2020-2021学年江苏省高三5月模拟数学试卷及答案解析

江苏省高考模拟检测

数学试题

注意事项:

1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟. 2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.

3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合{}

22A x x =-<<，集合{}1,2B =，则A B ⋂= ▲．

2．已知复数31i

z i

-=

+（i 是虚数单位），则z 的实部是 ▲． 3．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[)130,140内的学生人数为 ▲．

a

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲．

5．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲． 6．函数()()ln f x x e =-的定义域为 ▲．

7．在三棱锥S ABC -中，面,,SAB SBC SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且

2AB BC CA ===，则三棱锥S ABC -的表面积是 ▲．

8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的离心率为6，直线

1

:3

l y x =与椭圆E 相交于,A B 两点，210AB =，则椭圆

的标准方程为 ▲．

9．函数)2

||,0,0)(sin()(π

φωφω<

>>+=A x A x f 的部分

图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移

6

π

个单位后，得到的图像解析式y = ▲． 10．若函数()2,0,ln ,0x x x f x x x x a

⎧+≤⎪

=⎨->⎪⎩在其定义域上恰有两个零点，

则正实数a 的值为 ▲．

F

E D

C A

B

11.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．2BE CE ⋅=u u u r u u u r

，2BC =，则BF CF ⋅=u u u r u u u r

▲．

12．过点作直线l 与圆2

2

:1C x y +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，则实数t 的取值范围是 ▲．

13．设正项等比数列{}n a 首项12a =，前n 项和为n S ，且满足3224a S +=，则满足

266166515

n n S S <<的最大正整数n 的值为 ▲． 14.在锐角三角形ABC 中，sin c a B =，则实数sin C 的最大值是 ▲．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

在三角形ABC 中，角C B A ，，的对边分别为c b a ,,,C b a cos 4=,10

10

3sin =C (1)求角B 的值； (2)若5=b ，求三角形ABC 的面积。

16.（本题满分14分）如图直三棱柱111C B A ABC -中

12AA AC =，BC AC ⊥，D 、E 分别为11C A 、AB 的

中点。

求证：（1）⊥AD 平面BCD ；

（2）E A 1∥平面BCD 。

17.（本题满分14分）

如图，一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房，半径为1，点P 是花草房弧上一个动

点，不含端点，现打算在扇形BOP 内种花，

PQ OA ⊥,垂足为Q ，PQ 将扇形AOP 分成左右两部分，在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏

观赏区θ

种草区

种花区

Ｂ

O

A

P

区，在PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a ，种草的单位面积的造价为2a ，其中a 为正常数，设AOP θ∠=,种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，总造价为()f θ (1) 求()f θ关于θ的函数关系式；

(2) 求当θ为何值时，总造价最小，并求出最小值。

18．（本题满分16分）

在直角坐标系xOy 中，B A F ,,分别为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点、右顶点

和上顶点，若2

3,==∆FAB S FA OF (1)求b a ，的值；

(2)过点)2,0(P 作直线l 交椭圆于N M ,两点，过M 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点Q ,连接NQ ，求证：直线NQ 经过一个定点。

19.（本题满分16分）

已知函数

ax x x f -=ln )(，a x

x g +=

1

)(. （1）当2a =时，求)()()(x g x f x F -=在(]0,2的最大值； （2）讨论函数)()()(x g x f x F -=的单调性；

（3）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值集合.

20．(本小题满分16分)

已知数列{a n }，{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n （n ∈N *

）． （1）若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＋1b n －1＝b n （n ≥2），且b 1＝1，b 2＝2． （i ）记c n ＝a 6n －1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；

（ii ）若数列{a n

n

}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1应满足的条