数学建模(动态模型)

s
1
ln
s s0
0;
2.s0 1/ (P1) i(t)先升后降至0 传染病
蔓延；
3.s0 1/ (P2 ) i(t)单调降至0 传染病
不蔓延.
故 是阈值。
1
： 从而得预防传染病蔓延的手段
i.提高阈值1/ ( / ) , : (日接触率) 卫生水平 ； (日治愈率) 医疗水平 .
di i1 i
dt
(2)
i0 i0
模型求解
解得：
i(t)
1
1
1 i0
1et
(3)
模型分析
但 t i 1
必须修改模型。
模型2 传染病无免疫性，病人治愈成为健康人，健康人
可再次被感染（SIS模型）
模型假设
1)、2)条与模型1相同，增加的条件为
3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ，称为日
治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。
模型建立
N di Nsi Ni
dt
(4)
di i1 i i
dt
i0 i0
(5)
(5)的解为
模型求解
it
[
1 i0
e t
t
1 i0
1
,
]1,
（6）
模型分析
定义 / ， 是一个传染期内每个 病人有效接触的平均人数，称为接 触数。易知，当 t 时，
动态模型
• 描述对象特征随时间（空间）的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分方程建模
• 根据函数及其变化率之间的关系，确定 函数本身
• 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
di ds
1
s
1
i |s s0 i0
（11）
容易求得（11）的解为
i
(s0
i 0 )
s
1
ln
s s0
（12）即为相轨线。
（12）
模型分析 在D内作相轨线 i(s) 的图形，
相轨线及其分析 (t 0)
1.i(s)图形：s(t) ,i 0,i(s 1/） im , s满
足
s0
i0
• 按照传播过程的一般规律，用机理 分析方法建立模型
模型1 （SI模型）
模型假设：
• 健康人和病人在时刻t这两类人在总人数 中所占的比例分别记作和 s(t)和i(t).
• 每个病人每天有效接触（足以使人致病） 人数为 ， 称日接触率。
模型建立
N di Nsi
dt
(1)
若记初始时刻（t=0)病人的比例为 i0 ，则
ii.降低s0 (s0 i0 r0 ) r0 群体免疫.
习题：
在SIR模型中，证明：
(1)若
s0
1
，则 i(t)
先增加，在
s 1
处达
到最大，然后减小并趋于0；s(t) 单调减
少至 s .
(2)若
s0
1
，则
i(t) 单调减少并趋于0，s(t)
单调减少至 s .
i
di dt
ds
dt (0)
si i si
i0, s(0)
, s0
（8） （9）
方程（9）无法求出 s(t) 和 i(t) 的解析解，在相平面
s ~ i 上研究解的性质。
相轨线的定义域为
D {(s,i) | s 0,i 0, s i 1} （10）
在方程（9）中消去 dt并注意到 的定义，可得
i
1
1
,
1
0, 1
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（7）
模型3 传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称移出
者（SIR模型）。
模型假设：
1） 人数N不变，健康人、病人和移出者比例分别为
s(t),i(t) 和 r(t).
2）病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触
数为 / .
模型建立：
st it rt 1,