极化恒等式优化向量题解法

课题：极化恒等式在向量问题中的应用

学 习 目 标

目标1：通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；

目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；

目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围； 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。 重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点

根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式

目标达成途径

学习自我评价

阅读以下材料：

.

两倍等于两条邻边平方和的平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设

，，则b a DB b a A -=+=C

()

2

22

2

2

2C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1） ()

2

22

2

2

2b b a a b a DB

DB +⋅-=-== （2）

（1）（2）两式相加得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222

2

22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？ b a ⋅＝

()()

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

--+2241b a b a ————极化恒等式

对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得

极化恒等式的几何意义是什么？

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角

目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，并理解其几何意义

M

图1

线”与“差对角线”平方差的

4

1. 即：[]

2

24

1DB AC b a -=⋅（平行四边形模式）

思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以2

2

4

1DB AM b a -

=⋅（三角形模式）

例1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则

AB AC ⋅=____ .

解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：

2

2

41BC AM AC AB -

=⋅=9-1004

1⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三

角形的中线，再写出极化恒等式。

目标检测

.

______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ⋅

.

________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为

正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，

且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB （也可用正弦定理求AB ） 又由极化恒等式得：

34

12

22

-=-

=⋅PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD

所以]6,2[-∈⋅PB PA 【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变

目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值

A

B

C

M

目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

目标检测

8

.6.3.2.)

(134)112010(2

2D C B A FP OP P

y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文⋅=+

问题、疑惑、错解汇集

能力提升

例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足01

4

P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。则( ) A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C. AB AC = D. AC BC =

目标检测

2

2.

2.2.1.)(,0)()(2,)92008(D C B A c c b c a c b a 的最大值是则满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅-

问题、疑惑汇集

目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题

∆中，AB ．在ABC

.

7. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-

23,23 B. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-21,21 8．在锐角ABC ∆中，已知3

B π

=，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围是 ．