2021-2022年高二下学期周测数学试题 含答案
2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二下学期5月质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二下学期5月质量检测数学试题一、单选题1．()413x -的展开式中含2x 项的系数为（ ） A ．－54 B ．54 C ．－27 D ．27【答案】B【分析】令二项式展开式的通项公式中x 的系数为2，即可求解.【详解】解：二项式展开式的通项公式为：()()144C 33C rrr r rr T x x +=-=-，令r ＝2，则含2x 的项的系数为()2243C 54-=.故选：B.2．若1x =是函数22()ln e x f x ax x -=-的极值点，则a 为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】函数的极值点即为导函数的零点，将函数求导代入1求解即可. 【详解】22()(ln 1)2e x f x a x -+-'=，1x =是函数的极值()f x 点， 所以22(1)(ln11)2e 20f a a -=+-=-='， 所以2a =. 故选：D.3．已知函数()f x 的导函数()y f x '=图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】观察导函数的符号，确定原函数的单调性即可.【详解】由导函数的图象可知，原函数在y 的右侧有两个单调区间，先增后减，A 正确. 故选：A.4．某校开学“迎新”活动中要把2名男生，3名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排男生，则安排方法的种数为（ ） A ．72 B ．56 C ．48 D ．36【答案】A【分析】先安排甲岗位，剩下的全排即可求解．【详解】先安排甲岗位，剩下的全排，则安排方法共有1434C A 32472=⨯=种，故选：A.5．高二某班共有50名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的15，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ） A ．118B ．110 C ．16D ．35【答案】C【分析】设事件A 表示“选上的学生是男生”，事件B 为“选上的学生是“三号学生”，即可得到()P A ，()P AB ，再根据条件概率的概率公式计算可得；【详解】解：依题意全班有“三好学生”150105⨯=（人），其中女三好学生有11052⨯=人，则男三好学生有1055-=人；设事件A 表示“选上的学生是男生”，事件B 为“选上的学生是“三号学生”，则()303505P A ==，()515010P AB ==，故()()()1110365P AB P B A P A ===， 故选：C.6．若()()10222101221121x x x a a x a x a x +-+=+++⋅⋅⋅+，则1220a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】利用赋值方法令0,1x x ==得出201002,a a a a a ++⋅⋅⋅++，然后再求出含21x 项的系数，由此即可求解.【详解】令0x =，则()()10201201001a =+⨯-+=，令1x =，则()()100122021121113a a a a a +++⋅⋅⋅++=+-+=， 又含21x 的项为()1022122x x x ⋅=，所以212a =，所以122002133120a a a a a ++⋅⋅⋅+=--=--=， 故选:A.7．函数()()e 32xf x a x =---是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(),0∞-C ．(],3-∞D ．(),3-∞【答案】C【分析】由函数为单调增函数可判断()0f x '≥，则可将问题转化为e 3x a ≤+在R 上恒成立问题，结合e x 的性质，即可求解.【详解】因为函数()()e 32xf x a x =---是R 上的单调增函数，所以()e 30xf x a '=-+≥在R 上恒成立，即e 3x a ≤+在R 上恒成立， 因为e 33x +>，所以3a ≤， 即a 的取值范围是(],3-∞. 故选：C8．若关于x 的不等式20x xe ax a -+<的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是A ．221,53e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13e ⎡⎢⎣⎭C ．1,3e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．e ⎤⎥⎣⎦【答案】B【详解】原不等式可化为2x ax a xe ->，设()()2,xf x ax ag x xe =-=，则直线()2f x ax a =-过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，由题意得函数()x g x xe =的图象在直线()2f x ax a =-的下方．∵()x g x xe =，∴()()1xg x x e '=+．设直线()2f x ax a =-与曲线()x g x xe =相切于点(),m n ，则有()21{?2m m a m e me am a=+=-，消去a 整理得2210m m --=，解得12m =-或1m =（舍去），故切线的斜率为1122112122a e e --⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭a =式无整数解，结合图象可得当1x =-时，()()113,1f a g e --=--=-，由()()11f g -=-解得13a e =，当直线()2f x ax a =-绕着点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭旋转时可得13a e ≤<a 的取值范围是13e ⎡⎢⎣⎭．选B ． 二、多选题9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校的图书馆､食堂､实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ） A ．总共有12种分配方法 B ．总共有36种分配方法C ．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种分配方法D ．若甲､乙均安排在图书馆帮忙，则有2种分配方法 【答案】BCD【分析】四人安排到三个地方，可以选其中2人捆绑为一人，4人变成3人全排列，甲､乙安排在同一个地方帮忙，就把甲乙捆绑为一人，如果没其他要求，就与其他2人全排列，如果有其他要求就先按其他要求处理，再排列．由此计算得到各选项中的方法数，确定结论．【详解】解：根据题意，依次分析选项：先将4人分为3组，再将三组安排到三个场馆，有234336C A =种安排方法，A 错误，B正确；若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则甲乙捆绑作为一人，与其他两人一起全排列：33A ＝6种安排方法，C 正确；若甲､乙均安排在图书馆帮忙，将丙､丁安排在食堂､实验室帮忙即可，有222A =种安排方法，D 正确； 故选：BCD.10．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（ ）A ．1A ，2A 为对立事件B ．()1411P B A =C ．()722P B =D ．()()121P B A P B A +=【答案】ABC【分析】利用对立事件的定义判断选项A 正确；再利用概率计算得选项BC 正确，选项D 错误.【详解】解：对于A ，由于甲罐中只有红球和白球，故A 正确；对于B ，当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B 发生的概率为411，故B 正确；对于D ，当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故()()12437111111P B A P B A +=+=，故D 错误； 对于C ，()1413721121122P B =⨯+⨯=，故C 正确.故选：ABC.11．已知函数()()()2f x a x a x b =--（a ≠0）的极大值点为x ＝a ，则（ ） A ．22b a <B ．2a ab <C ．若()()120f x f x ''==，则120x x +>D ．若()()120f x f x ''==，则120x x >【答案】BD【分析】由条件可得,a b 为函数()f x 的零点，讨论a ，结合三次函数图象可得,a b 关系及极值点的位置关系，由此判断正确选项.【详解】令f （x ）＝0，解得x ＝a 或x ＝b ，即x ＝a 及x ＝b 是f （x ）的两个零点， 当a ＞0时，由三次函数的性质可知，要使x ＝a 是f （x ）的极大值点，则函数f （x ）的大致图象如图1甲所示，则0＜a ＜b ；由()()120f x f x ''==可得12,x x 是函数()f x 的极值点，由图象可得12120,0x x x x +>>，当a ＜0时，由三次函数的性质可知，要使x ＝a 是f （x ）的极大值点，则函数f （x ）的大致图象如图乙所示，则b ＜a ＜0，由()()120f x f x ''==可得12,x x 是函数()f x 的极值点， 由图象可得12120,0x x x x +<>，综上，22b ab a >>，若()()120f x f x ''==，则120x x >，故选：BD.12．已如函数()3e xf x x =⋅，则以下结论正确的是（ ）A ．函数y ＝f （x ）存在极大值和极小值B ．()()()2e 1ln πf f f -<<C ．函数y ＝()f x 存在最小值D ．对于任意实数k ，方程()f x ＝kx 最多有3个实数解 【答案】BC【分析】利用导数证明函数在x ＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A 错误，C 正确；利用函数的单调性证明B 正确；证明()f x ＝kx 有4个实数解，故D 错误.【详解】解：()()322e 3e e 3x x xf x x x x x '=⋅+=+，当x ＞－3时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x ＜－3时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，函数在x ＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A 错误，C 正确；当x ＞－3时，函数()f x 单调递增，且23e 1ln π--<<<，所以()2e f -()1f <()ln πf <，B 正确：由()f x ＝kx 得3e x x kx ⋅=有一零点x ＝0，令()2e x h x x =⋅，则()()e 2xh x x x '=+，如图，当x ＞0或x ＜－2时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当－2＜x ＜0时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，又()242e h -=，h （0）＝0，当240e k <<时，()h x 与y ＝k 有3个交点，此时()f x ＝kx 有4个实数解，故D 错误， 故选：BC.三、填空题13．已知随机变量X 的分布列如下表，则()D X ＝______.X 0 1 Pa3a【答案】316【分析】先利用分布列的性质求出14a =，再求()D X 得解. 【详解】解：由随机变量X 的分布列得01,031,31,a a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+=⎩解得14a =，∴()13301444E X =⨯+⨯=，()223133301444416D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：31614．已知函数()e e sin 21x xf x x -=-++，x ∈[0，π]，则f （x ）的最小值为______.【答案】1【分析】利用导数和基本不等式求出函数的单调性，即得解.【详解】解：函数()e e sin 21x xf x x -=-++，x ∈[0，π]，所以()e e 2cos 22e e 2cos 222cos 2x x x x f x x x x --'=++≥⋅=+， 当且仅当e e x x -=，即x ＝0时等号成立，又因为2＋2cos2x ≥2＋2(1)⨯-＝0，所以()0f x '≥， 所以()f x 在x ∈[0，π]时单调递增，其最小值为()000e e sin011f =-++=.故答案为：115．已知()f x 的定义域是()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x f x '<，则不等式()()2223e2e 3xxf x x f --+>的解集是______.【答案】{3x x <-或}1x >【分析】整理不等式为()()223223ee xxf x x f ++>，观察发现，可构造()()x f x g x =e ()0x >，对()g x 求导，结合()()f x f x '<判断()g x 单调性，再利用()g x 单调性求解即可.【详解】设()()xf xg x =e ()0x >， 因为()()f x f x '<，所以()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2223e2e3xx f x x f --+>，则()()223223e e xxf x x f ++>，即()()223g x x g +>， 所以223x x +>，解得3x <-或1x >. 故答案为：{3x x <-或}1x >16．给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．【答案】72【分析】分为B ，E 同色和B ，E 不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可. 【详解】当B ，E 同色时，共有432248⨯⨯⨯=种不同的方案，当B ，E 不同色时，共有43224⨯⨯=种不同的方案，所以共有72种不同的方案． 故答案为：72. 四、解答题17．在二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7∶2； ③所有偶数项的二项式系数的和为128.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求()1nx +展开式中二项式系数最大的项；(2)设n展开式中的常数项为p ，求p 的值.【答案】(1)4570T x =(2)70p =【分析】（1）根据条件①可得121C C 37n n ++=，解得8n =，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；根据条件②可得21C 7C 2nn =，解得8n =，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；根据条件③可得12128n -=，解得8n =，故所求展开式中二项式系数最大的项为第5项，即可求解；（2）由（1）可知8n =，则通项为84188C C rrr r r r T x --+==，令40-=r ，进而求解.【详解】(1)①若展开式前三项的二项式系数的和等于37，则121C C 37n n ++=，即()11372n n n -++=， 得22274n n n ++-=，即2720n n +-=，得8n =或9n =-（舍）； 所以()()811n x x +=+，所以展开式中二项式系数最大的项为44458C 70T x x ==.②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7:2，即21C 7C 2nn =，即212C 7C n n =， 得()1272n n n -⨯=，即17n -=，得8n =， 所以()()811nx x +=+，所以展开式中二项式系数最大的项为44458C 70T x x ==.③若所有偶数项的二项式系数的和为128，则12128n -=， 解得17n -=，得8n =， 所以()()811n x x +=+，所以展开式中二项式系数最大的项为44458C 70T x x ==.(2)由（1）可知，8n =，则8n=，其展开式的通项为84188C C rrrr r r T x --+==， 令40-=r ，得4r =，所以常数项48C 70p ==.18．某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.(1)求男生甲被选中的概率；(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 【答案】(1)27(2)16 (3)13【分析】（1）先找到从7名成员中挑选2名成员所包含的基本事件数，再找到“男生甲被选中”所包含的基本事件数，根据公式即可求解；（2）先求得“男生甲被选中，女生乙被选中”的概率，结合（1）的结果，根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =求解即可；（3）先找到“挑选的2人一男一女”所包含的基本事件数，即可求得概率，再求得“挑选的2人一男一女，女生乙被选中”的概率，根据条件概率公式()()()P BC P B C P C =求解即可.【详解】(1)从7名成员中挑选2名成员，共有27C 21=种情况，记“男生甲被选中”为事件A ，事件A 所包含的基本事件数为16C 种，故()62217P A ==. (2)记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，由（1），则()121P AB =， 且由（1）知()27P A =， 故()()()1121267P AB P B A P A ===. (3)记“挑选的2人一男一女”为事件C ，事件C 所包含的基本事件数为1143C C 12⨯=种，由（1），则()124217P C ==， “女生乙被选中”为事件B ，则()14C 42121P BC ==， 故()()()4121437P BC P B C P C ===.19．已知函数()()()1ln 0a f x x a x a x=-+->. (1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)讨论()f x 的极值.【答案】(1)单调递增区间为()0,1，()3,+∞，单调递减区间为()1,3(2)答案见解析【分析】（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.【详解】(1)当3a =时，()34ln f x x x x=--， 则()()()22223143431x x x x f x x x x x ---+'=-+==. 由()0f x '>，得01x <<或3x >；由()0f x '<，得13x <<.所以()f x 的单调递增区间为()0,1，()3,+∞，单调递减区间为()1,3.(2)()()()21x a x f x x --'= 当01a <<时，()f x 的单调递增区间为()0,a ，()1,+∞，单调递减区间为(),1a ，故此时()f x 的极大值为()()11ln f a a a a =--+，极小值为()11f a =-；当1a =时，()0f x '≥，即()f x 在()0,∞+上单调递增.此时()f x 无极值；当1a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1，(),a +∞，单调递减区间为()1,a ，故此时()f x 的极大值为()11f a =-，极小值为()()11ln f a a a a =--+.综上所述：当01a <<时， ()f x 的极大值为()()11ln f a a a a =--+，极小值为()11f a =-；当1a =时，，即()f x 在()0,∞+上单调递增.此时()f x 无极值；当1a >时， ()f x 的极大值为()11f a =-，极小值为()()11ln f a a a a =--+. ()()()21x a x f x x --'= 20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16．(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望．【答案】(1)2990(2)分布列见解析；期望为4712 【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；（2）由题意X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．【详解】(1)由题意知甲得0分的概率为1211135515---=，乙得0分的概率为1111142612---=， 所以甲、乙两人所得分数相同的概率为1121111129345256151290⨯+⨯+⨯+⨯=． (2)X 可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则()11101512180P X ==⨯=， ()11111115651236P X ==⨯+⨯=， ()111121121525651210P X ==⨯+⨯+⨯=， ()11112111193154525631290P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=， ()11211111454523636P X ==⨯+⨯+⨯=， ()211145543215P X ==⨯+⨯=， ()11163412P X ==⨯=， 所以，随机变量X 的分布列为：所以()11119114147012345618036109036151212E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．已知函数()(ln ),f x x x a a R =-∈(1)求()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，求证：()1e x f x x -≤在(0,)+∞上恒成立.【答案】(1)()f x 在()10,e a -上单调递减，在()1e ,a -+∞上单调递增 (2)证明见解析【分析】（1）由导数求解单调区间（2）不等式恒成立，化简后构造函数，由导数求最值后证明【详解】(1)()()ln ,0f x x x a x =->，()ln 1f x x a '=-+，令()0f x '>，解得：1e a x ->，令()0f x '<，解得：10e a x -<<，故()f x 在()10,e a -上单调递减，在()1e ,a -+∞上单调递增. (2)证明：当1a =-时，要证()1e x f x x -≤，即证1e ln 10x x ---≥在(0,)+∞上恒成立，令()1e ln 1x g x x -=--，则()11e x g x x-'=-， 故()g x '在(0,)+∞上单调递增，而()10g '=，故(0,1)x ∈时，()0g x '<，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，故()()min 10g x g ==，故原结论成立.22．函数()()ln 11f x x x a x =-++．(1)若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ，最小值为n ，求m n -的最小值．【答案】(1)0a > (2)1e 1e e e 1--- 【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调性和最小值，结合函数图象，由最小值小于0即可解得结果；（2）分类讨论a ，求出,m n ，得到m n -，再构造函数求出最小值即可得解.【详解】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，1()ln (1)ln f x x x a x a x'=+⋅-+=-， 当0e a x <<时，()0f x '<，当e a x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,e )a 上为减函数，在(e ,)a +∞上为增函数，所以当e a x =时，()f x 取得最小值，为(e )e ln e (1)e 1a a a a f a =-++=1e a -， 因为当x 趋近于0时，()f x 趋近于1，当x 趋近于正无穷时，()f x 也趋近于正无穷， 所以要使函数()f x 有2个零点，则1e 0a -<，解得0a >.(2)()ln f x x a '=-，[1,e]x ∈，ln [0,1]x ∈，（i ）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上为增函数，所以(e)1e m f a ==-，(1)n f a ==-，所以(1e)1m n a -=-+，令()(1e)1p a a =-+，则函数()p a 在区间(,0]-∞上单调递减，所以()p a 的最小值为(0)1p =，即m n -的最小值为1.（ii ）当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，所以(1)m f a ==-，(e)1e n f a ==-，所以(e 1)1m n a -=--，令()(e 1)1h a a =--，则函数()h a 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()h a 的最小值为(1)e 2h =-，即m n -的最小值为e 2-.（iii ）当01a <<时，由()0f x '>，得e e a x <≤，由()0f x '<，得1e a x ≤<， 所以函数()f x 在区间[1,e )a 上单调递减，在区间(e ,e]a 上单调递增，所以(e )1e a a n f ==-，①当11e 1a ≤<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--≥，此时(1)m f a ==-， 所以(1)(e )e 1a a m n f f a -=-=--，令()e 1a a a ϕ=--，则()e 10a a ϕ'=->，所以函数()a ϕ在区间1[,1)e 1-上单调递增， 所以函数()a ϕ的最小值为1()(1)e 2e 1ϕϕ<=--， 所以m n -的最小值为11e 1e 111e ()e 1e e 1e 1e 1ϕ--=--=----. ②当10e 1a <<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--<，所以(1)1e m f a ==-， 所以(e)(e )e e a a m n f f a -=-=-，令()e e a q a a =-，则()e e 0a q a '=-<，所以函数()q a 在区间1(0,)e 1-上单调递减， 所以1e 11e ()()e e 1e 1q a q ->=---， 综上所述：m n -的最小值为1e 1e e e 1---. 【点睛】关键点点睛：（1）中，利用导数求出函数的最小值，利用最小值小于0求解是解题关键；（2）中，对a 分类讨论，利用导数求出,m n ，然后作差构造函数求最小值是解题关键.。
2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题(A)(解析版)
2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题（A ）一、单选题1．已知函数2()f x ax b =+，若0()()lim 4x f a x f a x∆→+∆-=∆，则=a （ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2±【答案】D【分析】分别利用导数定义和求导公式可得2()24f a a '==，即可得解. 【详解】根据导数定义可得0()()li (m )4x f a x f a f a x∆→'+-=∆=∆，又根据求导公式可得()2f x ax '=， 所以2()24f a a '==， 所以2a =±. 故选：D2．如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据已知条件及分步乘法计数原理，再结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有2种， 从甲村到乙村再到丙村的走法有326⨯=种， 所以从甲村到丙村的走法共有628+=种. 故选: D.3．若R a ∈，“1a >”是“函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据已知条件及函数有极值，再利用充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知，()(1)e x f x x a '=-+⋅令()0f x '=，即(1)e 0x x a -+⋅=，解得1x a =-， 当1x a >-时，()0f x '>； 当1x a <-时，()0f x '<；所以函数()f x 在1x a =-处取得极小值， 因为函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值， 所以11a ->，解得2a >.所以“1a >”是“函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值”的必要不充分条件. 故选：B.4．函数()y f x =导函数()'f x 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的单调递增区间为(1,0)-B ．(3,)+∞为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在1x =处切线的斜率小于零 【答案】C【分析】利用导函数研究出()y f x =的单调区间，极值，即可判断. 【详解】由函数()y f x =导函数()'f x 的图象可知： x (,1)-∞--1 (1,3)-3 (3,5)5 (5,)+∞()'f x- 0 + 0 - 0 + ()f x单减极小值单增极大值单减极小值单增函数()y f x =的单调递增区间为(1,3)-，(5,)+∞.故A 错误，B 错误，C 正确.因为()y f x =在(1,3)-上单调递增，在1x =处导函数的值大于0，即切线的斜率大于零.所以D 错误. 故选： C5．已知函数321()223=-++f x x x x ，若存在满足003≤≤x 的实数0x ，使得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线与直线100--=x my 平行，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[2,6]C ．(,2]-∞D ．11,,62⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【分析】求导，根据某点处的切线斜率与导函数在该点处的函数值之间的关系，可得2000()42f x x x '=-++，根据两直线平行，斜率相等即可解m 的取值范围.【详解】由321()223=-++f x x x x 得2()42f x x x '=-++，则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率为2000()42f x x x '=-++，且()0f x '在002x ≤≤上单调递增，在02<3x ≤上单调递减，()()()0=2,2=6,3=5f f f '''，故()[]02,6f x '∈ 由题意得[]12,6m ∈，所以11,62m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选:A6．定义：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()1()()f b f a f x b a -'=-，()2()()f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[,]a b 上的一个双中值函数．已知函数328()5=-f x x x 是区间[0,]m 上的双中值函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．48,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．88,155⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．80,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由3228()(0)8505m m f m f m m m m --==--，2()1635f x x x '=-， 即221605583x x m m --+=在[0,]m 有两解，解不等式8()015g(0)0g()0815g m m ⎧<⎪⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩即可得解.【详解】求导可得2()1635f x x x '=-，由3228()(0)8505m m f m f m mm m --==--， 所以22381556m x x m --=有两解，即221605583x x m m --+=在[0,]m 有两解， 令221685()35g x x x m m -+=-所以8()015g(0)0g()0815g m m ⎧<⎪⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩解得：4855m <<. 故选：B7．祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率π”精算到小数点后第七位，即3.1415926和3.1415927之间，它提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献．某教师为了帮助同学们了解π，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3的位置不变，那么可以得到大于3.15的不同数的个数为（ ） A ．328 B ．360 C ．2160 D ．2260【答案】C【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6的这7位数字的随机排列的种数，注意里面有两个1，多了22A 倍，要除去，再减去不大于3.15的种数，不大于3.15的数只有小数点前两位为11，12或14，其他全排列.【详解】由于数字1，4，1，5，9，2，6中有两个相同的数字1，则进行随机排列可以得到的不同个数有7722A A ，而只有小数点前两位为11，12或14时，排列后得到的数字不大于3.15，故不大于3.15的不同个数有553A 种，所以得到的数字大于3.15的不同个数有：75752232160A A A -=种； 故选：C.8．设函数()2ln(1)1,()=+-'f x x f x 是()f x 导函数，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 有三个零点 B．ln 41< C ．()f x 的最大值是2ln32- D ．(0,2),()0∀∈>'x f x【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，进而利用导数研究函数的图象与性质，结合选项逐项分析即可求出结果.【详解】因为()2ln(1)141f x x x =+-++，10140x x +>⎧⎨+≥⎩，即14x ≥-，所以定义域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 则2()114f x x x'=-++ ()()21421114x x x x+-+=++()()114114x x xx=+++++，令()0f x '=，则0x =或2x =，当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭和()2,+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0f x '>，故D 正确； 当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；且(0)0f =，()(6)2ln7512ln742ln72f =-+=-=-，因为2e 7>，所以2ln 7ln e <，即ln72<，故(6)0f <， 则()f x 的图象如图：由图象可知：()f x 有2个零点，故A 错误；因为(1)2ln 2510f =>，所以2ln 251>，即ln 451，故B 错误； 13()2ln 144f -=+，(2)2ln32f =-且()13()22ln 12ln 3244f f --=+-+ln163=-+因为316e <，所以ln1630-+>，即()1()24f f ->，所以()2f 不是最大值，故C 错误；故选：D.【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 二、多选题9．下列求导过程正确的是（ ）A ．222'⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x B ．'=C ．ln 1ln ln x a x a '⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．33cos 33sin 322x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ【答案】ABC【分析】AC 选项结合导数的乘法运算法则即可判断；B 选项根据基本初等函数的求导公式即可判断；D 选项结合复合函数的求导法则即可判断.【详解】A 选项：因为()12212x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，所以222'⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x ，故A 正确；B 选项：因为11221()2x x -''===B 正确；C 选项：因为()1ln x x '=，所以ln 1ln ln x a x a'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 正确； D 选项：因为()333cos 3sin 333sin 3222x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ，故D 错误；故选：ABC.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=⋅-，则（ ） A ．当0x <时，()e (1)x f x x =⋅+ B ．函数()f x 有2个零点C ．()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】ACD【分析】根据奇函数关于原点对称，结合函数的单调性，通过图象，即可求解.【详解】②当0x <时，则->0x ，()()e 1xf x x -=⋅--,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()()()e 1=e 1x xf x f x x x ⎡⎤=--=-⋅--⋅+⎣⎦，故A 对.②0x >时，令()()e 1=0xf x x -=⋅-,解得1x =，由()f x 是定义在R 上的奇函数，所以-1x =时()=0f x ，又(0)=0f ；故函数()f x 有3个零点，故B 不对.③0x >时，令()()e 1>0xf x x -=⋅-,解得1x >；0x <时，令()e (1)>0x f x x =⋅+，解得-1<0x <，故()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞，所以C 对.④当0x <时，()e (1)x f x x =⋅+，()e (2)x f x x '=⋅+，当-2<0x <时，0()>f x '，此时单调递增，当2x <-时，0()<f x '，此时单调递减，且当-x →∞时，()0f x →，-0x →时，()1f x →所以())2e ,1f x -⎡∈-⎣由()f x 是定义在R 上的奇函数，故当0x >时，()(21,e f x -⎤∈-⎦，因此对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，故D 对. 故选:ACD11．为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动．该校决定从高二年级共6个班中抽取20人组成社区服务队参加活动，其中6班有2个“劳动之星”，“劳动之星”必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则（ ） A ．若6班不再抽取学生，则共有419C 种分配方法B ．若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有519C 种分配方法 C ．若每个班至少有3人参加，则共有90种分配方法D ．若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，则共有75种分配方案 【答案】AB【分析】AB 利用插空法求解判断；CD 利用分类计数原理求解判断.【详解】A.若6班不再抽取学生，则20个名额分配到5个班，且每个班至少1个，由插空法，将其分成5组，共有419C 种分配方法，故正确；B.若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则20个名额分配到6个班，且每个班至少1个，由插空法，将其分成6组，则共有519C 种分配方法，故正确；C.若每个班至少有3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分配到6个班，分5类，第一类4个名额分到一个班，有6种，第二类一个班3个，一个班1个有26A 30= 种，第三类2个班都是2个名额则有2615C = 种,第四类2个班各1个名额，另一个班2个名额，则有1265C C 60= 种, 第五类4个班都是1个名额则有46C 15= 种,共有126种分配方法，故错误；D. 若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，相当于17个名额被占用，还有3个名额需要分配到5个班，第一类3个名额分到一个班，有5种，第二类一个班2个，一个班1个有25A 20= 种，第三类3个班都是1个名额则有35C 10= 种,则共有35种分配方案，故错误； 故选：AB12．对于函数()ln f x x x =，下列判断正确的是（ ） A ．()1f x x ≤- B ．()()224f f '>'C ．当120x x >>时，()()()2212122m x x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则1mD ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】利用导数求出函数()()1g x f x x =-+的最小值，可判断A 选项；计算出()2f '、()4f '的值，可判断B 选项；分析可知函数()()22h x f x mx =-在()0,∞+上为减函数，可知ln 1+≥x m x对任意的0x >恒成立，利用导数法可判断C 选项的正误；分析可知直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），数形结合求出实数a 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，令()()1ln 1g x f x x x x x =-+=-+，其中0x >，()ln g x x '=，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增， 所以，()()10g x g ≥=，即()1f x x ≥-，A 错；对于B 选项，()ln 1f x x '=+，则()()222ln 22ln 42ln 414f f ''=+=+>+=，B 对；对于C 选项，由已知可得()()22112222f x mx f x mx -<-，构造函数()()2222ln h x f x mx x x mx =-=-，则()()12h x h x <，所以，函数()h x 在()0,∞+上为减函数，则()22ln 20h x x mx '=+-≤对任意的0x >恒成立，即ln 1+≥x m x对任意的0x >恒成立，令()ln 1x p x x +=，其中0x >，则()2ln x p x x'=-，令()0p x '=，可得1x =，列表如下：x()0,11()1,+∞()p x '+-()p x增 极大值 减所以，函数()p x 在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 11p x p ==，则m 1≥，C 错；对于D 选项，()()22ln F x f x ax x ax x ==--，则()ln 12F x x ax '=+-，令()0F x '=，可得ln 12x a x+=， 则直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），如下图所示：当021a <<时，即当102a <<时，直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），D 对. 故选：BD. 三、填空题13．已知车轮旋转的角度θ（单位：rad ）与时间t （单位：s ）之间的关系为225()8t t πθ=，则车轮转动开始后第3.2s 时的瞬时角速度为_________rad/s ． 【答案】20π【分析】求导，然后将3.2代入导函数计算即可求出结果. 【详解】因为225()8t t πθ=，则25()4t t '=πθ，则25(3,2) 3.2204'=⨯=πθπ， 故答案为：20π.14．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()sin '=+f x xf x π，则()f π'=________． 【答案】1【分析】求导以后令x π=，即可求出结果.【详解】因为()2()sin '=+f x xf x π，则()2()cos f x f x '+'=π， 令x π=，则()2()cos f f '=+'πππ，即()1f '=π， 故答案为：1.15．已知函数()e (1)ln(1)(1)x f x ax ax a x =---++，（e 为自然常数），若()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】(e,e 1]+【分析】由()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有意义，求得e a >，根据题意转化为()0f x '≥在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即e ln(1)10xa ax --+≥在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()e ln(1)1x g x a ax =--+，利用导数求得函数的单调性与最小值()1e ln(1)1g a a =--+，转化为e ln(1)10a a --+≥成立，设()e ln(1)1h a a a =--+，利用导数得到()h a 在(e,)+∞上单调递减，根据()e 10h +=，得到1a e ≤+，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有意义，则10ax ->在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，可得e a >，又由函数()e (1)ln(1)(1)x f x ax ax a x =---++，可得()e ln(1)1x f x a ax '=--+，因为函数()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()0f x '≥在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即e ln(1)10x a ax --+≥在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()e ln(1)1xg x a ax =--+，可得()2e 1xa g x ax '=--，根据初等函数的性质，可得()g x '在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()()21e 01a g x g a '≤=-<-，所以()e ln(1)1xg x a ax =--+在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 且最小值为()1e ln(1)1g a a =--+，只需()10g ≥成立，即e ln(1)10a a --+≥成立，设()e ln(1)1h a a a =--+，其中e a >， 可得()01ah a a '=-<-，所以()e ln(1)1h a a a =--+在(e,)+∞上单调递减， 又由()e 10h +=，所以1a e ≤+， 综上可得，实数a 的取值范围是(e,e 1]+. 故答案为：(e,e 1]+. 四、双空题16．甲、乙、丙三位教师指导五名学生a 、b 、c 、d 、e 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．若每位教师至多指导两名学生，则共有________种分配方案；若教师甲只指导一名学生，则共有_______种分配方案． 【答案】 90 70【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为(2，2，1)，②将分好的三组，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为(2，2，1)，有225322C C15A =种分组方法，②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有33A 6=种情况，则有15690⨯=种分配方案； （2）根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，有2232424222(C 4C C )A 1A +⨯=种情况， 则有51470⨯=种分配方案． 故答案为：90；70 五、解答题17．已知2x =是函数32()81=--+f x x ax x 的一个极值点． (1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[4,3]-上的最大值和最小值． 【答案】(1)1a =(2)max min 203(),()4727f x f x ==- 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意(2)0f '=，即可得到方程，解得即可，再检验即可；（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值，再计算出区间端点值，即可得到函数在闭区间上的最值；【详解】(1)解：因为32()81=--+f x x ax x ，所以2()328f x x ax =--' 因为2x =是()f x 的一个极值点． 所以(2)0f '=，所以(2)12480='=--f a ，∴1a =，经检验，1a =符合题意． (2)解：由（1）可知32()81=--+f x x x x ，∴()(2)(34)=-'+f x x x令()0f x '>，解得43x <-或2x >，令()0f x '<，解得423x -<<，因为[4,3]x ∈-，所以()f x 在44,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，423,⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，(2,3)上单调递增，所以()f x 在43x =-处取得极大值，在2x =处取得极小值，又因为(4)47f -=-，4203327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(2)11f =-，(3)5f =-，所以max 203()27f x =，min ()47f x =-．18．已知函数()2ln f x x x =-． (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)设()()(2),0g x f x a x a =+->，若(0,]x e ∈时，()g x 的最小值是2，求实数a 的值（e 是自然对数的底数）．【答案】(1)单调增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.当12x =时，()f x 取得极小值且为1()1ln 22f =+，无极大值．(2)实数a 的值是e .【分析】（1）求出()f x 的定义域，令导函数大于0，小于0，即可得函数()f x 的单调区间，再由极值的定义即可求得极值.（2）求出()g x 的导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用()g x 的最小值是2，即可求出a 的值.【详解】(1)()f x 定义域是121(0,),()2'-+∞=-=x f x x x，当()0f x '>时，12x >，当()0f x '<时，102x <<， 所以()f x 的单调增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.当12x =时，()f x 取得极小值且为1()1ln 22f =+，无极大值．(2)因为()()(2)ln =+-=-g x f x a x ax x ，所以11()ax g x a x x'-=-=， 当1e a≥，即10e a <≤时，()0g x '≤，所以()g x 在(0,e]上递减，所以()min ()1e 2e g x g a ==-=，解得3ea =（舍去），当10e a <<，即1e >a 时，当10x a<<时，()0g x '<，当1e x a <<时，()0g x '>，所以()min 11ln 2g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得e a =．满足条件，综上，实数a 的值是e ．19．（1）计算：3477747842+-A A A A ．（2）已知56711710m m m C C C -=，求1236678++++++m m m m C C C C 的值． 【答案】（1）34；（2）126.【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解； （2）根据组合数的计算公式即可得解.【详解】（1）347774784247652765476543218765+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯A A A A 76543123765(43218)164⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯-．（2）由56711710m m m C C C -=可得!(5)!!(6)!7(7)!5!6!107!--⨯⨯--=⨯m m m m m m 即!(5)!(6)(5)!7(7)(6)(5)!5!65!10765!-⨯-⨯-⨯⨯----=⨯⨯⨯⨯m m m m m m m m m ， 可得(6)(7)(6)16106----=⨯m m m ，整理可得：223420m m -+=， 解得2m =或21m =，因为05m ≤≤，可得2m =，所以23453454556678778889126+++=++=+==C C C C C C C C C C ．20．已知函数()cos sin f x x x x =-． (1)当(0,2]x π∈时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若01b ≤≤，证明：当(0,]x π∈时，()cos sin ≤-f bx bx bx b x ．【答案】(1)函数()f x 在(0,]π上单调递减，函数()f x 在(,2]ππ上单调递增 (2)证明见解析【分析】（1）对函数()f x 求导后，；易得0x -<；又()0,x π∈时，sin 0x >，(),2x ∈ππ时，sin 0x <；结合判断()f x '在(]0,2π的符号情况，得到单调性；（2）欲证()cos sin ≤-f bx bx bx b x 即证sin sin 0-≥bx b x ；先讨论当0b =，1b =，显然式子成立；再讨论01b <<，则0bx x π<<≤，所以sin sin 0->bx b x 等价于sin sin 0bx b x bx bx ->，即证明sin sin bx xbx x >，构造函数sin (),(0,]=∈x g x x xπ，利用导数讨论()g x 的单调性，得出sin sin x bxx bx<即可. 【详解】(1)()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，当(0,]x π∈时，()0f x '≤，所以函数()f x 在(0,]π上单调递减； 当(,2]x ππ∈时，()0f x '≥，所以函数()f x 在(,2]ππ上单调递增． (2)()cos sin =-f bx bx bx bx ，所以不等式化为cos sin cos sin -≤-bx bx bx bx bx b x ， 即证sin sin 0-≥bx b x ，当0b =，1b =时上述不等式显然成立． 当01b <<时，令sin (),(0,]=∈x g x x x π，则2cos sin ()x x xg x x -'=， 由（1）知函数()cos sin f x x x x =-在(0,]π上单调递减，而(0)0f =， 所以()cos sin (0)0=-<=f x x x x f ，所以()0g x '<，所以函数()g x 在(0,]π上单调递减， 又0bx x π<<≤，所以sin sin x bx x bx<，所以sin sin bx b x >，即sin sin 0->bx b x ． 综上，当(0,]x π∈时，()cos sin ≤-f bx bx bx b x ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：方法一:等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；方法二:比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；方法三:利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证sin sin 0-≥bx b x 的关键在于对不等式作等价转换；因为0bx >，同时除以bx ，转换为：sin sinx bxx bx<不等式的证明. 21．自动着陆系统是引导航空器着陆的自动控制系统，是自动化飞行的重要标志，对飞行器的安全性起着重要的作用．在研制自动着陆系统时，技术人员需要分析研究飞行器的降落曲线．如图一飞行器水平飞行的着陆点为原点O ，已知航空器开始降落时的飞行高度为4.5km ，水平飞行速度为360km/h ，且在整个降落过程中水平速度保持不变．出于安全考虑，飞行器垂直加速度的绝对值不得超过110g （此处210m/s g ≈是重力加速度）．若飞行器在与着陆点的水平距离是0x 时开始下降，飞行器的降落曲线是某三次多项式函数的一部分，飞行器整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞行器开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切．(1)求飞行器降落曲线的函数关系式；(2)求开始下降点0x 30 5.4761≈）． 【答案】(1)[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x (2)开始下降点0x 所能允许的最小值为16428m【分析】(1)根据题意列方程，求出函数()f x 的解析式；(2)根据相应的物理知识以及题目所给的限定条件即可求出0x 的最小值. 【详解】(1)由于飞行器的若陆点为原点O ，故可设飞行器的降落曲线为32()f x ax bx cx =++，根据题意得()()()004500000f x f f x ⎧=⎪=⎨⎪='⎩' 所以3200020045000320ax bx cx c ax bx c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩， 解得30209000013500a x c b x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，飞行器降落曲线的函数关系式为[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x ； (2)设飞行器经过降落时间t 后与若陆点的水平距离为00=-x x v t （0v 为水平速度， 且0360km /h 100m /s ==v ）， 则()()320000032000900013500,0,⎡⎤=--+-∈⎢⎥⎣⎦x y x v t x v t t x x v ， 所以垂直下降速度()22000327000()==-'v v t y v t x t x ， 所以垂直下路加速度()()2220000000320002700027000()2,0,'⎡⎤⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣'⎦v v x v t v t x t v t x t x x v ， 所以飞行器的垂直加速度绝对值的最大值为2002max0027000()⎛⎫== ⎪⎝''⎭x v v t v v x ， 所以()22002027000100m /s,10m /s 10≤=≈v gv g x，解得016428m ≥≈x ， 所以飞行器开始下降点0x 所能允许的最小值为16428m ； 综上，[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x ，0x 所能允许的最小值为16428m . 22．已知函数()()2e 2e x xf x k k x =+--．(1)若函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线与y 轴垂直，求实数k 的值和()f x 的极值； (2)当0k >时，若函数()f x 有两个零点，求实数k 取值得范围． 【答案】(1)1k =，()0f x =极小，无极大值； (2)(0,1)【分析】（1）首先利用切线与y 垂直得出斜率为0，利用导数的几何意义得出方程式，求出k ，再根据导函数的正负得出原函数的增减以及极值情况.（2）根据函数的单调性求出最小值，再判断最小值与0的大小关系，可确定函数与x 轴的交点情况，即是函数的零点，找出有两个零点的k 的取值范围.【详解】(1)函数()f x 的定义域为R ，()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x k k k =+--=-+'，由题意知(0)0f '=，得10k -=，所以1k =．所以()()()e 12e 1x xf x =-+'，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极小值，()0f x =极小，无极大值．(2)由（1）知()()()e 12e 1x xf x k =-+'，由题设知0k >，当ln x k >-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当ln x k <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当ln x k =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln -=-+f k k k． ①当1k =时，由于(ln )0-=f k ，故()f x 只有一个零点； ②当1k >时，由于11ln 0-+>k k，即(ln )0->f k ，故()f x 没有零点； ③当01k <<时，11ln 0-+<k k，即(ln )0-<f k ， 又()()4222e 2e 22e 20f k k ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )-∞-k 有一个零点．设正整数0n 满足03ln 1⎛⎫>- ⎪⎝⎭n k ，则()()00000000e e 2e 20n n n nf n k k n n n =+-->->->，由于3ln 1ln ⎛⎫->- ⎪⎝⎭k k ，所以()f x 在(ln ,)-+∞k 有一个零点．综上，k 的取值范围为(0,1)．。
山东省聊城市2021--2022学年高二数学下学期期中教学质量检测试题(解析版)
再将，
再由分步计数原理可得男生和女生相间的站法有 种；
【小问3详解】
解：当男生甲在排尾时，有 种排法，
当男生甲既不在排头又不在排尾时，
男生甲有 种排法，女生乙有 种排法，其余3人有 种排法，
此时共有 种排法，
所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法有 种.
18. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是 ，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是 ．
（1）甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；
（2）在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．
1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字 三位数，其中奇数的个数为（）
A.6B.12C.16D.18
【答案】B
【解析】
【分析】先排个位，再排百位和十位，即得结果.
【详解】先排个位，有2种选法，再排百位和十位，有 种排法，
因此共有 种排法，
故选：B
2. 设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （）
A. 1B. C. D.
先涂区域 ，有4种方法，再涂区域 ，有3种方法，然后涂区域 ，有2种方法，再涂区域 ，有1种方法，再涂区域 ，有1种方法，最后涂区域 ，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域 涂不同颜色的涂色方法有 种，即48种方法，
由分类加法计数原理可得涂色方法总数是48+24+48种方法，即120种方法.
故答案为：120.
∴ .
故选：A.
4. 冬奥会越野滑雪项目比赛共分 组，现安排 名志愿者负责这 组的服务工作，每人至少负责 组，每组的服务工作由 人完成，则不同的安排方式共有（）
湖北省部分重点中学2021-2022学年高二下学期4月联考数学试题含答案
湖北省部分重点中学高二年级四月联考数学学科试题考试时间：2022年4月20日下午试卷满分：150分注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并粘贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将答题卡交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A 版选修第一册、第二册全部以及第三册第六章、第七章7.1、7.2节。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.若小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量=1,考试通过0,考试未通过，则o =0)=( )A.31 B.65 C.61 D.322.甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为()A.15 B.1330 C.1730 D.13253.为了支援新冠疫情发生的地区，某医院安排6名医生和5名护士前往疫区．其中2名医生和1名护士负责疫情监控，另外4名医生和4名护士分两组(每组医生和护士各2人)，分别负责内科和外科，则所有不同的安排方案有()A.10800种B.1350种C.5400种D.2700种4.抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．生活中的探照灯就是利用这个原理设计的．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点(4,，则||()FM = A.2B.3C.4D.55.已知数列的前项和为，+r2=2r1，且1=13，2=11，则当取得最大值时，=( )A.5B.6C.7D.86.空间直角坐标系O xyz -中，经过点000(,,)P x y z ，且法向量为(,,)m A B C = 的平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=，经过点000(,,)P x y z 且一个方向向量为(,,)(0)n v v μωμω=≠ 的直线l 的方程为000x x y y z z v μω---==，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面α的方程为270x y z -+-=，经过点(0,0,0)的直线l 的方程为352x y ==-，则直线l 与平面α所成角为()A.60︒ B.120︒ C.30︒ D.01507.已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是()A.2()||2x x e e f x x x --=+- B.2()||2x x e e f x x x --=+-C.2||2()x x x x f x e e-+-=- D.2||2()x x x x f x e e-+-=-8.在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M 满足(1)AM x AB y AC x y AD =++-- ，点N 满足(1)DN DA DB λλ=-- ，当AM 、DN 最短时，()AM MN ⋅= A.13- B.13 C.23- D.23二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知数列是公比为的等比数列，且1，3，2成等差数列，则的值可能为()A.12 B.1C.−12D.−210.下列说法正确的是()A.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为30．B.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种．C.已知3=4，则=27．D.记()7722107)1()1()1(2x a x a x a a x +++++++=+ ，则126621=+++a a a 11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线的左支上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是()A.双曲线C 的离心率为2B.若12PF PF ⊥，且123PF F S = ，则2a =C.以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆外切D.若点P 在第二象限，则12212PF A PA F ∠=∠12.函数op =B +1，op =−1，则下列说法正确的是()(参考数据：2≈7.39，3≈20.09，B2≈0.69，B3≈1.10)A.存在实数，使得直线=+与=op 相切也与=op 相切B.不存在实数k ，使得直线=B −1与=op 相切也与=op 相切C.函数op −op 在区间），（∞+32上不单调D.当∈(0,1)时，op −op >16恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应位置的横线上.13.数列{}n a 中，已知11S =，22S =且且)n N +∈，则此数列{}n a 的通项公式为__________.14.已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是2，则点1A 到直线1BC 的距离为__________.15.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足，(3)0f =，则()0f x x>的解集为__________.16.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则23S 的值为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应在答题卡中对应位置写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）已知二项式3nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：（1）展开式中x 的系数；（2）展开式中所有的有理项．18.（本小题满分12分）已知一圆C 的圆心为()2,1C -，且该圆被直线l ：10x y --=截得的弦长为22，求：(1)求该圆的标准方程，并求圆C 关于直线2y x =-+对称的曲线方程C '；(2)若(,)P x y 为曲线C '上一点，若m 22≥+y x 恒成立，求m 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}的前项和是，若1=1，并且1，2，3+1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =3n ⋅a n 的前n 项和是T n ，求T n ．20.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ACDE 是正方形，//DF BC ，AB AC ⊥，AE ⊥平面ABC ，2AB AC ==，(1)求证：平面平面BEF ；(2)求平面ABF 与平面BEF 的夹角的余弦值．．21.（本小题满分12分）点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离之比为21.(1)求点P 的轨迹方程；(2)记点P 的轨迹为曲线C ，若过点P 的动直线l 与C 的另一个交点为Q ，原点O 到l 的距离为32，求||PQ 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若函数()y f x =在其定义域内有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；(3)若120x x <<，且1212ln ln x x a x x ==，证明：12112.ln x x x x <-又EF c平面BEF,，所以平面BCDF1-平面BEF.---4 (2）因为AB l_AC, AE i平面ABC ，所以以A 为原点，以AB,AC, AE所在直线分别为X,y, Z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0), B(2,0,0), E(0,0,2), F(l,1,2），则AB =(2,0,0),BF= (-1, 1, 2) , BE= (-2, o, 2). _6设叫＝(x i , Yi , z 1）为平面AB F 的法向量，l 司·A A = 0, ( 2x 1 = 0, 则i 而言＝o: �p l-x i + Y1 + 2z1 = 0, IfX Y , = 2，则两二（旧，一刊平面AB F 的一个法向量－－8设n 2二（x 2，元，Zz）为平面B EF 的法向量，l 两·BR = 0 ( -2x 2 + 2z 2 = 0，→ 则i 司主1= �： �p l -x 2 ＋的＋2z 2 = 0，如2二1，则可＝(1，一1，阳平面町的一个法向量，10一→司·码－3,/1 !'i 所以cos ＜矶，而＞＝＝＝一二二I I 司－码I v'5×v'3 由图可知，二面角A-BF-E 夹角为锐二面角，-,./1气所以二面角A-BF-E 的夹角余弦值为二二二．5 一一－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1221.解：（1）设P(x,y ），点P到定直线X 二4的距离为d.由题意可得：应扫＝！，即／（x -1)2 + (y -0)2 _ ！，整理化简得：三：＋I：二l d 2 Ix -41 -2 4 3 即点P的轨迹方程为三十丘二1.4 3 ----------------------------------------------------------------4(2）设P(X i ,Y i )'Q （码，Y 2).3 当直线l的斜率不存在时，由原点。
2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)
一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。
2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二年级下册学期5月质量检测数学试题(A)【含答案】
2021-2022学年山东省“学情空间”联考高二下学期5月质量检测数学试题（A ）一、单选题1．已知全集R U =，集合{}2P x x =≥，{}4M x x =<，则()UP M =（ ）A ．PB ．MC ．{}24x x ≤<D ．{}4x x ≥【答案】A【分析】求出U M ，从而得到(){}2U P M x x P ⋃=≥=.【详解】{}4U M x x =≥，(){}{}{}242U P M x x x x x x P ⋃=≥⋃≥=≥=. 故选：A2．设命题:R,e cos(3)0x p x x ∀∈+-<，则p ⌝为（ ） A ．R,e cos(3)0x x x ∀∈+-> B ．R,e cos(3)0x x x ∀∈+-≥ C ．R,e cos(3)0x x x ∃∈+-> D ．R,e cos(3)0x x x ∃∈+-≥【答案】D【分析】全称量词的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】p ⌝为“R,e cos(3)0x x x ∃∈+-≥”. 故选：D3．某次数学考试成绩近似服从正态分布()270,X N σ~，若(60)0.872P X >=，则可以估计考试成绩大于或等于80分的概率为（ ） A ．0.372 B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由正态分布的对称性可知：(80)(60)0.872P X P X <=>=，故估计考试成绩大于或等于80分的概率为(80)1(60)10.8720.128P X P X ≥=-<=-=. 故选：C4．某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：由表格可得y 关于x 的线性经验回归方程为3648ˆy x =-，则测此回归模型第4周的治愈人数为（ ）A ．105B ．104C ．103D ．102【答案】A【分析】设出第4周的治愈人数为m ，得到样本中心点，代入回归方程，即可求出m . 【详解】设第4周的治愈人数为m ， 1234535x ++++==，5153514019555m my +++++==样本中心点为1953,5m +⎛⎫⎪⎝⎭将1953,5m +⎛⎫⎪⎝⎭代入3648ˆy x =-中，19536348605m +=⨯-=， 解得：105m =. 故选：A5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽取两张，若已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为（ ） A ．113B ．3102C ．166D ．133【答案】D【分析】先根据题意及组合的意义，求得其中一张是A 牌的概率，两张都是A 牌的概率，从而再利用条件概率公式求得所求.【详解】依题意，不妨设事件M 为抽取的两张牌中其中一张是A 牌，事件N 为抽取的两张牌都是A 牌，则()222485248225252C C C 1C C P M -=-=，()24252C C P N =，则()()24252C C P MN P N ==， 所以()()2225244222225252485248C C C 61C C C C C 19833P MN P N M M==⨯===--， 故已知其中一张是A 牌，则两张都是A 牌的概率为133. 故选：D.6．计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为12345678a a a a a a a a ，其中(1,2,3,4,5,6,7,8)k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记12345678X a a a a a a a a =+++++++，则当程序运行一次时，X 的均值为（ ） A ．89B ．83C ．163D ．169【答案】C【分析】得到28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布求期望公式求出答案.【详解】X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8， 且X 的值即为1出现的次数， 故28,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以216833EX =⨯=.故选：C7．给定全集U ，非空集合,A B 满足A U ⊆，B U ⊆，且集合A 中的最大元素小于集合B 中的最小元素，则称(,)A B 为U 的一个有序子集对，若{1,2,3,4}U =，则U 的有序子集对的个数为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19【答案】B【详解】{}1A = 时，B 的个数是1233337C C C ++=， {}2A =时，B 的个数是1222 3C C ，+={}3A = 时，B 的个数是1，}2{1A =， 时，B 的个数是1222 3C C ，+={}13A =， 时，B 的个数是1，}3{2A =， 时，B 的个数是1，3{}12A =，， 时，B 的个数是1，U ∴ 的有序子集对的个数为：17个，8．某生即将参加《奔跑吧兄弟》打靶比赛海选活动，每人有7次打靶机会，打中一次得1分，不中得0分，若连续打中两次则额外加1分，连续打中三次额外加2分，以此类推……，连续打中七次额外加6分，假设该生每次打中的概率是23，且每次打中之间相互独立，则该生在比赛中恰好得7分的概率是（ ） A ．7623B ．8723C ．6623D ．6723【答案】B【分析】考虑三种情况，求出每种情况下的概率，相加得到答案.【详解】若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有1343C C 4=种选择，故概率为436722241333⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次打中，两次没打中，且两次打中不连续， 故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为525136222C 1333⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 综上：该生在比赛中恰好得7分的概率为6558766722223333++=故选：B二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．“||x y ≥”是“22x y ≥”的充要条件 B ．“21x =”是“=1x -”的必要不充分条件C ．若集合{}2,Z P x x k k ==∈，{}4,Z Q x x k k ==∈，则P Q ⊆D ．对任意R,[]x x ∈表示不大于x 的最大整数，例如[1.1]1,[ 1.1]2=-=-，那么“||1x y -<”是“[][]x y =”的必要不充分条件 【答案】BD【分析】A 选项，可举出反例；B 选项，解方程21x =，得到1x =±，故B 正确；C 选项，根据集合间的关系得到Q P ⊆；D 选项，举出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案. 【详解】当1,0x y =-=时，满足22x y ≥，但不满足||x y ≥，故A 错误；21x =，解得：1x =±，因为=1=1x x -⇒±，但1x =±⇒1x =-，故“21x =”是“=1x -”的必要不充分条件，B 正确；{}(){}4,Z 22,Z Q x x k k x x k k ==∈==⨯∈，其中2k 为偶数，故Q P ⊆，C 错误；令0,0.5x y ==-，满足||1x y -<，但[]0,[]1x y ==-，[][]x y ≠，充分性不成立， 由[][]x y =得：11x y -<-<，故||1x y -<，必要性成立， 故“||1x y -<”是“[][]x y =”的必要不充分条件，D 正确. 故选：BD10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．5(1)512P X == B ．1(9)1024P X ==C ．()5D X = D ．5()2D X =【答案】AD 【分析】分析得到110,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求方差公式求出方差.【详解】设A =“向右下落”， A =“向左下落”， 则()()12P A P A ==， 因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次， 所以110,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是9110115(1)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，同理可得：9910115(9)C 22512P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，A 正确，B 错误；由二项分布求方差公式得：115()101222D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，C 错误，D 正确.故选：AD11．下列选项中正确的有（ ）.A ．随机变量14,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()318D X += B ．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()511P A B =C ．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量ξ.则ξ的数学期望()75E ξ=D ．已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为2764【答案】AC【分析】对于A ，利用二项分布定义求解即可；对于B ，代入条件概率公式即可；对于C ，写出ξ的所有可能取值，列出分布列计算即可；对于D ，代入n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式即可．【详解】对于A ，随机变量X 服从二项分布14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，118()4(1)393D X ∴=⨯⨯-=．则(31)9()8D X D X +==，故A 正确；对于B ，根据条件概率的含义，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率， 即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个6点”的情况数目为665511⨯-⨯=， “两个点数都不相同”则只有一个6点，共12510C ⨯=种， 故10(|)11P A B =，故B 错误； 对于C ，ξ的所有可能取值为0，1，2，273210()k kC C P k C ξ-==， 可得1(0)15P ξ==，7(1)15P ξ==，7(2)15P ξ==．ξ的分布列1777()0121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为123339(1)4464C ⨯⨯-=，故D 错误． 故选：AC ．【点睛】本题考查了二项分布、条件概率、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率等，知识点较多，但难度不大，仔细分析每一个选项即可． 12．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A 表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ，C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．()15|21P B A = B ．()212|21P C A = C ．()1742P B =D ．()4384P C =【答案】BCD【分析】在各自新的样本空间中求出()1|P B A ，()2|P C A 判断A ，B ；利用全概率公式计算()P B ，()P C 判断C ，D 作答.【详解】在事件1A 发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则()25127C 10|C 21P B A ==，A 不正确；在事件2A 发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则()1143227C C 12|C 21P C A ==，B 正确；因1253(),()88P A P A ==，()110|21P B A =，()24272C 6|C 21P B A ==， 则()()()12215103617||821821(2)()4P B P B A P B A P A P A =+=⨯+⨯=，C 正确；因()212|21P C A =，()1152127C C 10|C 42P C A ==，则()()()121251031243||821821()8)(4P C P C A P C A P A P A =+=⨯+⨯=，D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知集合[],21A a a =-，{}12B x x =-≤≤，若A B A =，则a 的取值范围是________________．【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据交集运算的结果得到A B ⊆，从而得到不等式组，求出a 的取值范围. 【详解】因为A B A =，所以A B ⊆， 因为[],21A a a =-，{}12B x x =-≤≤，所以211212a a a a <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，解得：31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦14．某工厂为研究某种产品的产量x （吨）与所需某种原材料y （吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为.75ˆ0ˆy bx =+．据此计算出在样本(4,3)处的残差为0.15-，则表中m 的值为__________．【答案】3.8##195【分析】先由样本(4,3)处的残差求得ˆ0.6b=，再由样本中心落在回归直线上得到关于m 的方程，解之即可.【详解】因为回归方程为.75ˆ0ˆybx =+，在样本(4,3)处的残差为0.15-， 所以()340.755ˆ0.1b -+=-，得ˆ0.6b =，故回归方程为0.6075ˆ.x y=+， 因为()13456 4.54x =⨯+++=，()11023544my m +=⨯+++=，所以100.6 4.50.754m+=⨯+，解得 3.8m =， 故m 的值为3.8. 故答案为：3.8.四、解答题15．如图，在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次，则该智能汽车恰好能移动到点(5,3)M 的概率为________________．【答案】732##0.21875 【分析】将智能汽车的移动情况转化为组合问题，求出智能汽车移动的所有情况种数，再求出移动到点(5,3)M 的情况种数，从而利用古典概率的概率的求法即可得解.【详解】因为智能汽车每次只能等可能的向上或向右移动一个单位，共移动8次， 所以智能汽车可能在这8次移动中向上移动8次，向右移动0次，共有88C 种情况， 智能汽车可能在这8次移动中向上移动7次，向右移动1次，共有78C 种情况， 智能汽车可能在这8次移动中向上移动6次，向右移动2次，共有68C 种情况， ……智能汽车可能在这8次移动中向上移动0次，向右移动8次，共有08C 种情况， 一共有876088888C C C C 2++++=种情况，其中该智能汽车恰好能移动到点(5,3)M （记为事件M ），即在这8次移动中向上移动3次，向右移动5次，共有38876C 87321⨯⨯==⨯⨯⨯种情况，所以()8877232P M ⨯==. 故答案为：73216．已知条件:121p m x m -≤≤+，条件q ：________________，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．试从下列两个条件中选择一个补充在上面横线处，并完成题目．（1）(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++（2）312x >- 【答案】答案详见解析【分析】根据所选条件求得条件q 对应的x 的取值范围，结合必要不充分条件的知识列不等式，从而求得m 的取值范围.【详解】因为q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件， 设满足条件p ，q 的x 构成集合,A B ，则A B ，其中{}121A m m m m =-≤≤+.若选条件（1）：(){}2()lg 28x x f x x x ∈=-++，()()22280,28420x x x x x x -++>--=-+<，解得24-<<x ，所以{}|24B x x =-<<，当A =∅，即211m m +<-，2m <-时满足题意； 当A ≠∅，即12121412m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->-⎩，312m -<<时满足题意；..综上所述，m 的取值范围是3212m m <--<<或. 若选条件（2）：312x >-， ()()332510520222x x x x x x x -+--==>⇔--<---，解得25x <<， 所以{}|25B x x =<<，当A =∅，即211m m +<-，2m <-时满足题意； 当A ≠∅，即12121512m m m m -≤+⎧⎪+<⎨⎪->⎩，此时方程组无解；综上所述，m 的取值范围是2m <-.17．已知命题p ：方程e x mx =无解，命题2:(0,),10q x x mx ∀∈+∞++>恒成立．若命题p 和q 均为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(],2-∞-【分析】得到e x mx =有解，转化为()e xf x =与y mx =有交点，画出两函数图象，数形结合得到：e m ≥或0m <，再根据题意得到2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤为真命题，参变分离后得到12x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，得到2m ≤-，最后求交集得到实数m 的取值范围.【详解】命题p 为假命题，故方程e x mx =有解，即()e xf x =与y mx =有交点，画出()e xf x =与y mx =的图象，显然当0m <时，()e xf x =与y mx =有交点，符合要求，当0m >时，令()e x f x =，则()e xf x '=，设切点为()00,e x x ，则()e xf x =在()00,e x x 的切线斜率为()00e x f x '=， 故()e xf x =在()00,e x x 的切线方程为()000e e x x y x x -=-，又切线过原点，故()0000e e 0x xx -=-，解得：01x =， 所以()e xf x =在()00,e x x 的切线斜率为e ，故要想()e xf x =与y mx =有交点，需要满足e m ≥，综上：e m ≥或0m <，命题q 为假命题，故2(0,),10x x mx ∃∈+∞++≤为真命题， 所以1(0,),x m x x ⎛⎫∃∈+∞≤-+ ⎪⎝⎭，其中1122x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⋅⎝⎭+，故2m ≤-，将e m ≥或0m <与2m ≤-取交集得：实数m 的取值范围为(],2-∞-.18．某车间一天生产了100件产品，质检员为了解产品质量，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测．假设这100件产品中有40件不合格品，60件合格品，用X 表示样本中合格品的件数．(1)求X 的分布列（用式子表示）和均值；(2)用样本的合格品率估计总体的合格品率，求误差不超过0.1的概率．参考数据：设(),0,1,2,,20k P X k p k ===⋯．则8910110.02667,0.06376,0.11924,0.17483p p p p ====121314150.20078,0.17972,0.12422,0.06530p p p p ====【答案】(1)分布列见解析，12 (2)0.79879【分析】（1）根据题意得到随机变量X 服从超几何分布，得到分布列及数学期望； （2）样本合格品率2020Xf =，故()()200.60.11014P f P X -<=≤≤，再根据题目条件得到其概率，得到答案.【详解】（1）由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次实验结果不相互独立，所以随机变量X 服从超几何分布.X 的分布列为()20604020100C C ,0,1,220C k kP X k k -⋅===；X 的均值为()602012100E X np ==⨯=. （2）样本中合格品率2020Xf =是一个随机变量， ()()200.60.11014P f P X -<=≤≤0.119240.174830.200780.179720.124220.79879=++++=，所以误差不超过0.1的概率为0.79879.19．某高科技公司对其产品研发年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1：(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y bx a =+和②e bx a y +=两种方案作为年销售量y 关于年投资额x 的回归分析模型，经计算方案①为ˆ 1.2 1.3yx =-，请根据表2的数据，确定方案②的回归模型； 表2： x12 345ln z y = -0.7 0 0.4 1.1 1.7(2)根据下表中数据，用决定系数2R 比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量． 经验回归方程ˆ 1.2 1.3yx =- e bx a y +=()521ˆii i yy=-∑1.90.1122参考公式及数据：()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑，()()()2222.86112221111.e 17.5nni ii ii i n n i ii i y y y y R y y yny ====--=-=-≈--∑∑∑∑【答案】(1)0.59 1.27e x y -=；(2)选择方案②，理由见详解，17.5（千件）.【分析】（1）e bx a y +=两边取对数，求出3x =，0.5z =，代入公式求出ˆ0.59b =，ˆˆ 1.27a z bx=-=-，求出回归方程；（2）求出 2.3y =，计算出2221R R >，得到案②的回归模型精度更高、更可靠，并代入7x =求出预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）. 【详解】（1）对e bx a y +=两边取对数得：ln y bx a =+，令ln z y =， 其中1234535x ++++==，0.700.4 1.1 1.70.55z -++++==，则()222222ˆ0.5910.72030.44 1.15 1.7530.51234553b⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯-+==⨯⨯+++-⨯， ˆˆ0.50.593 1.27az bx =-=-⨯=-， 所以ln 0.59 1.27z y x ==-，即0.59 1.27e x y -=；（2）方案①ˆ 1.2 1.3yx =-中，0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()5221122512222220.51 1.53 5.551.9 1.91110.88316.32.35iii ii y y R yy ==-=-=-=-≈-++++-⨯∑∑， 方案②0.59 1.27e x y -=中，同理可得：0.51 1.53 5.52.35y ++++==，()2212221550.1122110.99316.35i ii ii y y R yy ==-=-=-≈-∑∑， 显然2221R R >，故方案②的回归模型精度更高、更可靠，令0.59 1.27e x y -=中7x =得：0.597 1.27 2.86e e 17.5y ⨯-==≈，所以预测当研发年投资额为7百万元时的年销售量为17.5（千件）.20．某商场为了促销规定顾客购买满600元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小王购买了600元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为211,,323，选择继续抽奖的概率均为12，且每次是否抽中互不影响．(1)求小王第一次抽中，但所得奖金归零的概率；(2)设小王所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)29(2)分布列见解析，数学期望为152【分析】（1）设出事件，分为两种情况，第一次抽中，第二次没抽中和前两次均抽中，第三次没抽中，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行求解； （2）写出X 的可能取值及相应的概率，得到分布列及数学期望. 【详解】（1）记小王第i 次抽中为事件(1,2,3)i A i =，则有()123P A =,()212P A =,()313P A =，并且123A A A ，，两两相互独立.小王第一次抽中但奖金归零记为事件A ，则A 的概率()()()12123P A P A A P A A A =+ 211211121132232239=⨯⨯-+⨯⨯⨯-=（）（）. （2）小王所得奖金总数为随机变量X ，则X 的可能取值为0，10，30，60， ()()122501399P X P A A ⎛⎫==+=-+= ⎪⎝⎭，()()11211102323P X P A ==⨯=⨯=， ()()12121111302322212P X P A A ==⨯=⨯⨯⨯=， ()()123211111603222336P X P A A A ===⨯⨯⨯⨯=.随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()51111501030609312362E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21．2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？ (2)假设潜伏期Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；(3)以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有()*∈N k k 个属于“长潜伏期”的概率是()g k ，当k 为何值时，()g k 取得最大值？ 附：22())n ad bc b d χ-=+．若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-≤≤+≈，(33)0.9973P Z μσμσ-≤≤+≈ 2.25≈．【答案】(1)认为“长潜伏期”与年龄无关． (2)答案见解析 (3)k ＝250【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到结论； （2）求出()27.1,2.25ZN ，由正态分布的对称性求出()10.997313.850.001352P Z -≥≈=，根据小概率事件得到相应结论； （3）表达出()g k ，得到()()11001113g k g k k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，从而得到()g k 的单调性，得到()g k 取得最大值时k的值.【详解】（1）零假设为H 0：“长潜伏期”与年龄无关，依据表中数据，得： 22200(304011020) 3.175 3.8411406050150χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，因此认为H 0成立，故认为“长潜伏期”与年龄无关； （2）由题意知潜伏期()27.1,2.25ZN ，由()10.997313.850.001352P Z -≥≈=， 得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；（3）由于200个病例中有50个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是14，于是()1000100013C44k kk g k -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()()10001000100011001110001100013C C 1100144113C 313C 44kkk kk k k k g k g k k -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当100104k <<且N k *∈时，()()11g k g k >-； 当100110004k <≤且N k *∈时，()()11g k g k <-； ∴()()()12250g g g <<<，()()()2502511000g g g >>>．故当k ＝250时，g (k )取得最大值．五、双空题22．某生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道得2分，答错减1分，已知该生每道题目答对的概率是23，且各题目答对正确与否相互之间没有影响，X 表示该生得分，则()E X =____，()D X =__________【答案】 6 12【分析】根据题意可知该生答对问题的个数Y 服从二项分布，利用二项分布求得()(),E Y D Y ，再由X 与Y 的关系求得(),E X ()D X 即可.【详解】依题意，设Y 表示该生答对问题的个数，则Y 服从二项分布26,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()()221464,63333E Y D Y =⨯==⨯⨯=， 又因为()2636X Y Y Y =--=-，所以()()363466E X E Y =-=⨯-=，()()2439123D X D Y ==⨯=. 故答案为：6；12.。
2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中联考数学试题(B卷)(解析版)
2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中联考数学试题（B 卷）一、单选题1．若三个数8，A ，2成等差数列，则A =（ ） A ．±5 B ．±4 C ．5 D ．4【答案】C【分析】根据等差中项公式求解即可．【详解】三个数8，A ，2成等差数列，则228A =+，所以5A =． 故选：C2．下列求导运算正确的是（ ） A ．()sin cos x x '=- B ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()133x x x -'= D．'=【答案】D【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可. 【详解】选项A. ()sin cos x x '=,故选项A 不正确. 选项B. 211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故选项B 不正确.选项C. ()3ln 33x x '=⋅,故选项C 不正确. 选项D.12x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭故选项D 正确. 故选：D3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n S n =+，则5a =（ ）A ．26B ．19C ．11D ．9【答案】D【分析】先求得n a ，然后求得5a .【详解】依题意21n S n =+，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()2211122n S n n n -=-+=-+，121n n n a S S n -=-=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，所以52519a =⨯-=. 故选：D4．已知函数()()221f x x =-，则()1f '=（ ）A ．2B ．4C ．3D ．1【答案】B【分析】先求得导函数()f x '，然后求得()1f '． 【详解】()()()2212421f x x x '=⨯-⨯=-， 所以()14f '=． 故选：B5．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是A ．在(),0-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在()4,+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值 【答案】C【详解】分析：根据函数f （x ）的导函数f′（x ）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可． 详解：根据函数f （x ）的导函数f′（x ）的图象可知： f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0当x ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x2时，f′（x ）＜0，f （x ）递减； 当2＜x ＜4时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞4时，f′（x ）＜0，f （x ）递减． 可知C 正确，A 错误；由极值的定义可知，f （x ）在x=0处函数f （x ）取到极大值，x=2处函数f （x ）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B 、D 错误． 故选C ．点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x ）＞0得增区间，由f′（x ）＜0得减区间，由f′（x ）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x ）的符号是否发生改变.6．高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是（ ） A ．43B ．34C ．6D ．24【答案】A【分析】先求每一个同学报名的方法数，再由分步计数原理求4个同学不同的报名总数. 【详解】每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有3×3×3×3=43 种报名方法． 故选：A7．函数2()ln f x x x =的最小值为 A ．1e-B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【分析】函数的定义域为(0,)+∞，再根据函数单调求得最小值．【详解】由题得(0,)x ∈+∞，'()2ln (2ln 1)f x x x x x x =+=+，令2ln 10x +=解得12x e -=，则当12(0,e )x -∈时f(x)为减函数，当12(,)x e -∈+∞时，f(x)为增函数，所以12x e -=点处的函数值为最小值，代入函数解得121()2f e e-=-，故选C ． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值． 8．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A ．–4 B ．–2 C ．4 D ．2【答案】D【详解】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.【解析】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.9．在数列{}n a 中，12a =，且111n na a +=-，*n N ∈，则2022a =（ ） A ．2 B ．-1C ．12D ．1【答案】C【分析】根据给定条件推导出数列{}n a 的周期，再借助周期性计算得解.【详解】解：在数列{}n a 中，N n *∀∈，111n na a +=-，则2111111111n n n na a a a ++===----， 3211111(1)n nn na a a a ++===---，于是得数列{}n a 是周期数列，周期为3， 又12a =，所以21111112a a ===---，()321111112a a ===---，所以202267333312a a a ⨯+===， 所以202212a =. 故选：C.10．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A ．113尺 B ．10529尺 C ．6529尺 D ．73尺【答案】B【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列， 且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--，故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭，故选：B. 二、填空题11．设某质点的位移x m 与时间t s 的关系是24x t t =+，则质点在第3s 时的瞬时速度等于___________m/s . 【答案】10【分析】求出函数的导数，计算3t =时，x '的值即可． 【详解】解：24x t t =+，24x t '∴=+，则3t =时，3|23410t x ='=⨯+=， 故质点在第3s 时的瞬时速度为10/m s ， 故答案为：10．12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，464a =，则4S 等于_____________. 【答案】51【分析】由已知条件求出等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，且11a =-，464a =， 所以3164q -⨯=，解得4q =-，所以()()441145114S ⎡⎤-⨯--⎣⎦==--， 故答案为：51.13．从2名教师和4名学生中，选出2人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的2人中恰有一名教师，则不同的选取方案的种数是_____________. 【答案】8【分析】根据乘法计数原理和组合公式即可求解．【详解】从2名教师和4名学生中，选的2人中恰有一名教师有1124C C 8=种选法，故答案为：8．14．已知函数()()21e x f x x =-，下列结论中正确的是_____________. ①函数()f x 有零点；②函数()f x 有极大值，也有极小值；③函数()f x 既无最大值，也无最小值； ④函数()f x 的图象与直线1y =有3个交点. 【答案】①②④【分析】由()10f =确定①正确，结合导数判断其他项的正确性． 【详解】()10f =，所以①选项正确，()()()11xf x x x '=+-ｅ，所以()f x 在区间()(),1,1,-∞-+∞上()()0,f x f x '>递增，在区间()1,1-上()()0,f x f x '<递减， 所以当1x =-时，()f x 有极大值()411f -=>ｅ， 当1x =时，()f x 有极小值()10f =，所以②选项正确，因为()0f x ≥恒成立，所以()10f =是()f x 的最小值，③选项错误，画出()f x 的大致图象如下图所示，由图可知函数()f x 的图象与直线y =1有3个交点，④选项正确． 故答案为：①②④．三、双空题15．设集合{}*43,A x x n n ==-∈N ，{}1*3,n B x x n -==∈N ，把集合A B 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n a ，则2a =______________；数列{}n a 的前20项和20S =_____________.【答案】 3 660【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得2a ，由327、不在集合A 中，19、在集合A 中，也在集合B 中，推得81不在数列{}n a 的前20项内，则数列{}n a 的前20项中包括{}43n -的前18项和数列{}13n -中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，集合A 构成数列{}43n -是首项为1，公差为4的等差数列，集合B 构成数列{}13n -是首项为1，公比为3的等比数列，可得1213a a ==，，又由327、不在集合A 中，19、在集合A 中，也在集合B 中， 因为4381n -=，解得21n =，此时20n >， 所以81不在数列{}n a 的前20项内， 则数列{}n a 的前20项的和为[159(4183)]327++++⨯-++()1816930630306602=⨯++=+=. 故答案为：3；660. 四、解答题16．已知数列{}n a 满足11a =，12n na a +=，等差数列{}nb 满足13b a =，21b a =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和. 【答案】（1）12n na ，73nb n =-；（2）2113212nn n --+【分析】（1）依题意{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得n a ；由13b a =，21b a =，求出公差，进而得到n b ；（2）求得1273n n n a b n -+=+-，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）由11a =，12n na a +=， 可得12n na ；设等差数列{}n b 的公差为d ， 由134b a ==，211b a ==， 可得213d b b =-=-， 则43(1)73n b n n =--=-； （2）1273n n n a b n -+=+-，可得数列{}n n a b +的前n 项和为1(124...2)(41...73)n n -++++++++-2121113(473)211222n n n n n n --=++-=-+-． 17．已知函数321()313f x x x x =--+.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 的极值.【答案】（1）增区间：()(),1,3,-∞-+∞，减区间：()1,3-.（2）极大值83，极小值8-.【分析】（1）利用导数求得单调区间. （2）结合单调区间求得()f x 的极值.【详解】（1）()()()'22313f x x x x x =--=+-，所以()f x 在区间()(),1,3,-∞-+∞上()()'0,f x f x >递增，在区间()1,3-上()()'0,f x f x <递减.所以()f x 增区间：()(),1,3,-∞-+∞，减区间：()1,3-.（2）由（1）得()f x 的极大值为()813f -=，极小值为()38f =-.18．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+，()*n N ∈.(1)请写出数列{}n a 的前5项； (2)证明数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(3)求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)11a =，24a =，313a =，440a =，5121a =； (2)证明见解析； (3)312n n a -=.【分析】（1）代入已知的递推式计算可得答案；（2）利用数列{}n a 的递推公式证明出11+21+2n n a a +为非零常数，即可证明出数列1+2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）确定等比数列1+2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项和公比，求出数列1+2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出n a .【详解】(1)解：因为数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+，()*n N ∈.所以123131+41a a +=⨯==， 233134+113a a +=⨯==， 4331313+140a a =+=⨯=，4531340+1121a a =+=⨯=，所以数列的前5项为：11a =，24a =，313a =，440a =，5121a =； (2)解：131n n a a +=+，111133++31+3+222231111++++2222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴====， 因此，数列1+2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；(3)解：由于1113+1+222a ==，所以，数列1+2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，以3为公比的等比数列，1133+3222nn n a -∴=⨯=，因此，312n n a -=. 19．已知函数()()ln f x x ax a R =+∈.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间. 【答案】(1)210x y --= (2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）求出函数的定义域，对函数求导数，然后分0a ≥和0a <两种情况通过判断导函数的正负可求得函数的单调区间 【详解】(1)1a =时，()ln f x x x =+， 则()11f x x'=+，()11f =，()12f '=， 故切线方程为()121y x -=-，即210x y --=. (2)函数()()ln R f x x ax a =+∈的定义域为()0,∞+；()1axf x x+'=，①当0a ≥时，()10axf x x+'=>， 则函数()()ln R f x x ax a =+∈在()0,∞+上单调递增； ②当0a <时，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()()ln R f x x ax a =+∈在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<， 则函数()()ln R f x x ax a =+∈在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；单调递减区间为1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.20．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，43a =-，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）数列{}n a 的通项公式；（2）n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值. 条件①：424S =-； 条件②：132a a =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）若选①211n a n =-，若选②315n a n =-；（2）若选①当5n =时n S 有最小值且最小值为525S =-，若选②当4n =或5n =时n S 有最小值且最小值为4530S S ==-． 【分析】若选择条件①：根据43a =-；424S =-组成方程组可解出首项1a 和d ，从而可得n a 与n S ，再根据二次函数的性质可求出n S 的最小值以及取得最小值时n 的值． 若选择条件②：43a =-；132a a =组成方程组可解出首项1a 和d ，从而可得n a 与n S ，再根据二次函数的性质可求出n S 的最小值以及取得最小值时n 的值． 【详解】解：若选择条件①：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由43a =-，得133a d +=-①；又424S =-，得1434242a d ⨯+=-，即12312a d +=-②． 联立①②，解得19a =-、2d =，所以92(1)211n a n n =-+-=-．（2）由（1）可知：()22(1)92105252n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以25510525S =-⨯=-，根据二次函数的性质可得当5n =时n S 有最小值且最小值为525S =-．若选择条件②：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由43a =-，得133a d +=-①；又132a a =，得112(2)a a d =+即140a d +=②．联立①②，解得112a =-、3d =，所以123(1)315n a n n =-+-=-．（2）由（1）可知：22(1)32739243123222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+⨯=-=-- ⎪⎝⎭，由于n ∈+N ，所以当4n =或5n =时n S 有最小值且最小值为4530S S ==-．21．某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式2210(6)3Q x x =+--，其中36x <<.该产品的成本为3元/千克.（1）写出该产品每千克的利润（用含x 的代数式表示）；（2）将公司每日销售该商品所获得的利润y 表示为销售价格x 的函数；（3）试确定x 的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】（1）3x -；（2）()()()321036039032y x x x =---+-+，（36x <<）. （3）销售价格为4元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.【分析】（1）根据利润=销售价格-成本即可求解.（2）利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系.（3）由（2）利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（1）由题意可得产品每千克的利润为3x -.（2）()()22210(6)10(6)3332y x x x x x ⎡⎤=-⋅=⋅-+⎢⎥⎣-⎦+-- ()()()321036039032x x x =---+-+，（36x <<）. （3）由（2）可得()()()()23031203903046y x x x x '=---+=--，令0y '=，解得4x =或6x =，令0y '>，解得6x >或4x <，令0y '<，解得46x <<，所以函数在()3,4上单调递增；在()4,6上单调递减，所以当4x =，max 42y =（元）故销售价格为4元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.。
2021-2022学年新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二下学期5月质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二5月质量检测数学试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 2．设x ∈R ，则“1x <”是“11x>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】11x =-<，但111x=-<，不充分， 11x>时01x <<，必要性满足，故是必要不充分条件． 故选：B ．3．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】C【分析】先按照周一，再安排其他两天，利用分步计数原理及排列组合知识进行求解； 【详解】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有122432C C ?A 24=种． 故选：C4．抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()01,M y 到焦点F 的距离为3，则p 值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由抛物线的定义可知，0||2pMF x =+，与已知条件结合，求解p 的值． 【详解】解：由抛物线的定义可知，0||2p MF x =+， ||3MF =，132p∴+=，所以4p =， 故选：D ．5．某射击运动员射击一次所得环数ξ的分布列如下表所示.则()6P ξ>=（ ）A ．0.72 B ．0.75 C ．0.85 D ．0.90【答案】C【分析】由分布列中所有概率和为1，计算得a ，再计算(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=即可求解.【详解】由题意0.030.050.070.080.260.231a ++++++=，解得0.28a =. ∴(6)P ξ>=(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=＝0.080.260.280.230.85+++=．故选：C6．在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．-60B ．30C ．60D ．-30【答案】C【分析】写出二项式的展开式通项，判断常数项对应r 值，即可写出常数项.【详解】由63621662C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-， 当2r =，常数项为2236(2)C 60T =-=. 故选：C7．学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A ．45B ．34C ．35D ．1225【答案】B【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解【详解】记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A ，“选派4人中有2名女老师”为事件B ，则()223133334645C C C C P A C +==，()22334635C C P B C ==， 显然()()35P AB P B ==，所以()()()()()3|4P AB P B P B A P A P A ===. 故选：B.8．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）.A ．12164320C C CB ．21164320C C CC ．21316416320C C C C + D ．343201C C -【答案】D【分析】根据题意得都是二等品的概率为34320C C ，求解计算即可.【详解】全部都是二等品的概率为34320C C ，故至少有1个是一等品的概率为343201C C -.故选：D.9．某试验每次成功的概率为()01p p <<，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为（ ）A ．()73310C 1p p -B ．()37710C 1p p -C ．()67410C 1p p -D ．()47610C 1p p -【答案】A【分析】根据二项分布的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，重复进行10次试验，7次未成功，说明3次成功，所以所求概率为()73310C 1p p -． 故选：A ．10．下列函数中既为奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．cos y x x =+ B ．e e x x y -=+C ．2sin y x x =+D ．33y x x =-【答案】C【分析】由定义法判断函数的奇偶性，排除AB 选项，求导求函数的单调性，进而排除D 选项，C 选项符合要求.【详解】()cos f x x x =+定义域为R ，又()()cos cos f x x x x x -=-+-=-+， 所以()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，故cos y x x =+非奇非偶，A 错误；()e e x x g x -=+定义域为R ，()()e e x x g x g x --=+=， 所以e e x x y -=+为偶函数，B 错误；()2sin h x x x =+定义域为R ，()()()2sin 2sin h x x x x x h x -=-+-=--=-，则2sin y x x =+为奇函数，又()2cos 0h x x '=+>恒成立，所以()2sin h x x x =+在(0,)+∞上单调递增；C 正确；()33x x x ϕ=-定义域为R ，()()33x x x x ϕϕ-=-+=-，则33y x x =-为奇函数，又()233x x ϕ'=-，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，故33y x x =-在()0,1x ∈单调递减，在()1,x ∈+∞单调递增，D 错误 故选：C11．已知函数()322f x ax x bx =++的图象在点()()1,1A f --处的切线方程为840x y ++=，且函数()y f x =在[0,2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为（ ） A ．5827-B ．2-C ．427-D ．0【答案】B【分析】由题意，求得a ，b 的值，求导，判断单调性，可得最值. 【详解】解：()322f x ax x bx =++，2()34f x ax x b '∴=++(1)348f a b '-=-+=-，又1x =-时，4y =，则(1)24f a b -=-+-=，解得1a =-，1b =-，则32()2f x x x x =-+-，2()341f x x x '=-+-，[0,2]x ∈， 当113x <<时，()0f x '>，当103x <<或12x <<时，()0f x '<， 故函数()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,2)上单调递减，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 的极小值为14327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极大值为(1)0f =，()()00,22f f ==-，故函数()y f x =在[0,2]上的最大值为0M =，最小值为2m =-，则 2.M m +=- 故选：B12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点，过1F直线l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=，则E 的离心率为（ ） A ．33- B ．2 C ．13+ D ．23+【答案】D【分析】由212F F PM F M -=推出M 为1PF 的中点，从而可得2MO PF ∥，2PF x ⊥ 轴，求出22||b PF a=，结合1260PF F ∠=可得到关于a,b,c 的齐次式，进而求得离心率.【详解】由212F F PM F M -=可得，212F F F M PM -=，即1MF PM =， 则M 为1PF 的中点，由于O 为12F F 的中点，故2MO PF ∥ ，故2PF x ⊥ 轴，将x c =代入()2222:10,0x y E a b a b -=>>中得：2by a=± ，故22||b PF a= ，因为直线l 3，故1260PF F ∠= ,所以2212||tan 603||2PF b F F ac ==，即22230,310c a ac e e --=--= ， 故32e = （负值舍去），故32e =， 故选：D 二、填空题13．已知命题2:R,10p x x x ∃∈-+=，则:p ⌝____________ 【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】解：因为命题2:R,10p x x x ∃∈-+=，所以根据特称命题的否定为全称命题，可得:p ⌝2R,10x x x ∀∈-+≠. 故答案为：2R,10x x x ∀∈-+≠.14．已知函数()22f x x x =-，则()2d f x x ⎰的值为___________.【答案】43-113- 【分析】根据微积分基本定理直接计算即可.【详解】()()22232002184d 2d 40333f x x x x x x x ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰.故答案为：43-.15．已知函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是___________. 【答案】872y x =-【分析】先根据题意求出m ，再根据导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】由题可得()0810f m =+=，所以81m =-，()180f -=-.因为()()3823f x x '=+，所以()18k f '=-=.所以所求切线方程为()8081y x +=+，即872y x =-. 故答案为：872y x =-.16．已知椭圆C 1：22214x y b＋＝（0＜b ＜2）的离心率为12，F 1和F 2是C 1的左右焦点，M 是C 1上的动点，点N 在线段F 1M 的延长线上，｜MN ｜＝｜MF 2｜，线段F 2N 的中点为P ，则｜F 1P ｜的最大值为__________． 【答案】3【详解】首先根据离心率为,b c ，由1124F N MF MF =+=判断出N 点的轨迹方程，利用代入法求得P 点的轨迹方程，进而求得1F P 的最大值.【分析】由条件得2224144c b a -==，∴23b =，∴椭圆1C 的方程是22143x y +=，1c ，∴()11,0F -，()21,0F ．由于点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =， 所以1124F N MF MF =+=，∴点N 的轨迹是以1F 为圆心，以4为半径的圆，方程为()22116x y ++=． 设(),P x y ，则()21,0F 关于(),P x y 对称的点的坐标为()21,2x y -， ∴()()22211216x y -++=，化简得点P 的轨迹方程为224x y +=， 即点P 的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，()11,0F -，所以1F P 的最大值为3．故答案为：3 三、解答题17．老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让厦门中学生助手背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，求 (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列 (2)他能及格的概率 【答案】(1)答案见解析 (2)23【分析】（1）根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列； （2）根据分布列计算(2)(2)(3)P X P X P X ==+=，即可求解.【详解】(1)（1)设厦门中学生助手抽到能背诵的课文篇数为X ，X 的可能取值为0，1，2，3则X 的分布列为364310C C (),0,1,2,3C k kP x k k -===，用表格表示为(2)及格的概率为112(2)(2)(3)263==+==+=P X P X P X 18．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为13与p ，且乙投球2次均命中的概率为116． （1）求甲投球2次，命中1次的概率；（2）若乙投球3次，设命中的次数为X ，求X 的分布列． 【答案】（1）49；（2）答案见解析．【分析】（1）甲投球2次，命中1次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可， （2）由题意可求得14p =，X 服从13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列【详解】解：（1）设“甲投球一次命中”为事件A ， 则1()3P A =，()23P A =故甲投球2次命中1次的概率为()()12214()33339P P A A P A P A =⋅+=⨯+⨯=（2） 设“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得1()16P B B p p ⋅=⋅=， 解得14p =，所以1()4P B =，()34P B =由题意得X 服从13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则03031327(0)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12131327(1)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2123139(2)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3033131(3)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．已知抛物线21:8C y x =的准线与x 轴交于点1F ，其焦点为2F ，椭圆2C 以1F ，2F 为(1)求椭圆2C 的标准方程；(2)设直线:l y x t =+与椭圆2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求AOB （点O 为坐标原点）的面积. 【答案】(1)22184x y +=【分析】（1）由题意可得2c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a ，再结合222b ac =-求出2b ，从而可得椭圆方程，（2）1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入椭圆方程中，消去y ，利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程可求出t ，再求出点O 到直线l 的距离，从而可求出AOB 的面积 【详解】(1)由题意得，12(2,0),(2,0)F F -，设椭圆2C 方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，则2c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a = 所以222844b ac =-=-=， 所以椭圆2C 的标准方程为22184x y +=(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22184y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222()8x x t ++=，整理得2234280x tx t ++-=，由221612(28)0t t ∆=-->，得2120t -<， 21212428,33t t x x x x -+=-=，因为AB 4=,所以4AB =，所以21212()48x x x x +-=，所以22164(28)893t t --=， 化简得23t =，满足2120t -<所以t =当t l 为y x =+点O 到直线l 的距离为d =所以11422AOBSAB d ==⨯=当t =l 为y x =点O 到直线l 的距离为d =所以11422AOBSAB d ==⨯=综上，AOB20．已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行. (1)求a 的值；(2)若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围.【答案】(1)9- (2)112b << 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得(1)0f '-=，得到a ；（2）令23()()(153)2g x f x x x =--+，则问题转化为()g x 与x 轴有三个交点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与极值，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】(1)解：因为32()3f x x x ax b =-++，所以2()36f x x x a '=-+， 在1x =-处的切线与x 轴平行，(1)0f '∴-=，解得9a =-．(2)解：令23239()()(153)6322g x f x x x x x x b =--+=-++-， 则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点，2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--∴由()0g x '>，解得2x >或1x <；由()0g x '<，解得12x <<．()g x ∴在1x =时取得极大值()112g b =-；()g x 在2x =时取得极小值()21g b =-．故10210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩， ∴112b <<． 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()2,1P，且离心率e = (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求PAB △面积的最大值． 【答案】(1)22182x y += (2)2【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b 的方程，解方程可得答案；（2）设直线l 的方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，从而求得弦长，求得点P 到直线l 的距离，根据三角形的面积公式结合基本不等式求得答案.【详解】(1)∵22222234c a b e a a -===，∴224a b =, 又椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1P ， ∴22411a b+=，∴28a =，22b =, 故所求椭圆方程为22182x y +=; (2)设l 的方程为12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y , 联立221,21,82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222240x mx m ++-=, 由2248160m m ∆=-+>，解得22m -<<,由韦达定理，得122x x m +=-，21224x x m =-,则22)AB m ==-<<． 点P 到直线l的距离d ==∴221142222PAB m m S d AB +-=⋅=≤=, 当且仅当22m=，即m =,∴PAB △面积的最大值为2.22．已知函数()ln f x x mx =+，其中m ∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x x ≤-，求m 的最大值．【答案】(1)当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，()f x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． (2)1-【分析】（1）1()(0)mx f x x x+'=>，讨论0m ≥或0m <判断()f x 的单调性；（2）由题意可得：22ln x x x m x --≤对任意,()0x ∈+∞恒成立，即2min2ln x x x m x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，通过导数求22ln ()(0)--=>x x x g x x x的最小值． 【详解】(1)1()(0)mx f x x x+'=>， 当0m ≥时，()0f x '>当0x >恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增； 当0m <时，令()0f x '>，得10x m<<-，令()0f x '<，得1x m >-， ()f x ∴在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述：当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，()f x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． (2)依题意得2ln 2x mx x x +≤-对任意,()0x ∈+∞恒成立， 即22ln x x x m x--≤对任意,()0x ∈+∞恒成立， 令22ln ()(0)--=>x x x g x x x ，则22ln 1()x x g x x '+-=， 令2()ln 1h x x x =+-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，(1)0h =，∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>， ()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)1g x g ∴==-，1m ∴≤-，故m 的最大值为1-．。
2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二下学期五月第二次质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二下学期五月第二次质量检测数学试题一、单选题1．25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r r r C x y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232xf x x xf e '=++，则()2f '的值等于 A ．2- B ．222e -C ．22e -D ．222e --【答案】D【分析】求得函数的导数，然后令2x =，求得()'2f 的值.【详解】依题意()()''232x f x x f e =++，令2x =得()()''22432f f e =++，()2'222e f =--，故选D.【点睛】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.3．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有( ) A ．144种 B ．216种 C ．288种 D ．432种【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有33A 种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有33A 种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有12A 种排法；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有1122C C 种排法．∴不同的排法种数有：3311133222A A A C C 288=种．故选：C ．4．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.5．将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有 A ．240 B ．480 C ．720 D ．960【答案】B【详解】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有24+43=20⨯⨯，所以不同坐法有4420480A =,选B.6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种【答案】D【分析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，结合图形的对称性，即可求解.【详解】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C =种方法， 再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有66A 种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有66725202A ⨯=种不同的涂法. 故选：D.【点睛】本题主要考查了排列、组合及分步计数原理的应用，其中解答中注意图形的对称性，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为 22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.8．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 二、多选题9．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）A ．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案B ．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案C ．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D ．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法 【答案】ABD【分析】应用分步计数法，结合不平均分组分配、捆绑法、特殊位置法，利用组合排列数求各选项对应安排方法的方法数.【详解】若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有2353C A 60=种，A 正确：若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有2454C A 240=种，B 正确：若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有44A 种排法，甲、乙两人相邻有22A 种排法，所以共有4242A A 48=种站法，C 错误；前排有25A 种站法，后排3人中最高的站中间有22A 种站法，所以共有2252A A 40=种站法，D 正确. 故选：ABD10．在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1､2､3､4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为13，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于110B ．1选项是正确选项的概率高于12C ．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为13D ．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为12【答案】BC【分析】先分别计算出任意一组2个选项、3个选项、4个选项为正确答案的概率，再依次判断4个选项即可.【详解】若正确选项的个数为2个，则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种组合，每种组合为正确答案的概率为1113618⨯=，若正确选项的个数为3个，则有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)共4种组合，每种组合为正确答案的概率为1113412⨯=，若正确选项的个数为4个，则有(1,2,3,4)共1种组合，这种组合为正确答案的概率为13， 对于A ，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为111210<，错误； 对于B ，1选项是正确选项的概率为11131331812342⨯+⨯+=>，正确； 对于C ，1选项为正确选项为事件A ，由B 选项知，3()4P A =，正确选项有3个为事件B ，则13()112()3()34P AB P B A P A ⨯===，正确；对于D ，1选项为错误选项为事件C ， 1()4P C =，正确选项有2个为事件D ，则13()218()1()34P CD P D C P C ⨯===，错误. 故选：BC.11．对于函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 在x e =处取得极大值1eB ．()f x 有两不同零点C ．()()23f f <D ．若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则1k > 【答案】ACD【分析】A ､根据极值的定义求解判断； B ､令()0f x =，结合函数的图象判断； C ､利用函数的图象，结合()()24f f =判断；D ､根据1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，由max ln 1x k xx ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦求解判断.【详解】A ､函数的导数21ln ()(0)xf x x x -'=>， 令()0f x '=，得x e =，则当0x e <<时，()0f x '>，函数为增函数； 当x e >时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当x e =时，函数取得极大值，极大值为1()f e e=，故A 正确；B ､当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()0f x →，则()f x 的图象如图：由()0f x =，得ln 0x =，得1x =， 即函数()f x 只有一个零点，故B 错误； C ､由图象知()()24f f =，()())34(f f f π>>， 故()()23f f <成立，故C 正确；D ､若1()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则max ln 1x k xx ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦， 设ln 1()(0)x h x x x x =+>，则2ln ()x h x x'=-， 当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，即当1x =时，函数()h x 取得极大值同时也是最大值，为()11h =， ∴1k >，故D 正确. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数法，得到函数的图象而得解. 12．已知函数()()ln 1f x x ax a R =-+∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 极大值为0，则2a =B ．当0a <时，()f x 在()0,∞+上单调递增C ．0a =时，()112f x x ≤+恒成立 D ．若1a >-，则()()2g 1x x f x =+-有两个零点【答案】BC 【分析】求出fx ，分0a ≤、0a >可得()f x 单调性和极值可判断AB ；令()()1ln 02t x x x x =->，求导由()t x 单调性可判断C ；转化为直线y a =与()2ln x x F x x -=有两个交点，令()()2ln 0x x F x x x-=>，由导数判断()F x 单调性、最值可得答案.【详解】()()ln 1f x x ax a R =-+∈，()()110axf x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时0fx，()f x 在0,上是单调递增函数；当0a >时，令0fx得10x a<<，()f x 单调递增； 0f x 得1x a >，()f x 单调递减函数；所以()f x 有极大值为1ln f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()f x 极大值为0，则1ln 0f a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以1a =，故A 错误；当0a <时，()f x 在0,上单调递增，B 正确；对于C ，0a =时，()ln 1f x x =+，令()()()111ln 022t x f x x x x x =--=->，()11222xt x x x-'=-=，当02x <<时，()0t x '>，()t x 单调递增， 当2x >时，()0t x '<，()t x 单调递减，所以()t x 在2x =有最大值为()2ln 210t =-<，所以()112f x x <+恒成立， 故C 正确；由()()2g 10x x f x =+-=得2ln x x a x-=， 若1a >-，()()2g 1x x f x =+-有两个零点即直线y a =与()2ln x xF x x-=有两个交点，令()()2ln 0x x F x x x-=>，()221ln x x F x x --'=，令()()21ln 0M x x x x =-->， ()120M x x x'=--<，所以()M x 是0,上的单调递减函数，当()0,1∈x 时，()()10M x M >=，当()1,∈+∞x 时，()()10M x M <=， 所以当()0,1∈x 时，()0F x '>，当()1,∈+∞x 时，()0F x '<，所以当()0,1∈x 时，()F x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()F x 单调递减，()ln11111F =-=-， 当0x →时，()2ln ln x x xF x x x x -==-→-∞， 当x →+∞时，()2ln ln x x xF x x x x-==-→-∞， 所以当1a <-时，直线y a =与()2ln x x F x x-=有两个交点，即()()2g 1x x f x =+-有两个零点有两个零点，故D 错误. 故选：BC. 三、填空题13．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =， 则F ′（x ）()()'x f x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x e f x f x -<-∴()()2121xx f x f x e e --＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 14．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6，则这一行是第__________行. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 【答案】98【分析】根据给定条件，利用二项式系数列出方程组，结合组合数公式求解作答. 【详解】依题意，N n *∈，第n 行各数从左到右均满足：C ,N,rn r r n ∈≤，设第n 行的相邻三个数为：11C ,C ,C r r r n n n-+，于是得11C :C 4:5C :C 5:6rr n n r r n n -+⎧=⎨=⎩，即!!:4:5(1)!(1)!!()!!!:5:6!()!(1)!(1)!n n r n r r n r n n r n r r n r ⎧=⎪--+-⎪⎨⎪=⎪-+--⎩， 整理得：4945116n r n r -=-⎧⎨-=⎩，解得：4498r n =⎧⎨=⎩，所以这一行是第98行. 故答案为：9815．3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答） 【答案】168．【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置， 可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法，若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法，由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置，若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法，若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法，若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法，由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法； 故答案为168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16．若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为______ 【答案】e【分析】设公切线与f （x ）、g （x ）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a 后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a 的取值范围．【详解】解：设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（1x ，211x +），与曲线C ：g （x ）＝2ln 1a x +切于点（2x ，22ln 1a x +），∴2()()2221211221212ln 112ln 2a x x a x x a x x x x x x +-+-===--， 化简可得，2212211212ln x x x x x x x -=-，∴122222?ln x x x x =- ∵2122a x x =， a 2222222?ln x x x =-，设h （x ）2222?lnx x x =-（x ＞0），则h ′（x ）()2x 12lnx =-， ∴h （x ）在（0+∞）上递减， ∴h （x ）max ＝he =， ∴实数a 的的最大值为e ， 故答案为e ．【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题． 四、解答题17．已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下问题用数字作答）（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？（2）将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中，求每项活动至少安排1名辅导员的方法总数是多少？【答案】（1）63种不同的去法（2）540种【分析】（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去1，2，3，4，5，6个人，利用组合数求解即可．（2）第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，第三类：6人平均分配到三项活动中，求出方法数，推出结果即可．【详解】（1）由题意，从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中，邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，共有12666662163C C C ++⋅⋅⋅+=-=，故共有63种不同的去法．（2）该问题共分为三类：第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，共有436390C A =种；第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，共有323633360C C A =种；第三类：6人平均分配到三项活动中，共有22264290C C C =种，所以每项活动至少安排1名辅导员的方法总数为：9036090540++=种．【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中正确理解题意，合理分类，正确使用排列、组合求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18．已知函数()2ln f x x ax x =+-，a R ∈.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在[1,3]上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 20x y -=. (2) 17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】分析：（1）由()12f '=和()12f =可由点斜式得切线方程； （2）由函数在[]1,3上是减函数，可得()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[]1,3上恒成立，()221h x x ax =+-，由二次函数的性质可得解.详解：（1）当1a =时， ()2ln f x x x x =+-所以()121f x x x+'=-， ()()12,12f f ='=又所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y -=. （2）因为函数在[]1,3上是减函数，所以()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[]1,3上恒成立.做法一：令()221h x x ax =+-,有()()10{30h h ≤≤，得1{173a a ≤-≤-故173a ≤-. ∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦做法二：即2210x ax +-≤在[]1,3上恒成立，则12a x x≤-在[]1,3上恒成立， 令()12h x x x=-，显然()h x 在[]1,3上单调递减， 则()()min 3a h x h ≤=，得173a ≤-∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<； （3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .19．已知在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1.（1）求展开式中11x 的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求2319819n nn n n n C C C -++++的值.【答案】（1）18-；（2）325376x -；（3）91019-. 【解析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出n 的值，代入二项展开式的通项公式即可求解； （2）利用两边夹定理，设第1r +项系数的绝对值最大，列出关于r 的不等式即可求解； （3）利用二项式定理求解即可.【详解】（1）由5533(2):(2)6:1n n C C --=，得9n =，∴通项2752219(2)rr rr TC x-+=-，令2751122r-=，解得1r =， ∴展开式中11x 的系数为119(2)18C -=-.（2）设第1r +项系数的绝对值最大，则11991199221732022r r r r r r r r C C r C C ++--⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩，所以6r =， ∴系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C x x ---=.（3）原式()90012299999991110199991(19)1999C C C C -⎡⎤=++++-=+-=⎣⎦. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20．已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【分析】(1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a 的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a ,b 的值. 【详解】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+∞区间上单调递增.(2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以若0a <，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立.若0a =，(,)-∞+∞区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1a b =⎧⎨=-⎩. 若02a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+∞区间上单调递增.即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .即322()()13321a a ab a b ⎧-+=-⎪⎨⎪-+=⎩相减得32227a a -+=，即(0a a a -+=，又因为02a <≤，所以无解.若23a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+∞区间上单调递增.即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .即322()()1331a a ab b ⎧-+=-⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =，解得x =23a <≤，所以无解.若3a >，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+∞区间上单调递增.所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =⎧⎨-+=-⎩解得41a b =⎧⎨=⎩. 综上得01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充． 21．有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换． （1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X 为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）12；（2）分布列见解析，()2E X =.【分析】（1）分甲乙交换的均是红球，甲乙交换的均是白球，两种情况讨论即可得解； （2）写出随机变量X 的所有可能取值，先分别求出一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球，乙袋中有1个白球3个红球，乙袋中有3个白球1个红球的概率，从而可求得对于随机变量的概率，写出分布列，根据期望公式即可求出数学期望.【详解】解：（1）甲乙交换的均是红球，则概率为1122114414C C C C ⋅=，甲乙交换的均是白球，则概率为1122114414C C C C ⋅=，所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为111442+=；（2）X 可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为12，乙袋中有1个白球3个红球的概率为1122114414C C C C ⋅=，乙袋中有3个白球1个红球的概率为1122114414C C C C ⋅=， 则()11111144110464C C P X C C ==⨯⋅=，()11111133112211111144444411714232C C C C C C P X C C C C C C ⎛⎫==⨯⋅+⋅+⨯⋅= ⎪⎝⎭，()1111111133332222111111114444444411117244232C C C C C C C C P X C C C C C C C C ⎛⎫==⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⋅= ⎪⎝⎭， ()11111133112211111144444411734232C C C C C C P X C C C C C C ⎛⎫==⨯⋅+⋅+⨯⋅= ⎪⎝⎭，()11111144114464C C P X C C ==⨯⋅=，所以随机变量X 的分布列为所以数学期望()1717710123426432323264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．已知函数1()211f x x a nx x=--+，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得导数22(01),,2()x ax f x x-+'=+∞，令()221h x x ax =-+，则()()411a a ∆=-+，分0∆≤和0∆>两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当1a =时，得到1()2ln 1f x x x x=--+，根据函数()f x 的单调性，不妨设1201x x <≤≤，得到11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，结合导数求得函数()g x 的单调性和极值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数1()211f x x a nx x=--+的定义域为(0,)+∞，可得2222121()1a x ax f x x x x-+'=-+=， 令()221h x x ax =-+，则()()244411a a a ∆=-=-+.①当11a -≤≤时，0∆≤，可得()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立， 则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.②当1a <-或1a >时，0∆>，令()0f x '=，得1x a =2x a = （i ）当1a <-时，120x x <<，所以()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. （ⅱ）当1a >时，120x x <<.若1(0,)x x ∈，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 若12(,)x x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 若2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a 和()a +∞，上()f x 单调递增；在(a a ()f x 单调递减.（2）当1a =时，函数1()2ln 1f x x x x=--+， 由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又易知()11f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤， 要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()2()f x f x ≥-，即证11()2()2f x f x -≥-， 即证11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，所以11()22ln(2)2ln 2g x x x x x=------，(]0,1x ∈， 则32322222221214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x --+---'=--+==----， 当(0,1]x ∈时，()0g x '≥，所以函()g x 数在区间（0，1]上单调递增， 则()()10g x g ≤=，所以11())220(f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2021-2022学年江苏省南京市高二年级下册学期5月阶段性检测数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省南京市高二下学期5月阶段性检测数学试题一、单选题1．已知M ､N 为R 的子集，若，，则满足题意的M 的个数为M N ⋂=∅R {1,2}N =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D【分析】根据交集、补集的运算的意义，得出M ，N 关系，进一步根据子集求解.【详解】因为，，M N ⋂=∅R {1,2}N =所以可得，M N ⊆所以或或或，{1}M ={2}M =M =∅{1,2}M =故满足题意的M 的个数为4.故选：D2．下表是关于某设备的使用年限x (单位：年)和所支出的维修费用y (单位：万元)的统计表x23456y3.44.25.15.56.8由上表可得线性回归方程，若规定：维修费用不超过10万元，一旦大0.8ˆ1ˆyx a =+y 于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10D【分析】求出样本中心点，将样本中心点代入回归直线方程求出，再令1.76a =，解不等式即可求解.0.81 1.7610x +≤【详解】由已知表格，得，1(23456)45x =++++=，1(3.4 4.2 5.1 5.5 6.8)55y =++++=因为回归直线恒过样本点的中心，所以，()x y 50.814a =⨯+解得，所以回归直线的方程为，1.76a =0.8116ˆ.7yx =+由，得，解得，10y ≤0.81 1.7610x +≤82410.1781x ≤≈由于，所以据此模型预报，该设备使用年限的最大值为*x ∈N 10.故选：D.3．已知命题“∃x ∈R ，使”是假命题，则实数a 的取值范围是214(2)04x a x +-+≤（ ）A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4D【分析】由命题“∃x ∈R ，使”是假命题，转化为命题“∀x ∈R ，使214(2)04x a x +-+≤”是真命题，利用判别式法求解.214(2)04x a x +-+>【详解】∵命题“∃x ∈R ，使”是假命题，214(2)04x a x +-+≤∴命题“∀x ∈R ，使”是真命题，214(2)04x a x +-+>则判别式Δ＝(a －2)2－4×4×<0，14解得0<a <4，故选：D.4．已知，为正实数，则“”是“”的（ ）a b 2aba b ≤+16ab ≤A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件B【分析】由，利用均值不等式，可证明；若，举反例可知16ab ≤2ab a b ≤+2aba b ≤+不一定成立，即得解16ab ≤【详解】由，为正实数，时等号成立a b a b ∴+≥a b =若，可得，故必要性成立；16ab ≤2ab a b ≤=≤=+当，此时，但，故充分性不成立；2,10a b ==2aba b ≤+2016ab =>因此“”是“”的必要不充分条件2aba b ≤+16ab ≤故选：B 5．已知函数的图象大致为（ ）()22()ln x x f x x-=+A ．B ．C ．D ．B【分析】利用函数为偶函数排除选项D ；利用时排除选项C ；利用()f x 0x >()10f =时排除选项A ；进而仅有选项B 正确.01x <<()0f x <【详解】函数定义域为，()22()ln x x f x x-=+()(),00,∞-+∞ 由，()()22ln (n )l (22)x x x x f x x x f x ---=+-=+=可得为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D ；()f x 由当时，仅有，可知选项C 图象错误；0x >()111(22)ln 10f -=+=由当时，，则01x <<ln ln ln10x x =<=()(22)ln 0x x f x x -=+<则选项A 图象错误.仅有选项B 正确.故选：B6．已知定义在R 上的奇函数满足，且在区间[1，2]上是减函数，()f x (2)()f x f x +=-令，，，则的大小关系为（ ）ln 2a =121(4b -=12log 2c =(),(),()f a f b f c A ．B ．()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C ．D ．()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<C【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在()f x (2)()f x f x +=-()f x 上是增函数，再由奇函数性质得在上递增，在上单调递增．然后[1,0]-()f x [0,1][1,1]-把自变量的值都转化到上，比较大小．[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，∴1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]，而，，∴，12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-即，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满()f x 足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-就是这类问题的常规解法，确定出上单调性，转化比较大小．[1,1]-7．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，ξcm ()2200,N σ()2200.1P ξ≥=现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ）ξ()180,220X A ．B ．()1802200.9P ξ<<=() 2.4E X =C ．D ．()0.16D X =()10.488P X ≥=D【分析】根据正态分布求得特定区间的概率；由题知，不在的概率为ξ()180,220，则，从而求得期望，方差及概率.10.80.2-=()3,0.2X B 【详解】由，则()2200,N ξσ ()()2201800.1P P ξξ≥=≤=则，故A 错误；()()()18022012201800.8P P P ξξξ<<=-≥-≤=由题知，不在的概率为，则，ξ()180,22010.80.2-=()3,0.2X B 则，故B 错误；()30.20.6E X =⨯=，故C 错误；()30.2(10.2)0.48D X =⨯⨯-=，故D 正确；()()311010.80.488P X P X ≥=-==-=故选：D8．已知函数，若，则的最小值是（ ）()12ln ,112ln ,01x x f x x x -+>⎧=⎨-<≤⎩()()f a f b =a b +A ．B ．C ．D ．e1e +2eC【分析】先由得到，把转化为，利用函数单调性()()f a f b =ab e =a b +ea b a a +=+求出最小值.【详解】函数的图像如图所示，作出交两点，其横坐标()12ln ,112ln ,01x x f x x x -+>⎧=⎨-<≤⎩y t =()y f x =分别为a 、b ，不妨设.01a b <≤<由可得：，解得：，()()f a f b =12ln 12ln a b -=-+ab e =所以e a b a a+=+记，()()01eg a a a a =+<≤任取，则1201a a <<≤。
2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是真命题【答案】D【详解】试题分析：因为p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∧是假命题，选项A 错误，p q ∨是真命题，选项B 错误，p ⌝是假命题，选项C 错误，q ⌝是真命题，选项D 正确，故选D.【解析】真值表的应用.2．已知抛物线准线方程为2x =-，则其标准方程为（ ） A ．28x y = B ．28x yC ．28y x =D ．28y x =-【答案】C【分析】根据已知条件，判断抛物线的开口方向并求出p ，即可得到抛物线的标准方程. 【详解】根据题意可知，抛物线开口向右且4p =，故抛物线的标准方程为：28y x =. 故选：C.3．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】平移直线1A F ，判断平移后的直线：在平面1BD E 上，则1//A F 平面1BD E ，与平面1BD E 交于一点则不平行，即可得解．【详解】①中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；②中，由于11//A F D E ，而AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，故1//A F 平面1BD E ； ③中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；故选：B ．4．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是（ ）A ．(4,1)m ∈--B ．(4,1)(1,2)m ∈--⋃-C ．()4,2m ∈-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】根据4,2m m +-为正数且不相等列不等式求解即可.【详解】方程22112x ym m +=+-表示椭圆则402042m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，即(4,1)(1,2)m ∈--⋃-； 若(4,1)(1,2)m ∈--⋃-，则22142x y m m+=+-表示椭圆， 所以方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是(4,1)(1,2)m ∈--⋃-， 故选：B5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.【详解】依题意可得2222131412a a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程是22143x y +=. 故选：A.【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.6．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．255C ．55D ．1010【答案】A【分析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==，在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552445222a a a a a +-=⨯⨯105=， 所以异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是105. 故选：A【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D【详解】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.【解析】点线面的位置关系.8．已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且12PF PF ⋅=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32⎡⎢⎣⎦D ．2⎛ ⎝⎦【答案】C【详解】设222222212(,),2P x y PF PF x c y c x y c ⋅=-+=∴+=， 所以2222222222(2)32[0,]23b a c y b c a c e a b -=∈∴≤≤≤≤-，选C. 9．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点()1,0F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为A ．32y x =± B ．2y x =± C ．23y x =±D ．2y x =±【答案】B【详解】由题得222222812881(1)1(2)3233AOB b b b AB S a b aa a ∆==∴⨯⨯=∴=+=解（1）（2）得12233a b ==，所以双曲线的渐近线方程为22b y x x a =±=±，故选B.10．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．22C ．13D ．16【答案】C【分析】以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0D E A C ．从而()11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1E AC D AD ==-=--.设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩， 令2a =，则()2,1,2n =，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||212133||D E h n n +-==⋅=．故选：C11．如图所示，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD -，使平面ABD ⊥平面BCD ，则下列说法中不正确．．．的是（ ）A ．平面ACD ⊥平面ABDB ．AB CD ⊥C ．平面ABC ⊥平面ACD D ．AD ⊥平面ABC【答案】D【分析】选项A . 由面面垂直的性质可得到CD ⊥平面ABD ，从而判断；选项B. 由条件可得AB AD ⊥，根据面面垂直可得AB ⊥平面BCD ，从而可判断；选项C. 由线面垂直的判定可得AB ⊥平面ACD ，从而可判断；选项D. 若AD ⊥平面ABC ,则可得则AD AC ⊥，从而得到矛盾，即可判断.【详解】选项A . 由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =, 又BD CD ⊥，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD 由CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，故A 正确. 选项B . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AB平面ABD ，则AB CD ⊥，故B 正确.选项C . 由上可知AB AD ⊥，AB CD ⊥，且AD CD D =, 所以AB ⊥平面ACD , 又AB平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面ACD ，故C 正确.选项D . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ，则AD CD ⊥若AD ⊥平面ABC ，由AC ⊂平面ABC ,则AD AC ⊥,这与AD CD ⊥相矛盾，故D 不正确. 故选：D12．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】设=AF a ，=BF b ，利用抛物线定义可得2a bMN +=；在ABF 中根据余弦定理，利用,a b 表示出2AB ，结合基本不等式可求得MN AB的最大值.【详解】设抛物线准线为l ，作AP l ⊥，BQ l ⊥，MN l ⊥，垂足分别为,,P Q N ， 设=AF a ，=BF b ，由抛物线定义可知：AF AP a ==，BF BQ b ==，22AP BQa bMN ++∴==， 在ABF 中，由余弦定理得：()2222222cos603AB a b ab a b ab a b ab =+-=+-=+-， ()()()222221334a b a bMN AB a b ab a b a b ++∴=≤=+-+-+（当且仅当a b =时取等号）， 即MN AB的最大值为1.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与线段长度有关的最值问题的求解，解题关键是能够结合抛物线的定义，利用焦半径表示出所需的线段长，从而利用基本不等式求得结果. 二、填空题13．已知向量 ()()2,3,1,2,,2a b k =-=，且 a b ⊥，则实数 k = ________________． 【答案】2【分析】0a b a b ⊥⇔⋅=，利用向量的数量积的坐标运算即可. 【详解】0a b a b ⊥⇔⋅=，则22(3)120k ⨯+-⨯+⨯=，解得2k = 故答案为：214．经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -= 【详解】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=15．函数21()e 2x f x x ax =--是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______．【答案】1a ≤【分析】对()f x 求导，由题设有e x a x ≤-恒成立，再利用导数求e x y x =-的最小值，即可求a 的范围.【详解】由题设，()e x f x x a '=--，又()f x 在 R 上的单调递增函数， ∴e x a x ≤-恒成立，令e x y x =-，则e 1x y '=-，∴当(,0)x ∈-∞时0y '<，则y 递减；当,()0x ∈+∞时0y '>，则y 递增. ∴min 0|1x y y ===，故1a ≤. 故答案为：1a ≤.16．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数,()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不等式()1e ex xf x -<的解集为___________.【答案】()1,∞+ 【详解】令()()2e xf x F x =，则()()()220e xf x f x F x '-'=<，∴()F x 在R 上是减函数． 又()1e ex xf x -<等价于()()1F x F <．∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，． 答案：()1∞+，． 点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到e x ，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于()()0(0)f x f x '+><，可构造函数()()x h x e f x =；（2）对于()()0(0)f x f x '-><，可构造函数()()xf x h x e =．三、解答题17．（1>（2）请用反证法证明：设0b >，0a >，则1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）应用分析法，将要证的结论转化为证明一个显而易见的结论即可； （2）首先否定结论：假设1a b +与1b a+都小于2成立，结合基本不等式求证一个相互矛盾的结论即可.【详解】证明：（1>只需证：22>只需证：213213a a ++++>只需证：2213421340a a a a ++>++ 只需证：4240>，而4240>显然成立， ∴原不等式得证．（2）假设结论不成立，即1a b +与1b a+都小于2，则11224a b b a +++<+=①而由基本不等式，知：12a a+≥，12b b+≥，当且仅当1,1a b ==时等号成立， ∴1111224a b a b b a a b+++=+++≥+=与①式矛盾，∴假设不成立，原命题成立．18．已知函数()()32391f x x x x x R =--+∈．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调增区间,1,()(3),-∞-+∞ 单调减区间()1,3- （2）252a ≤-【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导，令()0f x '>，解不等式，即得到递增区间，令0fx，解不等式，即得递减区间；（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，即()21f x a ≥-对[]2,4x ∀∈-恒成立，所以问题转化为求()min 21f x a ≥-成立即可，即求函数()f x 在区间[]2,4-上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在[]2,4-上的最小值，于是可以求出a的取值范围．试题解析：（1）令，解得或，令，解得：.故函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，∵对恒成立，∴，即，∴19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为0 1 2 3Eξ=的数学期望2【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数ξ的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出ξ取各个值时所对应的概率，就可得到ξ的分布列．试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得221(1())(1)16P B p -=-=解得34p =或54（舍去），所以乙投球的命中率为34. （II ）由题设知（I ）知1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =， ξ可能取值为0,1,2,3故2111(0)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=，12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117()22444232=⨯+⨯⨯⨯=， 2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==ξ的分布列为171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”? 甲班乙班总计成绩优良 成绩不优良(2)从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望. 附:K 2=2(-)()()()()n ad bc a c b d a b c d ++++(n =a +b +c +d )，【答案】(1)表格见解析，能 (2)分布列见解析，23【分析】（1）根据茎叶图中的数据，统计出甲、乙两班“成绩优良”及“成绩不优良”的人数，填入列联表，计算2K 的观测值，与3.841进行比较即可得出结论.（2）根据茎叶图得出ξ的所有可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求数学期望.【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出22⨯列联表如表所示：根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为2240(104-1610) 3.956 3.84126142020K ⨯⨯⨯≈>⨯⨯⨯=， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2，则2426C (0)C P ξ===25，114226C C 8(1)C 15P ξ===， 2226C (2)C P ξ===115， 则随机变量ξ的分布列为：P25 815 115则数学期望2812()012515153E ξ=⨯⨯⨯=++. 21．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A 县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x （单位：千辆）与年使用人次y （单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x 与年使用人次y 的散点图如图所示. x1 2 3 4 5 6 7y 6 11 21 34 66 101 196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型lg =+y a b x 或指数函数模型(0,0)=⋅>>x y c d c d 对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量x 与年使用人次y 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于x 的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据：其中lg i i v y =，17ni v v =∑.y v 71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.14 1.542535 50.12 3.47参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，其回归直线ˆˆay bx =-的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑.【答案】（1）x y c d =⋅适宜，0.25ˆ 3.4710x y =⨯；（2）6年.【分析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜；由x y c d =⋅两边同时取对数得lg lg lg y c x d =+，设lg y v =，则lg lg v c x d =+，根据参考数据以及参考公式首先求出v x ，的回归直线方程进而求出结果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，x y c d =⋅适宜作为投放量x 与年使用人次y 的回归方程类型.由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg xy c d c x d =⋅=+.设lg y v =，则lg lg v c x d =+.因为4x =， 1.54v =，721140i i x ==∑，7150.12==∑i i i x v ，所以7172217lg 7==-==-∑∑i i i ii x v x vd xx 250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯.把(4,1.54)代入lg lg =+v c x d ，得lg 0.54c =， 所以ˆ0.540.25vx =+，所以ˆlg 0.540.25y x =+， 则0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y+⨯==， 故y 关于x 的回归方程为0.25ˆ 3.4710x y=⨯. （2）投入8千辆单车，则年使用人次为0.2583.4710347⨯⨯=千人次， 每年的收益为347(10.2)277.6⨯-=（千元）， 总投资800020016000001600⨯==千元，假设需要n 年开始盈利，则277.61600⨯>n ，即 5.76>n ， 故需要6年才能开始盈利. 22．已知函数()sin e xxf x =，()0,x π∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：122x x π+>．【答案】（1）在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出()cos sin exx x f x -'=，得出当04x π<<时，()0f x '>；当4ππ<<x 时()0f x '<即可求解；（2）通过分析法将原问题转化为证明()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，构造()()2sin cos 2e e x x x xg x f x f x ππ-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，利用导数研究其单调性即可.【详解】（1）()cos sin e xx xf x -'=，0πx <<，由()0f x '=得4x π=，当04x π<<时，()0f x '>；当4ππ<<x 时()0f x '<，∴()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）∵12x x ≠，且()()12f x f x =， ∴由（1）知，不妨设1204x x ππ<<<<．要证122x x π+>，只需证明212x x π>-，而1422x πππ<-<，()f x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故只需证明()212f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭．又()()12f x f x =，∴只需证明()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭．令函数()()22sin sin sin cos 22e e e e x x x x x x x x g x f x f x ππππ--⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭， 则()2222cos sin sin cos 11e e (cos sin )(cos sin )ee e e e x xxx x x x x x x g x x x x x ππππ---⎛⎫--- ⎪'=+=--=-⋅ ⎪⎝⎭. 当04x π<<时，cos sin 0x x ->，2x x π->，故()0g x '>，∴()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上()0444g x g f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立，故122x x π+>成立．。
2021-2022学年河北省唐山市第一中学高二下学期6月调研数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省唐山市第一中学高二下学期6月调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}220,1A x x x B x x =-+>=>，则()R AC B =（ ）A ．()0,1B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．()1,2【答案】B【分析】解出不等式220x x -+>，然后可算出答案.【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-+>=<<，{}1R C B x x =≤所以()R AC B =(]0,1故选：B2．已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．172a <C ．133a <D ．5a >【答案】B【分析】命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，然后利用对勾函数的知识求出4()f x x x=+的最大值即可. 【详解】命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，设4()f x x x =+，对勾函数在2x =时取得最小值为4，在12x =时取得最大值为172，故172a <， 故选：B ． 3．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=进而利用单调性即得. 【详解】ln a ππ=，2ln 2b =，ln e c e e ∴== 构造函数()ln x f x x=且()2ln 1()ln x f x x -'=当1x e <<时ln 1x <,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=<;当x e >时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>.故()ln xf x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> 2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > 故c a b << 故选: B4．某校开展课后服务活动，星期五下午安排语文素养课，数学思维课，英语拓展课，心理活动课四种课程.其中心理活动课不排第一节，语文素养课和英语拓展课不相邻，那么星期五下午不同课表的排法种数有（ ） A ．18 B ．10C ．12D ．14【答案】B【分析】根据题意，依次列举即可得答案. 【详解】解：根据题意，可能的情况如下：故选：B5．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．0 B ．20 C ．10 D ．30【答案】B【分析】()()5131x x +-可化为()()5511+3x x x --，再根据二项式展开式的通项公式求展开式中3x 的系数.【详解】由()51x -展开式的通项为()()5155C 11C r r r r r r r T x x -+=⋅⋅-=-，令r ＝3，得()51x -展开式中含3x 的项的系数为()3351C 10-=-，令r ＝2，得()51x -展开式中含2x 的项的系数为()2251C 10-=，所以()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为1031020-+⨯=. 故选：B.6．若直线y x m =+与曲线2e x n y -=相切，则（ ） A ．m n +为定值 B ．12m n +为定值C ．n m 21+为定值D ．13m n +为定值【答案】B【分析】设出切点，对原函数求导，将切点横坐标代入导函数求得斜率，进而建立等式求出切点坐标，再代入直线方程即可得到答案.【详解】设直线y x m =+与曲线2e x n y -=切于点()020,e x nx -，因为2e x n y -'=，所以02e 1x n -=，02x n =，所以切点为(2,1)n ，代入直线方程得：12n m =+，即1122m n +=. 故选：B.7．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ） A ．38B ．310C ．311 D ．35【答案】A【分析】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则由题意可知所求为()P B A ，代入条件概率的公式计算即可.【详解】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为()()()214332325443183488n AB C C P B A n A C C C C ====-.故选：A. 二、多选题8．老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有,A B 两条线路可以选择.乘坐线路A 所需时间（单位：分钟）服从正态分布()44,4N ，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B 所需时间（单位：分钟）服从正态分布()33,16N ，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为合理的是（ ）（参考数据：()2,Z N μσ~，则()0.6827,(2P Z P Z μσμσμσμ-<≤+≈-<≤+2)0.9545,(33)0.9973)P Z σμσμσ≈-<≤+≈ A ．若乘坐线路B ，18：00前一定能到家B ．乘坐线路A 比乘坐线路B 在17：58前到家的可能性更小C ．乘坐线路B 比乘坐线路A 在17：54前到家的可能性更大D ．若乘坐线路A ，则在17：48前到家的可能性会超过1% 【答案】BC【分析】由已知，设乘坐线路A 所需时间为(A t 单位：分钟)，到家所需时间为()+10A t 分钟，乘坐线路B 所需时间为(B t 单位：分钟)，到家所需时间为()+17B t 分钟，进而再根据正态分布依次考虑各选项即可得答案.【详解】由已知，设乘坐线路A 所需时间为(A t 单位：分钟)，则A t 满足条件：(44,4)A t N ，到家所需时间为()+10A t 分钟，乘坐线路B 所需时间为(B t 单位：分钟)，则B t 满足条件：()~33,16B t N ，到家所需时间为()+17B t 分钟.对于A ，若乘坐线路B ，则到家所需时间大于17分钟，“18:00前一定能到家”是随机事件，可能发生，也可能不发生，所以A 错误；对于B ，由+<1058A t ，知<48A t ，由+<1758B t ，知<41B t ，因为()()<=<+⨯=+⨯14844220.50.95452A A P t P t ，()()<=<+⨯=+⨯14133240.50.95452B B P t P t ，可见()()<<48=41A B P t P t ，所以乘坐线路A 在17:58前到家的可能性一样，所以B 正确； 对于C ，由+<1054A t ，知<44A t ，由+<1754B t ，知<37B t ，因为()<=440.5A P t ，()()<=<+=+⨯1373340.50.68272B B P t P t ，可见()()<<<4437A B P t P t ，所以乘坐线路B 比乘坐线路A 在17:54前到家的可能性更大，所以C 正确； 对于D ，由+<1048A t ，知：<38A t ，因为=-38446，所以()()<=<-⨯=-⨯=<13844320.50.99730.001351%2A A P t P t ，所以若乘坐线路A ，则在17:48前到家的可能性不超过1%，所以D 错误.故选：BC.9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则1()2D X = B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y += C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】CD【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()D X =1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ：若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)D Y +=()918D Y =，故错误；对C ：若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==31341111224C ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； 对D ：若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(8)0.1P η>=，故(28)1(2)(8)0.8P P P ηηη<<=-<->=，故正确.故选：CD.10．设函数2()2(0)f x x x a a =-+>，若()0f m <，则（ ） A ．()0f m -> B ．(1)0f m -<C ．(4)0f m -+>D ．(2)0f m -+<【答案】ACD【分析】由题意结合图象先求得02m <<，再结合图象逐个判断即可求解 【详解】由()0f m <可得函数2()2(0)f x x x a a =-+>有2个零点， 设为12,x x ，且12x x <，因为()(0)20f f a ==>， 所以1202x m x <<<<，对于A ：02m <<，20m ∴-<-<，结合图象可知()0f m ->，故A 正确； 对于B ：02m <<，111m ∴-<-<，结合图象可知(1)f m -有正有负，故B 错误； 对于C ：02m <<，20m ∴-<-<244m ∴<-+<，结合图象可知(4)0f m -+>，故C 正确；对于D ：由对称性可得()(2)0f m f m -+=<，故D 正确. 故选：ACD11．已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i =组成的一个样本，得到回归直线方程为20.4y x =-，且2x =，去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的回归直线的斜率为3，在下列说法正确的是（ ） A ．相关变量x ，y 具有正相关关系 B ．去除歧义点后，样本()4,8.9的残差为0.1 C ．去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-D ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小 【答案】AC【分析】利用回归直线方程的斜率判断A ；求出去除歧义点后的回归直线方程，再分别计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由回归直线方程的斜率为3知变量x ，y 具有正相关关系，A 正确； 由2x =代入20.4y x =-，得 3.6y =，去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的210582x ⨯'==， 3.610982y ⨯'==， 因得到新的回归直线的斜率为3，有9533322y x -=-⨯=-，则去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-，C 正确；由于斜率为32>，则相关变量x ，y 具有正相关关系且由样本估计总体的y 值增加的速度变大，D 错误；当4x =时，3439y =⨯-=，得残差8.990.1e =-=-，B 错误. 故选：AC12．函数()f x 图像上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,,A B k k AB 为,A B 两点间距离，定义(),A Bk k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题，其中正确的是（ ）A ．存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数B ．()321f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”(),A B ϕC ．()2(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B ､之间的“曲率”(),2A B a ϕ≤ D ．设()()1122,,,A x y B x y 是曲线()e xf x =上不同两点，且121x x -=，若 (),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞ 【答案】AC【分析】借助函数()2f x x =可判断A ；令121,2x x ==，计算(,)A Bk k A B ABϕ-=可判断B ；由()2f x ax '=，故12,22A B k ax k ax ==，代入(,)A Bk k A B ABϕ-=分析即可判断C ；由12e ,e x x AB AB kk ===,分析可得(,)1A B ϕ<，所以1t ≤，可判断D.【详解】因当()2f x x =时，2A B k k ==，曲率为0，是常数，故A 是正确的； 又因当121,2x x ==时, 2()32f x x x ='-，2(1,1),(2,5),31211,34228A B A B k k =⨯-⨯==⨯-⨯=，故(,)A B k k A B ABϕ-==<B 是错误的； 因()2f x ax '=，令1122,,(()),(()),A x f x B x f x 故12,22A B k ax k ax ==，所以(,)2A B k k A B a ABϕ-===≤，故C 正确；()e x f x '=，因12e ,e x x A B AB k k ==,故(),1A B k k A B ABϕ-==<，所以1t ≤，所以D 是错误的.故选：AC 三、填空题13．若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________. 【答案】22【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当3b a ab =时，即a b ==时，11ab +的最小值为2+故答案为：214．已知()()()()()42340123421111x a a x a x a x a x -=++++++++，则01234a a a a a ++++=______.【答案】16【分析】在所给的等式中，令0x =即可得出答案.【详解】在()()()()()42340123421111x a a x a x a x a x -=++++++++，令0x =，可得：4012342a a a a a =++++，所以0123416a a a a a ++++=.故答案为：16.15．已知随机事件A ，B ，且()13P A =，1()2P B =，1()2P BA =∣，则()P AB =∣_____. 【答案】13【分析】根据条件概率公式先得()16P AB =，再计算即可. 【详解】解：因为()13P A =，1()2P B =，1()2P BA =∣ 所以()()()1()123P AB P AB P B A P A ===∣，解得()16P AB =， 所以()()116()132P AB P AB P B ===∣. 故答案为：13四、双空题16．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：()()2xf x f x e ='-，且()01f =，则()f x 的解析式为()f x =___________；当0x >时，()1ln x f x a x ⎡⎤-≥+⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】 2e x (],2-∞【分析】先构造函数，利用2()()e x f x f x -='，最终求得()2e xf x =，即()0,x ∈+∞时，2(e )1ln x x a x -≥+恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得a 的取值范围.【详解】设()()x f x g x =e ，则()()()2e e e ex x xx f x f x g x '-'===，故()e xg x c =+， 则()()e e x xf x c =+，又因为(0)1f =，即11c +=，所以0c ，()2e xf x =，2(e )1ln x x a x -≥+，因为()0,x ∈+∞，所以22ln e 1ln e 1ln x x x x x xa x x+----≤=在()0,x ∈+∞上恒成立， 其中2ln e 2ln 1x x x x +≥++，理由如下：构造()e 1xx x ϕ=--，则()e 1x x ϕ'=-，令()0x ϕ'=得：0x =，当0x >得：()0x ϕ'>， 当0x <得：()0x ϕ'<，故()x ϕ在0x =处取的极小值，也是最小值，()()00x ϕϕ≥=，从而得证.故2ln e 1ln 2ln 11ln 2x x x x x x x x+--++--≥=，故2a ≤，即实数a 的取值范围为(],2-∞ 故答案为：2e x ，(],2-∞. 五、解答题17．设全集R U =，集合(){50}A xx x =-<∣，集合{}21212B x a x a =-≤≤+∣ (1)当1a =时，求()()U U A B ⋂； (2)若B A ，求a 的取值范围. 【答案】(1)()[),15,-∞-+∞；(2)⎛- ⎝⎭. 【分析】（1）由补集和交集定义即可求得结果；（2）由B A ，讨论B =∅和B ≠∅，列出不等式组求解即可. 【详解】(1){}05A x x =<<；当1a =时，{}13B x x =-≤≤；(][),05,U A ∴=-∞+∞，()(),13,UB =-∞-⋃+∞，()()()[),15,U UA B =-+∴∞-∞.(2){}05A x x =<<，B A ≠⊂， 当B =∅时，满足B A ≠⊂；此时21212a a ->+，解得：10a -<<； 当B ≠∅时，221251201212a a a a+<⎧⎪->⎨⎪-≤+⎩，解得：0a ≤<；综上所述：a 的取值范围为⎛- ⎝⎭. 18．为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元. (1)求系统需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成，设ξ为电子产品所需要维修的费用，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)727； (2)700元.【分析】（1）由n 次独立 重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出系统需要维修的概率；（2）设X 为需要维修的系统的个数,则7~(3,)27X B ，且900X ξ=，由此能求出ξ的分布列、期望E (ξ).【详解】(1)该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，所以系统需要维修的概率为： 0312331217C ()C ()().33327P =+= (2)设X 为需要维修的系统的个数，则7~(3,)27X B ，且900X ξ=， 则ξ的所有可能取值为0，900，1800，2700，3208000(0)(0)(),2719683P P X ξ===== 1237202800(900)(1)C (),27276561P P X ξ===== 223720980(1800)(2)C (),27276561P P X ξ===== 37343(2700)(3)(),2719683P P X ξ===== 故ξ的分布列为：所以7()900()900370027E E X ξ==⨯⨯=（元）. 19．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分 (采用百分制)，剔除平均分在 40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名.现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100 名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到下表.附表及公式：其中n a b c d =+++，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；（2）规定成绩在80分以上为优秀(含80分) ，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【答案】（1）答案见解析；（2）2×2列联表见解析，没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【分析】（1）计算出男、女生各自的平均分，从结果可得答案； （2）计算出2K ，根据临界值表可得结果. 【详解】（1）男生的平均分14535596518751585695971.560x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==女生的平均分24565546557510851395271.540x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关.(2)由题表可知， 在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下： 优秀 非优秀 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 3070100计算可得()22100152515451.786 2.70630706040K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.20．某电器企业统计了近10年的年利润额y （千万元）与投入的年广告费用x （十万元）的相关数据，散点图如图．选取函数(0,0)k y m x m k =⋅>>作为年广告费用x 和年利润额y 的回归类型．令ln ,ln u x v y ==，则ln v m ku =+，则对数据作出如下处理：令ln ,ln i i i i u x v y ==，得到相关数据如表所示：101i ii u v=∑101ii u=∑101ii v=∑1021ii u=∑30.5 15 15 46.5(1)求出y 与x 的回归方程；(2)预计要使年利润额突破2亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：3207.3575,7.3575398.282e≈≈． 参考公式：回归方程ˆy a bx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxyba y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑．【答案】(1)13e y x =⋅(2)下一年应至少投入3983万元广告费用【分析】（1）依题意ln v m ku =+，利用所给公式及相关数据求出k ，ln m ，即可求出m ，从而求出回归方程；（2）由（1）中的回归方程令20y >，求出x 的取值范围，即可得解； 【详解】(1)解：∵ln ,ln u x v y ==，则ln v m ku =+， 所以1011 1.510i i u u ===∑，1011 1.510i i v v ===∑，由表中数据得，101102211030.510 1.5 1.5146.510 1.5 1.5310i ii ii u v uvk uu =-=--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以1ln 1.5 1.513m v ku =-=-⨯=，所以e m =，所以年广告费用x 和年利润额y 的回归方程为13e y x =⋅；(2)解：由（1）可知13e y x =⋅，令13e 20y x =⋅>，得135e207.375x >≈，所以37.3575398.3x >≈（十万）， 故下一年应至少投入3983万元广告费用．21．2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列； （2）设0.1p =．试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．【答案】（1）答案见解析；（2）195次.【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，依题意知X 的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数()E X ，分别求出2k =、3、4时()E X 的值，再与方案①比较，即可得出所求．【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-． 所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为(1)k k q p =-， 呈阳性反应的概率为11(1)k k q p -=--． 依题意可知11,1X =+，所以X 的分布列为：（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为： ()()()()111111111k k k E X p p p k k k ⎛⎫⎡⎤=⋅-++⋅--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭，0.1p =∴当2k =时，21()0.910.692E X =-+=，此时480人需要化验的总次数为331次， 3k =时，()310.910.60433E X =-+≈，此时480人需要化验的总次数为290次，4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时480人需要化验的次数总为285次，即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少． 而采用方案①则需化验480次， 故在这三种分组情况下，相比方案①，当4k =时化验次数最多可以平均减少480285195-=次．【点睛】关键点睛：本题的关键是列出离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，在第（2）问中，其关键是对数学期望的理解．22．已知函数()3ln f x x a x =+，其中3a ≥-为常数.(1)设()f x '为()f x 的导函数，当6a =时，求函数()()()9g x f x f x x'=-+的极值；(2)设点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ()121x x >≥，曲线()y f x =在点,A B 处的切线的斜率分别为12,k k ，直线AB 的斜率为k ，证明：122k k k +>. 【答案】(1)函数()g x 的极小值为1，无极大值 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案；（2）由题设，()11k f x '=，()22,k f x '=()()1212f x f x k x x -=-，则()()()()1212121222f x f x k k k f x f x x x -⎡⎤⎣⎦''+>⇔+>-，即证()()()()()()3121121221221222ln 0x x x x x f x f x f x f x x x a x x x ⎛⎫''-+--=-+-->⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，令12x t x =，()12ln h t t t t=--，再利用导数即可得证. 【详解】(1)解：当6a =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x'=+， 则()3236ln 3g x x x x x=+-+，()()()()43222222322131126336x x x x x x g x x x x x x x-+--+-'=+--== ()()()323110x x x x-+=>， 则当1x >时，()0g x '>；当01x <<时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()g x 的极小值为()11g =，且无极大值； (2)证明：由题设，()11k f x '=，()22,k f x '=()()1212f x f x k x x -=-，则()()()()1212121222f x f x k k k f x f x x x -⎡⎤⎣⎦''+>⇔+>-， 又121x x >≥，则所证不等式化为()()()()()1212220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为()3ln f x x a x =+，()23a f x x x'=+，则()()()()()()22121212*********a a x x f x f x f x f x x x x x x x ⎛⎫''-+--=-+++⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()33332212111221212122122ln ln 332ln x x x x a x x a x x x x x x x a a x x x ⎛⎫-+--=--++-- ⎪⎝⎭()3121122122ln x x x x x a x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，令12x t x =，()12ln h t t t t =--，因为121x x >≥，则1t >，()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，从而()()10h t h >=，即12ln 0t t t-->，因为()23,1,1,1a x t g t ≥-≥>>，则()()33312112221212ln 12ln x x x x x a x t a t t x x x t ⎛⎫⎛⎫-+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()33213132ln 36ln 110t t t t t t g t t t ⎛⎫≥----=-++-=-> ⎪⎝⎭，从而()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以122k k k +>.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及极值，考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式成立问题，考查了数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大.。
2021-2022学年江苏省苏州市高二下学期学业质量阳光指标调研数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州市高二下学期学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题1．设集合{,{12}A xy B x x ==-<<∣∣，则A B =（ ） A ．[)1,2 B ．()1,2 C ．()1,-+∞ D ．[)0,2【答案】A【分析】先求出集合A ，再求A B .【详解】集合{{1}A xy x x ===≥∣∣. 又{12}B x x =-<<∣，所以A B =[)1,2. 故选：A2．设,x y R ∈，则“x y >”是“21x y ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据指数函数的图象与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为x y >，可得0x y ->，根据指数函数的性质，可得21x y ->，即充分性成立；反之：由21x y ->，结合指数函数的性质，可得0x y ->，即x y >，即必要性成立， 所以x y >是21x y ->的充要条件. 故选：C.3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪速度为（ ）A ．7.5m /sB ．13.5m /sC ．16.5m /sD ．22.5m /s【答案】B【分析】根据导数的实际意义，对()2322l t t t =+求导再代入3s t =求解即可.【详解】由题意，()342t l t ='+，故当3s t =时，该运动员的滑雪速度为()334313.52l '=⨯+=.故选：B4．为研究变量,x y 的相关关系，收集得到下列五个样本点(),x y ：若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆˆ1.8y x a =+，则据此计算残差为0的样本点是（ ）A ．()6.5,4 B ．()7,6C ．()8,8D ．()8.5,9【答案】B【分析】由表格数据计算可得样本中心点，由此可计算求得ˆa ，从而得到回归直线方程；将选项中的点代入回归直线，满足回归直线方程的即为残差为0的样本点. 【详解】由样本数据可得：5 6.5788.575x ++++==，3468965y ++++==，ˆˆ6 1.87 6.6ay bx ∴=-=-⨯=-，则回归直线方程为：ˆ 1.8 6.6y x =-； 对于A ，1.8 6.5 6.6 5.14⨯-=≠，则残差不为0，A 错误； 对于B ，1.87 6.66⨯-=，残差为0，B 正确；对于C ，1.88 6.67.88⨯-=≠，则残差不为0，C 错误； 对于D ，1.88.5 6.68.79⨯-=≠，则残差不为0，D 错误. 故选：B.5．已知函数()f x 的周期为3，且当(]0,3x ∈时，()()13log f x ax =.若()103f =-，则=a （ ） A ．127B ．9C ．272D ．27【答案】D【分析】根据函数的周期性及指数、对数的关系计算可得.【详解】解：因为()f x 的周期为3，且当(]0,3x ∈时，()()13log f x ax =，所以()()()13101331log 3f f f a =+⨯===-，所以31273a -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D6．已知函数()268,0lg ,0x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x m m =∈R 有四个不相等的实数根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则1234x x x x 的取值范围是（ ） A ．()8,9 B ．(],9-∞C ．()0,9D ．(]8,9【答案】A【分析】采用数形结合的方式可得1234,,,x x x x 的范围，结合对称性可知126x x +=-，341x x =，由此可将1234x x x x化为关于1x 的二次函数的形式，结合1x 的范围，利用二次函数值域求法可求得结果.【详解】由()f x 解析式可得()f x 图象如下图所示，则1234,,,x x x x 为()f x 与y m =的四个交点，由图象可知：12432x x -<<-<<-，且126x x +=-， 又341x x =，()21234111166x x x x x x x x ∴=--=--，143x -<<-，211869x x ∴<--<，即1234x x x x 的取值范围为()8,9. 故选：A.7．已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．38【答案】C【分析】设前两张卡片所标数字之和为偶数为事件A ，第三张为奇数为事件B ，先求出(),()P A P AB ，再由条件概率求解即可.【详解】设前两张卡片所标数字之和为偶数为事件A ，第三张为奇数为事件B ，则事件A 包括前两张都为奇数或者都为偶数，故2121332335A A A A 2()A 5P A +==，2121312335A A A A 1()A 5P AB +==，故前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率()()1()2P AB P B A P A ==. 故选：C.8．若202220222021202012320222023(1)x a x a x a x a x a +=+++++，则2320222023220212022a a a a ++++=（ ）A ．202120212⨯B ．202220212⨯C ．202120222⨯D ．202220222⨯【答案】C【分析】利用二项式展开式的性质可知2024k k a a -=，其中12023,k k ≤≤∈Z ，则原等式等价于202220222021202020232022202121(1)x a x a x a x a x a +=+++++，对等式两边求导，再令1x =，则可求出答案.【详解】由题意知：12023a a =，22022a a =，2024k k a a -=，其中12023,k k ≤≤∈Z ， 所以202220222021202020232022202121(1)x a x a x a x a x a +=+++++，对上式两边求导得：2021202120202019202320222021322022(1)2022202120202x a x a x a x a a x +=+++++， 令1x =，得：202120212023202322202222022202120202a a a a a ⨯+++=++，故选：C.二、多选题9．若实数,a b 满足0b a <<，则（ ） A ．11a b< B ．22ln ln a b > C ．2ab a < D ．0a b +>【答案】AD【分析】由已知得0b a -<，利用做差法逐项判断可得答案.【详解】对于A ，因为0b a <<，所以0b a -<，所以110b aa b ab --=<，即11a b<，故A 正确；对于B ，因为0b a <<，所以1b a >，所以22220ln ln ln l 1n -<==a a b b ，即22ln ln <a b ，故B 错误；对于C ，因为0b a <<，所以0b a -<，所以()20-=->ab a a b a ，即2ab a >，故C 错误；对于D ，因为0b a <<，所以0a b ->，所以0+=->a b a b ，即0a b +>，故D 正确. 故选：AD.10．若随机变量X 服从两点分布，其中()()()10,,4P X E X D X ==分别为随机变量X 的均值和方差，则（ ） A ．()314P X == B ．()14E X =C ．()316D X =D ．()414E X +=【答案】ACD【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可. 【详解】对于选项A ：随机变量X 服从两点分布，因为()104P X == 故()314P X ==，故选项A 正确；对于选项B ：()13301444E X =⨯+⨯=，故选项B 错误；对于选项C ：()2231333(0)(1)444416D X =-⨯+-⨯=，故选项C 正确；对于选项D ：()()41414E X E X +=+=，故D 正确. 故选：ACD11．已知函数()cos sin f x x x x x =--，则（ ） A ．()f x 在[]π,π-上单调递增 B ．()f x 在[]π,π-上单调递减 C ．()f x 在[]2π,2π-上有2个极值点 D ．()f x 在[]2π,2π-上有4个极值点【答案】BD【分析】利用奇偶性定义判断出()f x 为奇函数，利用导数判断出()f x 在[]π,π-上的单调性可判断A B ；求出()sin 1'=--f x x x ，令()[]()sin 2π,2π=-∈-g x x x x ，利用奇偶性定义判断出()g x 为偶函数， 分π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 、π,02⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x 、ππ,2⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x 、π,π2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 、3ππ,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 、3π,π2⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x 、3π2π,2⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x 、3π,2π2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 讨论()g x 单调性，画出图象，再平移作出()f x '的图象，由导函数与原函数图象之间的关系判断极值情况，可判断CD.【详解】[]()()2π2π,cos sin x f x x x x x f x ∈--=-++=-，，所以()f x 为奇函数， 对于A ，()cos sin 1cos sin 1'=---=--f x x x x x x x ，当[]0,πx ∈时，sin 0x x ≥，所以()0f x '<，即()f x 在[]0,π上单调递减， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在[]π,0-上单调递减，故A 错误，B 正确；()sin 1'=--f x x x ，令()[]()sin 2π,2π=-∈-g x x x x ，()()sin -=-=g x x x g x ，所以()g x 为偶函数，()()sin cos '=-+g x x x x ，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时， sin 0,cos 0≥≥x x x ，所以()0g x '≤，()g x 单调递减，因为()g x 为偶函数，所以当π,02⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x 时，()g x 单调递增，当ππ,2⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x 时， sin 0,cos 0≥≥x x x ，所以()0g x '≤，()g x 单调递减，因为()g x 为偶函数，所以当π,π2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()g x 单调递增，当3ππ,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时， sin 0,cos 0≤≤x x x ，所以()0g x '≥，()g x 单调递增，因为()g x 为偶函数，所以当3π,π2⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x 时，()g x 单调递减，当3π2π,2⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦x 时， sin 0,cos 0≤≤x x x ，所以()0g x '≥，()g x 单调递增，因为()g x 为偶函数，所以当3π,2π2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()g x 单调递减，()2π2πsin2π0=-=g ，3π3π3π3πsin 2222⎛⎫=-= ⎪⎝⎭g ，()ππsin π0=-=g ，ππππsin 2222⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭g ，()00sin00=-=g ，()()2π2πsin 2π0-=--=g ，3π3π3π3πsin 2222⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，()ππsin π0-=-=g ，ππππsin 2222⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭g ，所以()g x 的图象为()g x 在3πππ3π,,0,,2222=--x 处有四个极值， ()sin 1'=--f x x x 的图象是由()g x 的图象向下平移1个单位得到的，如图图象与x 轴有四个交点，从左往右依次设为1234,,,x x x x ， 当()12π,∈-x x 时()0f x '<，()f x 单调递减， 当()12,x x x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增， 当()23,∈x x x 时()0f x '<，()f x 单调递减， 当()34,x x x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增， 当()4,2π∈x x 时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在1234,,,x x x x 处有四个极值，故D 正确，C 错误. 故选：BD.12．已知函数()36,0410,0x x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩，当(],x m ∈-∞时，()f x 的取值范围是)42,∞⎡-+⎣，则实数m 的值可以是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】BC【分析】分别利用导数求出函数在各段的单调性，求出函数的极值，结合函数图象求出m 的取值范围，即可得解.【详解】解：因为()36,0410,0x x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩， 当0x ≤时()36f x x x =-，则()()()223263xx f x x '=-=+-，所以当2x <-时()0f x '<，当20x -<<时()0f x '>， 即()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增， 即函数在2x =-处取得极小值()2622242f -=-+=- ， 当0x >时()410f x x x =+-，所以()()()222222441x x x f x x x x +--'=-==， 所以当02x <<时()0f x '<，当2x >时()0f x '>，所以()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()f x 在2x =处取得极小值，()26f =-，又()1542f =->-，()173423f =-<-，()4542f =->-， 则42y =-与()()4100f x x x x=+->有两个交点，交点的横坐标分别为1x 、2x ，则112x <<，234x <<，则函数()f x 的图象如下所示：因为当(],x m ∈-∞时，()f x 的取值范围是)∞⎡-+⎣，所以1m x ≤，符合题意的有BC ； 故选：BC三、填空题13．乘积式()()()12312123a a a b b c c c +++++展开后的项数是___________. 【答案】18【分析】根据分步乘法计数原理计算可得.【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有3种方法， 从第二个括号中选一个字母有2种方法， 从第三个括号中选一个字母有3种方法，按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为32318⨯⨯=项； 故答案为：1814．已知函数()f x 同时满足条件：①()()(),R,m n f m n f m f n ∀∈+=；②,R,x y x y ∀∈≠，()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦.请写出这样的一个函数()f x =___________.【答案】12x⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】根据已知函数性质，结合指数函数的单调性和运算性质写出一个符合要求的函数.【详解】令1()()2xf x =，则111()()()()()()222m n m n f m n f m f n ++===满足①；又()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，即()f x 递减， 1()()2xf x =也满足； 所以这样的函数可为1()2x.故答案为：1()2x（答案不唯一）.15．如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的正方形格状道路网（其中虚线部分因施工暂时不通）.今有甲､乙两人，其中甲在M 处，乙在N 处，他们分别随机选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，同时到达N ，M 处，则在此过程中，甲、乙两人在A处相遇的概率为___________.【答案】949【分析】根据题意，分别求得甲从点M 到N 和甲从点N 到M 的所有走法，再求得甲乙在点A 处相遇的所有走法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】如图所示，甲从点M 沿M D B N →→→，共有34C 4=种，从点M 沿M C N →→，共有25C 10=种，综上可得，甲从点M 出发到点N ，共有41014+=种走法； 同理可得，乙从点N 出发到点M ，共有14种走法；甲从点M 沿M A D B N →→→→，共有23C =3种，从点M 沿M A C N →→→，共有23C =3种，综上可得，共有336+=种走法，乙从点N 沿N C A M →→→，共有23C =3种，从点N 沿N B D A M →→→→，共有23C =3种，综上可得，共有336+=种走法， 所以甲、乙两人在A 处相遇的概率为669141449P ⨯==⨯. 故答案为：949.四、双空题16．已知正实数,a b 满足39a b ab ++=，则3a b +的最小值为___________；若不等式()2350m a b m -++≤对满足条件的,a b 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】 6 []1,5【分析】根据题意转化为21139(3)3()332a b a b ab a b +-+==⋅≤⋅，设30t a b =+>，得出关于t 的不等式，求得t 的取值范围，得到3a b +的最小值，把不等式转化为不等式250mt m -++≤对[6,)t ∈+∞恒成立，设()25g t mt m =-++，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，正实数,a b 满足39a b ab ++=， 可得21139(3)3()332a b a b ab a b +-+==⋅≤⋅，当且仅当3a b =时，等号成立， 设30t a b =+>，可得2121080t t +-≥，解得6t ≥或18t ≤-（舍去），所以3a b +的最小值为6.因为不等式()2350m a b m -++≤对满足条件的,a b 恒成立，由36a b +≥，即6t ≥，即不等式250m tm -+≤对[6,)t ∈+∞恒成立，转化为不等式250mt m -++≤对[6,)t ∈+∞恒成立，设()25g t mt m =-++，要使得()0g t ≤在[6,)+∞上恒成立，则满足20650m m m -<⎧⎨-++≤⎩，解得15m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,5. 故答案为：6；[]1,5.五、解答题17．已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中第3项和第5项的二项式系数相等. (1)求n 的值；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)6n =(2)240【分析】（1）根据二项式系数及组合数的性质计算可得；（2）首先写出展开式的通项，再令x 的指数为0，求出r ，最后代入计算可得.【详解】(1)解：由题意得24C C n n =，所以246n =+=. (2)解：622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231662C C (2)r r r r r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()0,1,2,,6r =，令1230r -=，解得4r =，所以展开式中的常数项为4456C (2)240T =-=.18．已知函数()21e 1x f x x =-+. (1)判断函数()f x 的奇偶性与单调性，并说明理由；(2)解不等式()()21f x f x >-.【答案】(1)函数()f x 为偶函数，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，理由见解析； (2)113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得奇偶性，利用导数可判断函数的单调性； （2）利用函数的奇偶性及单调性即得.【详解】(1)函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增；因为函数()f x 定义域为R ，且()()2211e e ()11x x f x f x x x --=-=-=-++， 所以函数()f x 为偶函数；当0x ≥时，()21e 1x f x x =-+， 有()()222e 01x xf x x '=+>+，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减；(2)因为函数()f x 为偶函数，所以不等式()()21f x f x >-等价于()()21f x f x >-，又函数()f x 在[)0,+∞上单调递增， 所以21x x >-，两边平方得23410x x -+<，解得113x <<，故所求不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.. 19．某医药研究所为研究药物A 对预防某种病毒的效果，对100只小白鼠进行了试验，得到如下数据：(1)根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析该疫苗是否有效；(2)若从接种疫苗的50只小白鼠中按分层随机抽样方法（各层按比例分配）取出20只，再从这20只中随机抽取3只，求这3只小白鼠中感染病毒的只数X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中)n a b c d =+++.参考数据：()210.8280.001P χ=.【答案】(1)认为该疫苗有效，此推断犯错误的概率不大于0.001(2)分布列答案见解析，数学期望：310【分析】（1）计算卡方，再根据所给表格对照数据判断即可； （2）X 的所有可能取值为0,1,2，进而求得分布列与数学期望即可. 【详解】(1)零假设为0H ：感染病毒与接种疫苗无关，即疫苗无效.根据列联表可得22100(4525255)40019.04810.8287030505021χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. 因为当假设0H 成立时，()210.8280.001P χ=， 所以根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为该疫苗有效，此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)从接种疫苗的50只小白鼠中按分层随机抽样方法取出20只，其中末感染病毒的只数为18，感染病毒的只数为2，则X 的所有可能取值为0,1,2.()()()3211218182182333202020C C C C C 685130,1,2C 95C 190C 190P X P X P X =========，所以X 的分布列为：故随机变量X 的数学期望为()685135730129519019019010E X =⨯+⨯+⨯==. 20．已知函数()e x f x b =-和()2g x b =，其中,a b 为常数且0b >.(1)当1b =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若存在斜率为1的直线与曲线()y f x =和()y g x =都相切，求a b的最小值. 【答案】(1)e 1y x =-1【分析】(1)由题意求出切点和切线的斜率，根据点斜式求切线方程即可;(2) 设曲线()y f x =在点()11,e x A x b -处的切线斜率为1，求导计算可得()0,1A b -；设曲线()y g x =在点()22B x b 处的切线斜率为1，求导计算可得211,42B a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再由直线AB 的斜率为1，可得,a b 的关系，利用基本不等式求最小值即可.【详解】(1)解：当1b =时，()e 1x f x =-，当1x =时，切点为()1,e 1-，因为()e x f x '=，切线斜率为()1e f '=，所以切线方程为()()e 1e 1y x --=-，即e 1y x =-.(2)解：()e x f x b =-的定义域为()2,g x b R 的定义域为[),a -+∞，且()()e ,x f x g x'='= 设曲线()y f x =在点()11,ex A x b -处的切线斜率为1，则1e 1x =，所以10x =，则()0,1A b -，设曲线()y g x =在点()22B x b 处的切线斜率为11=， 所以214x a =-，则211,42B a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率2112114b b a --+=-， 所以234a b b =-+， 由于0b >，则33121144a b b b =+--=， 当且仅当34b b =，即b =时等号成立， 故a b 1. 21．某水果基地种植的苹果，按苹果的横径大小L （毫米）分为5级：当80L 时为特优级，当7580L <时为优级，当7075L <时为一级，当6570L <时为二级，当65L <时为废果，将特优级果与优级果称为优品果.已知这个基地种植的苹果横径L 服从正态分布()70,25N .(1)从该基地随机抽取1个苹果，求抽出优品果的概率（精确到0.1）；(2)对该基地的苹果进行随机抽查，每次抽取1个苹果，如果抽出的是优品果，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出优品果为止，但抽查次数最多不超过n 次，若抽查次数X 的数学期望值不超过4，根据第（1）小题的结果，求n 的最大值.附：若随机变量L 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<+=，(22)0.9545,(33)0.9773.P Z P Z μσμσμσμσ-<+=-<+=参考数据：67890.80.2621,0.80.2097,0.80.1678,0.80.1342====.【答案】(1)0.2(2)7【分析】（1）根据正态分布的定义即可求得结果（2）先根据第k 次抽到优品果的概率和恰好抽取n 次的概率得到()E X ，再将原式中的k 用n 表示出来，得到仅与n 有关的()E X ，最后根据题目要求和等比数列的单调性即可得到结果【详解】(1)因为苹果横径L 服从正态分布()70,25N ，其中70,5μσ==，且75L 的苹果为优品果，所以抽出优品果的概率()()1()10.6827750.222P L P L P L μσμσμσ--<+-=+==≈. (2)由题意第k 次抽到优品果的概率()()10.80.21,2,3,,1k P X k k n -==⋅=-，恰好抽取n 次的概率()10.8n P X n -==，所以1111()0.20.80.8n k n k E X k n ---==⋅+⋅∑，设11110.8n k n k S k ---==⋅∑，则1110.80.8n k n k S k --==⋅∑， 两式相减得111110.20.8(1)0.8n k n n k S n ----==--⋅∑()()()111110.810.8510.810.8,10.8n n n n n n -----=--⋅=---⋅- 所以()()()()111110.20.8510.810.80.8510.8n n n n n n E X S n n n -----=+⋅=---⋅+⋅=-， 由()510.84n -，即0.80.2n ，因为数列{}0.8n 是单调递减数列，而780.80.2097,0.80.1678==，所以n 的最大值为7.22．已知函数()()21ln 1(2f x a x x a x a R =+-+∈且0)a ≠. (1)当0a <时，求函数()f x 的极值；(2)当0a >时，求函数()f x 零点的个数.【答案】(1)有极小值12a --，无极大值 (2)零点个数为1【分析】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值； （2）利用函数的导数，通过对参数a 分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数.【详解】(1)解：由题意得：()()()()()2111x a x a x x a a f x x a x x x-++-=='-=+-+， 令()0f x '=，得1x =或x a =（舍去），当01x <<时，()0f x '<，函数单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数单调递增；所以函数()f x 有极小值()112f a =--，无极大值. (2)由（1）得()()()1x x a f x x--'=.因为0a >， ①若01a <<，当0x a <<时，()0f x '>，函数单调递增；当1<<a x 时，()0f x '<，函数单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数单调递增；所以()f x 有极大值()()211ln 1ln 1022f a a a a a a a a a ⎛⎫=+-+=--< ⎪⎝⎭， 极小值()1102f a =--<，又()()22ln 220f a a a +=+>， 所以函数()f x 有1个零点.②若1a =，则()2(1)0x f x x -'=，所以函数()f x 单调递增，此时()()()310,22ln 2202f f a a a =-<+=+>，所以函数()f x 有1个零点. ③若1a >，当01x <<时，()0f x '>，函数单调递增；当1x a <<时，()0f x '<，函数单调递减；当x a >时，()0f x '>，函数单调递增；所以()f x 有极大值()1102f a =--<，显然极小值()0f a <， 又()()22ln 220f a a a +=+>，所以函数()f x 有1个零点.综上所述，当0a >时，函数()f x 的零点个数为1.。
2021-2022学年湖南省长沙市第一中学高二下学期5月第二次阶段性检测数学试题(解析版)
2021-2022学年湖南省长沙市第一中学高二下学期5月第二次阶段性检测数学试题一、单选题1．设集合{M x y =，{}21N y y x ==-，则MN =（ ）A ．(],0-∞B ．[)1,+∞C ．[]0,1D ．()0,1【答案】C【分析】求出集合M ，N 中的元素范围，再求交集即可.【详解】{[)0,M x y ∞===+， {}(]21,1N y y x ∞==-=-，则[]0,1M N ⋂=. 故选：C.2．设实数0a >，则“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由22a >，可得1a >，由1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得1a >或102a <<，再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由22a >，可得所以1a >；由1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得1log log 12a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴1112a a >⎧⎪⎨+>⎪⎩或01112a a <<⎧⎪⎨+<⎪⎩， ∴1a >或102a <<；因此“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的充分不必要条件.故选：A.3．已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.4．下列函数在定义域内是增函数的为（ ） A ．()1f x x=-B ．()e e x xf x -=-C ．()3log 1f x x =+D ．()12xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由反比例函数、指数函数单调性可判断ABD ，根据复合函数单调性可判断C 【详解】函数()1f x x=-在(),0∞-，()0,∞+分别单调递增，但在定义域()(),00,∞-+∞内不是增函数，故A 错误；函数()x xf x e e -=-单调递减，故B 错误；令3log y t =，1t x =+，由复合函数单调性，3log y t =在()0,∞+单调递增，1t x =+在(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，故函数()3log 1f x x =+在(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，故C 错误； 由指数函数单调性，函数()122xx f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在定义域R 上单调递增，故D 正确.故选:D.5．两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）A ．74，75B ．52，53C ．41，42D ．38，39【答案】C【分析】依题意，靠左侧窗口的座位号均为奇数，构成以1为首项，4为公差的等差数列，靠右侧窗口的座位号均为偶数，构成以4为首项，4为公差的等差数列，分别求出其通项公式，从而可得出答案.【详解】依题意，靠左侧窗口的座位号均为奇数，构成以1为首项，4为公差的等差数列{}n a ，故其通项43n a n =-，显然选项A ，B ，D 不是靠左侧窗口的座位号，而C 满足； 靠右侧窗口的座位号均为偶数，构成以4为首项，4为公差的等差数列{}n b ， 则其通项4n b n =，显然选项A ，B ，C ，D 都不是靠右侧窗口的座位号， 所以座位号码符合要求的是41，42. 故选：C6．已知ABC 中，AD 为中线，2AC =，3cos 5ADC ∠=.若5BC =，则边AB 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D 13【答案】D【分析】由三角恒等式求出sin ADC ∠，再由正弦定理求出90DAC ∠=︒，最后由余弦定理得解.【详解】在ADC 中，24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=， 由正弦定理得：sin sin 1CD ADCDAC AC∠∠==，则90DAC ∠=︒，∴()4cos cos 90sin 5C ADC ADC =︒-∠=∠=；由余弦定理得：22242cos 254252135AB BC AC BC AC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， ∴13AB =故选：D.7．已知()f x 为偶函数，且函数()()g x xf x =在[)0,∞+上单调递减，则不等式()()11x f x --()220xf x +>的解集为（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】B【分析】根据函数的奇偶性概念易知()()g x xf x =为奇函数，又()g x 在[)0,∞+上单调递减，根据奇函数的对称性可知()g x 在R 上单调递减，再根据()()()11220x f x xf x --+>，可得()()120g x g x -+>，再根据奇偶性和单调性即可求出结果.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()g x xf x =为奇函数， 又()g x 在[)0,∞+上单调递减，所以()g x 在R 上单调递减，所以由()()()11220x f x xf x --+>，得()()()11220x f x xf x --+>， 即()()120g x g x -+>，()()()122g x g x g x ->-=-， 所以12x x -<-，得1x <-，即(),1x ∈-∞-. 故选：B.8．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B C D 【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于23-，可得2223b a =，所以椭圆的离心率为e =法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，外椭圆为()222220x y m m a b+=>，切线AC 的方程为()1y k x ma =+，联立()1222222,,y k x ma b x a y a b ⎧=+⎨+=⎩消去y 可得：()2222322422211120b a k x ma k x m a k a b +++-=， 因为直线AC 为椭圆的切线，所以()()26422224222111Δ440m a k b a k m a k a b =-+-=，化简可得：2212211b k a m =⋅-，设直线BD 的方程为：2y k x mb =+，同理可得()222221b k m a =-，因为两切线斜率之积等于23-，所以2223b a =，所以椭圆的离心率为e =故选：B.法二；设内层椭圆：22221x y a b+=，外层椭圆：22222x y m a b +=.设切点()111,P x y ，()222,P x y ，(),0A ma ，()0,B mb ， 切线1l ：11221x x y ya b +=，切线2l ：22221x x y y a b+=， ∴21121x b k a y =-⋅①，22222x b k a y =-⋅②，又∵11AP k k =，即211211x y b a y x ma-⋅=-，即222222111b x b m ax a y -+=，即22222222111b m ax a y b x a b =+=+，∴1mx a =，同理22BP k k =，∴2my b =，∴21y b x a=， 将1P ，2P 代入椭圆22221x ya b+=中得：221222y b x a =，经分析得：12y b x a =-，由①②可知22212122212x x b b k k a y y a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，∴2223b a =，∴2221e 13b a =-=，∴e =故选：B. 二、多选题9．已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共轭复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．z z +∈R B ．z z -∈R C ．z z ⋅∈RD ．zz∈R【答案】AC【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确； 对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误； 对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+， 所以当0a =时，z z∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC10．已知点O 是边长为1的正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的为（ ） A ．()12AO AB AD =+ B ．0AB BO ⋅>C ．AO BO =D ．25AB AD -=【答案】AD【分析】通过向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法与向量的数量积公式即可判断各选项正确与否.【详解】通过向量加法的平行四边形法则可知2AB AD AC AO +==，()12AO AB AD ∴=+，选项A 正确； cos ,0AB BO AB BO AB BO ⋅=⋅⋅<，选项B 错误；AO 与BO 方向不同，选项C 错误；延长AB 到E ,使2AE AB =,通过向量减法的三角形法则可知2AB AD ED -=,在Rt AED △中，()()22415DE AE AD =+=+=，25AB AD ED ∴-==，选项D 正确.故选：AD.11．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()20f x f x ++=，且函数()1f x +的图象关于1x =-对称.当[]0,2x ∈时，()cos2xf x π=.则下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点()()21,0k k -∈Z 中心对称B ．函数()y f x =的最小正周期为2C ．当[]2,3x ∈时，()1sin2xf x π+=-D ．函数()y f x =在[]()2,21k k k +∈Z 上单调递减 【答案】ABC【分析】根据()()20f x f x ++=及函数()1f x +的图象关于1x =-对称可得函数的周期和对称性，在此基础上，由当[]0,2x ∈时，()cos 2xf x π=，可得()f x 在R 上的解析式，根据()f x 的性质可得图像，根据图形即可判断.【详解】因为函数()f x 对任意x ∈R 都有()()20f x f x ++=，所以()()2220f x f x -++-=，即()()20f x f x +-=，所以()()22f x f x +=-，所以()()2222f x f x ++=+-，即()()4f x f x =+恒成立，所以()f x 的周期为4.因为函数()1f x +的图象关于1x =-对称，所以将()1y f x =+的图象向右平移一个单位，得到()y f x =的图象，所以()y f x =关于y 轴对称.对于A ：由图象可知，函数()y f x =的图象关于点()()21,0k k -∈Z 中心对称，故A 正确；对于B ：函数()y f x =的图象可以看成()y f x =的图象x 轴上方的图象保留，把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，所以函数()y f x =的最小正周期为2，故B 正确； 对于C ，在整个定义域内()cos 2xf x π=恒成立，所以()()1cos 1sin 22x f x x ππ⎡⎤+=+=-⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对于D ，错误. 故选：ABC.12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于M ，N .设BM x =，20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，给出以下四个结论，其中正确的有（ ）A ．平面MENF ⊥平面11BDD BB ．当且仅当13x =时，四边形MENF 的面积最小C ．四边形MENF 的周长()L f x =，20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调函数D ．四棱锥1G MENF -的体积()V h x =在20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先增后减【答案】AB【分析】对于A ：连接EF ，BD ，11B D ，由正方体的性质以及面面垂直的判定可判断；对于B ：由线面垂直的性质可得四边形MENF 是菱形.由菱形的面积公式可判断；对于C ：由10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小；12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大.由此可判断；对于D ：四棱锥1-C MENF 可分割成以1C EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥1M C EF -，1N C EF -.由三角形1C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面1C EF 的距离是个常数，由此可判断.【详解】解：对于A ：连接EF ，BD ，11B D ，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面11BDD B ，又EF ⊂平面MENF ，所以平面MENF ⊥平面11BDD B ，故A 正确； 对于B ：连接MN ，因为EF ⊥平面11BDD B ，所以EF MN ⊥，所以四边形MENF 是菱形.四边形MENF 的面积12S EF MN =⨯⨯，四边形MENF 的对角线EF 是固定的，所以当且仅当13x =时，四边形MENF 的面积最小，故B 正确；对于C ：因为EF MN ⊥，所以四边形MENF 是菱形.当10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小；当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大.所以函数在20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不单调，故C 错误； 对于D ：四棱锥1-C MENF 可分割为两个小三棱锥，它们是以1C EF 为底， 以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥1M C EF -，1N C EF -.因为三角形1C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面1C EF 的距离是个常数，所以四棱锥1-C MENF 的体积()V h x =为常值函数，故D 错误. 故选：AB.三、填空题 13．若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】120.5.【分析】利用基本不等式可直接求得结果.【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，112bb a a∴+=≥即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号）， 212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12.故答案为：12.14．若(13)n x -展开式中各项系数的和等于64,则展开式中2x 的系数是________. 【答案】135【分析】先由各项系数的和，求出n ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为(13)n x -展开式中各项系数的和等于64， 所以(13)64-=n ，解得6n =；所以6(13)-x 展开式的通项为16(3)+=-r r rr T C x ，令2r =，得2x 的系数为226(3)135-=C .故答案为135【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.15．已知函数()2sin 36f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，70,9x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有三个不同的零点123x x x ，，，且123x x x <<，则()1232m x x x ++的范围是________.【答案】1020,99ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【分析】令()0f x =，得2sin 36m x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()2sin 36g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数()= y g x ，y m =的图象，求出12m ≤<，1239210x x x π=++，即得解.【详解】解：依题意函数()2sin 36f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，70,9x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有三个不同的零点123x x x ，，，且123x x x <<，令()0f x =，得2sin 36m x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()2sin 36g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数()= y g x ，y m =的图象如图，由图可知12,x x 关于直线9x π=对称，23x x ，关于直线49x π=对称，而12m ≤<， 所以()123122328102()()999m x x x m x x x x m m πππ++=+++=+=1020,99ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1020,99ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 16．已知()()[),0,2e ,2,x x x f x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为________.【答案】)340,2e ,e ⎛⎫⎡⋃+∞ ⎪⎣⎝⎭【分析】根据分段函数的特征,分两种情况讨论.由()()21f x ef x =得的12,x x 关系,代入即可()12x f x ⋅利用函数单调性求最值即可求解.【详解】当2120x x >>>时,1122(),(),()f x x f x x f x x =∴==,则由()()221211e e e x f x f x x x x =⇒=⇒=,故此时()2212221()e ex x f x f x x ⋅==当202x <<,2214(0,)e ex ∈当212x x >≥时,1212()e ,()e ,()e x x x f x f x f x =∴==,()()212121e e ee 1x x f x f x x x =⇒=⇒=+,故此时()()()2122221()1e x x f x x f x x ⋅=-=-,记()2222222()1e ,()e 0,(3)x x g x x g x x x '=-=>≥ 所以2()g x 单调递增, 32()(3)2e g x g ≥=,故此时()3122e x f x ⋅≥.因为()f x 单调递增,不可能出现120x >>,而22x >故答案为: )340,2e ,e ⎛⎫⎡⋃+∞ ⎪⎣⎝⎭ 四、解答题17．已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【分析】（1）先由周期为π求出2ω=,再根据222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈进行求解即可； （2）先求出52666x πππ-≤-≤,可得12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】（1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭,当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x =【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题 18．已知数列{}n a 满足11a =，161n n a a n ++=-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列，且12b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)32n a n =- (2)23212n n n-+-【分析】（1）用作差法求得数列扔奇数项与偶数项都是等差数列，分别求得通项公式后合并可得结论；（2）由等比数列通项公式求得n n b a -，用分组求和法求得n S ． 【详解】(1)因为1211,5=+=a a a ，所以24a =，由161n n a a n ++=-①，可得216(1)1+++=+-n n a a n ②，两式作差得26n n a a +-=， 所以当m 为奇数时，11613(1)322-=+⨯=+-=-n n a a n n ； 当m 为偶数时22643(2)322-=+⨯=+-=-n n a a n n ， 综上所述，32n a n =-．(2)由{}n n b a -是公比为2的等比数列，且12b =可得11211-=-=b a ，设n n n c b a =-，则{}n c 是以首项为1，公比为2的等比数列，故112-=⋅n n c ，即1112,2322----==+=-+n n n n n n n b a b a n ，结合分组求和法可得()2112(132)3212122⋅-+--=+=+--n n n n n n n S ．19．《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：(1)从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在[)65,75且未使用过打车软件的概率；(2)从参与调查的年龄在[]70,80且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在[]75,80的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；(3)为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券．【答案】(1)3 25(2)分布列见解析，5 8(3)3900张【分析】（1）求出调查的100位老年人中年龄在[)65,75且未使用过打车软件的人数，再利用频率估计概率，即可估计该老年人的年龄在[)65,75且未使用过打车软件的概率；（2）求出X的所有可能取值，并分别求出X取每个值时对应的概率，即可写出X的分布列，然后利用定义或超几何分布的期望公式得其数学期望；（3）先求出随机抽取的100位老年人中使用过打车软件的人数，即可估计该公司至少应准备代金券的数量．【详解】(1)在随机抽取的100位老年人中，年龄在[)65,75且未使用过打车软件的人数为3912+=，所以随机抽取的这1位老年人的年龄在[)65,75且未使用过打车软件的概率12310025P==．(2)由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，且()211216C 110C 24P X ===，()11115216C C 111C 24P X ===，()232161212C P X C ===．所以X 的分布列为 X 0 1 2P 11241124112故X 的数学期望()1111150122424128E X =⨯+⨯+⨯=． (3)在随机抽取的100位老年人中，使用过打车软件的共有4120115178++++=（人）， 所以估计该公司至少应准备7850003900100⨯=张代金券． 20．如图，1l ，2l 是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l 上，M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点，且==PC AC a ，2PA a =.(1)证明：PC ⊥平面ABC ；(2)设平面MNC 与平面PBC 所成的角为θ（090θ︒<≤︒）.若2AB a =，BC AC ⊥.求cos θ的值.【答案】(1)证明见解析； (2)3cos θ=. 【分析】（1）根据给定条件，证明PC AC ⊥，再利用线面垂直的判定推理作答. （2）以点C 为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【详解】(1)在PAC △中，==PC AC a ，2PA a =，222PC AC PA +=，PC AC ⊥， 而1l 、2l 是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l 上，即PC AB ⊥，又AC AB A ⋂=，,⊂AC AB 平面ABC ， 所以PC ⊥平面ABC .(2)AC BC ⊥，且2AB a =，AC a =，即BC a =，以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,C B a A a P a ，又M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点，则(,,0),(0,,)2222a a a a M N ， 而CA ⊥平面PBC ，即()0,,0CA a =是平面PBC 的一个法向量，(,,0)22a aCM =，(0,,)22a aCN =，设平面MNC 的法向量(),,n x y z =，则02222a a n CN y z a a n CM x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =，得()1,1,1n =-，所以||3cos |cos ,|3n CA a n CA an CAθ⋅=〈〉===. 21．已知抛物线Γ：22x py =（0p >），直线1y kx =+交Γ于A 、B 两点.(1)若当1k =时，10AB，求p 的值；(2)如图，（i ）若()1OP OA OB λλ=-+，求PAB △面积的最小值.（ii ）抛物线Γ在A 、B 两点处的切线分别与y 轴交于C 、D ，AC 和BD 交于G ，0GC GD GE ++=.证明：存在实数λ，使得GE AB λ=.【答案】(1)12p =(2)（i ）22p （ii ）证明见解析【分析】(1)联立直线与抛物线方程，由弦长公式可得答案.(2)（i ）设OM OP =-，∴A ，M ，B 三点共线，又∵O 为MP 的中点，122PAB ABO S S x x ==-△△，联立方程，得出韦达定理，代入面积公式，可得出答案.（ii ）求出两切线方程，进而可求得点G 的坐标，分0,0k k =≠ k=0、k ≠0两种情况讨论，在0k =时，推导出,,C D G 重合，可得出存在0λ=；在0k ≠时，求出CD 的中点M 的坐标，利用斜率关系可得出//GM AB ，结合平面向量的线性运算可证得结论成立.【详解】(1)当1k =时，1y x =+，联立21,2,y x x py =+⎧⎨=⎩ 即2220x py p --=， 122x x p +=，122x x p =-，21211AB x x =+-224810p p +∴12p =或52p =-（舍去）. (2)（ⅰ）令OM OP =-，则()1OM OA OB λλ=-++，∵11λλ-++=，∴A ，M ，B 三点共线，又∵O 为MP 的中点， ∴12121222PAB ABOS S x x x x ==⨯⨯-=-△△，联立21,2,y kx x py =+⎧⎨=⎩消去y 得2220x pkx p --=，122x x pk +=，122x x p =-12PAB S x x =-==≥△0k =时等号成立.∴PABS的最小值为（ⅱ）22x py =即212y x p =，xy p'=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 切线方程：()111x y y x x p -=-，即2112x x y x p p =-，令0x =，则210,2x C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理可得2222x x y x p p =-，令0x =，则220,2x D p ⎛⎫- ⎪⎝⎭联立211222,2,2x x y x p p x x y x p p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则1212,21,2x x x pk x x y p +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴(),1G pk - 若0k =时，,,C D G 三点重合，则0GE =，又0AB ≠ 所以存在0λ=，使得GE AB λ=当0k ≠时，G 为ECD 的重心，则CD 中点()22120,4x x Q p ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，即()20,1Q pk --， ∴211GQpk k k pk-++==，∴GQ AB ∥，又∵GE GQ ∥，∴GE AB ∥，存在实数λ，使得GE AB λ=. 22．已知函数()()211e 2x f x x ax x a -=-+-+，其中a ∈R . (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0,1a ∈，设()()()0g x f x f =-，若0x 为函数()g x 在区间()0,∞+内唯一的一个零点，求证：当()00,x x ∈时，e 11xxa<+-. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求导后，求出()0f x '=的两根，再讨论两根的大小可得()f x 的单调性；（2）构造函数()e 11x xh x a=---，转化为证明()00h x ≤，转化为证明()()02f x f a ≤，再构造函数()()2111e a a a a ϕ+=--，利用导数可证不等式成立.【详解】(1)()()()()()()e 1e 1e 1e ex xxxx f x x a x a x a x a ----'=-++-+-=--=-⋅，令()0f x '=，得x a =或0x =，当0a >时，由()0f x '>，得x a >或0x <，由()0f x '<，得0x a <<， 所以()f x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减；当0a =时，由()()e 1e x xx f x '-=，则()0f x '≥恒成立.所以()f x 在(),∞+∞上单调递增；当0a <时，由()0f x '>，得x a <或0x >，由()0f x '<，得0a x <<， 所以()f x 在(),a -∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，综上所述：当0a >时，()f x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减； 当0a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(),a -∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减. (2)当()0,1a ∈时，()()()()01g x f x f f x a =-=+-，()g x 与()f x 的单调性相同，由（1）知，当()0,1a ∈时，()g x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 所以()()()()0000g a g f f <=-=，又()()()()222013e 0g f f a a -=-=-+->，存在0(,2)x a ∈，使得()00g x =所以函数()g x 在区间()0,∞+内有唯一的一个零点；设()e 11xx h x a=---，则()1e 1x h x a ='--，由()0h x '>，得()ln 1x a >--，由()0h x '<，得()0ln 1x a <<--， 所以()h x 在()()0,ln 1a -上单调递减，在()()ln 1,a --+∞上单调递增，又因为()00h =，所以要证明当()00,x x ∈时，e 11xxa<+-，即证()()0h x h <， 只要证明()00h x ≤，即证00e 11xx a ≤+-，即证0011ex x a a +-≥-，因为()()00f x f =，即020001112ex x a x ax a +--+=-， 所以只要证明00200001112e e x x x a x a x ax +-+--+≤，即证02x a ≤，因为()f x 在(),a +∞上单调递增，所以只需证明()()02f x f a ≤， 因为()()00f x f =，所以只需证明()()20f a f ≥， 因为()()()21201e aa f a f a +-=--， 设()()2111e a a a a ϕ+=--，则()()()()()()222224221e 1e 21e 201e 1e a a aa aa a a a a a a ϕ⎡⎤--+-+-⎣⎦'==>--，所以()a ϕ在()0,1上单调递增.所以()()00a ϕϕ>=， 所以()()20f a f >，所以原不等式得证【点睛】关键点点睛：本题第二小问解题关键是令()e 11xxh x a=---，将所证不等式转化为证明()00h x ≤，再通过构造函数()()2111e aa a a ϕ+=--，证明()0a ϕ>即可.。
2021-2022学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年四川省成都市高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）．(){}ln 10A x x =-<{}2320B x xx =-+≤A B = A ．B ．{}12x x ≤<{}12x x ≤≤C ．D ．{}12x x <≤{}12x x <<【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：∵，，{}12A x x =<<{}12B x x =≤≤∴，{}12A B x x ⋂=<<故选：D ．2．中心在原点的双曲线C 的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C 的方程为（ ）()2,0A ．B ．C ．D ．2213xy -=21x =2213x y -=2213y x -=【答案】D【分析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．a c 【详解】解：设双曲线的方程为．C 22221(0,0)x y a b a b -=>>由已知得：，，1a =2c =再由，，222+=a b c 23b ∴=双曲线的方程为：．∴C 2213y x -=故选：D ．3．若复数z 满足，则（ ）．()1i 13iz -=+z =A ．B ．12i -+12i +C ．D ．12i --12i-【答案】C【分析】根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.z 【详解】因为，故.()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+z =12i --故选：C ．4．已知，则外接圆的方程为（）((0,3)A B C ABC A ．B ．C ．D ．22(1)2x y -+=22(1)4x y -+=22(1)2x y +-=22(1)4x y +-=【答案】D【分析】求得外接圆的方程即可进行选择.ABC 【详解】设外接圆的方程为ABC ()222()x a y b r -+-=则有，解之得()()()222222222()0)0(0)3a b r a b ra b r ⎧+-=⎪⎪+-=⎨⎪-+-=⎪⎩012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则外接圆的方程为ABC 22(1)4x y +-=故选：D5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（ ）9.56A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺16.513 3.5 2.5【答案】D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.{}n a 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，{}n a 49.5a =春分当日日影长为，所以立夏当日日影长为.76a =71042 2.5a a a =-=故选：D6．下列四个命题：①，使；0x ∃∈R 200230x x ++=②命题“”的否定是“”；00,lg 0x R x ∃∈>,lg 0x R x ∀∈<③如果，且，那么；,a b R ∈a b >22a b >④“若，则”的逆否命题为真命题，其中正确的命题是（ ）αβ=sin sin αβ=A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【详解】中故不存在，使，①错；2230x x ++=441380, =-⨯⨯=-<0x R ∈200230x x ++=命题“”的否定是“”，故②错；00,0x R lgx ∃∈>,lg 0x R x ∀∈≤如果，且，那么，故③错；,a b R ∈0a b >>22a b <“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④对.αβ=sin sin αβ=本题选择D 选项.7．2021年4月8日，教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养.增强体质健康管理的意识和能力.某高中学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，下列说法中错误的是（ ）A ．样本的众数约为1672B ．样本的中位数约为2663C ．样本的平均值约为66D ．为确保学生体质健康，学校将对体重超过的学生进行健康监测，该校男生中需要监测的学75kg 生频数约为200人【答案】C【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值即可判断.【详解】对于A ，样本的众数为，A 对；657016722+=对于B ，设样本的中位数为，，解得，B 对；x ()50.0350.05650.060.5x ⨯+⨯+-⨯=2663x =对于C ，由直方图估计样本平均值为57.50.1562.50.2567.50.372.50.277.50.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，C 错误；66.75=对于D ，2000名男生中体重大于的人数大约为，D 对.75kg 200050.02200⨯⨯=故选：C.8．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段N ABCD ECD ∆ECD ⊥,ABCD M 的中点，则EDA ．，且直线是相交直线BM EN =,BM ENB ．，且直线是相交直线BM EN ≠,BM ENC ．，且直线是异面直线BM EN =,BM END ．，且直线是异面直线BM EN ≠,BM EN 【答案】B【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．EO CD ⊥O ON M MF OD ⊥F 连，平面平面．BF CDE ⊥ABCD 平面，平面，平面，,EO CD EO ⊥⊂CDE EO ∴⊥ABCD MF ⊥ABCD与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，MFB ∴∆EON ∆12EO ON EN ==，故选B ．5,2MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．9．已知，，，则以下不等式正确的是（ ）ln 22a =1e b =ln 55c =A ．B ．C ．D ．c b a >>a b c>>b a c>>b c a>>【答案】C 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再1ln e e e b ==ln ()(0)xf x x x =>利用单调性比较大小即可【详解】，，，ln 22a =1ln e e e b ==ln 55c =令，则，ln ()(0)xf x x x =>21ln ()x f x x -'=当时，，当时，，0e x <<()0f x '>e x >()0f x '<所以在上递增，在上递减，()f x (0,e)(e )+∞，因为，2e 5<<所以，，(2)(e)f f <(e)(5)f f >因为，ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 25(2)(5)0251010f f ---=-==>所以，(2)(5)f f >所以b a c >>故选：C10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F 1F 与在轴上方的交点为.若，则的离心率是（ ）l C x A 112AF F F ＝CA ．BCD 23【答案】A【分析】结合条件及余弦定理可得，然后利用椭圆的定义即求.2AF c=【详解】设，则，12AF F α∠=tan α=7cos 8α=又，112=2AF F F c=在中，由余弦定理可得，12AF F △222227442228AF c c c c c =+-⋅⋅⋅=∴，2AF c=∴，1223a AF AF c=+=∴，23c e a ==故选：A.11．设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式R ()f x '()f x '()()ln 20f x f x ->()14f =的解集为（ ）()22x f x ≥A ．B ．C ．D ．[]1,2[)1,+∞(],1-∞(]0,1【答案】B 【分析】首先设，从而得到在上为增函数，将等价于，再()()2x f x g x =()g x R ()22x f x ≥()()1g x g ≥利用单调性解不等式即可.【详解】设，，()()2x f x g x =()()()ln 202x f x f x g x '-'=>所以在上为增函数.()g x R 又因为，所以，()14f =()(1)122f g ==所以.()()()2112xf xg x g x ≥⇒≥⇒≥故选：B12．点，，，在同一个球面上，，若球的表面积为，则四面A B C D AB BC ==2AC =254π体体积的最大值为ABCDA ．B ．C ．D ．1234231【答案】C【分析】先求球的半径，再根据勾股定理得三角形ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得球心到平面ABC 距离，最后可得四面体体积的最大值.ABCD 【详解】因为球的表面积为，所以,254π225π54π44R R =∴=因为所以三角形ABC 为直角三角形，222224AB BC AC +=+==，从而球心到平面ABC ,34==因此四面体体积的最大值为，选C.ABCD 13512()(34423⨯+⨯=【点睛】本题考查四面体体积以及外接球，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13．设各项为正的等比数列的前n 项和，若，，成等差数列，则数列的公比为{}n a n S 1S -2S3a {}n a ______．【答案】3【分析】根据条件可得，然后可得关于公比的方程，解出即可.1322S a S =-+q 【详解】因为，，成等差数列，所以，1S -2S 3a 1322S a S =-+所以，因为，所以，解得或（舍），()211112a a q a a q +=-+10a ≠()2211q q +=-+3q =1q =-故答案为：314．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为____【答案】##6π30︒【分析】根据正方体性质有，则直线PB 与AD 1所成的角为，进而计算其正弦值11//AD BC 1PBC ∠得大小.【详解】由，连接，故直线PB 与AD 1所成的角为，11//AD BC 1PC 1[0,2PBC π∠∈若正方体棱长为2，则11BC PC PB ===所以，故，则，22211PC PB BC +=1PC PB⊥1111sin 2PC PBC BC ∠==故.16PBC π∠=故答案为：6π15．已知函数在处取得极值，则实数_________．()ln f x x =1x ==a 【答案】2-【分析】求出导函数，由求得值，并检验此时是极值点．()f x '()01f '=a 1x =【详解】∵()ln ,0f x x x =>∴，则，，1()f x x '=02(1)1af '+==2a =-当时，，2a =-1()f x x'==时，， 时，，01x <<()0f x '>1x >()0f x '<所以时，取得极值，1x =()f x 所以实数.=a 2-故答案为：.2-16．已知抛物线，过焦点F 的弦AB ，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交点P 的横坐24x y =标为1，则直线AB 的斜率为______．【答案】##0.512【分析】设，，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得交点横坐标结合条件即得.【详解】抛物线方程为，24x y =抛物线的焦点，∴()0,1F 由题意，直线AB 的斜率存在，设，，，:1AB l y kx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立，得，241x yy kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=，124x x k ∴+=由，得，求导得，24x y =24x y =2x y '=，即 ①∴()21111:42x x l y x x -=-21124x x y x =-同理②2222:24x x l y x =-由①②得，由题可得，即，∴1222x x x k +==12212x x x k +===12k =所以直线AB的斜率为.12故答案为：.12三、解答题17．为积极贯彻落实国家教育的“双减”政策，我市各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某初中学校为了解该校学生上学期来参加学业辅导、体育锻炼、综合实践三大类别的课后服务情况，德育处从全校七、八、九年级学生中按照1：2：3分层抽样的方法，抽取容量为240的样本进行调查.被抽中的学生分别对参加课后服务进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分.随后，德育处将八、九年级学生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：八年级学生评分结果频率分布表分数区间频数[)50,602[)60,70m[)70,8017[)80,9038[)90,10020(1)根据上述统计图表信息试求m和n的值；(2)为了便于调查学校开展课后服务“满意度"情况是否与年级高低有关，德育处把评分不低于70分的定义为“满意”，评分低于70分的定义为“不满意”，通过样本将七年级和九年级学生对课后服务“满意度"情况汇总得到下表：年级七年级九年级合计满意情况满意30不满意合计()20P K k ≥0.100.0500.0100k 2.706 3.841 6.635请补充上表，并判断是否有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关?附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】(1)，；3m =0.015n =(2)列联表见解析，没有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关．【分析】（1）由题干数据结合频率和为1，八年级学生总数即可得解；（2）由题干数据完善列联表，计算卡方，对比即可得解.【详解】（1）由已知八年级抽取人数为，，224080123⨯=++8021738203m =----=由频率和为1得，．(0.0050.020.040.02)101n ++++⨯=0.015n =（2）七年级人数为，九年级不满意人数为，1240406⨯=(0.0050.015)1012024+⨯⨯=列联表如下：年级满意情况七年级九年级合计满意3096126不满意102434合计40120160，22160(30241096)0.448 2.7061263440120K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%的可能性认为学校开展课后服务“满意度”情况与年级高低有关．18．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E，F 分别在AD ，CD 上，，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到的位置，54AE CF ==D EF ' OD '=(1)证明：平面平面ABCD ；D EF '⊥(2)求三棱锥的体积．B D AC '-【答案】(1)证明见解析；(2)12.【分析】（1）由题可得，然后利用菱形的性质，勾股定理及线面垂直的判定定理可得//EF AC 平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即得；D H '⊥（2）利用锥体的体积公式即得.【详解】（1）∵ABCD 是菱形，AD ＝DC ，又，54AE CF ==∴，则，DE DF EA FC =//EF AC 又由ABCD 是菱形，得AC ⊥BD ，则EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，则，EF D H '⊥∵AC ＝6，∴AO ＝3，又AB ＝5，AO ⊥OB ，∴OB ＝4，∴，则，1AE OH OD AD =⋅=3DH D H '==∴，则，又，平面ABCD ，222OD OH D H ''=+D H OH '⊥OH EF H = ,OH EF ⊂∴平面ABCD ，平面，D H '⊥D H '⊂D EF '所以平面平面ABCD ；D EF '⊥（2）由题可知，，11641222ABC S AC OB =⋅=⨯⨯= 3D H '=所以三棱锥的体积为.B D AC '-111231233B D AC D BAC ABC V V S D H ''--'==⋅=⨯⨯=19．在△中，ABC b a=cos A =(1)求证：△为等腰三角形；ABC (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的ABC b值.条件①：；π6B ∠=条件②：△的面积为；ABC 152条件③：边上的高为.AB 3注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析；(2)详见解析.【分析】（1）把转化为边a 、b 之间的倍数关系，把a 、b 、c 之间b a =cos A =的关系，综合可得证；（2）条件①,与已知cos A =条件②，通过三角形面积公式解得a ，可使△存在且唯一；ABC 条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一.ABC【详解】（1）在△中，由ABC b a =b =则由cos A =2222a c =+-即，故有()(35)0a c a c -+=c a=故△为等腰三角形.ABC （2）选择条件①：时，由（1）知，则有，π6B ∠=c a =512A C π∠=∠=此时，5cos cos cos()1264A πππ==+=≠与已知矛盾，三角形无解.不能选；选择条件②：△的面积为时，ABC 152由得，cos A =3sin sin(2)2sin cos 25B A A A π=-===故有，解得，,21315252a ⨯=5a =5c=b =三角形存在且唯一，可选.选择条件③：边上的高为.AB 3由得，cos A =3sin sin(2)2sin cos 25B A A A π=-===可得，则有,3353sin 5a B ===5c =b =三角形存在且唯一，可选.综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，b =选择条件③时，三角形存在且唯一，b =20．设函数，，()1x f x e kx =--0x ≥R k ∈（1）求的单调递增区间；()f x （2）当，时，求证：.1k =12a ≤2()f x ax ≥【答案】（1）当时，的单调递增区间是，当时，的单调递增区间是1k ()f x (0,)+∞1k >()f x ；（2）证明见解析(ln ,)k +∞【分析】（1）对函数进行求导，再对进行分类讨论，即可得到答案；k （2）由，只需证，设，又，只需证12a ≤21()2f x x ≥2211()()122x g x f x x e x x =-=---(0)0g =，利用恒成立，即可证明结论.()0g x '≥1x e x ≥+【详解】（1）， ()x f x e k '=-①当时，在恒成立，1k ()0f x ' (0,)+∞在单调递增；∴()f x (0,)+∞②当时，，，1k >'()0ln f x x k >⇒>'()00ln f x x k <⇒<<在单调递增，∴()f x (ln ,)k +∞综上，当时，的单调递增区间是，1k ()f x (0,)+∞当时，的单调递增区间是；1k >()f x (ln ,)k +∞（2）因为，要证，只需证，12a ≤2()f x ax ≥21()2f x x ≥设，2211()()1,022x g x f x x e x x x =-=---≥，令恒成立，()1x g x e x '=--()1,()10,0x x u x e x u x e x '=--=-≥≥所以在上单调递增，所以，()u x [0,)+∞()(0)0u x u ≥=即上恒成立，()0,[0,)g x x '≥∈+∞所以单调递增，，(),[0,)g x x ∈+∞()(0)0g x g ≥=即，得证.21()()02g x f x x =-≥【点睛】证明指对不等式要注意常用不等式的应用，如，等1,,ln 1x x e x e ex x x ≥+≥≥+ln(1)x x ≥+等，以及注意端点函数值与不等式的关系.21．已知椭圆分别为椭圆的上、下顶点，且2222:1(0)x y E a b a b +=>>,A B E .2AB =(1)求椭圆的标准方程；E (2)设直线与椭圆交于（不与点重合）两点，若直线与直线的斜率之和为，l E ,M N ,A B AM AN 2判断直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.l 【答案】(1)2214x y +=(2)直线经过定点．l (1,1)--【分析】（1）根据离心率和，求出，，从而求出椭圆方程；（2）先2AB =222a b c =+2a =1b =考虑直线斜率存在时，设直线，()，联立后用韦达定理，利用题干条件列出方程，:l y kx t =+1t ≠±求出，从而求出直线过的定点，再考虑斜率不存在时是否满足，最终求出答案.1t k =-【详解】（1c a=因为为椭圆的上、下顶点，且，所以 即 ，,A B 2AB =22b =1b =又222a b c =+解得：2a =所以椭圆的标准方程为E 2214x y +=（2）直线经过定点，证明如下：l ()1,1--①当直线的斜率存在时，设，()，l :l y kx t =+1t ≠±由，得，2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(14)8440k x ktx t +++-=则 得：222(8)4(14)(44)0kt k t ∆=-+->2241t k <+设1122(,),(,)M x y N x y 则，， 122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则1212121212112(1)()AM AN y y kx x t x x k k x x x x --+-++=+=8(1)24(1)(1)k t t t -==+-所以，经检验，可满足，1t k =-2241t k <+所以直线的方程为，即l 1y kx k =+-()11y k x =+-所以直线经过定点．l ()11--，②当直线的斜率不存在时，设，，，l :l x m =(,)M M m y (,)M N m y -则112M M AM AN y y k k m m---+=+=解得，此时直线也经过定点1m =-l ()11--，综上直线经过定点．l (1,1)--【点睛】直线过定点问题，需要设出直线方程，与曲线联立方程后用韦达定理得到两根之y kx b =+和，两根之积，利用题干中条件得到等量关系，找到与的关系，或者求出的值，从而确定所k b b 过的定点，注意考虑直线斜率不存在的情况.22．已知函数，函数()21f x x =-()ln g x a x =(1)如果曲线与在x ＝1处具有公共的切线，求a 的值及切线方程；()y f x =()y g x =(2)当时，讨论的零点个数．2a ≥()()()h x f x g x =-【答案】(1)；；2a =220x y --=(2)当时，函数的有一个零点；当时，函数的有两个零点.2a =()h x 2a >()h x 【分析】（1）和在处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解a 的值，()y f x =()y g x =1x =以及切线l 的方程；（2）分和讨论，利用导数研究函数的性质结合条件及零点存在定理即得.2a =2a >【详解】（1）由题可知，()2,()(0)a f x x g x x x ''==>由题意，公共切线的斜率，即，(1)(1)k f g ''==2a =又因为，(1)0f =所以切线方程为，即；()21y x =-220x y --=（2）因为函数，2()()()1ln (0)h x f x g x x a x x =-=-->则，22()2a x a h x x x x -'=-=当时，令，解得，2a =()0h x '=1x =与的变化情况如下：()h x '()h x x (0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 减函数增函数所以在上单调递减，在上单调递增，()h x (0,1)(1,)+∞所以当时，，1x =min ()(1)0h x h ==故有且仅有一个零点，()y h x =1当时，令，解得，2a >()0h x '=x 与的变化情况如下：()h x '()h x所以在上单调递减，在上单调递增，()hx ⎛ ⎝⎫∞⎪⎪⎭所以当，x=()min h x h = 因为，(1)0h =1> 所以函数在上存在一个零点，且，⎛ ⎝()10h h <=又，222e e 1ln e e 12a a a a a h a ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭令，则，()2e 1,22aa t a a =-->()e a t a a '=-设，则，在上单调递增，()()e a s a t a a '==-()e 10a s a ='->()s a ()2,a ∈+∞则，故，在上单调递增，()()22e 20s a s >=->()0t a '>()t a ()2,a ∈+∞所以，即，又，在上单调递增，()()22=e 30t a t >->2e 0a h ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭0h <()h x ⎫∞⎪⎪⎭所以存在，使得，20,e a x ∈⎫⎪⎪⎭0()0h x =所以，当时，函数存在两个零点；2a >()y h x =01,x 综上，当时，函数的有一个零点；当时，函数的有两个零点.2a =()h x 2a >()h x 【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.。
2021-2022学年山西省太原市第五中学高二下学期4月阶段性检测数学试题(解析版)
2021-2022学年山西省太原市第五中学高二下学期4月阶段性检测数学试题一、单选题1．若随机变量14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭～，则()21E X +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】根据14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭～，求出EX ，然后根据期望的性质求解()21E X +.【详解】因为14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭～，所以1422EX =⨯=，所以()21215E X EX +=+=.故选：D.【点睛】本题主要考查随机变量的计算，明确随机变量期望的性质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于4637787810101515+C C C CC C 的是（ ）A ．(2)P X =B ．(67)≤≤P XC ．(4)P X =D ．(34)≤≤P X【答案】D【分析】利用古典概型、组合的性质直接求解.【详解】在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄， 用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则28781015(2)C CP X C ==，故A 错误；7878101016451735(67)C C C CP X C C ≤≤=+，故B 错误；46781015(4)P C CC X ==，故C 错误；4637787810101515(34)C C C CP X C C ≤≤=+，故D 正确；故选：D【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，组合的性质，属于基础题.3．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，22a =，48a =，则7S =（ ） A ．31 B ．63C ．127D ．255【答案】C【分析】根据条件求出数列的首项和公比后再求和即可.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为0q >，则11312182a q a a q q ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩， 所以771(12)12712S ⨯-==-. 故选：C4．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261 B ．341C ．477D ．683【答案】B【详解】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果． 详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人. 故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 5．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C n rr r n T a b '-+=66622111(1)(1)(1)x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则6(1)x +展开式的通项为16r rr T C x +=则6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选：C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.6．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（ ） A ．0.832 B ．0.920C ．0.960D ．0.992【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008，所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=.故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7．从1，3，5中任取2个不同的数字，从0，2，4中任取2个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为 A ．96 B ．54 C ．108 D ．78【答案】A【分析】根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案.【详解】选取的两个偶数不包含0时：2213322336C C C A ⨯⨯⨯=选取的两个偶数包含0时：21323232(2)60C C A A ⨯⨯+⨯=故共有96个偶数 答案选A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分类可以简化计算.8．函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>的导函数()y f x '=的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在()1,x -∞单调递减B ．()f x 有三个零点C ．a ，b ，c 满足230b ac ->D ．()f x 有最小值无最大值【答案】C【分析】根据图象得导数()'f x 的零点的个数以及导数的符号，再逐项判断作答． 【详解】依题意，2()32f x ax bx c '=++，由图可知，()0f x '=有2个不相等的实数根， 则有24120b ac ∆=->，即230b ac ->，C 正确；又1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在1(,)x -∞上单调递增，13(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 在13(,)x x 上单调递减，3(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在3(,)x +∞上单调递增，则()f x 有两个极值点，没有最值，函数()f x 的极大值、极小值的符号不确定，则不能确定()f x 的零点个数，A ，B ，D 都错误． 故选：C9．某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排5名师范生到某贫困县的3所学校进行支教，要求每所学校至少安排1名师范生，且1名师范生只去一所学校，则不同的安排方法有（ ） A ．90种 B ．120种 C ．150种 D ．180种【答案】C【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名师范生分成3组，②将分好的三组全排列，安排到3所学校，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行：①将5名师范生分成3组，若分为1、1、3的三组，有35C 10=种方法，若分为1、2、2的三组，有12254222C C C 15A =种方法， 则有101525+=种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3所学校，有33A 6=种情况，则256150⨯=种安排方法； 故选：C10．已知对任意的1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得2ln 1e y x x a y -++=成立（e为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是A ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．21,e e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】利用导数先求出函数()ln 1f x x x a =-++的值域，再利用导数研究函数2()y g y y e =，根据函数的大致图象，让()f x 的值域是()g y 的不含极值点的单值区间的子集即可.【详解】设()ln 1f x x x a =-++，当1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()0x f x x '-=>，()f x 是增函数，所以1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()[,]f x a a e ∈-，设2()y g y y e =，()(2)y g y y ye +'=，当10y -≤<时，()0'<g y ，当01y <≤时，()0'>g y ，所以2()y g y y e =在[1,0)-上是减函数，在0,1]（上是增函数，且1(1)(1)g e g e -=<=，因为对任意的1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得2ln 1e y x x a y -++=成立，所以只需 11[,],]a a e e e（-⊆，解得2a e e <≤，故选D. 【点睛】本题主要考查了方程恒成立问题，构造函数，利用导数求函数的单调性和取值范围，属于难题. 二、填空题11．在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是___________. 【答案】12【分析】利用条件概率可求出结果.【详解】记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到白球”为事件B ， 则5()9=P A ，545()9818P AB =⨯=，所以5()18(|)5()9P AB P B A P A ==12=。
2021-2022学年四川省绵阳市盐亭中学高二年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2021-2022学年四川省绵阳市盐亭中学高二下学期开学数学试题一、单选题1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）()()2,0,5,3A B A ．B ．C ．D ．45︒135︒90︒60︒A【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,()()2,0,5,3A B 30152k -==-所以倾斜角为.45︒故选：A.2．曲线与曲线（）的（ ）22194x y +=22194x y k k +=--4k <A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等D【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断.【详解】曲线表示焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为22194x y +=x 64，焦距为；曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为()221494x y k k k +=<--x，焦距为对照选项可知：焦距相等.故选：D.3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个红球与都是红球C ．至少有一个红球与至少有1个黑球D ．恰有1个红球与恰有2个红球D【分析】A. 至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A. 至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B. 至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D4．已知直线和直线互相平行，则等于（ ）20x ay +-=10ax y ++=a A ．B ．C ．1D ．0±11-A【分析】由两直线的一般方程平行得，在进行检验,即可得到答案.210a -=【详解】直线和直线互相平行，，经20x ay +-=10ax y ++=2101a a ∴-=⇒=±检验两种情况都满足条件.故选：A.5．不论k 为何值，直线恒过定点（ ）20kx y k ++-=A ．B ．C ．D ．()1,2--()1,2-()1,2-()1,2B【分析】与参数无关，化简后计算k 【详解】，可化为，则过定点20kx y k ++-=(1)20k x y ++-=(1,2)-故选：B6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．10-6814B【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，，，20,1S i ==2,20218i S ==-=25<，；4,18414i S ==-=45<，此时，退出循环，8,1486i S ==-=85>输出的的为.S 6故选：B本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.7．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：文化程度与月收入列联表（单位：人）月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105由上表中数据计算得的观测值，请估计认为“文2K 22105(10302045) 6.10955503075K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯化程度与月收入有关系”的把握是（ ）（下面的临界值表仅供参考：）()2p K k>0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．B ．C ．D ．97.5%99% 2.5%1%A【分析】根据与临界值表对照下结论.26.109K ≈【详解】因为，22105(10302045) 6.109 5.02455503075K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有的把握认为“文化程度与月收入有关系”.97.5%故选：A8．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ）A ．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B ．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C ．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D ．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为，24687789910710甲+++++++++==v 甲的方差为()()()()()()()22222222274767277287297107 5.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s 乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为，9578768677710乙+++++++++==v 乙的方差为，()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s 所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；22乙甲<s s 从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误.故选：D.9．已知抛物线=的焦点为F ， M 、N 是抛物线上两个不同的点，若2y 4x ，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ）10MF NF +=A ．8B ．4C ．D ．992B【分析】过分别作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得,M N ,MA NB ,A B ，再过MN 的中点作垂直于准线，垂足为，然后利用梯,MF MA NF NB==C CD D 形的中位线定理可求得结果【详解】抛物线=的焦点，准线方程为直线2y 4x (1,0)F 1x =-如图，过分别作垂直于准线，垂足为，过MN 的中点作垂直,M N ,MA NB ,A B C CD 于准线，垂足为，D 则由抛物线的定义可得，,MF MA NF NB==因为，所以，10MF NF +==10MA NB +因为是梯形的中位线，CD MNBA所以，()1=52CD MA NB =+所以线段MN 的中点到y 轴的距离为4，C 故选：B10．已知椭圆双曲线的渐近线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>221x y -=有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为C C A ．B ．22182x y +=221126x y +=C ．D ．221164x y +=221205x y +=D【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，221x y -=y x =±∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C ：上，()222210x y a b a b +=>>∴，22441a b +=∵∴，∴，e =22234a b a -=224b a =∴22205a b ==，∴椭圆方程为.221205x y +=故选D.椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1116916716516B【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x 、y 点，则甲先到乙不需要等待须满足 ，乙先到甲不需要等待须满足，6x y +<6y x +<作出不等式组 表示的可行域如图（阴影部分）：02402466x y y x y x ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨>+⎪⎪<-⎩正方形的面积为 ，阴影部分面积为 ，2424576⨯=1218183242⨯⨯⨯=故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率，324957616=故选：B12．已知双曲线C ：-＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，若过原点倾斜角为的直线22x a 22y b 3π与双曲线C 左右两支交于M 、N 两点，且MF 1NF 1，则双曲线C 的离心率是⊥（ ）A．2B ．C D．1C【分析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F 2，过原点倾斜角为的直线为，设M 、N 分别在第3πl 三、第一象限，由双曲线和直线的对称性可知：M 、N 两点关于原点对称，而MF 1NF 1，因此四边l ⊥形是矩形，而，12F MF N 23NOF π∠=所以是等边三角形，故，因此，1F MO 11F M OM OF c ===OM ON c ==因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：23NOF π∠=123NOF π∠=1NOF，=由双曲线的定义可知：，21221c MF MF a c a e a -=⇒-=⇒===故选：C关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.二、填空题13．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________.33【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.【详解】因为抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，所以有，1155033550500600n n =⇒=++故3314．点A （1，2，1）关于原点O 的对称点为A ′，则|AA ′|为 __________．【分析】先求解A ′点的坐标，利用空间中两点的距离公式，即得解【详解】因为点A （1，2，1）关于原点O 的对称点为A ′(1,2,1)---所以||AA '==故15．过点可以向圆引两条切线，则的范围()1,1P 222420x y x y k ++-+-=k ___________.()2,7【分析】根据方程表示圆和点在圆外可得不等式，由此可解得的范围.P k 【详解】由表示圆可得：，解得：222420x y x y k ++-+-=()416420k +-->；7k <过可作圆的两条切线，在圆外，，解得：；P P ∴22112420k ∴++-+->2k >综上所述：的范围为.k ()2,7故答案为.()2,716．已知椭圆C ：的左右焦点分别为，，O 为坐标原点，以下说法正2214x y +=1F 2F 确的是______．①过点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则的周长为82F 1ABF ②椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=③椭圆C的离心率为12④P 为椭圆上一点，Q 为圆上一点，则线段PQ 的最大长度为32214x y +=221x y +=①②④【分析】根据椭圆的几何性质结合的周长计算可判断①；根据，可通过以1ABF c b >为直径作圆，是否与椭圆相交判断②；求出椭圆的离心率可判断③；计算椭圆12||F F 上的点到圆心的距离的最大值，即可判断④.【详解】对于①，由题意知：的周长等于1ABF ，故①正确；111122||||||||||||||48AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++==对于②， ，故以为直径作圆，与椭圆相交，交点即设为2,1,a b c c b ===>12||F F P ，故椭圆C 上存在点P ，使得，故②正确；120PF PF ⋅=对于③，，故③错误；c e a ==对于④，设P 为椭圆上一点，坐标为 ，则，2214x y +=00(,)x y 220014x y +=故，||PO ===因为，所以 的最大值为2，故线段PQ 的最大长度为20011,01y y -≤≤≤≤||PO 2+1=3，故④正确，故①②④.三、解答题17．已知椭圆的焦点，，P 是椭圆上一点，且满足，()11,0F -()21,0F 124PF PF +=(1)求椭圆的标准方程.(2)若直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且AB 的中点为，求直线l 的方程.11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)22143x y +=(2)3240x y +-=【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.,,a b c （2）结合点差法求得直线的方程.l 【详解】(1)∵､，∴，()11,0F -()21,0F 1c =∵，121242PF PF F F +=>=∴点P 在以，为焦点的椭圆上，1F 2F ∵，，∴，24a =21a c ==，23b =∴椭圆的标准方程是.22143x y +=(2)设，，又点A ，B 在椭圆上，()11,A x y ()22,B x y ∴，，2211143x y +=2222143x y +=两式作差，得：，22221212043x x y y --+=即：，()()()()1212121243x x x x y y y y -+-+=-由题可得：，，122x x +=121y y +=将其代入得直线的斜率，212132y y k x x -==--∴直线l 的方程为：，()13122y x -=--即.3240x y +-=18．已知的三个顶点是，，.ABC ()2,3A -()3,2B --()1,2C (1)求边的垂直平分线方程；BC(2)求的面积.ABC (1)；10x y ++=(2).8【分析】（1）利用中点坐标公式可求得中点，结合垂直关系可得所求直线斜率，由BC 此可得直线方程；（2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得点到边的距离和A BC d ，由可得结果.BC12ABC S BC d =⋅ 【详解】(1)由坐标知：中点为；又，,B C BC ()1,0-22113BC k +==+边的垂直平分线的斜率，∴BC 1k =-所求垂直平分线方程为：，即；∴()1y x =-+10x y ++=(2)由（1）知：，则直线方程为：，即；1BC k =BC 21y x -=-10x y -+=点到边的距离，∴ABC d.=11822ABC S BC d ∴=⋅=⨯= 19．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x （万元）357911y （万元）810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？=-收入成本收入100%⨯相关公式：，.()()()1122211ˆ=n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---=--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-（1）；（2）12万元的毛利率更大ˆ 1.75 1.75yx =+【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；ˆb ˆa （2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.12x =15x =ˆy【详解】（1）由题意，.7x =14y =()()()()()()()()5137814571014771314iii x x y y =--=--+--+--∑，()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑ˆ147 1.75 1.75a=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为.ˆ 1.75 1.75yx =+（2）当时，，对应的毛利率为，12x =ˆ22.75y =22.7512100%47.3%22.75-⨯≈当时，，对应的毛利率为，15x =ˆ28y =2815100%46.4%28-⨯≈故投入成本12万元的毛利率更大.本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n 、抽取样本成绩的中位数及分数在内的人数；[)80,90(2)若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数[50,60)[80,90)在内的概率．[50,60)(1)，中位数为73，4人25n =(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；1（2）总的事件总数是从分数在和内的学生中任选两人，待求的是至少[50,60)[80,90)有一人分数在内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.[50,60)【详解】(1)分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[)50,60内同样有2人.[]90,100由2100.008n =⨯解得：25n =根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为73分数在之间的人数为：[80,90)()25271024-+++=综上可得：样本容量，中位数为73，分数在内的人数为人25n =[80,90)4(2)设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在内”[50,60)为事件.M 将内的人编号为；内的2人编号为[80,90)4a b c d ,,,[50,60),A B 则在和内的任取两人的基本事件为：[50,60)[80,90)，共15个,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB 其中，至少有一人分数在内的基本事件：，共9[50,60),,,,,,,,aA aB bA bB cA cB dA dB AB 个.故所求的概率得：93M =155P =()21．已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点21:2(0)C y px p =>222:143x y C +=且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.(2,0)A x l 1C P Q P x M （1）求抛物线的方程；1C （2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.MQ （1）；（2）24y x =(2,0)-【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，PQ ()2y k x =-,P Q 设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系,从而得到的MQ y mx n =+,M Q ,m n 关系，找出定点.解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线PQ 2x ty =+,P Q的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得MQ x my n =+,M Q n 到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，()1,0所以，所以抛物线的方程为；2p =24y x =（2）【解法一】因为点与点关于轴对称P M x 所以设，，，()11,P x y ()22,Q x y ()11,M x y -设直线的方程为，PQ ()2y k x =-代入得：，所以，24y x =()22224140k x k x k -++=124x x =设直线的方程为，MQ y mx n =+代入得：，所以，24y x =()222240m x mn x n +-+=21224n x x m ==因为，，所以，即，10x >20x >2n m =2n m =所以直线的方程为，必过定点.MQ ()2y m x =+()2,0-【解法二】设，，，()11,P x y ()22,Q x y ()33,M x y 因为点与点关于轴对称，所以，P M x 31y y =-设直线的方程为，PQ 2x ty =+代入得：，所以，24y x =2480y ty --=128y y =-设直线的方程为，MQ x my n =+代入得：，所以，24y x =2440y my n --=234y y n =-因为，所以，即，31y y =-()211248y y y y n -=-=-=2n =-所以直线的方程为，必过定点.MQ 2x my =-()2,0-本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.22．①圆心C 在直线上，圆C 过点B (1，5)；②圆C 过直线:2780l x y -+=和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补:3580l x y +-=226160x y y ++-=充在下面的问题中进行求解．已知圆C 经过点A (6，0)，且 .(1)求圆C 的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线与圆C 交于M ，N 两点l ①求弦M N 中点Q 的轨迹方程；②求证为定值.PM PN ⋅ 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)22(3)(2)13x y -+-=(2)①；②证明见解析223320x y x y +--+=【分析】（1）选①，待定系数法可解；选②，利用过直线和圆交点的直线系方程可得；（2）①利用，数量积为0直接求轨迹方程；②利用韦达定理代换后化简可CQ PQ ⊥证，注意讨论斜率不存在的情况.【详解】(1)选①条件：设所求圆的方程为，222()()x a y b r -+-=由题意得解得，，，222222(6)(0)(1)(5)2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩3a =2b =213r =所以所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=选②条件：因为圆C 过直线和圆的交点，所以设圆3580x y +-=226160x y y ++-=C 的方程为，22616(358)0x y y x y λ++-++-=因为圆C 过点A （6，0），将点A 的坐标代入方程，解得，2λ=-所以圆C 的方程是，即22640x y x y +--=()()223213x y -+-=(2)①设，圆心C （3，2）(,)Q x y 由题意可知：得(3,2)(,1)0CQ PQ x y x y ⋅=--⋅-= 223320x y x y +--+=②当直线的斜率不存在时，直线：交圆C 得， l l 0x =(0,4),(0,0)M N 3PM PN ⋅=-当直线的斜率存在时，设直线：，设l l 1y kx =+1122(,),(,)M x y N x y 则22(3)(2)131x y y kx ⎧-+-=⎨=+⎩消元得，其中()2212(3)30k xk x +-+-=22(62)4(3)(1)0k k ∆=+-⨯-+>则，，122621kx x k ++=+12231x x k -=+，()()()()()112212121212212,1,11113PM PN x y x y x x y y x x kx kx k x x ∴⋅=-⋅-=+--=+⋅=+=-综上所述：＝－3∴为定值.PM PN ⋅ PM PN ⋅。
2021-2022学年浙江省杭州地区(含周边重点中学)高二下学期期中联考数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州地区（含周边重点中学）高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足510a =，则28a a +=（ ） A ．5 B ．10C ．20D ．40【答案】C【分析】利用等差中项的性质求解. 【详解】解：由题得285220a a a +==. 故选：C2．已知函数()y f x =的导函数的图象如右下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用导函数与函数的单调性的关系即得.【详解】由题可知()(),0,0x f x '∈-∞>，()y f x =函数单调递增，()()0,,0x f x '∈+∞>，()y f x =函数单调递增.故BCD 错误. 故选：A.3．数列122022n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭( )A ．既有最大项，又有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．既无最大项，又无最小项【答案】A【分析】结合指数函数单调性和值域即可判断． 【详解】∵1021024=，1122048=， ∴根据指数函数单调性可知，122022n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭在1≤n ≤10时为减数列且为负，在n ≥11时也为减数列且为正， 故数列最小项为第10项，最大项为11项． 故选：A ．4．已知随机变量X 满足()2D X =，则()31D X -=（ ） A ．5 B ．6 C ．12 D ．18【答案】D【分析】根据方差的性质计算可得；【详解】解：因为()2D X =，所以()()223133218D X D X -==⨯=；故选：D5．数列的前2022项和为（ ）A B C 1 D 1【答案】B【分析】，利用裂项相法求和即可；【详解】=记的前n 项和为n T ，则2022140452T =+)112=；故选：B6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()0f x f x '-<，则（ ） A ．()()12f f > B ．()()12f f < C ．()()e 12f f > D ．()()e 12f f <【答案】C【分析】由已知条件构造函数()()e xf xg x =，对函数求导，可判断出函数的单调性，然后由函数的单调性比较大小即可【详解】令()()e x f x g x =，则()2()e ()e ((e ))e )(x x xx f x f x f x f x g x ''--'==， 因为()()0f x f x '-<，e 0x >， 所以()0g x '<，所以()g x 在R 上为减函数， 所以(1)(2)g g >， 所以2(1)(2)e ef f >，所以()()e 12f f >， 故选：C7．某项射击试验中，某人首射中靶的概率为0.6，若前一次中靶，则后一次中靶的概率为0.9，若前一次不中靶，则后一次中靶的概率仍为0.6.若此人射击二次，则该人第二次中靶的条件下，第一次中靶的概率是（ ）A ．35B ．913C ．1013D ．910【答案】B【分析】直接由条件概率公式计算即可.【详解】设第一次中靶为事件A ，第二次中靶为事件B ，则()0.60.90.54P AB =⨯=，()()0.60.910.60.60.78P B =⨯+-⨯=，则()0.549()()0.7813P AB P A B P B ===. 故选：B.8．已知前n 项和为n S 的数列{}n a 满足()2132nn n S a n n -⋅=+-+，则2022a =（ ）A ．222022-⨯B ．2220228086⨯+C ．2220234044⨯+D ．2220238086⨯+【答案】B【分析】利用赋值法，分别令2024,2022n n ==求出202320232022S =⨯，202120212020S =⨯，再令2023n =可得20222023220222021S S =+⨯，再由202220222021a S S =-可求得结果【详解】因为()2132(1)(2)nn n n S a n n a n n -⋅=+-+=+--， 所以()2024202420241(20241)(20242)S a -⋅=+-⨯-，所以202420242023(20241)(20242)S S S =-+-⨯-， 所以2023(20241)(20242)20232022S =-⨯-=⨯， 同理202120212020S =⨯， 因为()2023202320231(20231)(20232)S a -⋅=+-⨯-，所以20232023202220222021S S S -=-+⨯， 所以20222023220222021S S =+⨯， 所以202220222021a S S =-202322022202120212020S =+⨯-⨯22023202222021=⨯⨯+⨯2220228086=⨯+，故选：B 二、多选题9．下列求导错误的是（ ） A ．()21log 33ln 2'=B ．()1ln 22'=x xC ．()2sin sin 2x x '=D ．2cos cos sin x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则及简单的复合函数的导数计算法则计算可得；【详解】解：对于A ：()2log 30'=，故A 错误；对于B ：()()()()1ln 2ln 2ln ln 2ln x x x x''''=+=+=，故B 错误；对于C ：()2sin 2sin cos sin 2x x x x '==，故C 正确；对于D ：()22cos sin cos sin sin x x x x x x x x x x x '''--⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：ABD10．已知二项式()812x -的展开式中（ ） A ．含2x 项的系数为28B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项是第五项D ．系数最大的项是第六项【答案】BC【分析】利用二项展开式的通项公式，对四个选项一一讨论： 对于A ：利用通项公式直接求解； 对于B ：利用赋值法，令x =1，即可求得； 对于C ：利用二项式系数的性质可得；对于D ：每一项的系数记为()182rr r t C +=-.直接求出系数最大的项. 【详解】二项式()812x -的展开式的通项公式为()182rr r T C x +=-. 对于A ：含2x 项为()2222382284112T C x x x =-=⨯=.故A 错误；对于B ：在二项式()812x -的展开式中，令x =1，可得所有项的系数和为1.故B 正确； 对于C ：二项式()812x -的展开式一共有9项，由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项是第五项. 故C 正确；对于D ：每一项的系数记为()182r r r t C +=-.显然r 为奇数，10r t +<；r 为偶数，10r t +>. 要求系数最大的项，只需比较r 为偶数的情况：r =0时，()001821t C =-=；r =2时，()22382112t C =-=；r =4时，()445821120t C =-=；r =6时，()667821792t C =-=；r =8时，()88782256t C =-=.故系数最大的项为第七项.故D 错误. 故选：BC.11．已知()0P A >，()0P B >，()0P C >（ ） A ．若事件,A B 独立，则()()P A P A B =B ．若事件,A B 互斥，则()()()()P A BC P A C P B C +=+ C ．若事件,A B 独立，则()()()()P C AB P C A P C B = D ．若事件,A B 互斥，则()()()()P C A B P C A P C B +=+ 【答案】AB【分析】根据条件概率的公式及独立事件与对立事件的概率公式即可求解.【详解】对于A ，因为事件,A B 独立，所以()()()P AB P A P B =， 所以()()()()()()()()P AB P A P B P A P A B P A P B P B ====,故A 正确； 对于B,因为事件,A B 互斥，所以()()()P A B P A P B +=+, ()()()()()()()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P A B C P C P C P C P C +⎡⎤+⎣⎦∴+===+()()P A C P B C =+,故B 正确；对于C ，因为事件,A B 独立，所以()()()P AB P A P B =， 所以()()()()()()()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P C AB P AB P AB P A P B ⎡⎤+⎣⎦===()()()()()()()()P AC P BC P C A P C B P A P B P A P B =+≠，故C 不正确；对于D, 因为事件,A B 互斥，所以()()()P A B P A P B +=+, 所以()()()()()()()()P C A B P AC BC P C A B P A P B P A P B +⎡⎤+⎣⎦+==++()()()()()()P AC P BC P C A P C B P A P B +=≠++,故D 不正确.故选：AB.12．已知()e xf x x ax b -=--（ ）A ．若24e b >，则()0,a ∞∃∈+，使函数()yf x =有2个零点 B ．若24e b >，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点 C ．若240e b <<，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点 D ．若240e b <<，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点 【答案】ACD【分析】数形结合，将问题转化为判断直线与曲线交点个数【详解】令()0f x =，则e xxax b =+ 所以 设()e xxg x =，则()1e x x g x ='- 当1x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减 ()g x 在1x =处取得极大值()11eg =当x 趋向于-∞时，()g x 趋向于-∞；当x 趋向于+∞时，()g x 趋向于0 又()2ex x g x -''=，()20g ''=且当2x <时，()0g x ''<；当2x >时，()0g x ''> 所以，2x =是函数()g x 的拐点()222e g =，()212eg '=- 所以()g x 在2x =处的切线方程为()2122e y x -=--，即2214e e y x =-+ 如图所示，ACD 正确，B 错误 故选：ACD 三、填空题 13．函数()1f x x=在区间[1,1]x +∆上的平均变化率是___________. 【答案】11x-+∆ 【分析】根据给定条件求出函数值的增量，再利用平均变化率的意义计算即得. 【详解】依题意，在区间[1，1+x ∆]内的函数值的增量为： y ∆=f (1+Δx )-f (1)=11x +∆-1=1xx-∆+∆， 于是得yx ∆∆＝11x-+∆， 所以所求的平均变化率为11x-+∆. 故答案为：11x-+∆ 14．函数()323f x x x =-的极小值点是___________.【答案】2【分析】利用函数极值点的定义求解.【详解】解：因为函数()323f x x x =-，所以()236f x x x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>，当02x <<时，()0f x '<， 所以()f x 的极小值点是2， 故答案为：215．5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）. 【答案】114【分析】先把5位学生分为两类分别为3,1,1和2,2,1，再用分步分类计数原理及间接法，结合组合数公式即可求解.【详解】由题意可知5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，，共有2233535322150C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种.甲、乙分配到同一个志愿点，有()12333336C C A +⋅=种所以不同的分配方案有15036114-=种 故答案为：114.16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于*n ∀∈N ，()()2120n n S a S a +++<恒成立，则等比数列{}n a 的公比为___________.【分析】由题可得()()221110n n q q q q q q ++--+--<恒成立，由1n =时，可得112q -<<-，进而210q q +-=，即得.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题可知1q ≠，由()()2120n n S a S a +++<，可得()()1111111011n n a q a q a q a q q q +⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥++<--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()()()2221121101n n a q q q q q q q ++--+--<-，即()()221110n n q q q q q q ++--+--<，当1n =时，()()()()()22211212110q q q q q q -+-=-++<，∴112q -<<-，又,0n n q →+∞→，10n n q q +⋅<，()()221110n n q q q q q q ++--+--<恒成立，则210q q +-=，解得q .四、解答题17．已知()2sin 2f x x x =+. (1)求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求函数()y f x =的单调递增区间.【答案】1 (2)()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再将π12x =代入计算即可； （2）根据三角函数的单调性进行转化即可求解.【详解】(1)())sin 21cos2sin 2f x x x x x =-=π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππππ2sin 22sin 1121236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)由（2）知，π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈所以函数()y f x =的单调递增区间是()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.18．如图，已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=，2AB =，1BC =，SA =M 、N 分别为SB 、SC 的中点.(1)证明：//BC 平面AMN ； (2)求点M 到平面ABN 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)1510【分析】（1）利用中位线的性质可得出//MN BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点A 在平面ABC 内作AO AB ⊥，以点A 为坐标原点，AO 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面ABN 的距离.【详解】(1)证明：因为M 、N 分别为SB 、SC 的中点，则//MN BC ，BC ⊄平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，因此，//BC 平面AMN .(2)解：过点A 在平面ABC 内作AO AB ⊥，因为SA ⊥平面ABC ，以点A 为坐标原点，AO 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,2,0B 、35,02C ⎫⎪⎪⎝⎭、(3S 、3M ⎛ ⎝⎭、3534N ⎝⎭， 设平面ABN 的法向量为(),,n x y z =，()0,2,0AB =，35344AN ⎛= ⎝⎭，则2035044n AB y n AN x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，可得()2,0,1n =-， AM ⎛= ⎝⎭，所以，点M 到平面ABN 的距离为325AM nd n⋅===. 19．盒子里有3个球，其中2个白球，1个红球.从中随机取球，若取到红球则放回，若取到白球，则不放回，当第2次取到红球时，取球终止. (1)求恰好取了4次球的概率；(2)设游戏终止时取出的白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及期望. 【答案】(1)1118； (2)分布列答案见解析，数学期望：32.【分析】（1）由题可知前3次取得1次红球，2次白球，第4次为红球，以取得红球为标准分类即得；（2）由题可得ξ的取值为0，1，2，分别求概率即得分布列，再利用期望公式可得. 【详解】(1)由题可知前3次取得1次红球，2次白球，第4次为红球， 设第i 次取到红球的事件记为i A ，1,2,3i =，则()2212311139A P A A =⋅⋅=，()2222311126A P A A =⋅⋅=，()2232313A P A A ==，故恰好取了4次球的概率()()()()1231118P A P A P A P A =++=； (2)由题可知ξ的取值为0，1，2()1110339p ξ==⋅=，()2111215132233218p ξ==⋅⋅+⋅⋅=，()11218p ξ==所以ξ的分布列为：所以()15113012918182E ξ=⨯+⨯+⨯=.20．阿司匹林（分子式984C H O ，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300mg ，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200mg .阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式763C H O ，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的2330，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位mg ）；(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg . 【答案】(1)()1265mg 24(2)证明见解析【分析】（1）设n a 是24n 小时后第1n +次服药前血液中水杨酸的含量，先求出1a ，再表示出递推关系式1123200430n n a a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，即可求解；（2）先由（1）中递推关系式构造得到等比数列4609n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，求得2304n a ≤，再求得刚服药后23023200230430+⨯<即可求解. 【详解】(1)设n a 是24n 小时后第1n +次服药前血液中水杨酸的含量，易知每24小时，水杨酸的含量变为原来的14，则12312303003044a =⨯⨯=， 2n ≥时，11123146020043043n n n a a a --⎛⎫⎛⎫=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21146025301265mg 434824a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭； (2)由（1）知14601460949n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1460230936a -=， 则4609n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为23036，公比为14的等比数列， 故146023019364n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，146023014602301230936493644n n a -⎛⎫⎛⎫=+⋅≤+⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 230231120023023043012+⨯=⨯<， 故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.21．已知点Q 为双曲线()222:11y C x b b-=>右支上的点，双曲线C 在点Q 处的切线l 交渐近线于点M ，N .(1)证明：Q 为MN 中点；(2)若双曲线C 上存在点P 使PMN 的垂心恰为原点，求b 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)1b <【分析】(1)设(),Q m n ，代入双曲线方程，得到Q 的切线方程，进而联立渐近线方程分别求出,M N ，通过运算即可证明Q 为MN 中点.(2)双曲线上存在点00(,)P x y ，设()11,M x y ，()22,N x y ，通过联立PM l 与PN l ，得到P 的坐标，然后分别把,P Q 代入双曲线方程，利用双曲线的几何性质，得到b 的范围. 【详解】(1)设(),Q m n ，满足()222mb n b -=，过Q 的切线方程21ny mx b-= 点M 满足方程21y bxny mx b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，2,b b M mb n mb n ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理可得点N 满足方程21y bxny mx b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，2,b b N mb n mb n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ ()22222b b mb m mb n mb n mb n +==-+-；()2222222b b nb n mb n mb n mb n -+==-+-. 所以Q 为MN 中点；(2)双曲线上存在点00(,)P x y ，()11,M x y ，()22,N x y . 由直线()111:PM l y y x x b -=-与直线()221:PN l y y x x b-=--得点P 坐标为 ()()()()22122111,22b x x b x x P b ⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由122x x m +=，212n x x b -=-得点P 坐标为()()22211,b n P b m b ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭， 将点P 坐标代入双曲线方程得()()2222226111b n bm b---=，与点Q 满足的方程()22211n m m b -=≥联立得()()2222421111b m b b -=--≥， 解得212b <≤，即1b <.22．已知函数()()e 1ln f x x x =--，实数1x ，2x 为方程()f x a =的两个不等的根. (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：()121ee 11e 2x x a ---+⎡⎤⎣⎦-≤. 【答案】(1)()()e 1ln e 1e 1a <---+ (2)证明见解析【分析】（1）利用函数的单调性即可求解；（2）通过观察发现()f x 在1x =处的切线方程为()e 2e+1y x =--，在e x =处的切线方程为e x y =-，利用导数即可证明()()e 2e 1f x x --+≤和()e xf x -≤，再利用()f x 在区间()0,e 1-和()e 1,-+∞上的切线与y a =的交点的横坐标与()f x a =零点的关系即可证明.【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()e 1e 11x f x x x---'=-=， 所以()f x 在()0,e 1-上单调递增，在()e 1,-+∞上单调递减， 则()()()()max e 1e 1ln e 1e 1f x f =-=---+()e 1lne e 10-<-+=， 所以()()e 1ln e 1e 1a <---+(2)()f x 在1x =处的切线的斜率为()e 2f x '=-，其切线方程为()e 2e+1y x =--， 首先证明：()()e 2e 1f x x --+≤()()()e 1ln e 2e 1F x x x x =----+-， ()()()()e 11e 11e 2x F x x x---'=---=, ()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减, ()F x 的最大值()10F =，所以()()e 2e 1f x x --+≤成立,()f x 在e x =处的切线的斜率为()1e ef '=-，其切线方程为e x y =-，再证明：()e xf x -≤,()()e 1ln e xG x x x =--+，()()()e 1e e 111e e x G x x x---'=-+= ()G x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减,()G x 的最大值()e 0G =，所以()exf x -≤成立,不妨设12x x <，实数1x ，2x 为方程()f x a =的两个不等的实根,设直线y a =与()f x 在()000e 1x x x =<<-处的切线的交点的横坐标为1x '， 则()e 2e 1a x =--+可得1e 1e 2a x +-'=-, 由()()e 2e 1f x x --+≤可得11x x '≥， 设直线y a =与()f x 在()00e 1x x x =-<处的切线的交点的横坐标为2x '， 则exa =-可得2e x a '=-, 由()exf x -≤可得22x x '≤， 所以()1212e 11ee e 11e 2e 2a x x x x a a +--''--=+=-+⎡⎤⎣⎦--≤. （注：不等式ln 1≤-x x ，ln exx ≤可以直接使用）。
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2021年高二下学期周测数学试题含答案
班级：________ 姓名：___________ 得分：__________
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．已知集合，，则______．
2．“若a＞b，则”的逆否命题为．
3．若函数在处取得极值，则的值为 .
4．设命题实数满足，其中；命题实数满足，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为________．5．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________．
6．函数的单调递增区间为，值域为．
7．已知函数在处的切线与直线平行，则的值为________．
8．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则＝________；9．设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，则满足不等式的取值范围是________．10．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是．
11．已知点在曲线（是自然对数的底数）上，点在曲线上，则的最小值为 . 12．若函数在内满足：对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为．
13．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是____________．
14．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足
，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：
①函数是上的“平均值函数”．
②若是上的“平均值函数”，则它的均值点．
③若函数是上的“平均值函数”，则实数的取值范围是．
④若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）
二、解答题：（本大题共6小题，共90分）
15．已知：全集，函数的定义域为集合，集合．
（1）求；（2）若，求实数的范围．
16．已知，命题：，命题：．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题“”为真命题，且命题“”为假命题，求实数的取值范围．
17．设函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的极值；
（2）当时，若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
18．已知函数在定义域上为增函数，且满足
，
(1)求的值；
(2)解不等式
．
19．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）函数在上的最大值与最小值的差为，求的表达式．
20．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，令．求在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函数对恒成立，求实数的取值范围．
参考答案1． 2．若，则 3．0 4．
5． 6．， 7． 8．
9． 10． 11．
12．． 13． 14．①③④15．(1)；（2）．
16．（1）（2）（3）
17．（1）极小值是，极大值是；（2）．18．（1），；（2）．
19．（Ⅰ）单调递增区间为；（Ⅱ）
2
171
5,0,
42
1
()64,1,
2
46, 1.
t t t
h t t t
t t
⎧
++<≤
⎪
⎪
⎪
=+<≤
⎨
⎪
+>
⎪
⎪
⎩
．
20．（Ⅰ）单调递增区间是（0,2），单调递减区间是；（Ⅱ），；（Ⅲ）．。