抛物线的对称性

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抛物线的对称性

知识点

1、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 2、二次函数图象的对称性

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2

y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2

y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2

y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2

y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2

y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2

y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22

2b y ax bx c a

=--+-；

练习与巩固

1、请用五点绘图法画出下列二次函数的草图。

（1）342++=x x y （2）862-+-=x x y

2、填空： （1）抛物线342++=x x y 关于x 轴对称的抛物线的解析式是 。 （2）抛物线862-+-=x x y 关于y 轴对称的抛物线的解析式是 。 （3）抛物线182622-+-=x x y 关于原点对称的抛物线的解析式是 。

（4）抛物线

2532+-=x x y 关于顶点对称的抛物线的解析式是 。

3、已知抛物线C ：c bx x y

++-=2经过点A （-3,0）和B （0,3）两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的

对称轴与x 轴的交点记为N 。

（1）求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标；

（3）将抛物线C 平移到C ′，抛物线C ′的顶点记为M ′，它的对称轴与x 轴的交点记为N ′，如果以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？

2

4、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线

)0(222≠--=m mx mx y 与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点

B.（1

）求点A 、B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在-2

5、在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x k y 的图象交于点A （1，k ）和点B （-1，-k ）

。 （1）当k=-2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值。 6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x （元），日销售量为y （件）

．（1）写出日销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）设日销售的毛利润（毛利润=销售总额－总进价）为P （元），求出毛利润P （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x 的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；（4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？

7、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每 箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售 量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售 价x （元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多 少？