2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）第一次月考

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(3,m)，a ⃗ //(a ⃗ +b ⃗ )，则m =( )

A. 2

B. −2

C. −3

D. 3 2. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 11=6，则其前13项的和S 13的值是( )

A. 32

B. 39

C. 46

D. 78

3. 已知向量a ⃗ =(−1,−3)，b ⃗ =(2,4)，则|2a ⃗ +1

2

b ⃗ |=( ) A. √17 B. √10 C. 2√5 D. √2 4. 数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=2n+1，则a 7等于( )

A. 4

B. 4√2

C. 8

D. 16

5. 已知△ABC 为直角三角形，AC =BC =2，点D 为斜边AB 的中点，点P 是线段CD 上的动点，

则PA

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. −2

B. −1

4

C. −1

2

D. 0

6. 将函数y =sin (2x +π

4)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π

4个

单位，所得到的图象解析式是( )

A. f(x)=sin x

B. f(x)=cos x

C. f(x)=sin 4x

D. f(x)=cos 4x

7. 将函数f(x)=cos2x −sin2x 的图象向左平移π

8个单位后得到函数F(x)的图象，则下列说法正确

的是( )

A. 函数F(x)是奇函数，最小值是−√2

B. 函数F(x)是偶函数，最小值是−√2

C. 函数F(x)是奇函数，最小值是−2

D. 函数F(x)是偶函数，最小值是−2

8. 数列{a n }满足a 1=1，na n+1=(n +1)a n +n(n +1)，且b n =a n cos

2nπ3

，记S n 为数列{b n }的前n

项和，则S 30=( )

A. 294

B. 174

C. 470

D. 304

9. 已知

，则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是( )

A. a 1,a 30

B. a 10,a 9

C. a 1,a 9

D. a 10,a 30

10. 已知数列{a n }满足a n+1

={2a n (0≤a n <1

2)2a n −1(12≤a n <1)

若a 1=6

7

，则a 2012的值为( )

A. 1

7B. 3

7

C. 5

7

D. 6

7

11.将函数f(x)=sin(2x+π

4

)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为()

A. 5

8π B. 3

8

π C. π

4

D. π

8

12.设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列﹛a n﹜的前n项和，则下列命题错误的是()

A. 若d<0，则数列﹛S n﹜有最大项

B. 若数列﹛S n﹜有最大项，则d<0

C. 若数列﹛S n﹜是递增数列，则对任意n∈N∗，均有S n>0

D. 若对任意n∈N∗，均有S n>0，则数列﹛S n﹜是递增数列

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =______．

14.在数列{a n}中，a n+1−a n=1，S n为{a n}的前n项和．若S7=35，则a3=_______．

15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−b+c

c =b

a+b−c

，则b+c

a

的取值范围是______．

16.已知{a n}为等差数列，2a3+a9=33，则{a n}的前9项和S9=__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知数列{a n}，其前n项和为S n，若对于任意m，n∈N∗，且m≠n，都有2S m+n

m+n =a m+a n+a m−a n

m−n

．

(1)求证：数列{a n}是等差数列；

(2)若数列{c n}满足c n=a n+1a n+2−a n2(n∈N∗)，且等差数列{a n}的公差为1

3

，存在正整数p，q，使得a p+c q为整数，求|a1|的最小值．

18.在斜三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC．

(1)求角A；

(2)若a=√7，c=2，求b．

19. 如图，OAB 是半径为2，圆心角为π

3的扇形，C 是弧AB ⌢

上一动点．记∠COA =θ，四边形OACB

的面积为S ．

(1)利用一般三角形的面积公式(即三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半)，找出S 与θ的函数关系；

(2)求θ为何值时S 最大，并求出S 的最大值．

20. 在△ABC 中，点M 在BC 上，4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是AM 的中点．

(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若sin∠BAM =1

3，AB =AC =2，求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．