第8篇 第1节 跟踪训练40 直线与方程

第八篇平面解析几何
第1节直线与方程
质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？
提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
质疑探究2：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
提示：这种说法不正确．由k＝tan θθ≠π2知
(1)当θ∈[0，π
2)时，k>0，θ越大，斜率就越大；
(2)当θ∈[π
2，π)时，k<0，θ越大，斜率也越大．
2．直线方程的五种形式
提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
3．两条直线位置关系的判定
4.两条直线的交点
设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两
条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0.
(1)若方程组有唯一解，则l 1与l 2相交，此解就是l 1、l 2交点的坐标；
(2)若方程组无解，则l 1与l 2无公共点，此时l 1∥l 2； (3)若方程组有无数组解，则l 1与l 2重合． 5．几种距离 (1)两点距离
两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 (2)点线距离
点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B
2
. (3)线线距离
两平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
1．若直线过点P (1－a,1＋a )，Q (3,2a )，且倾斜角为135°，则a 等于( ) A ．1
2 B ．－12 C ．14
D ．－14
解析：由题意知直线PQ 的斜率 k ＝
2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1
2＋a
＝－1，
解得a ＝－1
2.故选B. 答案：B
2．点(1,1)到直线x ＋2y ＝5的距离为( ) A ．55 B ．855 C ．355
D ．255
解析：直线方程化为一般式x ＋2y －5＝0， 所以d ＝|1＋2×1－5|12＋2
2＝25＝25
5. 故选D. 3．若直线x －2y ＋4＝0与直线kx ＋y －2＝0垂直，则k 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．12
D ．－12
解析：由两直线垂直的充要条件， 得1×k ＋(－2)×1＝0，解得k ＝2. 故选A. 答案：A
4．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于0的直线方程为_____．
解析：设直线在x 、y 轴上的截距为a ，b ，由已知a ＋b ＝0， ①当a ＝0时，b ＝0，此时直线过坐标原点O . 故k ＝－4－03－0＝－43，方程为y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.
②当a ≠0时，b ＝－a ，
由截距式方程得直线方程为x a ＋y
－a ＝1，即x －y －a ＝0.
由M 在直线上得3－(－4)－a ＝0，解得a ＝7. 此时直线方程为x －y －7＝0，
故直线方程为4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0
即时突破1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )
A ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2
B ．(0，π)
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34π，π
解析：由x sin α－y ＋1＝0 得y ＝x sin α＋1.
设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤tan θ≤1.
又∵0≤θ＜π， ∴0≤θ≤π4或3π
4≤θ<π，
∴倾斜角θ的变化范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π， 故选D.
即时突破2 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条
件的直线l 的方程．
(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为1
6.
解：(1)法一 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k －3,3k ＋4，
由已知得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4k ＋3＝±6，
解得k ＝－23或k ＝－8
3.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. 法二 由题知直线l 在x 轴、y 轴上的截距均不为0， 设直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1，
则由题意得⎩⎨⎧
1
2|ab |＝3，
－3a ＋4
b ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
ab ＝6，4a －3b ＝ab
① 或 ⎩
⎪⎨⎪⎧
ab ＝－6，
4a －3b ＝ab .
②
解①得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝2，
或⎩⎨⎧
a ＝－3
2，b ＝－4，
②无解．
所以直线方程为x 3＋y 2＝1或x －32＋y
－4＝1，
即2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程为y ＝1
6x ＋b ， 它在x 轴上的截距为－6b ， 由已知得|－6b ·b |＝6， ∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
即时突破3 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n
的值，使
(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；
(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1
解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－8＋n ＝0，
2m －m －1＝0，
解得m ＝1，n ＝7.
即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．
(2)∵l 1∥l 2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－16＝0，
－m －2n ≠0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－4，
n ≠2.
即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n
8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.
P261
[课时跟踪训练(40)直线与方程]
261页
[2015年高三总复习]
课时跟踪训练(40) 直线与方程
一、选择题
1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于( ) A ．π
3
B ．2π
3
C ．π6
D ．56
π
解析：斜率k ＝
－1－33－(－3)
＝－3
3，
又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5
6π.
故选D. 答案：D
2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1
D ．－2或1
解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2
a
，
则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.
故选D. 答案：D
3．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0
D ．x －2y ＋7＝0 解析：因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直， 故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)， 所以有2×(－1)＋3＋m ＝0， 解得m ＝－1.
故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.故选A. 答案：A
4．(2014济南一模)已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )
A ．－1
B ．2
C ．0或－2
D ．－1或2
解析：由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0， 即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.
当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2， 综上，a ＝－1或2.故选D. 答案：D
5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
解析：直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．故选B.
答案：B
6．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0
D ．x －2y －7＝0
解析：法一 设直线方程为x a ＋y
b ＝1，
∵直线过点P (1,4)， ∴1a ＋4
b ＝1， 即a ＝
b b －4
. ∵a >0，b >0， ∴
b
b －4
>0， 即b >4.
∴a ＋b ＝b ＋b b －4＝b ＋4b －4＋1＝(b －4)＋4
b －4＋5≥9.
(当且仅当a ＝3，b ＝6时，“＝”成立)， 故直线方程为2x ＋y －6＝0.故选B. 法二 设直线方程为x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)，
∵直线过点P (1,4)，
∴1a ＋4b
＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )×(1a ＋4
b )
＝1＋4a b ＋b a ＋4
＝5＋(4a b ＋b a )
≥5＋2
4a b ×b
a
＝9. (当且仅当4a b ＝b
a ，即
b ＝2a ，也就是a ＝3，b ＝6时等号成立)
∴截距之和最小时直线方程为x 3＋y
6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B.
答案：B 二、填空题
7．已知直线l 经过点P (2014,1)，Q (2014，m 2)(m ∈R )，则直线l 的倾斜角的取值范围是________． 解析：直线l 的斜率k ＝m 2－12013－2014＝1－m 2.
因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，
所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[π
2，π).
答案：[0，π4]∪[π
2
，π)
8．过点(3,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为______． 解析：设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α， 则tan α＝1
2
.
∴所求直线的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝4
3.
故直线方程为y －0＝4
3(x －3)，
即4x －3y －12＝0. 答案：4x －3y －12＝0
9．已知A (3,0)，B (0,4)，点P (x ，y )在直线AB 上，则x 2＋y 2的最小值为________．
解析：直线AB 的方程为x 3＋y
4＝1，即4x ＋3y －12＝0，而x 2＋y 2表示P 点与坐标原点O 的距离，
故其最小值为点O 到直线AB 的距离d ＝
|－12|
42＋32＝125
. 答案：125
11 / 11
10．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为____________． 解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0，
整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得
|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，
解得λ＝±3.
∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.
答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝0
三、解答题
11．已知A (1，－4)，B (3，－2)和直线l ：4x －3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使得|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于3.
解：由|P A |＝|PB |知点P 在线段AB 的中垂线上，
而k AB ＝－2－(－4)3－1＝1， AB 中点M 1＋32，－4－22
，即M (2，－3)． 故AB 中垂线的斜率k ＝－1k AB
＝－1， 其方程为y －(－3)＝－1×(x －2)，即y ＝－x －1.
设P (a ，－a －1)，由已知P 到直线l 的距离为3， 故|4a －3(－a －1)－2|42＋(－3)2
＝3，整理得|7a ＋1|＝15， 解得a ＝2或a ＝－167. 所以点P 的坐标为(2，－3)或－167，97
. 12．(2014合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.
又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.
故a ＝2，b ＝2.
(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，
∴直线l 1的斜率存在．k 1＝k 2，即a b
＝1－a . 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b
＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23
，b ＝2.。