结构力学第5章静定拱的内力计算

e 1 1` 1 F Q1 F N1
A
FA
图5-3-2(a)
同理，截取隔离体如图5-3-2(b)
FP G FN2 e2 2` D2 FQ2 A
F2
FA
图5-3-2(b)
容易看出:
图5-3-2两隔离体上截面1、2上 合力F1、F2与各自的三个内力分量 的等效关系。
AG和GB（注意GB过C铰）直线分别 是拱AD和DB段上合内力的作用线，又 叫压力线。
例5-3-1试设计一个三铰拱的轴线。
其拱上作用荷载与拱的三个铰相对位 置已定，如图(a)示
(a)
2 m 2 m 4 m
2m
2m
解
1)求支座反力
因拱的两个底铰不在一条直线上，须 先建立关于同一个铰的两个约束力的 平衡方程，联立求解，即：
先考虑支座B的约束力。以A点为 矩心，建立拱整体的力矩平衡方 程：
(a)
解 1)求支座反力
竖向反力
0 1 R FBy [q R FP ( R R cos )] 11.33kN () 2R 2
A
M
M
FAy
B
0
1 R [q R FP ( R R cos )] 1.33kN () 2R 2
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工管系
第五章 静定拱的内力分析
§5.1
概 述
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且 在竖向荷载作用下会产生水平支座 反力的结构。
静定拱分类：
三铰拱 带拉杆三铰拱
静定拱的各部名称见图5-1-1。
拱 轴
( 底 铰 )
f（拱 高)
(a)三铰拱
(b)带拉杆三铰拱
K2截面以右——取K2R以右部分：
（隔离体上无集中力所用）
FNK 2 R 11.33cos 2.67sin 11.15kN
FQK 2 R 11.33sin 2.67cos 3.35kN
M K 2 R 11.33x2 2.67y2 0.73
(c)
在轴力和剪力的两个正交方向上建 立投影方程，并建立关于截面形心 的力矩方程，即得：
FN ( FAy FP1 ) sin FH cos
FQ ( FAy FP1 ) cos FH sin
(a)
M FAy x FP1 ( x a1 ) FH y
(b)
F B y
2）求K1截面内力
取截面K1左侧，见图(c)。
Mk1 FNK1 FQK1
4m
5.33kN 1.33kN
(c)
建立截面上轴力、剪力方向上 的投影方程及截面形心为矩心 的力矩方程
FNK1 1.33sin (5.33 q y1 ) cos 0.72kN
FQK 1 1.33cos (5.33 q y1 ) sin 1.95kN
水平支座反力
M
FAx
CL
0
1 R ( FAy R q R ) 5.33kN () R 2
CR
M
FBx
0
1 ( FBy R q R cos ) 2.67 kN () R
支座反力图
F= P1 0 k
R = 4 m
F A x F A y
M
A
0
8FBy 2FH 2FP q 4 6 0
再取铰C以右部分为隔离体，写 C端弯矩为零的方程：
MC 0
4FBy 2FH q 4 2 0
联立以上两式，解得：
FBy 30kN()
FH 20kN ()
(a)
(b)
Y
F 由拱整体的平衡方程：
由式5-2-2可知，在竖向荷载作用下 静定拱内力与相应简支梁内力及拱 水平反力有关。其中拱水平反力对 应确定的荷载是一常数。此外，拱 轴力和剪力还与所计算截面外法线 与x轴的夹角a有关。
例5-2-1 图(a)所示三铰拱的拱轴为
半圆形。计算截面K1、K2的内力。
F P = 1 0 k N
R = 4 m
拱的内力计算
1）基本方法—截面法
注： 拱的内力正负号的规定：弯矩
以使拱的内侧纤维受拉为正； 剪力以绕隔离体顺时针转动为 正；轴力以压力为正。
以图5-2-1(a) 三铰拱为例说明 拱的内力计算的一般方法。
FH
图5-2-1-(a)
解析
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见图(c)，截面上待求 的内力均按规定的正方向示 出 。
图5-1-1
§5.2 三铰拱的内力计算 三铰拱的支座反力
当三铰拱的两个底铰在一条水平线 上，且只有竖向荷载作用时，三铰 拱的竖向支座反力与相应简支梁的 竖向支座反力相等；拱自身的两个 水平支座反力互等。
求解图5-2-1(a) 三铰拱支座反力
FH
FAy
图5-2-1-(a)
FBy
支座反力图
0
F B
可以看出，拱的内力计算的基本 方法与前述相同。拱的内力计算 的特点是: 随着界面位置的变化，截面的 法向不断的有相应的变换。
现在考虑相应简支梁的K截面上 的内力, 0 由(d)容易得出：
FQ0 FA FP1 FAy FP1
M 0 FA x FP1 ( x a1 ) FAy FP1 ( x a1 )
总结
拱的内力图特征有以下3个：
不管是在均布荷载下还是 在集中荷载下，拱的三个内力 图都是曲线图形。
在有竖向集中力作用点两侧截 面，轴力图和剪力图都有突变，突 变值等于相应简支梁的剪力分别在 拱的轴力和剪力方向上的投影。 有集中力偶作用点两侧截面， 弯矩图有突变，突变值仍等于所 作用的集中力偶。
M 0 F Q 0
(d)
将以上两式代入(a)得 :
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
M M 0 FH y
(5-2-2)
公式法
概念：
上式即为用相应简支梁的内力表 示的拱的内力式。当将上式用作 拱的内力计算公式时，可以叫做 公式法。
(b)
分析
FAY FA FBY FB
M C0 1 FH [ FBy l2 FP 3 (l 2 b3)] f f
式中： M C 0 —相应简支梁在对应于 拱顶铰位置处的弯矩值
结论 FAY FA
FBY FB
M C0 FH f
三铰拱的支座反力只与荷载及 三个铰的相对位置有关，与拱轴形 FH 与f成反比，f越小，越平 状无关。 坦，推力越大。f/l称为高跨比。
纯受压状态的合力拱轴是一种理想状 态。因为这一状态只可能对应一种确 定不变化的荷载（恒载或静力荷载） 才做得到。实际设计中，合理拱轴是 针对主要荷载，并使在各类荷载的不 利组合下拱的弯矩最小。
下面通过一个简单的例子，见图 5-3-1，说明关于合理拱轴的一 些概念。
F P e 1 A 1 G e 2 D 2 B C
取拱整体：
M B 0
FAy
a1 FP L
取截面I—I左侧：
M
C
0
FNAB
1 1 a1 ( FAy a FAx f ) ( FP )a f f L
小 结
带拉杆三铰拱在竖向荷载作用 下水平反力为零。其拱结构由支座 提供的在拱铰处的水平力，被结构 内部的拉杆的拉力替代。因曲杆的 受力与前述三铰拱完全相同，因此 称其为带拉杆的三铰拱。
只有竖向荷载作用时，其合理拱轴 可由数解方法确定。 由式(5-2-2)第三式 M M 0 FH y
令其等于零，得：
M0 y FH
(5-2-3)
小结
合理拱轴的纵坐标与相应简支梁 的弯矩纵坐标成正比。也可以说，合 理拱轴的形状应与相应简支梁的弯矩 图形状相似。由此推出，拱在均布荷 载作用下的合理拱轴是抛物线形状； 在集中荷载作用下的合理拱轴是折线 图形。
K2截面以左——取K2L以右部分：
（隔离体上有集中力所用）
FNK 2 L FNK 2 R FP cos 2.49kN
FQK 2 L FQK 2 R FP sin 1.65kN
M K 2L M K 2R
式中 x2 R(1 cos )
y2 R sin
例5-2-2 分析图(a)所示三铰拱拉杆
AB中的轴力的计算方法并计算之。
I F P
f F A x I a (a) FA y L b F B y
分析:
带拉杆三铰拱与大地两个刚片 联系，可由拱上部整体的平衡条件 求得全部支座反力。欲求拉杆AB中 的拉力，只须用截面将铰C与拉杆截 断，取任一侧为隔离体，以较C为矩 心建立力矩方程即可。计算如下：
30 x 20( x 2) 1 y2 x2 20 2
30x 20( x 2) 10( x 4) 2 / 2 1 2 5 y3 x x2 20 4 2
由各段的拱轴方程，可绘出该拱 的合理拱轴。
拱的内力图制作分3步：
沿拱的跨度方向将拱轴分为若干 等分； 计算各等分点截面上的内力值及截 面内力有突变的内力值；
将已得各截面内力值用曲线光滑 连接，即得拱的内力图。
公式法 计算拱的内力用于内力
图制作时较有利。
§5.3 合理拱轴
1.概念
拱的所有截面上都处于无弯矩 状态时的拱轴线叫合理拱轴。换句 话说，即，具有合理拱轴的拱的所 有截面上都只有轴向压力。
F A
图5-3-1(a)
F B
解 析:
图5-3-1(a)所示在一个集中荷载 作用下的三铰拱。根据三力平衡 原理及铰C处弯矩为零的条件，显 然有图(a)所示的两个支座反力作 用线，并与荷载交于G点。