清华大学微积分课件(全)x26

*
1 x
2M M
x x*
对任意的 0, 在( , ] [ , ) 上是 1 1 有界的. x
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（三） 复合函数与反函数 1. 复合函数 定义： 假定给了两个函数 y f ( u) 和
u g( x ),并且 g 的值域 R( g ) 与 f 的 定义域 D( f ) 的交集非空, 这时在集合
答疑时间地点：
星期五 课后
理科楼 数学系
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一元函数 微积分
无穷级数
多元函数 常微分方程 微积分
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引言
（一）上大学学什麽？ • 珍惜时光 • 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学 尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题 注重持续性学习： 有计划地安排学习
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4. 有界函数
定义： (1) 如果存在一个实数M , 使得对
每一个 x D, 成立
f ( x) M ,
则称函数 f 在 D 上是有上界的 .
(2) 如果存在一个实数N , 使得对 每一个 x D,成立
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f ( x) N
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则称函数 f 在 D 上是有下界的 .
则称集合 S 有下界. 并且称a 是 S 的一个 下界.
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例如： （1）自然数集合 N {1, 2, 3, , n, }
1 是 N 的一个下界.
任意一个a 1, 都是 N 的下界.
N 无上界.
（2）真分数集 0 是一个下界,
1 是一个上界.
任意一个 a 0, 都是下界,
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有理数集与实数集性质的区别 实数集是连续的,有理数集不是连续的 （1）如果实数集的子集有上（下）界, 则必有上（下）确界. 但是,有理数集的子集有界,则未必 有确界. 2 [例如] S1 { x | x R, x 2 } 2 S2 { x | x Q, x 2 } S1 在实数范围中的上确界 supS1 2 但是, 在有理数范围中S2 没有上确界
D { x x D( g), 且 g( x) D( f )}上,
可以确定一个函数 y f ( g( x )),则称 这个函数为由 f 与 g 构成的复合函数.
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记作 f g
即
例 (1)
f g( x ) : f ( g( x ))
y f (u) e , u g( x) sinx,
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(2) 想象一个点在实数轴上作连续
运动 在每一个时刻这个点所处的位置 都是一个实数, 但不一定是有理数
x
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O
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二、函数
(一) 函数概念
定义：
设 D R 为非空数集.
存在 唯一
如果 x D , 按确定的规则 f , ! 实数 y 与之对应, 记作 y f ( x ).则称 f 为定义 在D上的一个函数. 或记 f :
u
则有
f ( g( x )) e
sin x
x ( , )
2
(2)
y f (u) u , u g( x) x ,
2
则有 f ( g ( x )) x x
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x ( , )
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(3)
f (u) arcsin , g( x) e 1. u
（三）实数域的连续性 ——实数域 R 布满数轴
x R
0
一一对应
数轴上的点P
x
1
x
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O
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P
(四)实数集的界与确界
存在 1. 有界集 对任意一个 定义： 设 S 是一个数集. 如果 b R,
使得 x S , 有 x b, 则称集合 S 有上界. 并且称 b 是 S 的一个上界. 如果 a R, 使得 x S , 有 x a ,
因此了解掌握实数的基本性质对于学习 微积分是必要的基础. （一）实数集的有序性 （二）有理数的稠密性 （三）实数集的连续性 （四）实数集的界与确界
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予备知识
1.实数集 人类对数的认识由自然 数、整数、
有理数到实数
实数集：有理数、无理 数的全体 常用集合符号：
自然数集N 整数集Z
x
因为 D( f ) [1, 1],
R( g ) (1, ),
D( f ) R( g ) .
所以, 不能构成复合函数 f ( g( x )).
(4)
y f (u) lnu, u g( x) x 1,
2
则有
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f ( g( x)) ln(x 1), x (, 1) (1, ).
x
x
在(, )上,31有下界, 无上界.2013-7-28
[问题] 如何定义无界函数？
如果对任意的正数 M 0, 总存在 x D,
*
使得 f ( x ) M , 则称函数 f 在 D 上无界. 1 在( , 0) (0, ) 上是无界的 . [例] y x 1 * 对任意的M 0, 取 x , 则有 2M
任意一个 b 1, 都是 上界.
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2. 集合的确界 定义： 数集 S 的最小上界称为上确界 .
记为 supS 数集 S 的最大下界称为下确界 . 记为 inf S 注意确界和最大值的区别 例如： (1) sup{1, 2, 3 } 3 max{1, 2, 3 } inf{1, 2, 3 } 1 min{1, 2, 3 } ( 2) sup[ , 2 ) 2 没有最大值！ 1 1 inf[ , 2 ) 1 min[ , 2) 1
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
极限及其理论
• 一元函数微分学：导数与微分及其理论
微分学应用
不定积分
• 一元函数积分学：定积分概念及其理论
• 数项级数
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积分学应用
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第一讲 实数与函数
一、实数的重要性质
二、函数
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一、实数的重要性质
连续模型 建立在实数基础之上
实数集R
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有理数集Q
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2. 邻域
设 x0 R, 0 数集{ x x x0 }称为点 x0 的 邻域
记作 U ( x0 , ).

x x0 x0 x x0

x0
O
x0
x0
x
U ( x0 , ) { x x x0 } ( x0 , x0 )
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3. 实数的连续性刻画——确界公理 （1）如果非空实数集合有上界, 则 必有上确界. （2）如果非空实数集合有下界, 则 必有下确界. [定理] b supS (1)x S , 有 x b
(2) 0, x S , 使得 x b
* *
数集 { x 0 x x0 } N ( x0 , )称为 点 x0 的空心 邻域 ( x0 , x0 ) { x0 }
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(一) 实数集的有序性
即 对任意a, b R, a b, a b, b a
有且仅有一个式子成立.
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（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
抽象性
演绎性 广泛性
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（研究对象） （论证方法） 结论 假设
logic
理性 思维
（应用）
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关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
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（三）这个学期学什麽？
即在任意两个不同的实数之间,都有无 穷多个有理数
或任意非空开区间(a, b) 含有无穷多个 有理点
这一点具有非常重要的意义
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问：有理数域布满数轴了吗？
设 r1 , r2 Q, r1 r2
有空档！
2 取 r r1 n 这是一个无理数 10 当n足够大时, 有 r1 r r2
从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右 排列的
4 1 O
2
5
x
在做加法和乘法运算时,保持下列关系:
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a b, c d a c b d 0 a, b c a b a c
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（二）有理数的稠密性 有理数集是实数集的一个子集
有理数在实数集中是稠密的
a inf S (1)x S , 有 x a
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(2) 0, x S , 使得 x a 22
* *
(2 [证] 充分性 : (1)、 ) b SupS
反证法：假设b 不是最小上界，则有 c b, 且x c . b c 0, 取0 b c ,
(3) 既有上界又有下界的函数, 称为 有界函 数. 即存在一个正数 M 0, 使得对于
每一个 x D, 成立
[例4]
f ( x) M .
x
ye 和ye
x
x (, )
x x
因为x (, ), 有 e 0 和 e
0
所以, y e 和 y e