2014年高考重庆理科数学试题及答案(精校版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数 学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1) 在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 (2) 对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）
139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列
(3) 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） A. 3.24.0^
+=x y B. 4.22^
-=x y C. 5.92^
+-=x y D. 4.43.0^
+-=x y
(4) 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）
9
.2A - .0B .C 3 D.152
(5) 执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A.12s >
B.3
5s >
C.710s >
D.45
s >
(6) 已知命题
:p 对任意x R ∈，总有20x
>； :"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（ ） .A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝
.C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝
(7) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面
积为（ ）
A. 54
B. 60
C. 66
D. 72
(8) 设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P
使得,4
9
||||,3||||2
121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A. 34 B. 35 C. 4
9
D. 3
(9) 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A. 72
B. 120
C. 144
D.3 (10) 已知ABC ∆的内角2
1
)sin()sin(2sin ,+
--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A. 8)(>+c b bc B. 216b)+ab(a > C. 126≤≤abc D. 1224abc ≤≤
二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题
卡相应位置上.
(11)设全集}9,7,5,3,1{},8,5,3,2,1{},101|{==≤≤∈=B A n N n U ，则
=⋂B A C U )(______.
(12) 函数)2(log
log )(2
x x x f ⋅=的最小值为_________.
(13) 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412
2
=-+-a y x 相交于B A ，
两点，且 ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
(14) 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ， 若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.
(15) 已知直线l 的参数方程为⎩
⎨
⎧+=+=t y t
x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极
轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________.
(16) 若不等式22
12122
++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是
____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. (17)（本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）
已知函数()()⎪⎭⎫
⎝
⎛
<
≤->+=22
0sin 3πϕπ
ωϕω，
x x f 的图像关于直线3
π
=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭
⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫
⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.
(18) （本小题满分13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分））
一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.
(19)（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问7分）） 如图（19），四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ， 3
,2π
=
∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=
,2
1
. （1）求PO 的长；
（2）求二面角C PM A --的正弦值.
(20)（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）
已知函数22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -. (1) 确定,a b 的值；
(2) 若3c =，判断()f x 的单调性； (3) 若()f x 有极值，求c 的取值范围.
(21) （本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）
如题（21）图，设椭圆22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点分别为
12
,F F，点D在椭
圆上，
112
DF F F
⊥，12
1
||
22
||
F F
DF
=，
12
DF F
∆的面积为
2
2
.
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
(22) （本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
设2
11
1,22(*)
n n n
a a a a
b n N
+
==-++∈
（1）若1
b=，求
23
,
a a及数列{}
n
a的通项公式；
（2）若1
b=-，问：是否存在实数c使得
221
n n
a c a
+
<<对所有*
n N
∈成立？证明你的结论.
2014年高考重庆卷理科数学参考答案
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)【答案】A
【解析】..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+= (2)【答案】D (3)【答案】A
【解析】.∴)5.33(),(.,,0,A y x D C b a bx y 选，过中心点排除正相关则=∴>+= (4)【答案】C (5)【答案】C 【解析】.∴10
7
87981091C S 选=•••
= (6)【答案】D
【解析】.∴,,D q p 选复合命题为真为假为真 (7)【答案】B
【解析】原三棱柱：底面三角形两直角边为3和4，高为4；截掉高为3的上部棱锥后
余下的几何体的表面积，，，侧上下227
3392318152156+=•++===S S S
B
S S S 选侧上下∴60s =++= （8）【答案】B
【解析】设m PF =1，n PF =2，且n m >，则b n m 3=+，ab mn 49
=
， .,3
5
,
5,4,3,34∴,2-222B a c c b a b a b a c a n m 选令解得====∴=+==
(9)【答案】B
【解析】先排歌舞3
3A ，再排其它：（1）歌舞中间有一个，插空法：.A A 1
22
3
.
.120)A A A A A (A ∴A A A 2 (2)2
22212122333222212B 选共有个：歌舞中间有=+ (10)【答案】A
【解析】2
1-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A +=+
=+=++ nA)
sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(A in 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B
-sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)
sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴22+=+=+=+=++=++s s s s
.
1inC 8sinAsinBs ∴2
1inC 4sinAsinBs ===
.8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]
8,4[∈∴]2,1[∈4
nC sinAsinBsi 2sin 21333222
Δ成立对>+∴=≥==>+===c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S ABC
二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

(11)【答案】}9,7{
【解析】}.9,7{}.9,7{},10,9,7,6,4{所以是=∩∴=B A C A C U U (12)【答案】4
1
-
【解析】41
-)21-1()21-()log 1(log 2
log 2log log 21)(22222=•≥+•=•=x x x x x f (13)【答案】154±
【解析】到直线圆心半径为正三角形，圆心),1(∴2),,1(Δa r a ABC =
.
154.∴154,
018-,31
)1-(21
|2-|.302-222±±==+=+=
++===+所以是解得又的距离a a a a a a a a d d y ax
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两
题给分.
(14)【答案】4
【解析】,8
B
6B 9PB 6∴CA B PA B PC A ΔPCA AB ΔA P A P P P ==+==相似，
与 .
4AB ∴4AB 3,PB ===所以
(15)【答案】5
【解析】0θcos 4-θsin ρ1-,
3,22==+=+= x y t y t x
.
5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴22222==+==⇒=+===⇒=所以交点得与联立y y x y
16. 若不等式2
21
2122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是
____________.
(16)【答案】
]2
1
1-[， 【解析】有最小值由数轴可知，|2||2
1
-||21-
|)(+++=x x x x f ]
2
1
1-[∈1-2≥022
1
≥25221≥)(∴,25)21f(222，，解得即，恒成立，即a a a a a a a x f +++++=
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分） 【解析】（I ）为对称轴由题可知，周期3
π
2ω⇒|ω|π2∴π===
=x T T 6
π
-φ2ω,.6π-φ)6π-2sin(3)12π-(2sin 3f(x)∴2π
φ≤2π-0)12π()4-3π(∴=====<
==，所以，，且x x f T f
（II ）
41
)6π-αsin(43)6π-αsin(3∴43)2α(===，即f
815
3)23παcos(,.8153214152341)23παcos(∴.4
15)6π-αcos(2π6π-α0∴32πα6π2
1)6π-αcos(23)6π-αsin(]6π)6π-αsin[(αsin )23παcos(+=
++=•+•=+=<<<<•+•=+==+
所以，
18.（本小题满分13分）
【解析】（I ），个完全相同共有种，共有中取5332789393
3343
9=+•••=
C C C 84
5
3,.845578923)(∴3
9
3334是
个完全不同卡片的概率取所以的概率所求事件=••••=+=C C C A p A
（II ）3,2,1可以取中位数X
28
47
8414138472844318434,121
847)2()3)(3)(2,1(38443)2()3,2)(2)(2,1(24217
8434)1()3,2,1()1()1(13
9
2
2173
91
2233312131423143
9
152434==•+•+•=
======+++=====+===EX C C C X p X C C C C C C C C C X p X C C C C X p X 所以，，时，如当，，时，如当，，时，如当
19.（本小题满分12分）
【解析】（I ）都为正三角形，面由题知，CD Δ,Δ,⊥B ABD ABCD PO
2
3433421.
4
3
,
3,4
21
π32cos 2122-414Δ. BC ⊥OM 2222222222222222=+++=+=+=+=+=+==•••+=+=PO PO PO PO OM PO OM PO PM PO AO PO PA AM ABM PM PA AM ，解得即中，
在且 （II ）系，轴，建立空间直角坐标为据题分别以z y x OP OB OA ,,,,
)
2-,3-,1(0),,,()
2,35,
1(0),,,().
23
03(),23-4343-()23,03-().
0,03-(),04343-(),2300(),0,03(22222221111111===========n PM n CP n z y x n PMC n PM n AP n z y x n APM CP PM AP C M P A 解得一个，则法向量设面解得一个，则法向量设面，，，，，，，，，，，，则
5
10
--5
1052|,sin |5
3-
83
40
8-|
|||,cos 21212121的正弦值为
二面角C PM A n n n n n n ∴==
><∴==
>=
<∴ 20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分） 【解析】（1），c be ae x f cx be ae
x f x x x x
-22)(∴--)(2-22-2+='=
1
,-4-22∴-4)0( b.
a ∴)-()()(===+='='=''
b a
c c b a c f x f x f x f 解得为偶函数，且
（2），
时，）知，当由（013-222≥3-22)(312-22-2>=•+='=x x x x
e e e e
x f c 上单调递增在则R x f )(
（3）.-4-222≥-22)(2-22-2c c e e c e e
x f x x x x
=•+='
有极值
时，，所以，当存在极值即有正又有负，时，当无极值恒成立，时，当(x))4(c .(x)∴)(4c .f(x)0≥)(4≤c ∴.f f x f x f ∞+∈'>'
21. 【解析】（I ）
，22
b 211Δ21=•=•=
c a OF DF S F DF 1y 2
x
,,1b ,2a ,1c ∴.b c a ,2222b 222
2222
2222
121=+===+===•=椭圆方程为
所以且c a c DF F F
（II ）).0,1(),0,1-(,11-21F F 和条切线的斜率分别为根据题意和对称性，两
2
3
4
,.
.234),2
r
-
1,2r
(
,圆半径为所以上部，符合题意经验证，圆与椭圆交于代入椭圆方程中，解得则其中一个切点设圆半径为=
r P r
22.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分） 【解析】（I ）1)1-()1-(∴1122-12212
1+=>++=
=++n n n n
n a a a a a b 时，当
1
2,2.∈11-∴,11-)1-()1-(1})1-{(∴3212212+==+===+a a N n n a a n a a a n n n ，，的等差数列，即，首项为是公差为 （II ）1-2,0,1.1-22-1-3212
1===+=
=+a a a a a a b n n
n 时，当
+
++
++++++++++++++++
+<<=<<<<+=<<>
<
<<=<<>=<==<<
><<>+=N n a a c N n a a a a k n a a a a a a a a a a k n a a a a n a a a a a a a N n a a a a a n n n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n n n k k k k k ∈,4
1
,41∈,41
)3(4
1
1,41∴41
],1-241∈∴)410[∈41
),410[∈∴]1-2,41(∈4
1
)2(41
∴411-2,4101)1(..4
1
2
3
-141;41∈],1-2,0[∈∴]1-2,0[∈1-22-],1-2,0[∈1221221
22322232322222221212212232122112
1使得所以，存在综上，时，即成立即，（，即，成立，则
时，假设成立
时，当用数学归纳法证明猜测，则令，则令则假设。