数学建模(动态模型)
数学建模习题集及标准答案
3.动态模型:描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分
1.优点:短期预报比较准确;缺点:不适合中长期预报;原因:预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况：
（1） ，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益
（1，0），不管这时候b的值是多少；（2） ，此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（1，0）；（3） ，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益
数学建模中模型的名词解释
数学建模中模型的名词解释数学建模作为一门学科，是将实际问题转化为数学问题，并运用数学理论和方法来解决问题的过程。
在数学建模中，模型是其中最为重要的概念之一。
模型在解决实际问题时起着关键的作用，可以帮助我们更好地理解现象和规律，并进行预测和优化。
一、模型的定义模型是对实际问题的抽象和简化，通过数学形式来描述。
它可以是数学方程、图表或者其他数学表达形式。
模型的建立需要根据实际问题的特点和需求，选择合适的数学方法和变量，并对其进行适当的假设和简化。
二、数学模型的分类数学模型可以分为动态模型和静态模型两种类型。
1.动态模型动态模型是描述事物随时间变化的模型。
在动态模型中，时间是一个重要的变量，用来描述事物的演化过程。
动态模型可以采用微分方程、差分方程等数学方法进行描述，常见的动态模型包括物理系统的运动学模型、生态系统的种群动力学模型等。
2.静态模型静态模型是描述事物特定状态的模型。
在静态模型中，时间不再是一个重要的变量，模型的关注点集中于某一特定时刻或特定状态下的问题。
静态模型可以采用代数方程、优化模型等进行描述，常见的静态模型包括线性规划模型、统计回归模型等。
三、模型的构建步骤建立数学模型的过程可以分为问题的理解、建立数学模型、求解模型和模型的验证四个步骤。
1.问题的理解问题的理解是建立数学模型的第一步，需要深入了解问题的背景和需求，明确问题的目标和限制条件，分析问题的关键因素和变量。
2.建立数学模型建立数学模型是将实际问题转化为数学问题的过程，需要根据问题的特点和要求选择合适的数学方法和变量，并针对问题进行适当的假设和简化。
建立数学模型时，需要考虑模型的可解性、可行性和合理性。
3.求解模型求解模型是通过数学方法和计算工具，对建立的数学模型进行求解和分析，得到问题的解答或者优化结果。
求解模型时，需要选择合适的求解算法和计算方法，进行模型的计算和推导。
4.模型的验证模型的验证是对模型求解结果的合理性和可靠性进行分析和评价的过程。
数学建模习题及答案
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
数学建模简介1
数学建模的方法和步骤
模型假设
在明确建模目的，掌握必要资料的基础上， 通过对资料的分析，根据对象的特征和建 模目的，找出起主要作用的因素，对问题 进行必要的、合理的简化，用精确的语言 提出若干符合客观实际的合理假设。
数学建模的方法和步骤
模型假设
作出合理假设，是建模至关重要的一步。 如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是 一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超 的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判 断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方 法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下 山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反 的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/ 小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千 米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔 向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多 少路程？
四、模型的特点：
逼真性和可行性 渐进性 强健性 可移植性 非预测性 条理性 技艺性 局限性
五、建模能力的培养：
具有广博的知识（包括数学和各种实际知 识）、丰富的经验、各方面的能力、注意 掌握分寸。
具有丰富的想象力和敏锐的洞察力
类比法和理想化方法
直觉和灵感
实例研究法
学 习 、 分 析 别 人 的 模 型 亲 手 去 做
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
什么是数学建模
什么是数学模型？
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种 数学表述。
具体一点说：数学模型是以部分现实世界为某 种研究目的的一个抽象的、简化的数学结构。 这种数学结构可以是数学公式、算法、表格、 图示等。
数学建模简介2
罗钟瑞
张驹翔
王俊智
蔡少杰
王鸣涛
林瑶
黄维娜
林亦然
体育类省金奖 拓步体育旅游文化有限责任公司 09电信 09计科 林天飞 何陈文 09旅管 09财管 叶韩英 林丽婷 10电信 陈华津 10食科 林正方 10财管 10财管 许小青 陈巧炜
2013全国大学生创新创业计划训练项目
康跃体育旅游文化研究与企业开发利用 2013福建省大学生创新创业计划训练项目 小区智能监控系统的研制 基于时间序列与灰色拓扑的节假日火灾损失预测及综合治理
五、数学建模的实例
模型建立与求解
w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量
w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k )
=1/8000(kg/kcal)
~ 代谢消耗系数(因人而异)
五、数学建模的实例
1）不运动情况的两阶段减肥计划
• 确定某甲的代谢消耗系数
赖晓燕
10财管 10食科 10农区 09土木
林莉莉 赖燕秋 陈志微 王世宇
11动医
林武涛
漳州市育松绞股蓝茶品加工厂
10国贸 10财管
林少郎 叶成群
10国贸 10财管 10计科 10广告
骆昊远 吴月 林燕凌 李鹏辉 乐圈传媒有限责任公司
09英语
邵瑛
09英语
周海燕
10机械 10财管
10食科 10工程
10食科 10电信 10电信 09土木
卢伟杰
石永杰
戴雪香
张凡凡
郑蓉芳
陈达隆 庄宇斌
刘芳伟
省优胜奖 农保生物农药有限公司 10食科 10电气 10财管 10食科 10土木 10农区 09土木 10国贸
数学建模的基础概念及举例
数学建模的基础概念及举例一、数学建模的基本概念数学建模及其数学建模过程数学模型：数学模型是对于现实中的原型问题，为了某个特定的目的，作出一定的必要简化和假设，运用恰当的数学工具，得到的一个具体的数学结构。
也可以这样说讲，数学建模是利用数学特有的语言，例如利用符号、式子和图象来模拟现实的问题模型。
把现实问题模型进行抽象简化，使之成为为某种数学结构，这是数学模型的基本属性特征。
数学模型一方面能够解释特定现象，或是特定的现实状态，能够预测到模型蕴含问题中的隐含的状况，另一方面能够提供处理问题的最优决策，或者是对问题的控制。
数学建模：数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼简化，使之抽象为较为明了数学模型。
通过多种方法和途径，求出模型的解的答案，再加以验证模型存在的合理性，并利用该数学模型所提供的解答，用以解释现实问题。
我们通常把数学知识的这一合理应用过程称之为数学建模。
数学建模的七个过程：1.模型的准备：了解分析问题的实际背景，明确其中的实际意义，掌握问题对象的各种信息，并用数学符号语言来描述问题本质。
2．模型的假设：根据实际对象的特征属性及建模的目的，对模型问题进行必要的简化，并利用精确的语言，提出一些恰当的假设条件。
3.模型的建立：在假设条件的基础上，利用恰当的数学工具，来刻划各个具体变量之间的数学关系，尽量利用简单的数学用具，建立相应的数学结构。
4.模型的求解：在利用获取数据资料的过程中，对模型的所有参数做出较为精确的计算。
5.模型的分析：经过以上四步，再对所得的结果进行精确的数学上的分析。
6.模型的检验：经过上述五步操作，再将模型分析的结果，与实际情形进行对比，以此来验证模型的合理性，精准性，和实用性。
如果问题模型与实际较为吻合，我们就要对计算的结果给出其实际意义，并进行适当详细的解释。
如果问题模型与实际吻合较为一般,我们就应该修改假设条件，再次操作模型建立过程。
7.模型的应用：数学模型建立的应用方式多种多样，会因具体问题的性质和个人建模的目的而不同。
数学建模简介及数学建模常用方法
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。
他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。
而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。
特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。
可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。
你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。
其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。
也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型。
数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。
通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。
数学模型的另一个特征是经济性。
用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。
数学建模习题及答案
数学建模习题及答案第⼀部分课后习题1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432⼈住在C宿舍。
学⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。
（2）2.1节中的Q值⽅法。
（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种⽅法的道理吗。
如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。
将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。
（4）你能提出其他的⽅法吗。
⽤你的⽅法分配上⾯的名额。
2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。
⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀1.50元，120g装的3.00元，⼆者单位重量的价格⽐是1.2：1。
试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w 的增加c减少的程度变⼩。
解释实际意义是什么。
3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法。
假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：先⽤机理分析建⽴模型，再⽤数据确定参数4.⽤宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹⾓应多⼤（如图）。
若知道管道长度，需⽤多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5. ⽤已知尺⼨的矩形板材加⼯半径⼀定的圆盘，给出⼏种简便、有效的排列⽅法，使加⼯出尽可能多的圆盘。
数学建模数学建模简介ppt课件
2006
B A B A B
2007 2008
2009
A B A
制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排 储油罐的变位识别与罐容表标 定 2010 年上海世博会影响力的定 量评估
2010
B A B A B
如何写好数学建模竞赛答卷
一、写好数模答卷的重要性 二、答卷的基本内容，需要重视的问题 三、对分工执笔的同学的要求 四、关于写答卷前的思考和工作规划 五、答卷要求的原理
数学建模
任课教师: 朱 伟
联系方式: zhuwei@; 13062398142
主要参考书籍: 1. 数学建模与数学实验, 赵静, 但琦 2. 数学实验, 萧树铁 3. 数学建模方法及其应用, 韩中庚 4. 数学建模导论, 陈理荣
数学建模(Mathematical Modelling)
数学建模的一般步骤
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数
用实际问题的实测数据等来检验该数学模 型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
数学模型（Mathematical Model）
• 数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 一个特定目的，根据特有的内在规律，做出 一些必要的假设，运用适当的数学工具，得 到一个数学结构。 • 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数 学表达式（或是用数学术语对部分现实世界 的描述），即用数学式子（如函数、图形、 代数方程、微分方程、积分方程、差分方程 等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对 象或系统在某一方面的存在规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的 一种实践。即通过抽象、简化、假设、引 进变量等处理过程后，将实际问题用数学 方式表达，建立起数学模型。数学建模所 涉及的问题都是现实生活中的实际问题， 范围广、学科多，包括工业、农业、医学、 生物学、政治、经济、军事、社会、管理、 信息技术等方面。
数学建模：模型---动态模型
若将r设定成种群总量N的递减函数, 模型在t 时可
能会有更好的表现力。
25
几何相似性建模
定义 与 成正比例（反比例），记作 y∝ x（y ∝x-1 ） 存在常数k>0 ，使得y=kx （y=k x-1 ）。
虎克定律：F=kS ，其中 F是恢复力，S 是被拉长或 压缩弦的距离。
牛顿定律：F=ma 或 ，其中F 是作用力，a 是加速 度， m是物体的质量。
温度与水温相同 （3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，
最终换水时的温度为 T2 （4）每个盘子的洗涤时间 △T是一个常数。
（这一假设甚至可以去掉 不要）
11
根据上述简化假设，利用热量守衡定 律，餐馆老板的问题就很容易回答了， 当然，你还应当调查一下一池水的质 量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和 质量等。
7
盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？盘子是 怎样洗的 ? ……… 不妨假设我们了解到： 盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先 将一叠盘子浸泡在热水中，然后一一清洗。
8
不难看出，是水 的温度在决 定洗盘子的数 量 。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还 会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太 脏了，而是因为 水不够热了。
12
可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研的 问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、
准备建立什么样的模型以及你准 备研究 的深入程度有关，即在你提出假设时，你 建模的框架已经基本搭好了。
13
数学建模的步骤
（1）甄别问题 这一步通常是困难的，因为 在现实生活中，没有人会只是简单地给你 一个有待解决的数学问题。通常你必须从 大量的数据中搜索和甄别所研究问题的某 些特定的方面。此外，考虑到要把描述问 题的口头陈述翻译成数学的符号表示，因 此在阐明问题时要足够精确，重要的是要 认识到对问题的回答可能不会直接导致合 用的问题识别。
数学建模作业_动态规划求解指派问题
3 问题的伪代码实现
1 设 k 的初始值为 1； 2 写出 X k ，即第 k 阶段决策变量可能的取值，特别地， X 1 ={1,2， 。 。 。 ，n}。 3 对每一个 sk ，计算 sk g1 (sk 1 , xk 1 ) sk 1 {xk 1. j} ，及 d ( sk , xk ) ； 4 计算 f k ( sk ) ； 5 若 X k 为空，转到第 6 步，否则，k++，转回执行第 2 步。 6 最优指派决策为 f k ( sk ) ，根据 f k ( sk ) 写出最优指派方案{ xkj }。 7 程序算法复杂度：是 O(V*E*E)
其中“ - ”表示集合的差运算。 （4）指派问题指标递归方程：
f k (sk ) min{ f k (sk , xk ) | xk X k } ， f k (sk , xk ) d k (sk , d k ) f k 1 ( g1 (sk 1 , xk 1 )) ， f 0 (s0 ) 0, k 1,2,..., n.
float costforout[101][101]; int matrixsize; int personnumber; int jobnumber; }matrix; matrix sb; int result[501][2]; void twozero(matrix &sb); void judge(matrix &sb,int result[501][2]); void refresh(matrix &sb); void circlezero(matrix &sb); matrix input(); void output(int result[501][2],matrix sb); void zeroout(matrix &sb); matrix input() { matrix sb; int m; int pnumber,jnumber; int i,j; float k; char w; printf("指派问题的动态规划解法:\n\n"); printf("按最大价值分配请输入 1;最小价值分配请输入 0:\n"); scanf("%d",&m); while (m!=1&&m!=0) { printf("请输入 1 或 0:\n"); scanf("%d",&m); } printf("请输入可分配总人数(介于 1 和 100 之间):\n"); scanf("%d",&pnumber); while(pnumber<1 || pnumber>100) { printf("请输入合法数据:\n"); scanf("%d",&pnumber); } printf("请输入工作数(介于 1 和 100 之间):\n"); scanf("%d",&jnumber); while(jnumber<1 || jnumber>100) { printf("请输入合法数据:\n");
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
第一讲常微分方程分解
4ac b 2a
2
诸如 ax bx cx f (t ) 的线性非齐次方程的通解 等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解的和.
'' '
微分方程的稳定性理论 :
一、一阶方程的平衡点及稳定性(自治系统)
(t ) f ( x) x
(1)
方程f ( x) 0的实根x x0 称为方程（）的平衡点。 1 若 lim x(t ) x0 , 则称平衡点x0是渐近稳定的，
2 p q 0 p (a1 b2 ) q a b a b 1 2 2 1
若p>0,q>0则平衡点稳定 若p<0,q<0则平衡点不稳定
微分方程的稳定性理论将平衡点分为节点、 焦点、鞍点、中心等类型，这完全取决于p,q 的值。
对于一般的非线性方程（3），可以用近似 线性方法判断其平衡点的稳定性。而对于任意高 阶的微分方程都可以化为一阶微分方程组来处理。
b 2 4ac 0, b 4ac 0,
2
x c1e r1t c2e r2t b x c1e c2te , r1 r2 2a t x e (c1 cos t c2 sin t )
r1t r1t
b 4ac 0,
2
b , 2a
2
（5）
验算知G/S为（5）的一个特解，下面对（5） 的通解进行讨论
4 记 1 , 2
2
1.当 2 4 时，（5）的通解为 G 1t 2t Y (t ) Ae Be S 1 , 2中至少有一个为正，则 lim Y (t ) 若 t 即生产水平随时间的增加而增加。
模型一：交通管理中的黄灯问题
微分方程模型(经济数学建模课程(西安交通大学,戴雪峰)
若按（3） ，求出圆桶的速度 v(t)，就必须求出圆 桶的下沉时间，要做到这一点比较困难。为此改 变讨论方法，显然速度 v(t)为下沉深度的函数所 以 v(t)改写为 v(y(t))，
dv dv dy dt dy dt
（ 1）可写为 dy dv m W B cv dt dy
不过是指数增长模型离散形式的近似表示。
2、阻滞增长模型 （Logistic model）
将r表示为人口x(t)的函数r(x)，r(x)应为减 函数。最简单假设r(x)=r-sx，r、s>0，这 里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长 率。显然任意x>0，r(x)<r。为了确定s的意 义，引入自然资源和环境条件所容纳的最 大人口数量xm（称最大人口容量）。
• 设K为潜在的消费者总数， • n(t)为t时刻购买了该产品的人数，在时 间段[ t , t+Δ t ]中，Δ n由两部分组成， Δ n1是由来自消费者外部的产品信息导 致的购买者增量；Δ n2是由来自消费者 内部传播的产品信息导致的购买者增量。
△ n1 应与未购买者人数成正比，即
n1 a K nt t ，
cg t W
)
(3)
圆桶的极限速度 W B lim v(t ) 713.86 ft / s t c
如果极限速度不超过 40ft/s，工程师们就可以罢休 了，然而圆桶的极限速度竟然如此之大，使得人们 不得不开始相信工程师们也许是对的。 （即圆桶的 速度很有可能大于 40ft/s。 ）
数学建模
西安交通大学理学院 戴 雪 峰 E-mail: daixuefeng@
微分方程模型
（动态模型）
一、人口模型
以前常用这样的方法： 设人口增长率为r，今年人口为a0， 那末一年后为a0(1+r)，两年后就为a0(1+r)2， ……，k年后的人口为ak= a0(1+r)k。
数学建模四大模型归纳
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
●旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d，找一条经过n个城ij市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
●车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
●车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学模型与数学建模 简介
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至 少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就 化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只 要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
了三十并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十分钟到家，问此人共步换 显行然一了是种多由想长于法时节，省问了题从就相遇迎点刃到而会解合了点。，假又如从
间？
请思他 那 分 会到会考合会合的 么 钟一点合点妻 这 时下返点，子 一 间，回需故遇 天 从本相开相到 他 何题遇5遇分他 就 而解点时钟答后 不 来这他。中似仍 会 ？一已而隐段步载 提乎此含路行着前条人了的了他回提哪件缘二开家前些故十不往了了假，五够三会。设故分十合提哦由钟分地前相。钟？。点的遇到点，十。达
间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说， 在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没 被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线
的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。
D
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样
清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水 温不能太高，否不则妨可会以烫提手出以，下但简也化不假设能：太低，否则不干净。由 于想节省开支，（子餐1的）大馆水小老池、、板材空料想气相了吸同热解不一计池，只热考水虑到盘子底吸可热以，盘洗多少盘 子，请你帮他建（模2）分盘析子初一始下温这度与一气问温题相同。，洗完后的温度与
数学建模基本要素
问题定义不清
总结词
数据是数学建模的基础，数据不足或不准确会导致模型无法准确反映实际情况。
详细描述
在数学建模过程中，需要收集大量相关数据作为输入。如果数据量不足或数据质量不高，会导致模型精度下降，甚至得出错误的结论。解决这个问题的方法是尽可能多地收集高质量的数据，同时采用合适的数据处理方法对数据进行清洗和预处理，提高数据的质量和准确性。
详细描述
05
CHAPTER
数学建模的常见问题与解决方案
总结词
问题定义不清是数学建模中常见的问题，它可能导致模型建立偏离实际需求。
详细描述
在数学建模过程中，首先需要对问题进行清晰、准确的定义。如果问题定义模糊或过于宽泛，会导致建模过程中出现偏差，甚至得出错误的结论。解决这个问题的方法是仔细分析问题，明确问题的边界和约束条件，确保模型能够准确反映实际需求。
通过代数方程和不等式来描述和解决问题的方法。
详细描述
代数法是数学建模中最基本的方法之一，它通过建立代数方程或不等式来描述和解决各种实际问题。例如，在解决几何问题时，可以通过代数法找到未知数，进而求出问题的解。
代数法
利用微积分的基本概念和定理来建模的方法。
总结词
微积分法是数学建模中常用的一种方法，它利用微积分的基本概念和定理来描述和解决实际问题。例如，在经济学中，可以通过微积分法建立需求和供给函数，进而求出市场的均衡价格。
详细描述
变量选择需要考虑与问题相关的各种因素，并确定哪些因素对模型输出有显著影响。参数设定则需要根据已知数据和经验进行合理估计，以确保模型的有效性和准确性。
变量选择与参数设定
总结词
假设条件是数学建模中不可或缺的一部分，它们限制了模型的可能解的范围，有助于简化模型并提高预测精度。
数学建模常用算法模型
数学模型的分类按模型的数学方法分：几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等按模型的特征分：静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等按模型的应用领域分：人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等.按建模的目的分：预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应按对模型结构的了解程度分：有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型.按比赛命题方向分：国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策数学建模十大算法1、蒙特卡罗算法该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现4、图论算法这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用7、网格算法和穷举法当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具8、一些连续离散化方法很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的9、数值分析算法如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用10、图象处理算法赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理算法简介1、灰色预测模型必掌握解决预测类型题目.由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用.满足两个条件可用：①数据样本点个数少,6-15个②数据呈现指数或曲线的形式2、微分方程预测高大上、备用微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法.近几年比赛都有体现,但其中的要求,不言而喻.学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系.3、回归分析预测必掌握求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变化；样本点的个数有要求：①自变量之间协方差比较小,最好趋近于0,自变量间的相关性小；②样本点的个数n＞3k+1,k为自变量的个数；③因变量要符合正态分布4、马尔科夫预测备用类似的名词有,马尔科夫链、马尔科夫模型、,马氏链模型等一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的概率,只能得到概率.思考马尔科夫和元胞自动机之间的关系5、时间序列预测必掌握与马尔科夫链预测互补,至少有2个点需要信息的传递,ARMA模型,周期模型,季节模型等6、小波分析预测高大上数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据；可以做时间序列做不出的数据,应用范围比较广7、神经网络预测备用大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的办法8、混沌序列预测高大上比较难掌握,数学功底要求高9、插值与拟合必掌握拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们.10、灰色关联分析法必掌握与灰色预测模型一样,比赛不能优先使用11、模糊综合评判备用评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序12、主成分分析必掌握评价多个对象的水平并排序,指标间关联性很强13、层次分析法AHP必掌握作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策14、数据包络DEA分析法备用优化问题,对各省发展状况进行评判15、秩和比综合评价法高大上评价各个对象并排序,指标间关联性不强16、优劣解距离法TOPSIS法备用17、投影寻踪综合评价法高大上揉和多种算法,比如遗传算法、最优化理论等18、方差分析、协方差分析等备用方差分析：看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如：元素对麦子的产量有无影响,差异量的多少；1992年,作物生长的施肥效果问题协方差分析：有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因素,但注意初始数据的量纲及初始情况.2006年,艾滋病疗法的评价及预测问题21、线性规划、整数规划、0-1规划必掌握有约束,确定的目标比较简单,必须掌握22、非线性规划与智能优化算法智能算法至少掌握1-2个,其他的了解即可非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索算法、神经网络、粒子群等23、多目标规划和目标规划柔性约束,目标含糊,超过备用24、动态规划备用25、复杂网络优化多因素交错复杂备用,编程好的使用要掌握离散数学中经典的知识点——图论.26、排队论与计算机仿真高大上排队论包括、元胞自动机对编程能来要求较高,一般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用这也是大部分队伍使用元胞自动机不获奖的最大原因.27、模糊规划范围约束28、灰色规划难29、图像处理备用MATLAB图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系.例如2013年国赛B 题,2014网络赛B题.30支持向量机31多元分析1、聚类分析必掌握,参考192、主成分分析必掌握3、因子分析必掌握4、判别分析5、典型相关分析6、对应分析7、多维标度法8、偏最小二乘回归分析32、分类与判别主要包括以下几种方法,1、距离聚类系统聚类常用2、关联性聚类常用3、层次聚类4、密度聚类5、其他聚类6、贝叶斯判别统计判别方法7、费舍尔判别训练的样本比较多8、模糊识别分好类的数据点比较少33、关联与因果1、灰色关联分析方法样本点的个数比较少2、Sperman或kendall等级相关分析3、Person相关样本点的个数比较多4、Copula相关比较难,金融数学,概率密度5、典型相关分析因变量组Y1234,自变量组X1234,各自变量组相关性比较强,问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密6、标准化回归分析若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密7、生存分析事件史分析难数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响8、格兰杰因果检验计量经济学,去年的X对今年的Y有没影响。
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模型1 （SI模型）
模型假设：
• 健康人和病人在时刻t这两类人在总人数 中所占的比例分别记作和 s(t)和i(t).
• 每个病人每天有效接触（足以使人致病） 人数为 ， 称日接触率。
模型建立
N di Nsi
dt
(1)
若记初始时刻（t=0)病人的比例为 i0 ，则
ii.降低s0 (s0 i0 r0 ) r0 群体免疫.
习题：
在SIR模型中，证明：
(1)若
s0
1
，则 i(t)
先增加，在
s 1
处达
到最大，然后减小并趋于0；s(t) 单调减
少至 s .
(2)若
s0
1
，则
i(t) 单调减少并趋于0，s(t)
单调减少至 s .
动态模型
• 描述对象特征随时间（空间）的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分方程建模
• 根据函数及其变化率之间的关系，确定 函数本身
• 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。
模型建立
N di Nsi Ni
dt
(4)
di i1 i i
dt
i0 i0
(5)
(5)的解为
模型求解
it
[
1 i0
e t
t
1 i0
1
,
]1,
（6）
模型分析
定义 / ， 是一个传染期内每个 病人有效接触的平均人数，称为接 触数。易知，当 t 时，
di i1 i
dt
(2)
i0 i0
模型求解
解得：
i(t)
1
1
1 i0
1et
(3)
模型分析
但 t i 1
必须修改模型。
模型2 传染病无免疫性，病人治愈成为健康人，健康人
可再次被感染（SIS模型）
模型假设
1)、2)条与模型1相同，增加的条件为
3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ，称为日
i
di dt
ds
dt (0)
si i si
i0, s(0)
, s0
（8） （9）
方程（9）无法求出 s(t) 和 i(t) 的解析解，在相平面
s ~ i 上研究解的性质。
相轨线的定义域为
D {(s,i) | s 0,i 0, s i 1} （10）
在方程（9）中消去 dt并注意到 的定义，可得
i
1
1
,
1
0, 1
（7）
模型3 传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称移出
者（SIR模型）。
模型假设：
1） 人数N不变，健康人、病人和移出者比例分别为
s(t),i(t) 和 r(t).
2）病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触
数为 / .
模型建立：
st it rt 1,
di ds
1
s
1
i |s s0 i0
（11）
容易求得（11）的解为
i
(s0
i 0 )
s
1
ln
s s0
（12）即为相轨线。
（12）
模型分析 在D内作相轨线 i(s) 的图形，
相轨线及其分析 (t 0)
1.i(s)图形：s(t) ,i 0,i(s 1/） im , s满
足Байду номын сангаас
s0
i0
s
1
ln
s s0
0;
2.s0 1/ (P1) i(t)先升后降至0 传染病
蔓延；
3.s0 1/ (P2 ) i(t)单调降至0 传染病
不蔓延.
故 是阈值。
1
： 从而得预防传染病蔓延的手段
i.提高阈值1/ ( / ) , : (日接触率) 卫生水平 ； (日治愈率) 医疗水平 .