2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(3,m)，a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )，则m =( )A. 2B. −2C. −3D. 3 2. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 11=6，则其前13项的和S 13的值是( )A. 32B. 39C. 46D. 783. 已知向量a ⃗ =(−1,−3)，b ⃗ =(2,4)，则|2a ⃗ +12b ⃗ |=( ) A. √17 B. √10 C. 2√5 D. √2 4. 数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=2n+1，则a 7等于( )A. 4B. 4√2C. 8D. 165. 已知△ABC 为直角三角形，AC =BC =2，点D 为斜边AB 的中点，点P 是线段CD 上的动点，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. −2B. −14C. −12D. 06. 将函数y =sin (2x +π4)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是( )A. f(x)=sin xB. f(x)=cos xC. f(x)=sin 4xD. f(x)=cos 4x7. 将函数f(x)=cos2x −sin2x 的图象向左平移π8个单位后得到函数F(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. 函数F(x)是奇函数，最小值是−√2B. 函数F(x)是偶函数，最小值是−√2C. 函数F(x)是奇函数，最小值是−2D. 函数F(x)是偶函数，最小值是−28. 数列{a n }满足a 1=1，na n+1=(n +1)a n +n(n +1)，且b n =a n cos2nπ3，记S n 为数列{b n }的前n项和，则S 30=( )A. 294B. 174C. 470D. 3049. 已知，则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是( )A. a 1,a 30B. a 10,a 9C. a 1,a 9D. a 10,a 3010. 已知数列{a n }满足a n+1={2a n (0≤a n <12)2a n −1(12≤a n <1)若a 1=67，则a 2012的值为( )A. 17B. 37C. 57D. 6711.将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为()A. 58π B. 38π C. π4D. π812.设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列﹛a n﹜的前n项和，则下列命题错误的是()A. 若d<0，则数列﹛S n﹜有最大项B. 若数列﹛S n﹜有最大项，则d<0C. 若数列﹛S n﹜是递增数列，则对任意n∈N∗，均有S n>0D. 若对任意n∈N∗，均有S n>0，则数列﹛S n﹜是递增数列二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在数列{a n}中，a n+1−a n=1，S n为{a n}的前n项和．若S7=35，则a3=_______．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−b+cc =ba+b−c，则b+ca的取值范围是______．16.已知{a n}为等差数列，2a3+a9=33，则{a n}的前9项和S9=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}，其前n项和为S n，若对于任意m，n∈N∗，且m≠n，都有2S m+nm+n =a m+a n+a m−a nm−n．(1)求证：数列{a n}是等差数列；(2)若数列{c n}满足c n=a n+1a n+2−a n2(n∈N∗)，且等差数列{a n}的公差为13，存在正整数p，q，使得a p+c q为整数，求|a1|的最小值．18.在斜三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC．(1)求角A；(2)若a=√7，c=2，求b．19. 如图，OAB 是半径为2，圆心角为π3的扇形，C 是弧AB ⌢上一动点．记∠COA =θ，四边形OACB的面积为S ．(1)利用一般三角形的面积公式(即三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半)，找出S 与θ的函数关系；(2)求θ为何值时S 最大，并求出S 的最大值．20. 在△ABC 中，点M 在BC 上，4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是AM 的中点．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若sin∠BAM =13，AB =AC =2，求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．21.已知函数f(x)=sin2x+2√3sin2x+1−√3．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈[π6,π2]时，若f(x)≥log2t恒成立，求t的取值范围．22.数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−a n，n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求S n；(3)设b n=1n(12−a n)(n∈N∗),T n=b1+b2+⋯+b n(n∈N∗)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N∗，均有T n>m32成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：因为向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(3,m)，所以a⃗+b⃗ =(4,1+m)；又a⃗//(a⃗+b⃗ )，所以1×(1+m)−1×4=0，解得m=3．故选D．由题意求出a⃗//(a⃗+b⃗ )，通过共线，列出关系式，求出m的值．本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．2.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}中，a3+a11=6，∴其前13项的和：S13=132(a1+a13)=132×6=39．故选：B．由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=132(a3+a11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3.答案：A解析：【分析】先求出2a⃗+12b⃗ 的坐标，然后根据向量数量积的性质即可求解．本题主要考查了向量数量积性质的简单应用，属于基础试题．【解答】解：∵a⃗=(−1,−3)，b⃗ =(2,4)，∴2a⃗+12b⃗ =(−1,−4)，∴|2a⃗+12b⃗ |=√1+16=√17．故选：A．解析：解：数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=2n+1， 可得a n−1a n =2n ， 所以a n+1=2a n−1， 所以a 7=23a 1=8． 故选：C ．利用递推关系式，推出数列性质，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．5.答案：A解析：解：根据题意，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立坐标系，如图：则B(2,0)，A(0,2)，D 为AB 的中点，则D(1,1)， 点P 是线段CD 上的动点，设P(m,m)，(0≤m ≤1)； 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,2−m)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,−m)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m)(2−m)+(2−m)(−m)=2m 2−4m =2(m −1)2−2，又由0≤m ≤1，则当m =1时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−2； 故选：A ．根据题意，建立坐标系，求出A 、B 、D 的坐标，进而设P(m,m)，求出向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m)(2−m)+(2−m)(−m)=2m 2−4m ，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题，6.答案：A解析： 【分析】本题考查三角函数图象的变换，属于基础题． 【解答】解：函数y =sin (2x +π4)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数y =sin(x +π4)的图象；函数y =sin(x +π4)的图象，再向右平移π4个单位，得到函数y =sinx 的图象，7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性以及最值，属于基础题．由条件利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律求得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性以及最值，得出结论．【解答】解：将函数f(x)=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)的图象向左平移π8个单位后得到函数F(x)=√2cos[2(x+π8)+π4]=√2cos(2x+π2)=−√2sin2x的图象，因为F(−x)=−√2sin(−2x)=√2sin2x=−F(x)，所以函数F(x)是奇函数，又sin2x∈[−1,1]，所以F(x)=−√2sin2x∈[−√2,√2]，故函数F(x)是奇函数，且它的最小值为−√2，故选A．8.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，可得a n+1n+1−a nn=1，利用等差数列的定义通项公式可得a n=n2，b n=n2cos2nπ3，可得b3k−2=(3k−2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k−2)2，同理可得b3k−1=−12(3k−1)2，b3k=(3k)2，k∈N∗.即可得出所求和．【解答】解：∵na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，∴a n+1n+1−a nn=1，∴数列{a nn}是等差数列，公差与首项都为1．∴a nn=1+(n−1)，可得a n=n2．∵b n=a n cos2nπ3，∴b n =n 2cos2nπ3，∴b 3k−2=(3k −2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k −2)2，同理可得b 3k−1=−12(3k −1)2， b 3k =(3k)2，k ∈N ∗．∴b 3k−2+b 3k−1+b 3k =−12(3k −2)2−12(3k −1)2+(3k)2=9k −52， 则S 30=9×(1+2+⋯+10)−52×10=470， 故选：C ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查了数列的函数特性，准确判断数列的单调性是解题的关键，属于中档题． 把给出的数列的通项公式变形，把a n 看作n 的函数，由反比例函数的性质分析得到答案． 【解答】 解：a n =√97n−98=1√98−√97n−98， ∵函数f (x )=1√98−√97x−√98在(0,√98)和(√98,+∞)上都是递减的，∴当1≤n ≤9时，a n 单调递减，且a 9<1为最小； 当10≤n ≤30时，a n 单调递减，且a 10>1为最大． ∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a 10，a 9． 故选B ．10.答案：C解析： 【分析】由已知数列递推式解得a 1，a 2，a 3，a 4，故可得数列{a n }是以3为周期的周期数列，故可得答案． 【解答】解：由已知数列递推式a n+1={2a n (0≤a n <12)2a n −1(12≤a n <1)， 求得a 2=57，a 3=37，a 4=67，…由上可知，数列{a n }是以3为周期的周期数列， 则a 2012=a 3×670+2=a 2=57． 故选C ．11.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及其性质，属于简单题．由条件及图象变换规律得到y=sin(2x+2φ+π4)关于y轴对称，即可根据三角函数的性质得，k∈Z，即可得出结论．【解答】解：将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，可得函数y=sin[2(x+φ)+π4]=sin(2x+2φ+π4)的图象．再根据得到的函数图象关于y轴对称，可得，k∈Z，即，k∈Z，因为φ>0，所以φmin=π8，故选：D．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查数列单调性与求和，属于基础题．当数列是递增数列时Sn存在最小值，当数列是递减数列时S n存在最大值．【解答】解：A项中d<0，数列是递减数列，若a1>0则存在n∈N∗满足a n>0，a n+1<0则S n最大，若a1<0则S1最大；B项中若d>0则S n逐渐增大，无最大值；C项中当a1<0时S1<0，所以错误；D项中若数列是递减数列，则存在n∈N∗满足当m>n时a m<0恒成立，存在n∈N∗满足S n<0．故选C．13.答案：3解析：【分析】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．【解答】解：∵|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=4−1=3．故答案为3．14.答案：4解析：【分析】本题考查等差数列的定义，通项公式，前n项和公式．根据定义知道{a n}是公差为1的等差数列，由和的公式求得a1，再由通项公式求得a3．【解答】解：∵a n+1−a n=1，∴{a n}是公差为1的等差数列，S7=7a1+7×62×1=35，解得a1=2，则a3=a1+2d=2+2×1=4．故答案为4．15.答案：(1,2]解析：解：∵a−b+cc =ba+b−c，可得：(a−b+c)(a+b−c)=bc，∴整理可得：b2+c2−a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3，可得：C=2π3−B，∴b+ca =sinB+sinCsinA=sinB+sin(2π3−B)√32=√3(12cosB+√32sinB)√32=2sin(B+π6)，∵B∈(0,2π3)，B+π6∈(π6,5π6)，可得：sin(B+π6)∈(12,1]，∴b+ca =2sin(B+π6)∈(1,2]．故答案为：(1,2]．由已知整理可得：b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理可得cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，可求A ，由三角形内角和定理可求C =2π3−B ，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b+c a=2sin(B +π6)，由B ∈(0,2π3)，利用正弦函数的性质可求sin(B +π6)∈(12,1]，即可得解． 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：99解析： 【分析】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题． 【解答】解：解：在等差数列{a n }中，设公差为d ， ∵2a 3+a 9=33，∴3a 1+12d =33，即a 1+4d =11， 则其前9项和S 9=9(a 1+a 9)2=9(2a 1+8d)2=18(a 1+4d)2=9(a 1+4d)=9×11=99．故答案 99．17.答案：(1)证明：令m =2，n =1，则2S 33=2a 2，即a 1+a 2+a 33=a 2，∴a 1+a 3=2a 2，∴a 1，a 2，a 3成等差数列， 下面用数学归纳法证明数列{a n }是等差数列，假设a 1，a 2，…，a k 成等差数列，其中k ≥3，公差为d ，令m =k ，n =1，2Sk+1k+1=a k +a 1+d ， ∴2S k+1=(k +1)(a k +a 1+d)=k(a k +a 1)+a k +(k +1)d=2S k +a 1+a k +(k +1)d ，∴2S k+1=a 1+a k +(k +1)d =2(a 1+kd)， 即a k+1=a 1+kd ，∴a 1，a 2，…，a k ，a k+1成等差数列， ∴数列{a n }是等差数列；(2)解：c n =a n+1a n+2−a n 2=(a n +13)(a n +23)−a n 2，=a n +29，若存在正整数p ，q ，使得a p +c q 是整数， 则a p +c q =a 1+13(p −1)+a 1+13(q −1)+29=2a1+p+q−23+29∈Z，设m=2a1+p+q−23+29,m∈Z，∴18a1=3(3m−p−q+1)+1是一个整数，∴|18a1|≥1，从而|a1|≥118，又当a1=118时，有a1+c3=1∈Z，综上，|a1|的最小值为118．解析：本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属难题．(1)用数学归纳法证明即可；(2)根据条件可得c n═a n+29，然后将a p+c q用a1，p，q表示出来，根据18a1=3(3m−p−q+1)+1是一个整数，可得结果．18.答案：解：(1)∵cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC，∴2cos2A−1+cosBcosC−sinBsinC+1=0，∴2cos2A+cos(B+C)=0，又A，B，C是ΔABC内角，A=π−(B+C)，∴2cos2A−cosA=0，解得：cosA=0或cosA=12，∵0°<A<180°且A≠90°，∴A=60°；(2)∵A=60°，在ΔABC中，由余弦定理得b2+c2−2bccosA=a2，∴b2+22−2×2bcos60°=(√7)2，解得，b=3(负值已舍)．解析：本题主要利用三角函数中余弦定理与正弦定理来求解问题，属于基础题；(1)根据cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC可以得到，2cos2A−1+cosBcosC−sinBsinC+1=0再根据三角形内角和为180°即可秋求解；(2)根据余弦定理公式，b2+c2−2bccosA=a2即可求解出b．19.答案：解：(1)∵S═AOC=12×2×2sinθ=2sinθ，S═COB=12×2×2sin(π3−θ)=2sin(π3−θ)，∴S=S四边形OACB =2sinθ+2sin(π3−θ),θ∈[0,π3]．(2)由(1)知S=2sinθ+2sin(π3−θ)=2sinθ+√3cosθ−sinθ=sinθ+√3cosθ=2sin(θ+π3)．∴当θ=π6时，S 最大为2．解析：本题考查三角函数模型，两角差的正弦公式、辅助角公式与函数的性质．(1)由已知条件及所给的三角形面积公式可得；(2)由(1)及两角差的正弦公式、辅助角公式可得，利用函数的性质得出S 的最大值及对应θ的值．20.答案：解：(1)∵在△ABC 中，点M 在BC 上，4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是AM 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ， CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −78AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =38a ⃗ −78b ⃗ ．(2)在△ABM 和△AMC 中，由正弦定理可得BMsin∠BAM =CMsin∠CAM ⇒sin∠CAM =1，∴cos∠BAC =cos(∠BAM +∠CAM)=cos(∠BAM +π2)=−sin∠BAM =−13，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −78AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=932×4−732×4−916×2×2×(−13)=1．解析：(1)由点M 在BC 上，4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是AM 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，利用向量加法定理能用a⃗ ，b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)由正弦定理可得BMsin∠BAM =CMsin∠CAM ⇒sin∠CAM =1，从而求出cos∠BAC ，由此能求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 考查平面向量表示，考查向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)f(x)=sin2x +2√3sin 2x +1−√3，∴函数f(x)最小正周期是T =π． 当，(k ∈Z) 即，函数f(x)单调递增区间为，(2)因为x ∈[π6,π2]，所以，，所以的最小值为1，由f(x)≥log 2t 恒成立，得恒成立．所以t 的取值范围为(0,2] ．解析：本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于基础题． (1)利用三角恒等变换得到，再利用正弦函数性质求周期和单调区间； (2)求出函数在x ∈[π6,π2]的最小值，则得到恒成立，解不等式即可求解．22.答案：解：(1)由题意，a n+2−a n ⋅+1=a n+1−a n ，∴{a n }为等差数列，设公差为d ， 由题意得2=8+3d ⇒d =−2，∴a n =8−2(n −1)=10−2n(2)若10−2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =8+10−2n2×n =9n −n 2n ≥6时，S n =a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7…−a n =S 5−(S n −S 5)=2S 5−S n =n 2−9n +40 故S n ={9n −n 2n ≤5n 2−9n +40n ≥6(3)∵b n =1n(12−a n )=12n(n +1)=12(1n −1n +1)∴T n=12[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1−1n )+(1n −1n +1)]=n 2(n +1)若T n >m32对任意n ∈N ∗成立，即nn+1>m16对任意n ∈N ∗成立，∵nn+1(n ∈N ∗)的最小值是12，∴m16<12，∴m 的最大整数值是7．即存在最大整数m =7，使对任意n ∈N ∗，均有T n >m32解析：(1)由条件a n+2=2a n+1−a n ，可得a n+2−a n ⋅+1=a n+1−a n ，从而{a n }为等差数列，利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式；(2)利用10−2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；(3先裂项求和，再根据T n >m32对任意n ∈N ∗成立，得nn+1>m16对任意n ∈N ∗成立，利用nn+1(n ∈N ∗)的最小值是12，可知m16<12，从而存在最大整数m =7．本题主要考查等差数列轭通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．。