高三数学专题复习函数的性质及应用

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数

例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．

（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），

f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．

二、函数值域及最值求法

例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）

=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），

使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的

都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．

三、函数单调性与奇偶性

例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数

若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．

（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围

是．

（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．

（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．

四、函数的周期性

例4、（1）已知奇函数满足

的值为 。

（2）设函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （x ﹣2）=﹣f （x ）对一切x∈R

都成立，又当x∈[﹣1，1]时，f （x ）=x 3，则下列四个命题：①函数y=f （x ）是以4为周

期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f （x ）=（2﹣x ）3； ③函数y=f （x ）的图象关于x=1

对称；④函数y=f （x ）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是 ．

五、函数图像的对称性

例5、（1）已知函数(21)y f x =+为偶函数，则函数(2)y f x =图像关于直线 对称，函数()y f x =图像关于直线 对称。

（2）设．则 ．

（3）已知函数f （x ）的定义域为R ，则下列命题中：①若f （x ﹣2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x=2对称；②若f （x+2）=﹣f （x ﹣2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；③函数y=f （2+x ）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对称；④函数y=f （x ﹣2）与函数y=f （2﹣x ）的图象关于直线x=2对称．其中正确的命题序号是 ．

六、函数性质的综合应用

例6、（2013•上海春季）已知真命题：“函数y=f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f （x+a ）﹣b 是奇函数”．

（1）将函数g （x ）=x 3﹣3x 2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象

对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g （x ）图象对称中心的坐标；

（2）求函数h （x ）= 图象对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数 y=f （x ）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数y=f （x+a ）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

例7、已知函数f （x ）=ax 2+bx+1，a ，b 为实数，a≠0，x∈R，F （x ）=，

（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．

例8、（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

例9、（2012•卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D 满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．

（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；

（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

例10、已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．

（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；

（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；

（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

七、实战演练

一．填空题