绝对值不等式考点与题型归纳
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绝对值不等式考点与题型归纳
一、基础知识
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.
2．绝对值不等式的解法
(1)|x|
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
考点一绝对值不等式的解法
[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.
(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．
[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧
x －4，x ≤－1，
3x －2，－1 ，－x ＋4，x >3 2 ， 故y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1 3或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1 f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x <1 3或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x <1 3或1 [题组训练] 1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时， 原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解； 当－1≤x ≤1时， 原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立； 当x >1时， 原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2， 解得x ≤1，又因为x >1，故无解； 综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x . 法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－1 2≤x ≤0； 当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12. ∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}． 法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|， 两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0， 解得－2≤x ≤0， ∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}． (2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧