和初值条件的解为∑∞=+=1sin ]sin cos[),(n n n x Ln t L a n D t L a n C t x u πππ 其中系数⎰=L n d L n L C 0sin )(2ξξπξϕ，⎰=L n d Ln a n D 0sin )(2ξξπξψπ，（n=1，2，……） 例3．求解双曲型方程初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∞+∈∈=====0,sin 0,0),0(),,0(,0002t t t x x xx tt u x u u u t x u a u ππ 解：对应的固有值和固有函数分别为：2n n =λ，nx x X n sin )(=，（n=1，2，……）。

满足边界条件的解为∑∞=+=1sin ]sin cos [),(n n n nx ant D ant C t x u利用初值条件，得x nx Cn nsin sin 1=∑∞=，0sin 1=∑∞=n n nx nD a对比等式两端，得C 1=1，C n =0，（n=2，3，……）；D n = 0，（n=1，2，……）所以初边值问题的解为x at t x u sin cos ),(=2．抛物型方程分离变量法例4．求解抛物型方程初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∞+∈∈====xu u u t x u a u t x x xx t sin 0,0),0(),,0(,002ππ 解：对应的固有值和固有函数分别为：2n n =λ，nx x X n sin )(=，（n=1，2，……）。

满足边界条件的解为∑∞=-=122sin )exp(),(n n nx t n a C t x u利用初值条件，得x nx Cn nsin sin 1=∑∞=对比等式两端，得C 1=1，C n =0，（n=2，3，……）所以初边值问题的解为x t a t x u sin )exp(),(2-=例5．分离变量法求解热传导问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===><<====)2/.(0,00,0,00L x u u u t L x u u t L x x x x xx t δ 解：对应的固有值和固有函数分别为2)(L n n πλ=，x Ln X n πcos =，（n =0，1，2，…… ） 满足边界条件的解为∑∞=-+=020cos ])(exp[2),(n n x Ln t L n C C t x u ππ利用初始条件，得)2/(cos 200L x x Ln C C n n -=+∑∞=δπ 利用付里叶级数展开式，得2cos 2cos )2/(20ππδn L xdx L n L x L C L n =-=⎰，（n =0，1，2，…… ） 当n 为偶数时，有Lk L C k k 2)1(cos 22-==π 所以，原问题的解∑∞=--+=122cos ])2(exp[)1(21),(k k x Lk t L k L L t x u ππ3．椭圆型方程分离变量法例6．用分离变量法求解拉普拉斯方程边值问题⎪⎩⎪⎨⎧====<<=+)sin(),1(0)1,()0,(),0(1,0,0y y u x u x u y u y x u u yy xx π 解：令u (x ，y )=X (x )·Y (y )，代入拉普拉斯方程，分离变量得λ=''-=''YY X X 得两个常微分方程：0=-''X X λ，0=+''Y Y λ由边界条件可得，Y (0)=0，Y (1)=0，与第二个方程联立，得固有值问题⎩⎨⎧==∈=+''0)1(,0)0()1,0(,0)()(Y Y y y Y y Y λ 求解，得固有值和固有函数22πλn =，)sin()(y n y Y n π=，( n = 1，2，……)将固有值代入第一个方程中并求解，得)exp()exp()(x n B x n A x X n n n ππ-+= ( n = 1，2，……)从而有基本解)sin()]exp()exp([),(y n x n B x n A y x u n n n πππ-+=所以有级数形式解∑∞=-+=1)sin()]exp()exp([),(n n n y n x n B x n A y x u πππ利用边界条件 u (0，y )=0，u (1，y )= sin π y 得0)sin()(1=+∑∞=n n ny n B Aπy y n eB e A n n nn nππππsin )sin()(1=+∑∞=-由此得A n =B n =0 ( n ≠1) A 1 +B 1 = 0，A 1 e π +B 1 e -π =1解得πsinh 11=-=B A所以边值问题的解如下)sin()sin()sinh(),(y x y x u πππ=四、行波法1．行波法求解无界区域的双曲型方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===)(),(0,,002x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 的达朗贝尔公式⎰+-+++-=at x at x d aat x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( 例7．求解双曲型方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===1,sin 0,,002t t t xx tt u x u t x u a u 解：应用达朗贝尔公式⎰+-+++-=at x at x d aat x at x t x u ξ21)]sin()[sin(21),( 整理，得t at x t x u +=cos sin ),(例8．求解初值问题：⎩⎨⎧==>∞<<-∞+===xt t t xx tt xeu x u t x x u u 00|,sin |)0,(sin 解：利用叠加原理，令 u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )。