凸优化理论笔记
凸优化理论与应用-暑期学习总结
“凸优化理论与应用”暑期学校学习总结一、专家介绍Stephen Boyd：斯坦福大学教授，曾多次来哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心开展学术讲座和交流活动。
讲课全部是英文，很开朗。
段广仁：哈尔滨工业大学教授，曾于外国留学，讲了一口流利的英语，和Stephen Boyd教授交流时全部是英语。
谭峰：段广仁的学生，曾去Stephen Boyd教授那里做一年博后，然后回国，现在就职于哈尔滨工业大学，讲师。
所以此次由她给大家做辅导。
二、课程安排7.13上午8:15-9:15 开幕。
段广仁老师对于本次暑期学校开展、Stephen Boyd、谭峰以及幕后的工作人员做了简单的介绍，谈了课程的变动的原因以及可能给我们加课等事宜。
9:30-11:00讲座1(Lecture 1) Stephen Boyd 教授。
7.14上午8:15-9:15 谭峰博士对于前一天Stephen Boyd 教授讲的知识的一个回顾。
9:30-11:00讲座2(Lecture 2) Stephen Boyd 教授。
下午14:00-15:00讲座3(Lecture 3)Stephen Boyd 教授。
7.15上午8:15-9:15 谭峰博士。
9:30-11:00讲座4(Lecture 4) Stephen Boyd 教授。
7.16上午8:15-9:15 谭峰博士。
9:15-9:30 所有人一起拍一张照片。
9:30-11:00讲座5(Lecture 5) Stephen Boyd 教授。
三、主要知识1.凸优化相应理论.本部分一共有8章，老师只用了两节课共3个小时就讲完了。
这部分的内容虽然我很认真的听了，也只能知道一点概况，说实话想学明白还需要以后投入大量的时间精力。
1.1 绪论此部分介绍了在现实生活中存在的凸优化问题，最小二乘，线性规划，凸优化问题等。
1.2. 凸集在此部分介绍了凸集里包含的集合的形式，如仿射集、凸集、凸锥、超平面和半空间、多面体、半正定锥、交集（凸集的交集还是凸的）以上这些都是凸的。
7月算法笔记-第四课
这里是七月算法12月机器学习班的上课笔记，为了图方便，有些是直接在老师的PPT上做笔记了，如果有碍观瞻请忽略，并且也无耻地摘抄了同学的部分笔记，主要是一些数学公式截图，请见谅，多谢！第四课凸优化“凸优化”指的是一种比较特殊的优化，通过“凸优化”我们能够把目标函数转化成一个“凸函数”然后利用凸函数的性质求极值来求解问题。
“凸优化”不仅仅在机器学习中有所应用，几乎在任何用到有关于目标函数求值的问题都会在这个框架下用到。
本课通过三个层次来讲解，凸集、凸函数、凸优化如何用对偶函数，拉格朗日乘子法来解决的。
1、两个不等式的引入两个正数的算术平均数大于等于几何平均数，a>0, b>0给定可逆对称阵Q，对于任意的向量x、y，有：可以在凸函数的框架下得到解决。
2、凸集和凸函数y=x2是凸函数，函数图像上位于y=x 2 上方的区域构成凸集。
凸函数图像的上方区域，一定是凸集；一个函数图像的上方区域为凸集，则该函数是凸函数。
因此，学习凸优化，考察凸函数，先从凸集其性质开始。
3、直线的向量表达：假设直线经过两点A、B，则：，,；当时，表示过AB的直线。
当时，表示过AB的线段。
2、几何体的向量表达任何体都可以用向量表达三维平面：三角形：超平面：（超）几何体：3、仿射集定义：通过集合C中任意两个不同点的直线仍然在集合C内，则称集合C为仿射集。
类比几何体向量表达中的平面表达，多点的时候要满足仿射集的例子：直线、平面、超平面超平面：Ax=b表示定义域在R n 的超曲面：令f(x)=Ax-b，则f(x)=0表示“截距”为b的超平面。
三维空间的平面是二维的；四维空间的平面是几维的？维空间的n-1维仿射集为n-1维超平面。
后面将继续考察超平面的定义。
4、凸集集合C内任意两点间的线段均在集合C内，则称集合C为凸集。
类比几何体向量表达中的几何体表达，多点的时候要满足因为仿射集的条件比凸集的条件强，所以，仿射集必然是凸集。
5、凸包集合C的所有点的凸组合形成的集合，叫做集C的凸包。
数学中的凸优化与非线性优化
数学中的凸优化与非线性优化在数学领域中，优化问题是一个重要的研究方向。
其中，凸优化和非线性优化是两个常见且有广泛应用的分支。
本文将介绍凸优化和非线性优化的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、凸优化凸优化是一类优化问题，其目标函数是凸函数，约束条件是凸集合的问题。
凸函数在数学中有着独特的性质，使得凸优化问题可以在理论上和实践中得到高效的求解。
1.1. 凸函数凸函数是指定义域为凸集合的实数函数，满足任意两个点的连线上的函数值不大于这两个点对应的函数值之和。
即对于任意实数$x_1,x_2$和任意$t\in(0,1)$，有：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$其中$f(x)$为凸函数。
1.2. 凸优化问题凸优化问题是指目标函数为凸函数，约束条件为凸集合的优化问题。
其一般形式为：$$\begin{align*}\text{minimize} & \quad f_0(x)\\\text{subject to} & \quad f_i(x) \leq 0,\quad i = 1, 2, \ldots, m\\& \quad h_i(x) = 0,\quad i = 1, 2, \ldots, p\\\end{align*}$$其中$f_0(x)$为凸函数，$f_i(x)$和$h_i(x)$为凸函数或仿射函数。
1.3. 凸优化的应用凸优化在实际问题中有着广泛的应用。
例如在机器学习中，凸优化被用于支持向量机、逻辑回归等模型的训练。
在信号处理中，凸优化被应用于压缩感知、信号恢复等问题。
在运筹学中，凸优化被用于线性规划、整数规划等问题。
二、非线性优化非线性优化是指目标函数和约束条件均为非线性函数的优化问题。
与凸优化不同，非线性优化问题的求解更加困难，往往需要借助数值计算方法来获得近似解。
2.1. 非线性函数非线性函数是指定义域为实数集合的函数，其函数值不满足线性关系。
03凸优化理论与应用_凸优化
03凸优化理论与应用_凸优化凸优化理论与应用是数学领域的一个重要分支，是一种优化问题的求解方法，它在工程、经济学、物理学、统计学等领域具有广泛的应用。
凸优化问题是指目标函数是凸函数（convex function）且约束条件是凸集（convex set）的优化问题。
凸函数是一种特殊的函数，它的任意两个点之间的线段在函数图像上方。
凸集是一种特殊的集合，对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段的端点也在集合中。
凸优化问题是在满足凸性条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的变量值。
凸优化问题具有以下重要性质：1.局部最优解是全局最优解：对于凸优化问题，只需要找到一个局部最优解，就可以确定它就是全局最优解，无需再进行进一步的。
2.解的存在性：凸优化问题在一些条件下保证存在解，这对于实际问题的求解非常重要。
3.解的唯一性：对于凸优化问题，只能存在一个最优解，不会出现多个最优解的情况。
4.算法的可行性：凸优化问题可以通过多种有效的算法求解，这些算法具有较高的收敛速度和稳定性。
凸优化问题可以分为无约束问题和有约束问题两类。
无约束问题是指目标函数只有一个变量，没有约束条件；有约束问题是指在目标函数的最优化问题的基础上增加约束条件。
在凸优化理论中，有一些重要的概念和定理，如凸集、凸函数、凸锥、支撑超平面、KKT条件等。
这些概念和定理为凸优化问题的求解提供了理论基础和方法。
凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.金融领域：用于投资组合优化、资产定价问题等。
2.电力领域：用于电网调度、能源管理等。
3.交通领域：用于交通流优化、交通路线规划等。
4.通信领域：用于信号处理、无线通信系统设计等。
5.机器学习领域：用于模型训练、参数优化等。
6.图像处理领域：用于图像恢复、图像分割等。
总之，凸优化问题在不同领域的应用非常广泛，它的理论基础和求解方法为解决复杂的优化问题提供了有效的工具和思路。
随着科学技术的不断发展，凸优化理论与应用领域将会不断扩展和深化，为实际问题的求解提供更多的可能性和机会。
凸优化理论与应用_凸函数
凸优化理论与应用_凸函数首先，我们来看一下凸函数的定义：如果对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f被称为凸函数。
简单来说，凸函数是指函数曲线上的任意两点之间的线段都在曲线上方。
与之相对应的，如果对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f被称为凹函数。
可以说，凸函数和凹函数是一对孪生兄弟。
凸函数有着许多重要的性质。
首先，对于任意的两个凸函数f(x)和g(x)，它们的线性组合h(x)=af(x)+bg(x)也是凸函数，其中a和b是任意实数且a≥0，b≥0且a+b=1、这说明凸函数在加法和标量乘法下保持封闭性。
其次，若函数f(x)是凸函数，则对于任意的λ>0，函数g(x)=λf(x)也是凸函数。
这说明凸函数具有尺度不变性。
另外，如果函数f(x)是凸函数，那么对于任意的局部最小值x*，其也是全局最小值。
这说明凸函数的局部最小值就是全局最小值。
凸函数在优化问题中具有广泛的应用。
首先，凸优化问题是指在给定的凸约束条件下，寻找凸目标函数的最小值。
凸优化问题在工程、经济学、统计学、运筹学等领域中都有广泛的应用。
例如，在工程中，凸优化可以用于最优化控制、电力系统调度、通信系统设计等问题。
其次，凸函数在机器学习和统计学中也有重要的应用。
比如，在支持向量机和逻辑回归中，凸优化问题可以用来求解最佳的分类超平面和分类器参数。
另外，在正则化线性回归中，凸优化可以用来寻找最小二乘解或具有稀疏性的解。
凸函数还有着许多重要的性质，如Jensen不等式、KKT条件等。
Jensen不等式是用来描述凸函数的平均值不小于或不大于函数值的性质。
KKT条件是一组必要条件，用来判断凸优化问题的最优解。
这些性质为凸优化问题的求解提供了理论基础和算法支持。
总之，凸函数是凸优化理论与应用的基础，它具有许多重要的性质和应用。
凸优化理论与应用_凸优化
凸优化理论与应用_凸优化凸优化是指优化问题中目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸函数具有很多良好的性质，例如在定义域上的局部极小值就是全局极小值，凸函数的极值问题可以通过一些有效的算法来求解。
凸优化理论以及相关的算法方法在实际应用中有着广泛的应用。
在机器学习中，凸优化广泛应用于支持向量机（SVM）、逻辑回归等分类算法的求解。
在图像处理领域，通过凸优化方法可以实现图像的去噪、图像恢复以及图像压缩等任务。
在信号处理中，凸优化可以用于信号的降噪、滤波以及信号的拟合等问题。
在控制理论中，凸优化可以用于控制系统的设计和优化。
凸优化理论中的一些重要概念包括凸集、凸函数、凸组合等。
凸集是指一个集合中的任意两点连接的线段仍然在集合内，而凸函数则是定义在凸集上的函数，其函数值在定义域上任意两点间的线段上保持不减。
凸组合则是指通过凸权重将多个点加权求和得到的点。
在凸优化中，常用的优化问题形式包括极小化凸函数的无约束问题、极小化凸函数的约束问题、线性规划问题等。
对于这些优化问题，凸优化理论提供了一些有效的求解方法，包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法可以用于求解凸优化问题的局部极小值。
此外，对于一些特殊的凸优化问题，可以应用一些特殊的求解算法，例如线性规划问题可以通过单纯形法来求解，二次规划问题可以通过内点法来求解。
这些算法方法对于特定的凸优化问题来说是高效且可行的。
总的来说，凸优化理论与应用是数学优化领域中的一个重要分支，它在现代科学技术中有着广泛的应用。
凸优化理论提供了一些有效的求解方法，可以用于解决许多实际的优化问题。
凸优化及其在工程优化中的应用
凸优化及其在工程优化中的应用一、凸优化基础理论凸优化是优化领域一个重要的分支，其研究的是凸函数所定义的优化问题。
凸函数是指函数的图像上的任何两点之间的线段都落在函数的下方，其定义十分简单，但凸函数具有很多重要的性质。
凸优化问题具有很好的性质，这些性质是通过凸分析和优化理论所提供的。
1.1 凸函数设f(x)是R上的一个实值函数，如果对于任意的x1,x2∈R，以及任意的0≤θ≤1，都有f(θx1+(1−θ)x2)≤θf(x1)+(1−θ)f(x2)，那么f(x)就是R上的凸函数。
特别地，当等式成立时，f(x)就是R上的严格凸函数。
显然，对于凸函数，函数图像上的任意两点之间的线段都落在函数图像下方。
1.2 凸集设S是一个实数集合在Rn中的子集，如果对于S中的任意的两点x1,x2∈S和任意的0≤θ≤1，都有θx1+(1−θ)x2∈S，则S是Rn 中的凸集。
特别地，如果S中的任意两点x1,x2∈S之间的线段都完全位于S中，则S是Rn中的凸集，此时S被称为是严格凸集。
1.3 凸优化问题凸优化问题的基本形式为：minimize f(x) subject to g_i(x)≤0, h_j(x)=0其中f(x)是定义在Rn上的凸函数；g_i(x)是定义在Rn上的仿射函数；h_j(x)是定义在Rn上的函数。
为了让凸优化问题对一般的实际问题有使用价值，需要对问题进行许多限制和条件。
约束条件g_i(x)≤0和h_j(x)=0往往涉及到对一些实际问题中的约束和限制。
二、凸优化在工程优化中的应用凸优化在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、机器学习、控制系统、网络和运输等。
下面将以一些具体的应用为例，介绍凸优化在工程优化中的应用。
2.1 无线通信与多媒体方面在无线通信和多媒体方面，凸优化通常用于特定的多用户检测问题，这些问题建立在瞬态通信信道中，从中收到的信号包括来自多个用户的信号。
此类问题可以建模为一个凸优化问题，并且通过凸优化算法，可以得到一个优化解。
02凸优化理论与应用_凸函数
6
下水平集(sublevel set)
定义：集合
C { x dom f | f ( x ) }
称为 f 的 下水平集。
定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。 任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
7
函数上半图(epigraph)
定义：集合
epi f {( x , t ) | x dom f , f ( x ) t }
称为函数
f
的上半图。
f
定理：函数
为凸函数当且仅当
f
的上半图为凸集。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
8
Jensen不等式
f
为凸函数，则有：
yC
凸函数的透视算子
g ( x , t ) tf ( x / t )
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
11
共轭函数(conjugate function)
定义：设函数 f : R 定义为
*
n
R
，其共轭函数 f : R
T
*
n
R
，
f ( y ) su p ( y x f ( x )).
n
为真锥，函数 f : R
n
R
称为 K 单调增，若函数 f ( x ) 满足：
x K y f (x) f ( y)
广义凸函数的定义：设K R 均有
m
为真锥，函数 f : R
n
R
m
称为 K 凸，若函数 f ( x ) 满足对 x , y dom f , 0 1
凸优化理论
第一章 凸集1、仿射集1.1、定义：任意 x 1,x 2∈C 以及 θ∈R 都有θx 1+(1−θ)x 2∈C ；直观上，如果两点在仿射集内，那么通过任意两点的直线位于其内；1.2、仿射集的关联子空间：如果是C 仿射集，且x 0∈C ，则集合 V =C −x 0={x −x 0|x ∈C } 是一个子空间（关于加法和数乘封闭）,因此仿射集可以表示为一个子空间加上一个偏移，C =V +x 0={v +x 0|v ∈V }，x 0可以是C 中任意一点；定义C 的维数为子空间V 的维数（向量基的个数）;1.3、线性方程组 Ax =b 的解集:等价于仿射集且其关联的子空间是就是的 A 的零空间即ker (A )= {x|Ax =0};1.4、仿射组合：如果θ1+⋯+θk =1，称θ1x 1+⋯+θk x k 为x 1,⋯,x k 的仿射组合；如果C 是仿射集，x 1,⋯,x k ∈C ，且θ1+⋯+θk =1，那么θ1x 1+⋯+θk x k ∈C ；集合C 是仿射集⟺集合包含其中任意点的仿射组合；1.5、仿射包：集合C 中的点的所有仿射组合组成的集合记为C 的仿射包aff C ={θ1x 1+⋯+θk x k |x 1,⋯,x k ∈C ，θ1+⋯+θk =1}；仿射包 aff C 是包含 C 的最小的仿射集合；1.6、仿射维数：集合仿射维数为其仿射包维数, 即仿射包相关联子空间的维数，即是其子空间最大线性无关基；如果集合C ⊂R n 的仿射维数小于n ， 那么这个集合在仿射集合 aff C ≠R n 中;1.7、集合相对内部：定义为 aff C 的内部，记为relint C ， 即relint C ={x ∈C | ∃r >0,B (x,r )∩aff C ⊆C };集合内部：由其内点构成，内点为{x ∈C | ∃r >0,B (x,r )⊆C };1.8、集合的相对边界：集合C 的相对边界定义 cl C\relint C 为，cl C 为C 的闭包；集合C 的边界定义为{x ∈C | ∀δ>0,B (x,r )∩C ≠∅,B (x,r )∩C c ≠∅};------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.凸集：如果x 1，x 2∈C ，0≤θ≤1，都有θx 1+(1−θ)x 2∈C ；直观上，如果两点在凸集内，则两点间的线段也在凸集内；仿射集是凸集；2.1、凸组合：如果θ1+⋯+θk =1，θi ≥0，i =1,⋯,k ，称θ1x 1+⋯+θk x k 为x 1,⋯,x k 的凸组合；点的凸组合可以看做他们的混合或加权平均，θi 代表混合时 x i 所占的份数。
08凸优化理论与应用_等式约束优化
08凸优化理论与应用_等式约束优化等式约束优化是凸优化理论中的一种重要问题，广泛应用于工程、经济、管理和科学等领域。
等式约束优化问题可以描述为在满足一系列等式约束条件下，求解使目标函数达到最优的变量取值。
本文将介绍等式约束优化的基本理论和应用。
一、基本理论1. 最优性条件：等式约束优化问题的最优解满足一阶和二阶条件，即KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。
一阶条件：梯度向量和等式约束的梯度线性相关。
二阶条件：Hessian矩阵与等式约束的梯度矩阵半正定。
2.拉格朗日乘子法：等式约束优化问题可以通过引入拉格朗日乘子，将等式约束转化为无约束问题。
通过构建拉格朗日函数，将等式约束优化问题转化为极值问题。
通过对拉格朗日函数进行求导和取极值，即可求解等式约束优化问题。
3.对偶问题：等式约束优化问题还可以通过对偶问题进行求解。
对偶问题将原问题转化为求解一个新的优化问题，该问题是原问题的下界。
通过求解对偶问题，可以得到原等式约束优化问题的最优解。
二、应用1.电力系统优化：在电力系统中，等式约束优化常用于最小功率流问题。
通过考虑各个节点的功率平衡和电压角平衡等等约束条件，可以求解电力系统中的最优功率分配方案，以实现电网的经济运行和电能的高效利用。
2.交通网络规划：在交通网络中，等式约束优化可以用于交通流分配问题。
通过约束交通流量的平衡和支持服务设施的容量等条件，可以求解道路流量分配的最优策略，以实现交通网络的合理规划和拥堵疏解。
3.通信系统设计：在通信系统中，等式约束优化常用于功率分配问题。
通过考虑信道容量、干扰约束等条件，可以求解无线通信系统中的最优功率分配方案，以提高信号的传输质量和网络的接入容量。
4.金融投资组合优化：在金融领域中，等式约束优化可以用于投资组合优化问题。
通过约束投资组合的预期收益、风险和总投资额等条件，可以求解最优的资产配置方案，以实现风险和收益的平衡。
5.工程优化设计：在工程领域中，等式约束优化可以用于优化设计问题。
凸优化（08.27）
凸优化（08.27）凸优化总结1基本概念1.1）凸集合：nS R ?是凸集，如果其满足：x; y S + = 1 x + y S λμλμ∈?∈几何解释：x; y S ∈，则线段[x,y]上的任何点都S ∈1.2）仿射集：nSR是仿射集，如果其满足：x; y S , R ,+ = 1 x + y S λμλμλμ∈∈?∈几何解释：x; y S ∈，则穿过x, y 的直线上的任何点都S ∈1.3）子空间：nS R ?是子空间，如果其满足：x; y S , R , x + y S λμλμ∈∈?∈ 几何解释：x; y S ∈，则穿过x, y ，0的平面上的任何点都S ∈1.4）凸锥：n S R ?是凸锥，如果其满足：x; y S ,0 x + y S λμλμ∈≥?∈ 几何解释：x; y S ∈，则x, y 之间的扇形面的任何点都S ?集合C 是凸锥的充分必要条件是集合C 中的元素的非负线性组合仍在C 中，作为一般化结果，其中非负线性组合的数目可以推广到无穷1.5）超平面：满足{}Tx a x = b (a 0)≠的仿射集，如果b=0则变为子空间1.6）半空间：满足{}Tx a x b (a 0)≤≠的凸集，如果b=0则变为凸锥1.7）椭球体：{}T -1c c =x (x-x )A (x-x ) 1 ξ≤T n c A = A 0; x R ∈ 球心 1.8）范数：f ：R n —R 是一种范数，如果对所有的nx; y R , t R ∈∈满足1. f(x) 0; f(x) = 0 x = 02. f(tx) = tf(x)3. f(x + y) f(x) + f(y)≥?≤范数分类● 1范数2x=● 2范数 1i xx x =∑● 3无穷范数 max i i xx ∞=1.9）有效域：集合(){()}dom f x X f x =∈<∞1.10）水平集：{()}{()}x X f x and x X f x αα∈<∈≤，其中α为一标量1.11）上镜图：函数:(,f x ∈-∞∞的上镜图由下面的集合给定{}()(,),,()epi f x w x X w R f x w =∈∈<给出的1n R +给出的子集。
02凸优化理论与应用_凸函数
02凸优化理论与应用_凸函数凸优化是数学中的一个重要分支，旨在解决凸函数的极小化问题。
凸函数是一类具有较好性质的函数，具有广泛的应用背景和重要的理论意义。
在凸优化理论与应用中，凸函数起到了基础的作用。
首先，什么是凸函数呢？凸函数是指在定义域上的任意两点，函数值沿着连接这两点的线段上升的函数。
准确地说，对于一个定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的实数x1，x2和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。
凸函数具有很多重要的性质，其中包括：1.凸函数的一阶导数是递增的，二阶导数非负。
2.凸函数的上确界与下确界都位于它的定义域的边界上。
3.凸函数的极小值点是全局最小值点。
4.凸函数和线性函数的复合仍然是凸函数。
5.凸函数的和与正数的乘积仍然是凸函数。
凸函数的性质使得它在实际问题中的应用非常广泛。
凸优化可以用于求解很多实际问题，其中包括：1.经济学中的最优化问题，比如最大化收益或者最小化成本。
2.工程设计中的优化问题，比如最优化能源利用或者最小化材料消耗。
3.机器学习中的参数优化问题，比如最小化损失函数或者最大化目标函数。
4.金融领域的组合优化问题，比如最大化组合投资的收益或者最小化风险。
5.数据分析中的最优化问题，比如拟合曲线或者寻找最佳预测模型。
凸优化理论提供了解决这些问题的一般框架和方法，包括线性规划、二次规划、半正定规划等。
这些方法可以有效地求解凸优化问题，并且在计算机科学和工程学中得到广泛的应用。
除了理论方面，凸优化在应用中也面临一些挑战和问题。
其中之一就是如何在实际问题中找到符合实际需求的凸函数模型。
在实际问题中，往往存在多个目标和约束条件，如何将多个目标和约束条件转化为凸函数模型是一个关键的问题。
另一个挑战是求解凸优化问题的算法设计和计算复杂性分析。
虽然凸函数的求解问题是较为简单的，但是随着问题规模的增大，计算复杂性也会显著增加。
01凸优化理论与应用_凸集
01凸优化理论与应用_凸集凸优化理论是数学中的一个重要分支，是一种求解优化问题的方法。
在实际应用中广泛存在的一类优化问题，可以用凸优化理论进行形式化的描述和求解。
凸优化理论主要研究凸集、凸函数和凸优化问题，并给出了一系列的优化方法和算法。
凸集是凸优化理论的基础概念之一，它是指一个集合中的任意两个点之间的连线上的所有点也属于该集合。
具体来说，一个凸集要满足以下两个条件：1. 对于任意两个点x1和x2属于凸集C，它们的连线上的任意一点都属于C，即对于任意的t(0<t<1)，都有tx1+(1-t)x2属于C。
2.对于凸集C中的任意一个点x，与该点相接的区域也属于C。
凸集在凸优化问题中起到了重要的作用，它可以用来描述问题的可行解空间，也可以用来描述问题的约束条件。
在凸优化问题中，通常将目标函数定义在凸集上，并要求在该凸集上寻找使目标函数取得最小值的一个点或一个解集。
凸函数是凸优化理论中的另一个重要概念，它是指定义在凸集上的实值函数，对于该函数上的任意两个点，连接它们的线段上的函数值都不大于线段的两个端点的函数值之间的凸函数。
具体来说，对于定义在凸集C上的函数f(x)，对于任意x1和x2属于C以及0<t<1，都有f(tx1+(1-t)x2)<=tf(x1)+(1-t)f(x2)。
凸函数在凸优化问题中起到了至关重要的作用，它具有很多好的性质，比如局部最小值就是全局最小值、唯一最小值等。
因此，在实际应用中，我们通常可以将问题转化为寻找凸函数的最小值。
凸优化问题是指在给定的凸集上求解凸函数的最小值的问题。
通常情况下，凸优化问题的目标函数是一个凸函数，约束条件也是一些凸集。
对于凸优化问题，存在一系列的优化算法和方法，如梯度下降法、内点法、对偶问题等。
凸优化理论与应用广泛涉及到各个领域，如机器学习、图像处理、信号处理、运筹学、控制理论等。
在机器学习中，凸优化理论可以用来描述和求解各种不同的学习问题，如线性回归、逻辑回归、支持向量机等。
01凸优化理论与应用_凸集
多面体(Polyhedra)
多面体：
P {x | a x bj , c x di }
T j T i
k
单纯形(simplex)：
{i vi | i 0, i 1, v1 v0 ,..., vk v0线性无关}
i 0 i 0
k
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
27
严格广义不等式的性质
1.x K y x K y; 2.x K x; 3.x K y, u K v x u K y v; 4.x K y, 0 x K y 5.x K y, u足够小 x u K y.
凸锥的定义：集合C既是凸集又是锥。
x1 , x2 C,1 ,2 0, 则有1x1 2 x2 C.
锥包的定义：集合C内点的所有锥组合。
{i xi | xi C , i 0}
i 1
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
k
12
锥
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
广义不等式
例： 逐项不等式 矩阵不等式
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
严格广义不等式
26
广义不等式的性质
1.x K x; 2.x K y, y K x x y; 3.x K y, y K z x K z; 4.x K y, u K v x u K y v; 5.x K y, 0 x K y; 6.xi K yi , lim xi x, lim yi y x K y.
凸优化理论与应用_凸优化
性质：凸优化问题的可行域是凸集。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@ 12
抽象凸优化问题
例：
2 minimize f 0 ( x) x12 x2 2 subject to f1 ( x) x1 /(1 x2 )0
h1 ( x) ( x1 x2 )2 0
subject to fi ( x) si 0, i 1,..., m hi ( x) 0, j 1,..., p
s 称为松弛变量
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
8
优化问题的等价形式(5)
k n : R R 定理：设 满足等式 hi ( x) 0, j 1,..., p 成立，当且仅当 x ( z ) 。则原优化问题与以下优化 问题等价
15
凸优化问题最优解
定理：无约束凸优化问题中，若 f 0 ( x)可微。则 x 为最 优解当且仅当 f 0 ( x) 0 成立。 例：无约束二次优化问题 1 T f 0 ( x) x Px qT x r 2 可知 f ( x) Px q 0
0
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
i i i
( z ) (h ( z )) 0, i 1,..., p h i i i
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
7
优化问题的等价形式(4)
定理：原优化问题与以下优化问题等价
minimize f 0 ( x), x R si 0
n
不等式约束 fi ( x) 0, i 1,..., m 等式约束 hi ( x) 0, . i 1,..., p 无约束优化
凸优化理论笔记
A2 x
t
0 ，得证
14）对称正定阵是凸集
证明：设 A1, A2 Sn ，则 A1T A1 ， A2T A2 ，且对 x z 0 ，有 xT A1x > 0 ， xT A2 x > 0
对称已证明，现证明正定，对 x z 0 和 T [0,1] ， xT T A1 (1T ) A2 x = T xT A1x (1T ) xT A2 x > 0 ，得证
)
°®°¯
x(u)
||
P
1 2
(
x
xc
)
||2
d
1,
u
Rn
½°¾°¿
°®°¯
x
(u)
||
P
1 2
(
x
xc
)
||22
d
1,
u
R
n
½°¾°¿
^ ` ||a||2 aTa x(u) ( x xc )T P 1( x xc ) d 1, u Rn 就是椭圆
¾ 透视函数（Perspective Function） 定义：
任意集合 C Rn ， C 中任意元素的凸组合构成的集合称凸包
convC
°®°¯T1x1 T2 x2
" Tk xk
TT1x1,1T,Tx22,2","",T,kxTk k[0C,11]°¾°¿½
一个凸集，它的凸包就是它本身
凸集
非凸集
非凸集
凸集的凸包（本身）
非凸集的凸包
x xn1
+
T
(1 xn1
T ) yn1 (1T )
最优化方法凸优化解题方法
最优化方法凸优化解题方法最优化方法凸优化解题方法最优化方法是一种寻求最优解的数学方法。
凸优化是最优化方法中的一种重要分支，其使用较为广泛，可以解决很多实际问题。
下面，我们将介绍一下凸优化解题方法。
一、凸优化定义凸优化的本质是通过数学模型，寻求函数在定义域内的最小值或最大值。
在凸优化中，以凸函数为优化目标，以凸集为限制条件，解决优化问题，达到最优化的目的。
二、凸函数的定义在凸优化的研究中，凸函数是非常重要的一个概念。
具体来说，凸函数指的是满足以下两个条件的实数函数：在其定义域内的任意两点的连线上的函数值均不大于这两点的函数值之均值。
三、凸集的定义凸集是凸优化中的另一个重要概念。
严格来说，如果集合内的任意两点间的线段上的所有点均都属于此集合，则该集合被称为凸集。
四、凸优化的求解方法1. 等式约束在含有等式约束的凸优化问题中，我们可以使用拉格朗日函数将等式约束转化为拉格朗日乘子的形式，然后通过对拉格朗日函数求梯度，解析求解拉格朗日乘子和原变量。
2. 不等式约束对于含有不等式约束的凸优化问题，我们可以采用约束法来解决。
通过引入松弛变量(如Slack Variable)，将不等式约束转化为等式约束，然后再使用拉格朗日乘子法求解。
3. 分治法对于最大值问题，一般采用分治法进行求解。
先找到定义域的中点，求出中点处的函数值，然后将整个定义域按照函数值比中间点小或大的两部分分别处理，递归求解，最终得到最大值。
4. 内点法内点法是一种求解凸优化问题的有效方法。
其推广原理是：通过在定义域内引入一个可行解点，将该点定义为内点，并通过内点的移动求解最优解。
五、凸优化的应用1. 机器学习凸优化在机器学习中有着广泛的应用，例如线性规划、支持向量机和最小二乘法。
这些方法旨在寻求最优的函数分离，使得机器学习算法的预测准确性更高。
2. 信号处理凸优化在信号处理中也有着广泛的应用，例如信号分解和降噪等。
通过利用凸优化来实现对信号的优化和提取，可以提高信号处理的效率和准确性。
机器学习里的数学第7课凸优化初步_课堂笔记版
管老师
七月在线
June, 2016
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
主要内容
优化与凸优化简介
– 优化问题基本形式
– 凸优化问题基本形式 – 凸优化的应用
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
凸集合与凸函数
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
凸集合与凸函数
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管老师
机器学习里的数学第 7 课凸优化初步
凸集合与凸函数的对应性质 (光学投影)
凸集合性质 若 Ω 是凸集合，那么 Ω 在任何一个平面上的投影仍是凸集 合（平行光源投影） 若 Ω ⊂ Rn 是凸集合，那么 Ωn ˆ = {(x1 /xn , ·, xn−1 /xn , 1) : (x1 , · · · , xn ) ∈ Ω且xn ̸= 0} 也是凸集合.(点光源投影) 若 Ω ⊂ Rn 是一个凸集合，那么椎体 tx : x ∈ Ω, t ∈ R+ 也 是个凸集合.(点光源)
凸优化2017课堂笔记
2
Equivalent characterizations of M -smoothness
Let f : Rd → R be a convex and differentiable function. Then the following properties are equivalent characterizations of M -smoothness of f : ∇f (x) − ∇f (y )
3
EECS 227C / STAT 260 Optimization algorithms and analysis Spring 2017 Lecturer: Martin Wainwright
In these notes, we state and prove some results about the convergence rates of gradient descent for unconstrained minimization of a convex, differentiable function f : Rd → R.
2 2 2
for all x, y ∈ Rd . Rd .
(3a) (3b) (3c) (3d) (3e)
Note that all of these conditions can be obtained from the M -smoothness conditions by: • flipping all the inequality signs, and • replacing M by m everywhere Later, we will see a more precise sense in which these two notions are duals of one another.
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)
°®°¯
x(u)
||
P
1 2
(
x
xc
)
||2
d
1,
u
Rn
½°¾°¿
°®°¯
x
(u)
||
P
1 2
(
x
xc
)
||22
d
1,
u
R
n
½°¾°¿
^ ` ||a||2 aTa x(u) ( x xc )T P 1( x xc ) d 1, u Rn 就是椭圆
¾ 透视函数（Perspective Function） 定义：
x xn1
+
T
(1 xn1
T ) yn1 (1T )
yn
1
y yn1
P P P
T
xn1
T xn1 (1T
)
yn1
[
0,1]
P x (1
)P
y
¾ 线性分数函数（Linear-fractional Function）
设仿射函数 g : Rn o Rm1 满足 g( x)
< <
一条直线是仿射集，一条线段则不是
平面是仿射集，一块矩形区域则不是
例：线性方程组的解集是仿射集
证：线性方程组的解集可表示为 C {x | Ax = b, A Rmun , b Rn} 设 x1, x2 C ，则 Ax1 = b ， Ax1 = b
A T x1 (1T ) x2 T Ax1 + (1T ) Ax2 T b (1T )b b ，得证
14）对称半正定阵是凸锥，因而是凸集
证明：设 A1, A2 Sn ，则 A1T A1 ， A2T
A2 ，且对 x ，有 xT A1x t 0 ， xT A2 x t 0
对称已证明，现证明半正定，对 x
和 T1,T2
t
0
，
xT
(T1 A1
T2 A2 ) x
=
T 1
xT
A1 x
T2 xT
A2 x
t
0 ，得证
14）对称正定阵是凸集
证明：设 A1, A2 Sn ，则 A1T A1 ， A2T A2 ，且对 x z 0 ，有 xT A1x > 0 ， xT A2 x > 0
对称已证明，现证明正定，对 x z 0 和 T [0,1] ， xT T A1 (1T ) A2 x = T xT A1x (1T ) xT A2 x > 0 ，得证
P{U i,V
j} ；条件概率： qij P{U i | V
¦ j} P{U i,V j}
P{V j}
pij
n
pkj
k1
设
p
§ ¨ ¨¨©
p1 #
pm
· ¸ ¸¸¹
§ ¨ ¨
p11 #
· ¸ ¸
¨ ¨ ¨ ¨ ¨
pn1 #
p1m
¸ ¸ ¸ ¸ ¸
，
q
§ ¨ ¨¨©
q1 #
qm
· ¸ ¸¸¹
¨#¸
P g(x)
§ Ax + b · P ¨© cT x d ¸¹
Ax + b cT x d
domf {x | cT x d ! 0}
例：两个随机变量的联合概率与条件概率
设两个离散型随机变量（Random Variable）U :{1,", n}，V :{1,", m}
联合概率： pij
√
12. 多面体（Polyhedron）：
P
°® x °¯
aiT x d bi , i cTj x = d j , j
1,1",", m, n½°¾°¿ （很多超平面和半空间的交集）
√
^ ` 13. 对称矩阵： S n A Rnun | A = AT
√
^ ` 14. 对称半正定矩阵： Sn A Rnun | A = AT , A ; 0
S
仿射变换
f (S)
例：缩放D S {D x | x S} 和位移 S a {x + a | x S}是保持凸性的
例：两个凸集的和 S1 S2 {x + y | x S1, y S2}是保持凸性的 解释如下，集合 S1 与集合 S2 的笛卡尔乘积 S1 u S2 {( x, y) | x S1, y S2}是保持凸性的 集合 S1 u S2 在仿射变换 f (x, y) x y 下 f (S1 u S2 ) S1 S2 依然是保持凸性的
任意集合 C Rn ， C 中任意元素的凸组合构成的集合称凸包
convC
°®°¯T1x1 T2 x2
" Tk xk
TT1x1,1T,Tx22,2","",T,kxTk k[0C,11]°¾°¿½
一个凸集，它的凸包就是它本身
凸集
非凸集
非凸集
凸集的凸包（本身）
非凸集的凸包
¨© pnm ¸¹
§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
q11 #
qn1 #
·
¸
¸
¸
¸ ¸
，
Ij
(0
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q1m
¸ ¸
e j (0
¨#¸
¨© qnm ¸¹
0" 0"
N Inun " 0)nmun
jth block
1N "1
"
，于是 q j 0)nmu1
jth block, n 1s
f ( p) I j p ej p
T 2
x2
"
T k
xk
为
x1,
x2
,",
xk
的凸锥组合
凸锥包（ Cone Hull）
任意集合 C Rn ， C 中任意元素的凸锥组合构成的集合称凸锥包
°®°¯T1 x1
T2 x2
" Tk xk
x1, x2 ,", xk T1,T2 ,",Tk
t
C 0
½°¾°¿
一个凸锥集，它的凸锥包就是它本身
仿射组合（Affine Combination）
设
k
个点
x1,
x2
,",
xk
，
T 1
,T
2
T 1
T
2
,",Tk " Tk
R
1
则称 T1 x1
T2
x2
"
T k
xk
为
x1,
x2 ,",
xk
的仿射组合
仿射包（Affine Hull）
任意集合 C Rn ， C 中任意元素的仿射组合构成的集合称仿射包
{q j}是凸集，{q} 是凸集
Chapter 3 Convex Function
凸函数：
一个函数 f : Rn o R 为凸函数
若 domf 为凸集，且对 x, y domf ， T [0,1] ，有
P : Rn1 o Rn ， domP = Rn u R （ R {t R | t ! 0}）
P(z,t)
定理：
z t
,
z
R
n
,
t
R
若 C dom P 是凸集，则 P(C ) {P( x) | x C}也是凸集
例：考虑 Rn1 内的一个线段
x
设
y
( (
x , y ,
凸锥（Convex Cone）
定义： C
是仿射集↔ x1,
x2
C
，对 T1,T2
t
0
，有
T 1
x1
T 2
x2
C
过原点的射线是凸锥
过原点的两条射线之间的区域是凸锥
凸锥组合（Convex Cone Combination）
设k
个点
x1,
x2 ,",
xk
，
T 1
,T2
,"
,Tk
t
0
则称
T 1
x1
xn 1 ), yn 1 ),
xn1 yn1
! !
0 0
，则
R n 1
内的一个线段可表示为T
x
(1
T
)
y,T
[0,1]
该线段经透视变换后仍为线段
P T x (1T ) y
T x (1T ) y T xn1 (1T ) yn1
T xn1 T xn1 (1T ) yn1
9. 半空间：
{x | aT x d b, x Rn , b R}
(a1,
a2
)
§ ¨©
x1 x2
· ¸¹
b
√
10. 欧几里得空间中的球：
^ ` B( xc , r) x || x xc ||2 d r, xc Rn , r R
√
11. 欧几里得空间中的椭球：
^ ` E( xc , r, P) x ( x xc )T P 1( x xc ) d r, xc Rn , r R, P正定
√
^ ` 15. 对称正定矩阵： Sn A Rnun | A = AT , A ; 0
√
10）证明：设
x1,
x2
B
，则
|| ||
x1 x2
xc xc