人教A版高中数学必修五第三章第一节不等关系与不等式(一)
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3.1不等关系与不等式（1）一、教学目标：1.知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式.2.过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.3.情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活小的重要作用，培养严谨的思维习惯.重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式.难点：利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课釆用“探究一一发现〃教学模式.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突111活动的组织设计与方法的引导.“抓三线〃，即（一）知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流.四、教学过程比佼分析，深化认识的定价设为X元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生. 产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500伽的钢管x根，截得600mm的钢管y根…根据题意，应有如下的不等关系：归纳小结：数运算性质与大小顺序Z间的关系a-b >0 <=> a> b ；a —h = O<^>a = h； a-b< Q a <b ・1实数比较大小的依据；从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大）对于任意两个实数a-b>O<^>a>b；a—b = O<^>a = h；a-h<O^>a<b.2比较两个实数G"大小的方法；⑴作差a-b-变形…与0比较…得出结论;（2）作商？•…变形…与1比较…得出结h论（作商的前提是两个数同号）问题2.分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为（x-25、8 xO.2无万元.那1 0.1 丿么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式8 X~ X0.2 尤2201 0.1（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负.由以上不等关系，可得不f500x + 600y<4000 等式组」心x>0[y>0培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。
高中数学人教A版必修5《3.1.1不等关系与不等式1》课件
二、新课讲授 1、用不等式来表示生活中的不等关系：
例1、右图是限速40km/h的路标，
指示司机在前方路段行驶时，应使 汽车的速度v不超过40km/h ，写
成不等式是：__v_≤_4_0____
40
例2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中 脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
（分子）有理化等； 3. 判断符号； 4. 作出结论．
四、课后小结
• 本节课我们巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式 组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等关系的实际问题。
• 用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、 规范。
• 书本P75，习题3.1 • A组第2、4、5题 • 预习P82，不等式性质
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
500x 600y 4000 x3x0y y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
练习：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写 出满足上述所有不等关系的不等式组？
698x 518y 4000 x 0 y 0 x, y N
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： x 2.5 0.2万本 因此，销售总收入为：
0.1
(8 x 2.5 0.2)x万元 用不等式表示为：
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
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x
x 14
练习3：观察以下图形，写出图中存在的 不等关系：
例1：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ （总收入＝单价×销售量）
还可以得到一个关于a,b的不等式:
a b 2ab
2 2
练习2：请同学们自己举出现实世
界和日常生活中存在的一些不等关 系。
二 用不等式表示不等关系
观察下表，请同学们说出x、y、z的范围:
年份
GDP（x GDP增长 人均GDP（z 万亿元） 率（y%） 万元）
2006 2007 2008 2009 2010 2011
1.用不等式(组）表示下面的不等关系：
用不等式(组）表示下面的不等关系：
2.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的 脂肪含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于2.3%．
2
f 2.5% p 2.3%
3.如图，在一个面积为350m 矩形地基上建造个仓库， 四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
人教A版高中数学必修五课件第三章3.13.1.1不等关系与不等式的性质.pptx
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第三章 不等式
3.1不等关系与不等式
3.1.1不等关系与不等式的性质
1．能判断生活中的不等关系． 2．会把生活中的不等关系用不等式刻化． 3．掌握不等式的性质；会将一些基本性质结合起来应用．
1．符号法则． 设ab a>0，b>0则a＋b___>___0,ab___>___0，—___>___0. 练习1：“a与b的和是非负数”用不等式表示为_a_＋__b_≥_0__．
解：(1)是假命题．例如 a＝1，b＝－2 满足 a＞b， 但 a2＜b2.又如 a＝1，b＝－1，显然 a＞b，但 a2＝b2. (2)是真命题．若 b＝0，则命题显然成立．若 b＞0，则 a＞ 0， b＞0， a＞ b，两边乘以 a，得 a＞ a· b，两边乘以 b， 得 a· b＞b，所以 a＞b. (3)是假命题．例如 a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝1 满足条 件ab>dc>0，但 ad＝－2，bc＝－1 有 ad＜bc. (4)是真命题．显然 ad＜0，bc＜0. 由 d＜c＜0 知：|d|＞|c|＞0， 又 a＞b＞0，∴|ad|＞|bc|，即－ad＞－bc，从而 ad＜bc.
1 a·d
1 > b·c
>0，
即ad > bc>0.所以
a d>
bc.所以为真命题．
(5)特殊值法，令 a＝2，b＝3，x＝2，ba＝32>54＝ba＋ ＋xx，所以 为假命题．
答案：A 准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前 提．在不等式的判断中，特殊值法也是非常有效的方法，尤其 是对于选择题或填空题，特殊值法可以节省时间．
【变式与拓展】 1．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是 ( D)
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二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
结论
对于任意两个实数，，如果，那么是正数；如 果，那么是负数；如果，那么等于。它们的逆命 题也正确，这就是说
上面等价符号的左式反映的是实数的大小顺序，右式 反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性 质与实数大小顺序之间的关系。它是不等式这一章的理论 基础。
大数对应的点位于小数对应的点的右边 思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两 个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数 学语言描述这个原理？
二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两 个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数 学语言描述这个原理？
思考5：如果两个实数的差是负数，那么这两 个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数 学语言描述这个原理？
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实例分析
实际生活中
长短
轻重
大小
高矮
实例分析 各远侧横 不近成看 同高峰成 低岭
一、用不等式表示不等关系
探究 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又
存在着大量的不等关系，在数学中，我们怎样来 表示这些不等关系？
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7℃，明天白天的最高温度为13℃；
一、用不等式表示、用不等式表示不等关系
1、不等式的定义
2、用不等式表示不等关系
一、用不等式表示不等关系
问题1
分析：
一、用不等式表示不等关系
问题2
分析：
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
一、用不等式表示不等关系
二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点， 那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？
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跟踪训练1-1:配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料. 已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲 料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A、B两种药 至少各配一剂,设A、B两种药分别配x、y剂(x、y∈N),请 写出x、y应满足的不等关系式.
3x 5y 20,
解:根据题意可得
解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
=（x- 3 ）2+ 3 ≥ 3 >0, 2 44
∴x2+3>3x.
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2) =a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0且a≠b, ∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即a3+b3>a2b+ab2.
6天内它的行程为6(x-10)km,那么不等关系“在6天内它
的行程将不超过2000 km”可以用不等式6(x-10)≤2000
来表示.
答案:6(x-10)≤2000
课堂小结
1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b. 2.作差比较的一般步骤: 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒 等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号,就是确 定是大于0,等于0,还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是 目的,“变形”是关键. 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严 格依性质进行,千万不可想当然.
人教新课标A版 必修五：3-1-1不等关系与不等式(一)
教学设计3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?生可以用不等式或不等式组来表示.师什么是不等式呢?生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.生可以表示为x≥0.（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生|AC|+|BC|＞|AB|(只需结合上述三角形草图).生|AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.生|AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.生如果用v表示速度，则v≤40 km/h.生 f≥2.5%或p≥2.3%.(此时,一片安静,同学们在积极思考)生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.师 同学们看这两位同学的观点是否正确?生 (齐答)大家齐声说，都可以.师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.课堂练习教科书第83页练习1、2.(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】 设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点.［活动与探究］师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系. (此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)［方法引导］师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |.师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形. 师 请同学们继续来处理问题2.［合作探究］【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本. 师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20〕师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师 为什么可以这样设？ 生 我只考虑单价的增量.师 很好，请继续讲.生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,y ∈N.师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y ∈N ）课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A 组4、 5.板书设计不等关系与不等式（一）实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜.3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x二、课外探究开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？。
人教A版高中数学必修五第一节不等关系与不等式一PPT课件
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→下结论.
人教A版高中数学必修五第三章第一节 不等关 系与不 等式( 一）(共 16张PP T)
人教A版高中数学必修五第三章第一节 不等关 系与不 等式( 一）(共 16张PP T)
比较两个数(式)的大小的方法:
例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
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不等式的定义：用不等号连接两个数或者解析式所得的式子，叫做 人教A版高中数学必修五第三章第一节不等关系与不等式(一）(共16张PPT) 不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R．
500x 600y 4000 x3x0y y 0 x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
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课堂练习：书本：P74，练习1、2
1、用不等式表示下面的不等关系：
（1）a与b的和是非负数； a+b≥0
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高
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高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面 之间的距离为 d，Ｂ为平面 上任意一点，则点Ａ与平面 的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克， 配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药 至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式课件(1)
(1)作商; (2)变形; (3)判断商值与1的大小; (4)下结论
(1)乘方; (2)用作差比较法或 作商比较法
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3.不等式的性质 性质1
别名 对称性
性质2
性质3 性质3的推论
传递性
可加性 移项法则
性质内容
a>b⇔b<a a<b⇔b>a
a>b,b>c⇒a>c c<b,b<a⇒c<a
a>b⇔a+c>b+c a+b>c⇔a>c-b
解析:由不等式的性质易知A,C,D成立,选B.
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3.已知a<b,那么下列式子中,错误的是( B ) (A)4a<4b (B)-4a<-4b (C)a+4<b+4 (D)a-4<b-4
解析:根据不等式的性质,a<b,4a<4b,A项正确; a<b,-4a>-4b,B项错误; a<b⇒a+4<b+4,C项正确; a<b⇒a-4<b-4,D项正确.故选B.
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③常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于,高 于,超过
小于,低 于,少于
大于等于, 至少,不低于
小于等于, 至多,不超过
符号语言
>
<
≥
≤
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【知识拓展】 利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 (1)在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以进行 比较时,才可用,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示. 另外,在用不等式(组)表示实际问题时一定要注意单位的统一. (2)用不等式表示不等关系的方法 ①认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系; ②找出体现不等关系的关键词:至少、至多、不少于、不多于、超过、不 超过等,用代数式表示相应各量,并用关键词连接,特别需要考虑的是≤、≥ 中的“=”能否取得. (3)注意变量的实际意义 体积、面积、长度、质量、时间等均为非负实数.
最新-高中数学 31不等关系和不等式 (3课时)课件 新人教A版必修5 精品
3.用“差比法”比较两个实数的大小， 一般分三步进行：作差→变形→判断符 号. 其中变形的目的在于判断差式的符号， 常用的变形手段有因式分解、配方等.
作业：
P74练习：1，2.
a－b＞0 a＞b
思考4：如果两个实数的差等于零，那么
这两个实数的大小关系如何？反之成立
吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b=0
a=b
思考5：如果两个实数的差是负数，那么 这两个实数的大小关系如何？反之成立 吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b＜0
a＜b
思考6：考察下列三个不等式： |x|≥x；x2＜0；sinx＞0.
a＞b，b＞c a＜b，b＜c
a＞c； a＜c（传递性）
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年 薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖 金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍 然比乙高，这里反映出的不等式性质如 何用数学符号语言表述？
a＞b a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
(a＞0，b＜0).
例5 已知c＞a＞0， c＞b＞0，比较
a与c c2 ab .
例6 已知数列{an}是等比数列，数 列{bn}是等差数列，且a1＝b1＞0，a3＝ b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5的大小.
小结作业
1.证明不等式和比较大小，是不等式的 两个基本问题，解决不等式问题必须以 不等式性质为理论依据，常用方法有比 较法、综合法、分析法等.
人教A版数学必修五3.1《不等关系与不等式》PPT课件
用不等式（组）来表示不等关系
问题4 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm和600mm的两种规 格。按照生产的要求，600mm的钢管 的数量不能超过500mm钢管的3倍。 怎样写出满足上述所有不等关系的 不等式呢？
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7 0.
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
比较两个数(式)的大小的方法: 作差,与零比较大小.
练习：已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上例中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何?
问题1．限速10km/h的路标，指示司机前 方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过
10km/h.写成不等式是 V≤10
用不等式（组）来表示不等关系
问题2 今天的天气预报说：明天早 晨最低温度为9℃，明天白天的最高 温度为16℃ ，那么明天白天的温度 t℃满足什么关系？
答案： 9≤t≤16
用不等式（组）来表示不等关系
典例分析 ：
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
问题 b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添 上m克糖（m＞0），则糖水就变甜了，由此，你 得到了什么启发？
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？
练习
小结：
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
•
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考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
课堂练习：书本：P74，练习1、2
1、用不等式表示下面的不等关系：
（1）a与b的和是非负数； a+b≥0
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高
4m”
0<h≤4
（3）在一个面积为350平方米的矩形地基
因为(x－1)2≥0，
（1）作差 （2）变形 （3）判号
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
（4）结论
小结：作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有
理化等。
例1-2：比较下面两式的大小： (1)x2 2x 3与2x2 2x 4 (2)x2 3与3x 配方 (3)x2 y2 4与2x 2 y 配方 (4)(x2 7)(x2 9)与x4 64 因式分解
上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ
大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系。
5m
5m
5m
5m
(L 10)(W 10) 350, L 4W L 0 W 0
课堂练习 2、有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系
a b 1.分析:设个位数字为 , 十位数字为 ,则
那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢?
这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发, 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.
首先从实数大小比较说起……
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢 管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数 量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同 时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
v1 v v2
(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
问题1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8 万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相 应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样 用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
50 10b a 60 a b 2 0 a 9 0 b 9 a N b N
不等式的定义：用不等号连接两个数或者解析式所得的式子，叫做 不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R．
一、引入
（一）.生活中的不等关系 (1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不 小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带 物品 ------杆状物不超过200cm,重量不得超 过20kg
(3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的高度。
问题:上面的不等关系是用什么不等式表示的?
两数大小的比较 判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
通过上式，比较两个数（式）的大小，就 可以转化为判断它们差的符号。
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→下结论.
比较两个数(式)的大小的方法:
例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
比较p与q的大小； (2)设a 0,b 0且a b，试比较aabb与baab的大小。
作商比较
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
若b>a,结论 又会怎样呢?
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴bm b 0∴bm b
am a
am a
例3、 (1)已知a 0且a 1, p loga (a3 1), q loga (a2 1)，
若杂志的定价为x元，
思考(1 )销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少? 8 x 2.5 0.2 0.1
(3)销售总收入为多少?
(8 x 2.5 0.2)x万元 0.1
用不等式表示为：(8 x 2.5 0.2)x 20
0.1
问题2.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求， 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3 倍，请思考: (1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系.
40 一、引入 （二）.用不等式(组)表示不等关系 (1)右图是限速40km/h的路标，指示司 机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v不超过40km/h . 0<v≤40
(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的
v 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 v v 宙速度( 记作 1),且小于第二宇宙速度(记 2 ).
(5（) 6 5）与（ 7 6）
小结：作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论 其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子 有理化等。
（ 备 选 ） 例 2 已 知 a 、b 、m 都 是 正 数 , 且 a b , 求 证 :
bm b am a
糖水变甜了
证明:
∵ b m b (b m)a (a m)b