2020年重庆市高考数学试卷(理科)

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重庆八中(6月三诊)2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理科)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．212ii+=-（） A ．i - B ．i C ．1i + D ．1i -+2．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．函数()21x xe ef x x --=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，2b =，且a b ⊥，则2a b +=（）A B C ．13 D ．175．若直线0x y -=与圆224690x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则AB =（）A ．2BC ．3D 6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 3a B =，cos 4b A =，则c =（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()71mod3≡．执行该程序框图，则输出的n 为（）A ．20B ．38C ．47D ．538．某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（） A ．712 B ．23 C ．56 D ．11129．直角ABC中，AB AC ==D 为BC 边上一点，沿AD 将ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若1AH =，则二面角C AD B --的余弦值是（） A ．13 BCD10．若函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在(),a a -上没有最小值，则a 的最大值为（） A ．12πB ．6πC ．512πD ．712π11．已知函数()[](]123,1,21,2,82x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（） A ．()()27f f = B ．函数()f x 有5个零点C ．函数()f x 在[]3,6上单调递增D ．函数()f x 的值域为[]2,4-12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线l 与y 轴相交于点M ，与C 的右支相交于点P ，且M 为线段1PF 的中点，若C 的渐近线上存在一点N ，使得2MN NP =，则C 的离心率为（）AB ．53C ．2 D二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()132cos x f x f x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________． 14．若x ，y 满足约束条件2044054200x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≥⎩．则3z x y =+的最小值为________．15．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos 2αα+=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16．三棱台111ABC A B C -中，111112A A B B C C A B ====，4AB =，侧面11A B BA ⊥底面ABC ，M 为AB 的中点，线段MC 的长为________（2分）；该三棱台的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________（3分）．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是其前n 项和，若39S =，且5a 是2a 与14a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记2log n n n b a a =-，n N +∈，证明：1n n b b +<．18．（12分）近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：（1）求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16C ︒，估计当天的热饮销售量；（2）根据表格中的数据计算2R （精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响．参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；()()212211niii nii y y R y y ==-=--∑∑．19．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>，直线l 经过点()2,0P p ，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）判断AOB 的形状，并说明理由；（2）若513OA OB OP +⋅=AOB 的面积为5，求l 的方程．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2PD PB ==，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．（1）若//BD 面AMHN ，求证：MN PC ⊥；（2）若3PA PC ==，AC =AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值． 21．（12分）已知函数()()()21ln 2112f x x x a x =--+-，其中1a ≥．（1）证明：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，并求2212x x +的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()1,0处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a 的所有可能值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若P 为曲线C 上一点，求P 到直线l 距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()12f x x x a =-++．（1）若2a =，求()8f x ≤的解集；（2）若()31f x x ≥--，x R ∈，求a 的取值范围．参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．A 10．C 11．C 12．B二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．32-14．50715．2- 16．2，16π 三．解答题：共70分．（一）必考题：共60分． 17．设{}n a 的公差为d ，0d ≠．（1）由条件，得123252149a a a a a a ++=⎧⎨=⎩．即()()()12111339413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩．解得：11a =，2d =，所以()121n a n =+-，21n a n =-． 5分（2）由（1）得：()221log 21n b n n =---，n N +∈，()1221log 21n b n n +=+-+，12212log 21n n n b b n +-⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭因为n N +∈，所以2112113n n +≤-<，2221log 3log 021n n -⎛⎫-≤< ⎪+⎝⎭．从而12242log 3log 03n n b b +-≥-=>，故1n n b b +<． 12分 18．（1）由条件，5x =，135y =，从而()()61504iii x x y y =--=-∑，()261168ii x x =-=∑，解得：()()()1213niii nii x x y y b x x ==--==--∑∑，150a y bx =-=．所以，气温预报销售量的回归直线方程为：3150y x =-+． 5分当16x =时，102y =．因此，某天白天的平均气温为16C ︒时，估计可以卖出102杯热饮．7分（2）()6152iii y y =-=∑，()2611564ii y y =-=∑．()()2212152110.9671564niii ni i y y R y y==-=-=-≈-∑∑．所以，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）． 12分19．设直线l 的方程为；2x my p =+，代入22y px =，化简得：22240y pmy p --=，2242160p m p ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，2124y y p =-，（1）因为2221212244y y x x p p==，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=．故AOB 是直角三角形，斜边为AB ． 5分（2）4OA OB OP AB OP p +===AOB 的面积()121212252S p y y p y y p =⋅+=-==，解得：1p =，294m =．故直线l 的方程为：2340x y --=或2340x y +-=． 12分 20．（1）证明：连接AC ，BD 交于点O ，因为//BD 面AMHN ，面AMHN面PBD MN =，BD ⊄面AMHN ，则//BD MN ．因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥，又因为ACPO O =，所以BD ⊥面P AC ，PC ⊂面P AC ，所以PC BD ⊥，由//BD MN ，故MN PC ⊥． 5分（2）因为PA PC =，所以PO AC ⊥，由（1）知，PO BD ⊥，AC BD ⊥，以O 为原点，以OA ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AC =3PA =，PO =1BO =，所以)A，()C，(P，H ⎛ ⎝⎭，()0,1,0D ，从而22AH ⎛=- ⎝⎭，(0,DP =-，()AD =-，()AC =- 设()01DM DP λλ=≤≤，()AM AD DP λλ=+=--设面AMH 的法向量(),,n x y z =，则00n AH n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()02210x z y z λ⎧-+=⎪⎨⎪+-+=⎩．令x =)312,,61n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭设θ为直线AC 与面AMHN 所成角，所以2sin 23831AC n AC nθλ⋅==⎫+⎪-⎭，当13λ=时，sin θ取得最大值19．经检验，此时点N 在线段PB 上，符合题意． 12分21．（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()221121ax a x f x a x x x-++'=-+-=，设()()221g x ax a x =-++，因为()222440a a a ∆=+-=+>且20a a +>，10a>，所以()0g x =在()0,+∞上有两个不等实根1x ，()212x x x <，且当()10,x x ∈，()2,x +∞时，()0g x >，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<．所以()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，故1x ，2x 是()f x 的两个极值点，且12221a x x a a ++==+，121x x a=．从而()222212121222242211x x x x x x a a a a⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭，又因为[)1,a ∈+∞，所以(]10,1a∈，故(]22121,7x x +∈． 5分（2）由()11f '=-知曲线在()1,0处切线方程为1y x =-+，原问题等价于方程()1f x x =-+只有一个实根，设()()()()211112ln x h x f x x a x x =+-=+---， ()()()()11111x x ax h a x x x--'=+--=． ①当1a =时，()()210x h x x-'=≥，()h x 在()0,+∞上单增，而()10h =，所以()h x 只有一个零点1x =，符合题意． ②当1a >时，令()0h x '=得1x a =或1，11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0h x '>；当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．从而()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，()f x 在11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭上单调递减，所以()h x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个零点1x =，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，因为()110h h a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，设()()1121a a ea a ϕ+=->，则()1121102a e a ϕ+'=->，()a ϕ在()1,+∞单调递增，所以()0a ϕ>，即112a ea +>，从而11210a ea--<<，取11200,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()200011111111102222h x a a x x a a <--+---<--++=．∴存在101,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，此时()h x 有两个零点，不符题意．综上，a 可取得的所有值为1． 12分22．（1）由2211k y k -=+得211y k y -=+，代入241k x k =+得()21x k y =+，又由211y k y -=+，得()221141x yyy -=++，整理得曲线C 的普通方程为()22114x y y +=≠-；直线l的极坐标方程为1cos sin 222ρθρθ-=，因为cos x ρθ=及sin y ρθ=，所以直线l的普通方程为40x -=．（2）设点()2cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为=因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以点P 到直线l的距离的取值范围为4422⎡-⎢⎣⎦． 10分23．（1）由2a =，1228x x -++≤，当1x ≥时，1228x x -++≤，解得73x ≤，所以713x ≤≤，当11x -<<时，1228x x -++≤，解得5x ≤，所以11x -<<，当1x ≤-时，1228x x ---≤，解得：31x -≤≤-，综上可得：733x -≤≤，所求的解集为73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）()312223f x x x a x ≥--⇒++-≥恒成立，又()()()2222222g x x a x x a x a =++-≥+--=+， ()min 2323g x a a ∴-+≥⇒+≤-，或235a a +≥⇒≤-或1a ≥，所求的a 的取值范围是：(][),51,-∞-+∞．。

2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(3)(a卷)

2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（3）（A卷）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）已知夹角为θ的向量，满足•（+）＝2，且||＝2||＝2，则向量，的关系是（）A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成120°角3．（5分）观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝（2n﹣1）24．（5分）已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x，y的值为（）A．8，2B．3，6C．5，5D．3，56．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）设平面向量＝（﹣2，1），＝（λ，2），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（）A．（﹣，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）8．（5分）若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件9．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f（x）＝2x3﹣x﹣1在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为．14．（5分）已知直线Ax+By+C＝0（其中A2+B2＝C2，C≠0）与圆x2+y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝，＝．15．（5分）三棱锥P﹣ABC，AB＝BC＝，AC＝6，PC垂直于平面ABC，PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积．16．（5分）求函数y＝﹣x3+3x﹣5的极大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n﹣1a n）＝2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD＝4，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF＝3FB．（Ⅰ）求证EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．（12分）2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x123456789100.98.722.4416594132.5172.5218268销售额y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．20．（12分）已知函数f（x）＝x2e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，设点P的轨迹为C，斜率为k的直线l过点（2，0），且与轨迹C交于A、B两点．（1）写出轨迹C的方程；（2）如果|AB|＝，求k的值；（3）是否存在直线l，使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与y轴的上下两个交点分别为P，Q，M为l上一动点，求|MP|+|MQ|的最小值．23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m ，证明：．2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（3）（A卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知夹角为θ的向量，满足•（+）＝2，且||＝2||＝2，则向量，的关系是（）A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成120°角【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可．【解答】解：由•（+）＝2，可得+•＝2，即+||×||×cosθ＝2，即22+2×1×cosθ＝2，所以cosθ＝﹣1，即θ＝π，所以、方向相反．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题．3．（5分）观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）＝（2n﹣1）2【分析】观察所给的等式，右边是奇数的平方，左边是连续的整数的和，问题得以解决，【解答】解：∵1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，∴n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2，故选：B．【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题4．（5分）已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵1＝log33＜log35＜log39＝2；0＜3﹣0.2＜1，31.2＞3，∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．（5分）如图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x，y的值为（）A．8，2B．3，6C．5，5D．3，5【分析】根据茎叶图，结合中位数，平均数的定义和公式进行求解即可．【解答】解：甲的中位数为65，则乙的中位数为65，即y＝5，若甲乙的平均数相等，则个位数也相等，乙的个位数之和为9+1+7+5+8＝30，个位数为0，则甲的个位数之和为6+2+5+x+4＝17+x，若个位数为0，则x＝3，即则x，y的值为3，5，故选：D．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，结合中位数和平均数的定义是解决本题的关键．在利用平均数相等的条件中，可以使用个数数相等的技巧进行计算．可以避开复杂的公式计算．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图，判断几何体是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，利用体积公式求值．【解答】解：由三视图得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截去四面体A﹣A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则V三棱锥＝×a3＝a3，故正方体的体积为：a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：．故选：C．【点评】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．7．（5分）设平面向量＝（﹣2，1），＝（λ，2），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是（）A．（﹣，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】根据向量的夹角为锐角即可得出，解出λ的范围即可．【解答】解：∵与的夹角为锐角，∴且不共线，∴，解得λ＜1且λ≠﹣4，∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量夹角的定义，向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．8．（5分）若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．属于基础题．9．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC，AD所成角的余弦值．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，P A＝BC＝2，AB ＝4，CB⊥AB，∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，4，2），C（2，0，0），A（0，4，0），B（0，0，0），D（0，2，1），＝（2，﹣4，﹣2），＝（0，﹣2，1），设异面直线PC，AD所成角为θ，则cosθ＝||＝||＝＝．所以异面直线PC，AD所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，解题时要注意向量法的合理运用，是中档题．10．（5分）从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A．B．C．D．【分析】记儿童体型合格的概率为事件A，身体关节构造合格的概率为事件B．则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率P＝1﹣P（），代入公式即可求解．【解答】解：记儿童体型合格的概率为事件A，身体关节构造合格的概率为事件B．则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率P＝1﹣P（）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于基础试题．11．（5分）已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知画出图形，求得x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，再把x1+x2+x3+x4与x1x2x3x4分别转化为x3与x1的函数求解，则答案可求．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象如图，则x1+x2＝﹣2，故①错误；由f（x3）＝f（x4），得|log2x3|＝|log2x4|，∴﹣log2x3＝log2x4，则log2（x3x4）＝0，即x3x4＝1，故②正确；x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4＝﹣2，由log2x＝﹣1，得x＝，则＜x3＜1，∴﹣2∈（0，），即0＜x1+x2+x3+x4＜，故③正确；x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）＝﹣，∵﹣2＜x1＜1，∴﹣∈（0，1），即0＜x1x2x3x4＜1，故④正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）【分析】由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，即＜在[1，e]上有解，令h（x）＝，则h′（x）＝，然后求出h（x）的最大值，利用＜h（x）max能求出m的取值范围．【解答】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，令h（x）＝，则h′（x）＝，∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，∴h（x）max＝h（e）＝，∴＜h（e）＝，∴m＜．∴m的取值范围是（﹣∞，）．故选：B．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f（x）＝2x3﹣x﹣1在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为﹣1．【分析】先求导数，然后求出切点处的导数即切线斜率，然后写出切线的点斜式方程，最后令y＝0可得截距．【解答】解：f′（x）＝6x2﹣1，∴k＝f′（0）＝﹣1，而f（0）＝﹣1，∴切线方程为y+1＝﹣x，令y＝0得x＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要是考查了利用导数求切线方程的基本思路，属于基础题．14．（5分）已知直线Ax+By+C＝0（其中A2+B2＝C2，C≠0）与圆x2+y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝2，＝﹣10．【分析】由已知结合直线与圆相交的性质可|MN|，然后结合锐角三角函数的定义可求cosθ，再由向量数量积的定义即可求解．【解答】解：由中A2+B2＝C2，C≠0可知，圆心到直线Ax+By+C＝0的距离d＝＝1，|MN|＝2＝2，设与的夹角为θ，则cos（π﹣θ）＝＝，所以cosθ＝，所以，＝＝﹣10．故答案为：2；﹣10．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质的应用及向量数量积的定义的应用，属于基础试题．15．（5分）三棱锥P﹣ABC，AB＝BC＝，AC＝6，PC垂直于平面ABC，PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积π．【分析】根据已知条件得出△ABC的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB＝BC＝，AC＝6，∴cos C＝，∴sin C＝，∴△ABC的外接圆的半径＝＝，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为d，则R2＝d2+（）2＝（2﹣d）2+（）2，∴该三棱锥的外接球半径为R2＝，表面积为：4πR2＝4π×＝π，故答案为：π．【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．16．（5分）求函数y＝﹣x3+3x﹣5的极大值﹣3．【分析】根据题意对函数y＝f（x）求导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值．【解答】解：函数y＝f（x）＝﹣x3+3x﹣5，x∈R；则f′（x）＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝1；列表讨论：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴当x＝﹣1时，函数取得极小值为f（﹣1）；当x＝1时，函数取得极大值为f（1）＝﹣1+3﹣5＝﹣6．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求极值的应用问题，是基础题．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}满足（a1+2a2+…+2n﹣1a n）＝2n+1（n∈N*）．（1）求a1，a2和{a n}的通项公式；（2）记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用已知条件建立不等式组求出参数的范围【解答】解：（1）由题意得，所以：，．解得：a2＝6．由，所以，相减得﹣（n﹣1）•2n，得a n＝2n+2，n＝1也满足上式．所以{a n}的通项公式为a n＝2n+2．（2）数列{a n﹣kn}的通项公式为：a n﹣kn＝2n+2﹣kn＝（2﹣k）n+2说以：该数列是以4﹣k为首项，公差为2﹣k的等差数列，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，等价于当n＝4时，S n取得最大值，所以解得．所以实数k的取值范围是[]．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD＝4，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF＝3FB．（Ⅰ）求证EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取MD的中点N，连结EN，FN，推导出EN∥AD，FN∥BD，从而平面ENF∥平面ABCD，由此能证明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）设AB的中点为G，以D为坐标原点，DG为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取MD的中点N，连结EN，FN，∵E为AM的中点，∴EN∥AD，又∵M为PD的中点，N为MD的中点，∴PN＝3ND，∵PF＝3FB，∴FN∥BD，∵EN∩FN＝N，AD∩BD＝D，∴平面ENF∥平面ABCD，∵EF⊂平面ENF，∴EF∥平面ABCD．解：（Ⅱ）∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD，设AB的中点为G，以D为坐标原点，DG为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（），C（0，2，0），P（0，0，4），则＝（﹣），＝（0，﹣2，4），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2，），同理得平面P AD的法向量＝（），设平面P AD与平面PBC所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝，∴平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元）．这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x123456789100.98.722.4416594132.5172.5218268销售额y根据以上数据绘制散点图，如图所示（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y＝cx2+d哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2020年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率．参考数据：，（t）2≈1483 y i＝1020x i y i＝8088t i＝385t≈25380t i y i≈67770参考公式：对于一组数据（（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，．【分析】（1）直接由散点图判断函数模型；（2）由已知求得c与d的值，即可求得y关于x的回归方程，取x＝11求得y值，即可预测2020年天猫双十一销售额；（3）直接利用枚举法结合古典概型概率公式求解．【解答】解：（1）由散点图可知，y＝cx2+d适宜作为销售额y关于x的回归方程类型；（2）令t＝x2，则y＝ct+d．t i＝385＝38.5，y i＝1020＝102．c ＝≈≈2.7，d ＝≈﹣2.0．∴y＝2.7t﹣2.0，则y关于x的回归方程为y＝2.7x2﹣2.0，取x＝11，得y＝2.7×121﹣2＝324.7（十亿元）．预测2020年天猫双十一销售额为324.7（十亿元）；（3）2010年到2019年这十年中“畅销年”有4年，其中“狂欢年”有2年．从中任取2个，基本事件总数为（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共6个，至少取到一个“狂欢年”的事件数为（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共5个．则至少取到一个“狂欢年”的概率为．【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用古典概型概率公式求概率，考查计算能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝x2e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f′（x）＝x（x+2）e x＞0或＜0即可求得f（x）的单调区间；（Ⅱ）过点P（1，0）过的切线方程为﹣＝（+2x0）（1﹣x0），化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，通过该方程解的个数可判断过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切；（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），方法1：分k＝0、k＜0、k＞0三类讨论后，只需考虑x＞1时情况；转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造函数，令h（x）＝（x＞1），利用导数可求得其最小值，从而可得实数k的取值范围．方法2：不用讨论k，只讨论x，分x＝1，x＞1两类讨论，重点关注后者，可转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，以下分析方法同方法1．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）f′（x）＝（x2+2x）e x＝x（x+2）e x………………（1分）f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞0；f′（x）＜0得，﹣2＜x＜0；………………（2分）所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；单调减区间为（﹣2，0）………（3分）（Ⅱ）过（1，0）点可做f（x）的三条切线；理由如下：………………（1分）设切点坐标为（x0，），过切点的切线方程为y﹣＝（+2x0）（x﹣x0）………………（2分）切线过（1，0）点，代入得﹣＝（+2x0）（1﹣x0），化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，…………（3分）方程有三个解，x0＝0，x0＝﹣，x0＝，即三个切点横坐标，…………（4分）所以过（1，0）点可做f（x）的三条切线．（Ⅲ）设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），………………（1分）方法11°k＝0时，x2e x≥k（x﹣1）成立；………………（1分）2°k＜0时，若x，f（0）＝0＞k（0﹣1）不成立，所以k＜0不合题意．………………（2分）3°k＞0时，x≤1时，h（x）＞0显然成立，只需考虑x＞1时情况；转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立．………………（3分）令h（x）＝（x＞1），h′（x）＝＝，………………（3分）当1＜x＜时，h′（x）＜0，h′x）单调减；当x＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；所以h（x）min＝h（）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）所以k≤（2+2）．综上，k的取值范围是[0，（2+2）]………………（7分）方法2：不用讨论k，只讨论x．1°x＝1，成立；………………（1分）2°x＞1转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立………………（2分）令h（x ）＝（x＞1），h′（x ）＝＝，………………（3分）当1＜x ＜时，h′（x）＜0，h（x）单调减；当x ＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；所以h（x）min＝h （）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）所以k≤（2+2）．3°当x＜1时转化为≤k对任意x∈（﹣∞，1）恒成立………………（5分）同2°，令h（x ）＝（x＜1），h′（x ）＝，列下表x （﹣∞，﹣﹣（﹣，0）0 （0，1））h′（x）﹣0+0﹣h（x）减极小值增极大值减当x＜1时，易得h（x ）＝≤0，h（0）＝0，所以h max＝h（0）＝0≤k；即k≥0，………………（6分）综上，k的取值范围是[0，（2+2）]．………………（7分）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想的综合运用，要求逻辑思维能力强，运算量大，属于难题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，设点P的轨迹为C，斜率为k的直线l过点（2，0），且与轨迹C交于A、B两点．（1）写出轨迹C的方程；（2）如果|AB|＝，求k的值；（3）是否存在直线l，使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，且2＞4，可知轨迹为椭圆，从而求出轨迹C的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出弦长与已知弦长相等，可求出直线斜率；（3）将△ABM为等边三角形转化为MN⊥AB，且|MN|＝|AB|，利用第（2）的弦长以及两点间距离公式可求得答案．【解答】解：（1）∵点P到两点（2，0）、（﹣2，0）的距离之和等于2，且2＞4，∴点P的轨迹是以（2，0）、（﹣2，0）为焦点的椭圆，且c＝2，a＝，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴点P的轨迹为C的方程为：；（2）直线l的方程为：y＝k（x﹣2），将其代入到，整理得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，∴|AB|＝＝＝＝＝∴＝，即k2＝1，∴k＝±1；（3）假设存在点M（3，y0）满足题意，设AB的中点为N（），由（2）知：，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝，∴N（，），∵△ABM为等边三角形，∴MN⊥AB，且|MN|＝|AB|，∴，|MN|＝＝＝，∴＝•，化简得：k2＝1，∴k＝±1，∴存在直线l：y＝±（x﹣2），使得在直线x＝3上存在点M，满足△ABM为等边三角形．【点评】本题主要考查了椭圆的定义以及标准方程、弦长公式、韦达定理、两直线垂直的斜率关系，是中档题．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与y轴的上下两个交点分别为P，Q，M为l上一动点，求|MP|+|MQ|的最小值．【分析】（1）利用参数方程化为普通方程，极坐标化为直角坐标方程即可．（2）画出图形，求出对称点的坐标，利用距离公式求解表达式的最小值即可．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）．可得直角坐标方程为：，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．可得x﹣y＝3．（2）曲线C与y轴的上下两个交点分别为P（0，2），Q（0，﹣2），M为l上一动点，|MP|+|MQ|的最小值就是Q关于直线x﹣y＝3对称点Q′到P的距离．所以Q′（1，﹣3），|MP|+|MQ|的最小值：＝．【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：．【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过m即可．（2）利用重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可．【解答】（1）解：根据题意，函数，所以f（x）为在单调递减，在单调递增，所以．（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），即．【点评】本题考查含有绝对值的函数的最值，基本不等式的应用等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算，是中档题．。

2020年重庆八中高考数学强化试卷(理科)(一) (含答案解析)

2020年重庆八中高考数学强化试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x+1>0}，N={y|y=x2+1,x∈R}，则()A. M⊆NB. N⊆MC. M∪N=RD. M∩N=⌀2.已知复数z=(1+ai)(1−2i)(a∈R)为纯虚数，则实数a=()A. 2B. −2C. 12D. −123.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=()A. 20B. 35C. 45D. 904.已知点M是圆C:x2+y2=1上的动点，点N(2,0)，则MN的中点P的轨迹方程是()A. (x−1)2+y2=14B. (x−1)2+y2=12C. (x+1)2+y2=12D. (x+1)2+y2=145.对于下列命题：①∀x∈R，−1≤sin x≤1；②∃x∈R，sin2x+cos2x>1.下列判断正确的是()A. ①假②真B. ①真②假C. ①②都假D. ①②都真6.执行如图的程序框图，若输入的N值为10，则输出的N值为()A. −1B. 0C. 1D. 27.已知a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列说法中正确的是()A. 若α⊥β，a⊄α，a⊥β，则a//α;B. 若α⊥β，且α∩β=a，b⊥a，则b⊥α;C. 若α∩β=a，β∩γ=b，α∩γ=c，则a//b//c;D. 若α∩β=a，b//a，则b//α．8.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()A. 240B. 204C. 729D. 9209.过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为−√33，则|MF|=()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√310.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是()A. B.C. D.11.数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=2n+1，则a7等于()A. 4B. 4√2C. 8D. 1612.过双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为()A. 1+√52B. 1+√32C. 4√2−27D. 4√2+27二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量m⃗⃗⃗ 、n⃗满足|m⃗⃗⃗ |=4，|n⃗|=√5，若(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⊥(m⃗⃗⃗ −3n⃗ )，则m⃗⃗⃗ 、n⃗的夹角的余弦值为______．14.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为______ ．15.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)给出定义：若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的“拐点”。

2020届重庆市渝西九校高三(5月份)高考联考数学(理)试题解析

点评：
本题考查了线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理、球的表面积公式、锥体的体积公式，属于中档题.
12．设数列为等差数列，且，， .记，正整数满足，则数列的前项和为（）
A． B． C． D．
答案：C
求得，化简得出，并结合题意求得正整数的值，然后利用裂项相消法可求得结果.
解：
设的公差为，则，即，
显然在上单调递增，且，
所以当时，；当时， .
从而可得，
故的取值范围为 .
故答案为：1； .
点评：
本题考查函数的奇偶性，利用导数求不等式恒成立中的参数取值范围问题，难度中等，关键是分离参数，构造函数并利用导数求函数的最值.
四、解答题
17．世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数（），将这100天的数据分为五组，各组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图.
把代入选项可得A正确.
故选：A.
点评：
本题主要考查复数的四则运算以及几何意义.属于容易题.
3．若双曲线的离心率为，则C的虚轴长为（）
A．4B． C． D．2
答案：C
利用离心率得到关于的方程，求出其解后可得虚轴长.
解：
因为双曲线的离心率为，故，
解得，所以虚轴长为 .
故选：C.
点评：
本题考查双曲线的离心率及虚轴长，注意双曲线中各几何量计算公式的正确应用，如虚轴长指，本题属于基础题.
解：
解：因为，，三点共线，
所以，
因为，，
所以 .
故答案为：-4
点评：
此题考查共线向量的性质，属于基础题.

重庆市2020年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷理科数学及答案

AB =C ．{C ．第三象限cB ．a c b <<C ．c a b <<．已知非零向量,a b 满足：2||7||2||a b a b ==−,则a 与b 的夹角为2π C ．3π7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +−=，则ABC 的面积为 A ．1B ．3C ．2D ．238．函数2cos ()x xx xf x e e −=−的图象大致是A ．B ．C ．D ．9．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()23()()g x f x f x '=+在,[]0x π∈内的单调递增区间是 A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知在锐角ABC 中，3A π=，||2CA CB −=,则CA CB ⋅的取值范围是A ．1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,04⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．(0,)+∞D ．(0,12)11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()||f x f x =，()()2f x f x =+，且当1[]0,x ∈时，()2xf x =，则函数()()()2log 1g x f x x =−+的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n S a =−，设12n n T a a a =，1n n nb T =，则33n n a b +的最小值为 A ．23B ．92C ．3322+D ．316二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 2f x x x =−在点()()11f ,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.Sn++的最大值及取最大值时n位于C，B两点之间，且时，求APC的面积的面积的最大值．21．已知函数()2ln 4f x x ax x =+−存在两个极值点12,x x ，且12x x <，（1）求实数a 的取值范围；（2）若21x >，求1()f x 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为323x ty t⎧=+⎪⎨=−−⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程：（2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB ⋅的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()221f x x x =−++．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x R ∈，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求a b +的最小值．2020年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷理科数学参考答案一、选择题1～6BCDBDA………7～12BACDBC 第7题：1sin cos sin sin sin sin()2A CBC B A C +===+ 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，解得1cos 2A =，即3A π=，2BA c ==又锐角ABC 中，cos CA CB ab ⋅=由14b <<可得题：由()(f x f x =+()(f x f =当,1[1x ∈−即得()f x 一个周期内的图像，()g x 的零点个数即为(6πα∈−sin(4α∴+sin 4sin α=12n S n ++=时取到最大值．4π，AC ∴APCS=）由题知COP ∠12AOCPOB POCSSSr ++=131sin cos sin 222θθ⎛++ ⎝1680a a =−⎧⎨>⎩2121x x x −−，………………29≤解得2x ≤时，49x +≤解得9≤解得3−≤综上，不等式解集为[33]−,；………………5时()04f =。

【2020年数学高考】(理科)重庆市2020年普通高等学校5月调研(理数).docx

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学文科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项上，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{|},(,2)A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A 、a ≥2B 、a ＞2C 、a ≤2D 、a ＜2 2、已知i 为虚数单位，复数z 满足iz ＝21z +，则z ＝（）A 、2155i --B 、21i+ C 、2+i D 、2-i 3、设命题:,212x P x Q nx ∃∈-〈 ） A 、,212x x Q nx ∃∈-≥ B 、,212x x Q nx ∀∈-〈 C 、,212x x Q nx ∀∈-≥D 、,212x x Q nx ∀∈-＝ 4、已知随机变量2~(2,)X N σ，若(1)(12)1P X a P X a ≤-+≤+=，则实数a ＝（）A 、0B 、1C 、2D 、45、山城麦学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A B ，两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（）A 、12B 、24C 、36D 、486、已知抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M 、N 两点，与抛物线的准线交于P Q 、两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（）A 、B 、C 、D 、37、已知实数,x y 满足不等式组20x y x a x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的2倍，则a =（）A 、34B 、56C 、65D 、43 8、《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，根据该问题设计程序框图如下，当输入103,97a b ==，则输出n 的值是（）A 、8B 、9C 、12D 、169、一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32π，则侧视图中的x 的值为（）A 、6B 、4C 、3D 、210、已知圆O 的方程为221x y +=，过第一象限内的点(,)P a b 作圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为,A B ，若8PO PA ⋅＝，则a b +的最大值为（）A 、3B 、C 、D 、611、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=〉〉的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，若1AF 与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为（）A B C D12、已知函数32413()327f x x x x =+++，等差数列{}n a 满足：1299()()...()11f a f a f a +++=，则下列可以作为 {}n a 的通项公式的是（）A 、173n -B 、2333n -C 、452n -D 、49n -第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年重庆八中高考数学强化试卷（理科）（一）（含答案解析）

2020年重庆⼋中⾼考数学强化试卷（理科）（⼀）（含答案解析）2020年重庆⼋中⾼考数学强化试卷(理科)(⼀)⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合M={x|x+1>0}，N={y|y=x2+1,x∈R}，则()A. M?NB. N?MC. M∪N=RD. M∩N=?2.已知复数z=(1+ai)(1?2i)(a∈R)为纯虚数，则实数a=()A. 2B. ?2C. 12D. ?123.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=()A. 20B. 35C. 45D. 904.已知点M是圆C:x2+y2=1上的动点，点N(2,0)，则MN的中点P的轨迹⽅程是()A. (x?1)2+y2=14B. (x?1)2+y2=12C. (x+1)2+y2=12D. (x+1)2+y2=145.对于下列命题：①?x∈R，?1≤sin x≤1；②?x∈R，sin2x+cos2x>1.下列判断正确的是()A. ①假②真B. ①真②假C. ①②都假D. ①②都真6.执⾏如图的程序框图，若输⼊的N值为10，则输出的N值为()A. ?1B. 0C. 1D. 27.已知a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平⾯，则下列说法中正确的是()A. 若α⊥β，a?α，a⊥β，则a//α;B. 若α⊥β，且α∩β=a，b⊥a，则b⊥α;C. 若α∩β=a，β∩γ=b，α∩γ=c，则a//b//c;D. 若α∩β=a，b//a，则b//α．8.如果⼀个三位正整数如“a1a2a3”满⾜a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()A. 240B. 204C. 729D. 9209.过焦点为F的抛物线y2=12x上⼀点M向其准线作垂线，垂⾜为N，若直线NF的斜率为?√33，则|MF|=()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√310.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔⼦看着慢慢爬⾏的乌龟，骄傲起来，睡了⼀觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.⽤S1、S2分别表⽰乌龟和兔⼦所⾏的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是()A. B.C. D.11.数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=2n+1，则a7等于()A. 4B. 4√2C. 8D. 1612.过双曲线x2a ?y2b=1(a>0,b>0)的左焦点F(?c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离⼼率为()A. 1+√52B. 1+√32C. 4√2?27D. 4√2+27⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知平⾯向量m 、n?满⾜|m |=4，|n?|=√5，若(m +n? )⊥(m??? ?3n? )，则m 、n?的夹⾓的余弦值为______．14.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采⽤系统抽样的⽅法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最⼤编号为______ ．15.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)给出定义：若⽅程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的“拐点”。

重庆市渝西九校2020届高三(5月份)高考数学(理科)联考试卷及答案解析.

重庆市渝西九校2020届高三（5月份）高考数学（理科）联考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合)}2|680A x x x x =-+=，{}0,2,4,6A B ⋃=，则集合B 中必有的元素是（）A.0B.2C.4D.6 2.若复数z 满足1z i i=-+，则z 在复平面内的对应点（） A.在直线y ＝﹣x 上 B.在直线y ＝x 上C.在直线y ＝﹣2x 上D.在直线y ＝2x 上3.若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（）A.4B.C.D.24.已知*n N ∈，则234512222n -++++=（） A.254n - B.51236n +- C.324n - D.51212n -+ 5.北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在故宫站之前的任意一站下车，乙将在展览路站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（）A.48209B.1148C.50209D.519 6.已知二次函数()2f x ax bx =+在[)1,+∞上单调递减，则a ，b 应满足的约束条件为（）A.020a a b ≠⎧⎨+≥⎩B.020a a b <⎧⎨+≥⎩C.020a a b ≠⎧⎨+≤⎩D.020a a b <⎧⎨+≤⎩ 7.设函数()sin 2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为T ，则()f x 在()0,T 上的零点之和为（） A.1312π B.76π C.1112π D.56π 8.执行如图所示的程序框图，则输出的a =（）A.12-B.23C.3D.-39.某品牌牛奶的保质期y （单位：天）与储存温度x （单位：C ︒）满足函数关系()0,1kx b y a a a +=>≠.该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天，则该品牌牛奶在24C ︒的保质期是（）A.60天B.70天C.80天D.90天10.已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中c ＞0，C 的长轴长为2a ，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，4|BF 2|＝5|AB |，则|AF 2|＝（） A.54a B.43a C.23a D.a11.已知QA ⊥平面ABC ，PC ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1PC =，3AB AQ ==，4BC =，现有下述四个结论：①四边形ACPQ 为直角梯形；②四面体PABC 的外接球的表面积为25π；③平面PBC ⊥平面QAB ；④四面体PABC 与四面体QABC 的公共部分的体积为32.其中所有正确结论的编号是（） A.①③ B.①③④C.②④D.①②③④12.设数列{}2n a 为等差数列，且0n a >，42a =，93a =.记()()()11111n n n n n b a a a a ++=+++，正整数m 满足()()9899lg 101lg 101m +<<+，则数列{}n b 的前m 项和为（） A.511 B.512 C.922 D.1124第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.设向量1,2AB =，()2,AC x =-，若A ，B ，C 三点共线，则x =______. 14.《九章算术》中有这样一个问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”其意思是：今有一个正四棱锥，其下底边长为2丈7尺（1丈10=尺），高为2丈9尺，则其体积为______立方尺.15.甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为X，则EX =______.三、解答题（题型注释）世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数（AQI ），将这100天的AQI 数据分为五组，各组对应的区间分别为[)0,50，[)50,100，[)100,150，[)150,200，[]200,250，并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图.（1）请将频率分布直方图补充完整；（2）已知空气质量指数AQI 在[)0,50内的空气质量等级为优，在[)50,100内的空气质量等级为良，分别求这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；（3）若这100天中，AQI 在[)0,100的天数与AQI 在[],250m 的天数相等，估计m 的值.17.a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知sin )sin b A c B =-.（1）求2b ac的最小值；（2）若4cos c a B =，求A ，B ，C .18.如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点，E 为棱BB 1上一点，且1AE A C ⊥.（1）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分. ①证明：AE ⊥平面A 1CD ；②证明：BC 1∥平面A 1CD .（2）若AB ＝2，AA 1＝3，求二面角A 1﹣BC 1﹣C 的余弦值.19.直线l 过点P （0，b ）且与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于A ，B （A ，B 都在x 轴同侧）两点，过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D .（1）若b ＞0，|AC |+|BD |＝p ，证明：l 的斜率为定值；（2）若Q （0，﹣b ），设△QAB 的面积为S 1，梯形ACDB 的面积为S 2，是否存在正整数λ，使3S 1＝λS 2成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由，20.已知函数()cos 3x f x ae x =+-的图象在点()()0,0f 处的切线与直线0x y +=垂直. （1）判断()f x 的零点的个数，并说明理由；（2）证明：()ln f x x >对()0,x ∈+∞恒成立.21.在极坐标系中，曲线C 由圆M 与圆N 构成，圆M 与圆N 的极坐标方程为2cos ρθ=-，6cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为()()sin cos 40k k ρθρθ=+>. （1）求圆M 与圆N 的圆心距；（2）若直线l 与曲线C 恰有2个公共点，求k 的取值范围.22.已知函数()12f x x x =-+.（1）求不等式()8f x <的解集；（2）若直线y kx =与曲线()y f x =仅有1个公共点，求k 的取值范围.四、新添加的题型23.已知函数)x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()x g x f x xe -=+，则a =______；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为______.参考答案1.D【解析】1.先由()2680x x x -+=解方程，求出集合A ，然后结合{}0,2,4,6A B ⋃=可得答案. 解：由()2680x x x -+=，得0x =，或2x =，或4x =所以{}0,2,4A =，因为{}0,2,4,6A B ⋃=，所以集合B 中必有的元素是6.故选：D2.A【解析】2.先利用复数的乘法法则进行整理，再利用复数的几何意义写出对应点坐标，分别代入检验即可得出结果. 由1z i i=-+，得()11z i i i =-+=-+，则z 在复平面内的对应点坐标为()1,1-，把()1,1-代入选项可得A 正确.故选：A.3.C【解析】3.利用离心率得到关于m 的方程，求出其解后可得虚轴长.因为双曲线22:13x y C m -==，解得6m =，所以虚轴长为故选：C.4.C【解析】4.利用等比数列的前n 项和的公式即可求解.25123451522222222432412n n n n ---⨯++++==-=--. 故选：C5.D【解析】5. 首先计算出基本事件总数，再对乙的下车情况分类讨论，根据古典概型的概率公式计算可得；解：甲乙下车的所有可能情况有1119209⨯=种，若乙在小庄路口东站下车，则甲在呼家楼西站到沙滩路口西站任意一站下车，共有10种可能；若乙在呼家楼西站下车，则甲在关东店站到沙滩路口西站任意一站下车，共有9种可能； ……若乙在美术馆东站下车，则甲只能在沙滩路口西站下车，只有1种可能. 故甲比乙后下车的概率为10915551119111919+++==⨯⨯. 故选：D6.D【解析】6.由二次函数在[)1,+∞上单调递减，得开口向下，对称轴小于等于1，可得答案. 解：因为()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以0a <，且12b a-≤，所以020a ab <⎧⎨+≤⎩. 故选：D7.A【解析】7.由题意可知7()212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得T π=，再令72()12x k k Z ππ-=∈，可得()f x 在()0,T 上的零点，由此即可求出结果.因为7()223412f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以T π=. 令72()12x k k Z ππ-=∈，得()7224k x k Z ππ=+∈，所以()f x 在()0,T 上的零点为724π，1924π，则所求零点之和为71913242412πππ+=. 故选：A .8.A【解析】8.由算法和程序框图的循环结构依次计算即可得答案.解：第1次，3a =，15i =≤成立，则 31233a -==，2i =；第2次，25i =≤成立，则 2113223a -==-，3i =；第3 次，35i =≤成立，则 112312a --==-，4i =；第4 次，45i =≤成立，则 23a =，5i =，第5次，55i =≤成立， 12a =-，6i =. 65i =≤不成立，所以输出的12a =-. 故选：A9.C【解析】9.根据题意将0x =或8代入表达式即可求解.由题意可知，0270b a +=，8180k b a +=，可得8823k b kb a a a +==，所以()332482270803k b k b a a a +⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故该品牌牛奶在24C ︒的保质期是80天.故选：C10.D【解析】10.根据椭圆的定义求解．设1F B x =，则∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴13AFx =，又4|BF 2|＝5|AB |，∴25BF x =， ∴1262BF BF x a +==，3a x =，∴212AF a AF a =-=．故选：D ．11.B【解析】11.利用线面垂直的性质定理可判断①；求出四面体PABC 的外接球的球心O 为线段PA 的中点，利用球的表面积公式可判断②；利用面面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理可判断③；利用锥体的体积公式即可判断④.因为QA ⊥平面ABC ，PC ⊥平面ABC ，所以//QA PC ，且PC AC ⊥，又3QA PC =，所以四边形ACPQ 为直角梯形. 依题意可得，四面体PABC 的外接球的球心O 为线段PA 的中点，因为AC ==1PC =，所以22AO ==，所以球O 的表面积为26π.由QA ⊥平面ABC ，则QA BC ⊥，AB BC ⊥，且QA AB A ⋂=可证BC ⊥平面QAB ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面QAB .设PA QC D =，则四面体PABC 与四面体QABC 的公共部分为四面体ABCD . 过D 作DE AC ⊥于E ，则331DE PC =+，所以3344DE PC ==，所以四面体ABCD 的体积为1133343242⨯⨯⨯⨯=. 故所有正确结论的编号是①③④.故选：B12.C【解析】12.求得n a，化简得出n b =，并结合题意求得正整数m 的值，然后利用裂项相消法可求得结果.设{}2n a 的公差为d ，则()22229494325d a a -=-=-=，即1d =，所以()()2224424n a a n d n d n =+-=+-=，又0n a >，所以n a =，n b==11-==，因为()9898lg 10199<+<，()9999lg 101100<+<，所以99m=，所以数列{}n b 的前m 项和为111191*********99-+=-=+++. 故选： C. 13.-4【解析】13. 由A ，B ，C 三点共线，可得//AB AC ，从而由共线向量的性质列方程可求出x 的值. 解：因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC ，因为()1,2AB =，()2,AC x =-，所以224x =-⨯=-.故答案为：-4 14.7047【解析】14.根据题意得出该正四棱锥的高与底面边长，然后利用锥体的体积公式可计算得出结果. 因为该正四棱锥的底边长为27尺，高为29尺，所以其体积为21272970473⨯⨯=立方尺. 故答案为：7047. 15.1.5（或32）【解析】15.由题意得X 的可能取值，利用独立时间概率公式求得分布列，利用期望的定义计算即可.X 的可能取值为0，1，2，且()()()010.810.70.06P X ==--=，()()()110.80.70.810.70.38P X ==-⨯+⨯-=，()20.80.70.56P X ==⨯=，故10.3820.56 1.5EX =⨯+⨯=. 故答案为：1.5（或32）. 16.（1）直方图见解析；（2）20，40；（3）75.【解析】16.（1）根据总频率和为1求得AQI 在[)100,150内的频率，进而计算频率组距的值，即可将直方图补充完整；（2）先求得相关频率，即可得到所求天数；（3）依题意，可得AQI 在[)0,100的频率等于AQI 在[],250m 的频率，可得到()50,100m ∈，从而列式求得m 的值.（1）因为AQI 在[)100,150内的频率为150(0.0040.0080.0020.001)0.25-⨯+++=，所以AQI 在[)100,150内的0.005=频率组距，故频率分布直方图补充完整如图所示.（2）这100天中空气质量等级为优的天数为500.00410020⨯⨯=，空气质量等级为良的天数为500.00810040⨯⨯=.（3）依题意，可得AQI 在[)0,100的频率等于AQI 在[],250m 的频率，因为AQI 在[)0,100内的频率为0.6，AQI 在[)50,100内的频率为0.4，所以()50,100m ∈，则()1000.00810.60.6m -⨯+-=，解得75m =. 17.（1）43；（2）30A =︒，60B =︒，90C =︒.【解析】17.（1）首先正弦定理的边角互化可得)ab c b =-，从而可得a c +=，再利用基本不等式即可求解.（2）利用余弦定理可得22222a c b +=，根据a c +=，解得2c a =，再求出b =，根据勾股定理可得90C =︒，再根据边长关系即可求解.（1）∵sin )sin b A c B =-，∴)ab c b =-，∴a c =-，a c +=.∵a c +≥≥当且仅当2a c ==时，等号成立，∴243b ac ≥，故2b ac的最小值为43.（2）∵2224cos 42a c b c a B a ac+-==⋅，∴22222a c b +=；∵a c +=，∴22222a c +=，∴()220c a -=， ∴2c a =，∴b =， ∴222+=a b c ， ∴90C =︒. ∵2c a =，∴sin 2sin 1C A ==， ∴30A =︒，60B =︒，综上所述：30A =︒，60B =︒，90C =︒.18.（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）4-.【解析】18.（1）选择①，利用已知条件先证CD ⊥面11ABB A ，再利用线面垂直的性质定理推出线线垂直，结合已知条件即可得出线面垂直；选择②要证线面平行，先证线线平行，通过作辅助线及题设条件可得OD ∥1BC ，从而得到线面平行；（2）建立空间坐标系，找到相关点的坐标，找出要求的两个面的法向量，再由向量的夹角公式求解. （1）选择①证明：因为D 为AB 的中点，AC BC =，所以CD AB ⊥，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，1AA ⊥面ABC ，则1AA CD ⊥，因为1ABAA A =，所以CD ⊥面11ABB A ，因为AE ⊂面11ABB A ，所以CD AE ⊥，又11,AE AC CD AC C ⊥=，所以AE ⊥平面A 1CD.选择②证明：设11AC A C O ⋂=，因为侧面11ACC A 为平行四边形，所以O 为线段1AC 的中点，连接OD ，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥1BC ，因为OD ⊂面1A CD ，1BC ⊄面1A CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .（2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()111,0,0,,,1,0,3B C C A -，所以()()()1111,3,0,1,3,3,1,AC BC BC ==-=-，设面11A BC 的法向量为(),,m x y z =，则111AC m BC m⋅=⋅=，即30x xz +=-++=，令3x =，得()3,2m =，设面1BCC 的法向量为(),,n a b c =，则10BC n BC n ⋅=⋅=，即30a a c -=-+=，令1b =，得()3,1,0n =.23cos ,m n m n m n⋅===由图可知，二面角A 1﹣BC 1﹣C 为钝角，故二面角A 1﹣BC 1﹣C 的余弦值为4-. 19.（1）证明见解析；（2）存在，且1λ=．【解析】19.（1）设直线l 方程是(0)y kx b k =+>，设1122(,),(,)A x y B x y ,由|AC |+|BD |＝12y y p +=，直线方程与抛物线方程联立消去x 后应用韦达定理可得；（2）由（1）直线与抛物线相交得102kb p <<，计算12,S S 并作比12S S ，假设存在正整数λ，使123S S λ=成立，由此可得λ的范围，在此范围内的只要有正整数即可得结论．（1）证明：据题意设直线l 方程是(0)y kx b k =+>，设1122(,),(,)A x y B x y , ∵|AC |+|BD |＝p ，∴12y y p +=，由2,2,y kx b y px =+⎧⎨=⎩得2220ky py pb -+=， ∴122py y p k+==，∴2k =，即l 的斜率为定值；（2）由（1）2480p pkb ∆=->，即102kb p <<， ∵点Q 到直线l的距离d =，且12AB x =-，∴11212S AB d b x x ==-， 212121211(),22p S AC BD CD y y x x x x k=+=+-=- ∴12k b kb S kb S p p p===， ∵102kb p <<，∴102kb p <<，假设存在正整数λ，使123S S λ=成立，则1032λ<<， ∴302λ<<． ∴存在正整数1λ=，使123S S λ=成立． 20.（1）1，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】20.（1）利用导数运算和导数的几何意义求得1a =，当0x ≤时，直接分析可得()f x 无零点；当0x >时，利用指数函数和三角函数的性质可得()'0f x >，得到()f x 的单调性，进而判定零点个数；（2）首先利用导数可证1ln x x -≥，于是将问题转化为证明()1f x x >-对()0,x ∈+∞恒成立.作差得到函数()()()()1cos 20xg x f x x e x x x =--=-+->，则利用导数，三角函数的有界性可得()g x 的单调性，从而证得结论. （1）解：()'sin xf x ae x =-，()()'011f a ⨯-=-=-，则1a =.当0x ≤时，01x e <≤，1cos 1x -≤≤，则()0f x <，此时()f x 无零点；当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，()'sin 0xf x e x =->，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. 因为()00f <，()20f >，所以()f x 在()0,∞+上存在唯一的零点. 综上，()f x 的零点的个数为1.（2）证明：设()1ln p x x x =--，则()()1'0x p x x x-=>，当01x <<时，()'0p x <；当1x >时，()'0p x >.所以()()min 10p x p ==，则()1ln 0p x x x =--≥，即1ln x x -≥.要证()ln f x x >对()0,x ∈+∞恒成立，只需证()1f x x >-对()0,x ∈+∞恒成立. 设函数()()()()1cos 20xg x f x x e x x x =--=-+->，则()'1sin xg x e x =--，设()()'h x g x =，则()'cos xh x e x =-.因为0x >，所以e 1x >，1cos 1x -≤≤，所以()'0h x >，则()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，即()'0g x >，从而()g x 在()0,∞+上单调递增，于是()()00g x g >=，故()()10f x x -->，即()1f x x >-对()0,x ∈+∞恒成立，又1ln x x -≥，所以()ln f x x >对()0,x ∈+∞恒成立.21.（1）4；（2）⎝⎭.【解析】21.（1）将圆M 与圆N 的极坐标方程化为直角坐标方程，求出两圆圆心的直角坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出圆M 与圆N 的圆心距；（2）分别求得当直线l 与圆M 、圆N 相切时直线l 的斜率k 的值，数形结合可求得当直线l 与曲线C 恰有2个公共点时，实数k 的取值范围.（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy .由2cos ρθ=-，得22cos ρρθ=-，则222x y x +=-，即()2211x y ++=，所以圆M 的圆心的直角坐标为()1,0M -.由6cos ρθ=，得26cos ρρθ=，则226x y x +=，即()2239x y -+=，所以圆N 的圆心的直角坐标为()3,0N . 故圆M 与圆N 的圆心距134MN =+=；（2）因为直线l 的极坐标方程为()sin cos 4k ρθρθ=+，所以直线l 的直角坐标方程为()4y k x =+.当直线l 与圆M1=，又0k >，所以k =；当直线l 与圆N3=，又0k >，所以20k =.由图象可知，当直线l 与曲线C 恰有2个公共点时，k的取值范围为⎝⎭.22.（1）()3,3-；（2）(]{}[),32,23,-∞-⋃-⋃+∞.【解析】22.（1）分1x <-、10x -≤≤、01x <≤、1x >解不等式()8f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）作出函数()y f x =与y kx =的图象，数形结合可求得实数k 的取值范围. （1）当1x <-时，()318f x x =--<，解得31x -<<-；当10x -≤≤时，()18f x x =-<恒成立，则10x -≤≤；当01x <≤时，()18f x x =+<恒成立，则01x <≤；当1x >时，()318f x x =-<，解得13x <<. 故不等式()8f x <的解集为()3,3-；（2）作出函数()y f x =（实线）与y kx =（虚线）的图象，如图所示：直线y kx =过原点，当此直线经过点()1,2时，2k =；当此直线与直线31y x =-平行时，3k =.结合()y f x =的图象的对称性，可得k 的取值范围为(]{}[),32,23,-∞-⋃-⋃+∞. 23.1 (),2e -∞【解析】23.由已知条件，利用函数奇偶性的性质可得xxy ae e =-为奇函数，进而根据奇函数的定义求得1a =；将题中不等式分离参数为xe m e x <+，构造函数()()0xe h x e x x=+>，利用导数求得其最小值，根据不等式恒成立的意义得到m 的取值范围为(),2e -∞. 因为y x =为奇函数，()()xxf x x ae e=-为偶函数，所以x xy ae e =-为奇函数，∴000ae e =-，所以1a =，则()xg x xe =. 因为()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，所以xem e x<+对()0,x ∈+∞恒成立. 设函数()()0xe h x e x x =+>，则()2'x e h x e x=-，显然()2'xeh x e x =-在()0,x ∈+∞上单调递增，且()'10h =，所以当01x <<时，()'0h x <；当1x >时，()'0h x >. 从而可得()()min 12h x h e ==，故m 的取值范围为(),2e -∞. 故答案为：1；(),2e -∞.。

普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科数学试题及答案

2020年一般高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参照公式：假如事件A、B互斥，那幺P(A+B)=P(A)+P(B)假如事件A、B互相独立，那幺P(A·B)=P(A)·P(B)假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那幺n次独立重复试验中恰巧发生k次的概率P n(k)C n k P k(1P)nk一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1 .函数y log1(3x2)的定义域是（）2A．[1,)B．(2,)C．[2,1]D．(2,1]3332.设复数Z12i,则Z22Z()A–3B3C-3i D3i3.圆x2y22x4y30的圆心到直线x y1的距离为：（）A2B2C1D2 224．不等式x2的解集是：（）x1A B(1,0)(1,(,1)(0,1) C(1,0)(0,1)D(,1)(1,) 5．sin163sin223sin253sin313()A 1B1C3D3 22226．若向量a与b的夹角为60，|b|4,(a2b).(a3b)72,则向量a的模为：（）A2B4C6D127．一元二次方程ax22x10,(a0)有一个正根和一个负根的充足不用要条件是：（）Aa0Ba0Ca1D a18．设P是60的二面角l内一点，PA平面,PB平面,A,B为垂足，PA4,PB2,则AB的长为：（）A 23 B25C27D 429．若数列{a n }是等差数列，首项a 10,a2003a20040,a 2003.a 20040，则使前n项和S n 0建立的最大自然数n 是：（）A4005B 4006 C4007D 400810．已知双曲线x 2y 2 1,(a0,b0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲a 2b 24|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：()线的右支上，且|PF 1| A4 B5 C2D733311．某校高三年级举行一次演讲赛共有 10位同学参赛，此中一班有3位，二班有2位，其余班有5位，若采纳抽签的方式确立他们的演讲次序，则一班有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的 2位同学没有被排在一同的概率为：（）A1 B1 C1D110201204012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 究竟面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 构成图形可能是：（）AAPPB CBCAAPPBCB C第Ⅱ部分（非选择题共90分）三题号二总分17 18 19 20 21 22 分数二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若在(1ax)5的睁开式中x 3的系数为80，则a_______14．曲线y21 x 2与y 1 x 3 2在交点处切线的夹角是______（用幅度数作答）2 4 1的 15 ．如图1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为P2半圆后获得图形 P 2，而后挨次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、..P n ,记纸板P n 的面积为S n，则limS n ______xP 1P 2P 4P 316．对随意实数K ，直线：ykxb 与椭圆：x 32cos(02)恰有y 1 4sin一个公共点，则 b 取值范围是_______________三、解答题：此题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12分）求函数y sin 4x2 3sinxcosxcos 4x 的取小正周期和取小值；并写出该函数在[0,]上的单一递加区间18．（本小题满分12分）设一汽车在行进途中要经过4个路口，汽车在每个路口碰到绿灯的概率为3，碰到红灯（严禁通行）的概率为1假设汽车只在碰到红灯或抵达目的44地才停止行进，表示泊车时已经经过的路口数，求：（1）的概率的散布列及希望E;(2)泊车时最多已经过3个路口的概率19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA 底面ABCD,AE PD,EF//CD,AM EF证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若PA 3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值PEA FDM B C20．（本小题满分12分）设函数f(x) x(x 1)(x a),(a1)求导数f/(x);并证明f(x)有两个不一样的极值点x1,x2;(2)若不等式f(x1)f(x2) 0建立，求a的取值范围21．（本小题满分12分）设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线 y 22px交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）试证抛物线极点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程YB yH OQ(2p,0)xA22．（本小题满分14分）设数列a n知足a 12,a n1a n 1,(n1,2,3.......)a n(1) 证明a n 2n1对全部正整数n 建立；(2) 令b na n ,(n1,2,3......),判断b n 与b n1的大小，并说明原因n2020年一般高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题参照答案一、选择题：每题5分，共60分.1．D2．A3．D4．A5．B6．C7．C8．C9．B10．B11．B12．D11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，此中一班有3位，二班有2位，其余班有5位，若采纳抽签的方式确立他们的演讲次序，则一班有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一同的概率为：（）A 1B111 1020C D40120解：10位同学参赛演讲的次序共有：A1010;要获得“一班有3位同学恰巧被排在一同而二班的2位同学没有被排在一同的演讲的次序”可经过以下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一同，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其余班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个空隙（包含两头的地点）中选2个地点，将二班的2位同学插入，有A72种方法依据分步计数原理（乘法原理），共有A33A66A72种方法所以，一班有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一同的概率为：A33A66A721P20A1010应选B二、填空题：每题4分，共16分.13．－214．15．16．[－1，3]43三、解答题：共74分.17．（本小题12分）解：y sin4x 23sinxcosx cos4x222(sinx cosx)(sinx3sin2xcos2x23sin2xcosx)2sin2(x)6故该函数的最小正周期是；最小值是－ 2；单增区间是[0,1]，[5, ]3618．（本小题12分）解：（I ）的全部可能值为 0，1，2，3，4用A K 表示“汽车经过第 k 个路口时不断（遇绿灯）”，则P （A K ）= 3(k1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立.41,故P(0) P(A 1)4P(1)P(A 1 A 2)3 1 34416P(2)P(A 1A 2 A 3)(3)219,4464P(3)P(A 1A 2 A 3A 4)(3)3127,4 4 256 P(4)P(A 1A 2 A 3A 4)(3)4814256进而有散布列：0 1 2 3 4P1 3 9 27 81 416642562561 3 9 2781525E0 1234256 41664256256 （II ）P(3)1 P(4)81 1751256256答：泊车时最多已经过3个路口的概率为175.25619．（本小题 12分）I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，所以MF是AB与PC的公垂线.II）解：连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上.易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，又OH⊥BE，故OH//DE，所以OH⊥面MAE.连接AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，则PA=3a，AO 1AC2a. 22因Rt△ADE~Rt△PDA，故EDAD2a2aPD a2(3a)2,10OH 1a. ED210进而在RtAHO中sinHAO OH a215.AO2102a2010 20．（本小题12分）解：（I）f(x)3x22(1 a)x a.令f(x)0得方程3x22(1 a)x a0.因4(a2a1)4a0,故方程有两个不一样实根x1,x2不如设x1由可判断的符号以下: x2,f(x)3(xx1)(xx2)f(x)当xx1时,f(x)0;当x1x x2时,f(x)0;当xx2时,f(x)0所以x1是极大值点，x2是极小值点.（II）因f(x1)f(x2)0,故得不等式x13x23(1a)(x12x22)a(x1x2)0.即(x1x2)[(x1x2)23x1x2](1a)[(x1x2)22x1x2]a(x1x2)0.又由（I）知x1x22(1a), 3x1x2a.3代入前方不等式，两边除以（1+a），并化简得2a25a20.解不等式得a 2或a1(舍去)2所以,当a2时,不等式f(x1)f(x2)0建立. 21．（本小题12分）解法一：由题意，直线AB不可以是水平线，故可设直线方程为：ky x2p.又设A(x A,y A),B(x B,y B)，则其坐标知足ky x2p, y22px.消去x得y22pky4p20由此得y A y B2pk, y A y B4p2.x A x B4pk(y A y B)(42k2)p,x A x B(y A y B)24p2(2p)2所以OAOB x A x B y A y B0,即OA OB.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（x H,y H）是AB的中点，故x H x A x B(2k2)p,2y B y A y Bkp.2由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|x H2y H2k45k24p.进而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线 AB 不可以是水平线，故可设直线方程为： ky=x －2p又设A(x A ,y A ),B(x B ,y B )，则其坐标知足ky x2p, y22px.y 2 2pky4p 20,分别消去x ，y 得2p(k 22)x4p 2x 20.故得A 、B 所在圆的方程x 2y 2 2p(k 2 2)x2pky0.显然地，O （0，0）知足上边方程所表示的圆上，又知A 、B 中点H 的坐标为(x Ax B ,y A y B)((2k 2)p,kp),22故|OH|(2k 2)2p 2k 2p 2而前方圆的方程可表示为 [x(2k 2)p]2(ypk)2 (2k 2)2p 2k 2p 2故|OH|为上边圆的半径 R ，进而以AB 为直径的圆必过点O （0，0）.又R 2|OH|2 (k 4 5k 2 4)p 2，故当k=0时，R 2最小，进而圆的面积最小，此时直线 AB 的方程为：x=2p.解法三：同解法一得 O 必在圆H 的圆周上又直径|AB|=(x A x B )2(y Ay B )2x A 2 x B 2 y A 2 y B 2x A 2 x B 2 2px A2px B2x A x B4px A x B4p.上式当x Ax B 时，等号建立，直径|AB|最小，进而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.。

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．（5分）复数的虚部是（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t ）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos ＜，+＞＝（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．（5分）在△ABC中，cos C ＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．（5分）若直线l与曲线y ＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x +C．y ＝x+1D．y ＝x +11．（5分）设双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．812．（5分）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份) (解析版)

2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|y＝lg（x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1]D．[﹣3，1）2．在复平面内，复数z对应点Z（x，y），若|z﹣i|＝|z+i|，则（）A．y＝0B．y＝0，x∈[0，1]C．x＝0D．x＝0，y∈[0，1] 3．命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为（）A．∀x∈N，|x+2|＜3B．∀x∉N，|x+2|＜3C．∃x∈N，|x+2|≥3D．∃x∈N，|x+2|＜34．已知a=log232，b=(12)2.1，c=(25)−2，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．137．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．58．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c，d，e，f，g，a，b，则多出来的5个音符为c#（读做“升c”），d#，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：110．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π311．已知点Q （﹣2，0）与抛物线y 2＝2px （p ＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若AB →=3BP →，且直线QA 的斜率为1，则p ＝（） A ．2B ．4C ．2+2√2D ．4√212．已知A(2，1)，B(23，0)，C ，D 四点均在函数f （x ）＝log 2ax x+b的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是（） A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数几何数论组合第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝BC ＝2，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）若直线BE 与平面AA 1B 1B 所成角为30°，求二面角C ﹣BD ﹣E 的大小．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值；（2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ．（1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．参考答案一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣x 2）}，则A ∩B ＝（） A ．（0，1]B ．（0，1）C ．[0，1]D ．[﹣3，1）【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：∵A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |x ﹣x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝（0，1）．故选：B ．2．在复平面内，复数z 对应点Z （x ，y ），若|z ﹣i |＝|z +i |，则（） A ．y ＝0B ．y ＝0，x ∈[0，1]C ．x ＝0D ．x ＝0，y ∈[0，1]【分析】由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，写出复数的模，整理后得答案．解：由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，得|x +（y ﹣1）i |＝|x +（y +1）i |，即√x 2+(y −1)2=√x 2+(y +1)2，整理得：y ＝0．故选：A ．3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3．故选：D ．4．已知a =log 232，b =(12)2.1，c =(25)−2，则（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c【分析】可以得出14＜log 232＜1，(12)2.1＜14，(25)−2＞1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：∵14=log2214＜log232＜log22=1，(12)2.1＜(12)2=14，(25)−2＞(25)0=1，∴b＜a＜c．故选：D．5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的通项公式与前n项和的定义，即可求出公差d的值．解：等差数列{a n}中，a2+a7+a9＝（a1+d）+（a1+6d）+（a1+8d）＝3（a1+5d）＝3a6＝27，所以a6＝9；又S8＝S9，所以a9＝0；所以a9﹣a6＝3d＝﹣9，解得d＝﹣3．故选：A．6．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．13【分析】由题意，μ＝110，σ＝10，结合2σ原则可得P（X＞130），乘以1000得答案．解：由题意，μ＝110，σ＝10，故P（X＞130）＝P（X＞μ+2σ）=1−0.95442=0.0228．∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23．故选：C．7．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．5【分析】根据平面向量的共线定理和投影的定义，求出向量c→，再求模长．解：向量a→=（﹣1，2），向量c→与a→共线，设c→=（﹣λ，2λ），由b→=（3，4），所以c→在b→方向上的投影为|c→|cosθ=c→⋅b→|b→|=−3λ+8λ5=√5，解得λ=√5，所以c→=（−√5，2√5），所以|c→|=√(−√5)2+(2√5)2=5．故选：D．8．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系分析四个选项中能够推出α∥β的条件即可得答案．解：对于A，由l⊂α，m⊂β，l∥m，不一定得到α∥β，α与β也可能相交；对于B，由l⊥m，l∥α，m⊥β，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图，对于C，l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，不一定得到α∥β，只有添加条件l与m相交时，才有α∥β；对于D，由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m⊥β，可得α∥β．∴使得α∥β成立的一个充分条件是D．故选：D．9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c 1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为c #（读做“升c ”），d #，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：1【分析】根据所给定义，由图推得f 2是b 1后的第6个音阶即可得到答案解：根据题意，因为相邻音阶的频率之比为1：√212，而键盘f 2是b 1后的第6个音阶，故频率之比为1：(√212)6=1：√2，故选：B ．10．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π3【分析】先根据三角函数公式化简解析式，再由条件得到函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称；进而求得结论．解：因为函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ＝sin2x cos φ+（2cos 2x ﹣1）sin φ＝sin2x cos φ+cos2x sin φ＝sin （2x +φ）， ∵对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)， ∴函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称；故2×5π12+φ＝k π+π2（k ∈Z ），即φ＝kπ−π3，k∈Z，故选：A．11．已知点Q（﹣2，0）与抛物线y2＝2px（p＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点P，若AB→=3BP→，且直线QA的斜率为1，则p＝（）A．2B．4C．2+2√2D．4√2【分析】判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可．解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，由AB→=3BP→，可知：x A＝4x B，则y A＝﹣2y B，又A、F、B三点共线，可得y A−y Bx A−x B=y Bx B−p2，即2py A+y B=y By B22p−p2，可得y A y B＝﹣P2，∴−12y A2＝﹣p2，即y A=√2p，x A＝p，由QA斜率为1可得：y Ax A+2=1，即√2pp+2=1，则p＝2（√2+1）．故选：C．12．已知A(2，1)，B(23，0)，C，D四点均在函数f（x）＝log2axx+b的图象上，若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）A．265B．263C．525D．523【分析】把点A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求出a，b的值，再利用BA→=CD→得到x2=x1+43，由f（x2）﹣f（x1）＝1得x1x2＝2x2﹣4x1，把x2=x1+43代入即可得到点C的坐标，从而求出BA→，BC→，得到平行四边形ABCD的面积．解：∵函数f（x）＝log2axx+b，由f（2）＝1可得2a2+b=2，∴a＝b+2，由f（23）＝0可得23a23+b=1，∴a＝1+32b，解得：a＝4，b＝2，∴f（x）=log24xx+2，设点C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，由题意可知BA →=CD →，则x 2−x 1=43，∴x 2=x 1+43，由f （x 2）﹣f （x 1）＝1得：log 2x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=1，∴x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=2，∴x 1x 2＝2x 2﹣4x 1，把x 2=x 1+43代入解得x 1=23或﹣4，又∵点C 不与B 重合，∴x 1＝﹣4，∴C （﹣4，3）， ∴BA →=(43，1)，BC →=(−143，3)，故平行四边形ABCD 的面积S ＝|43×3−1×(−143)|=263，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ 2 ．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0即（x +2）2+y 2＝9，其圆心为（﹣2，0），半径r ＝3，圆心到直线y ＝2﹣x 的距离d =|−2−2|1+1=2√2，则弦长|AB |＝2×√r 2−d 2=2×√9−8=2；故答案为：2．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ 4 ．【分析】先对f （x ）求导，然后求出f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率，再根据在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b 和切线过切点（0，a ），得到关于a ，b 的方程，进一步求出a +b 的值．解：由f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2，得f ′（x ）＝cos x +2a （x ﹣1）， ∴f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率k ＝f '（0）＝1﹣2a ， ∵f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ， ∴1﹣2a ＝﹣3，∴a ＝2，又y ＝﹣3x +b 过（0，a ），∴b ＝a ＝2， ∴a +b ＝4．故答案为：4．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ﹣9 ．【分析】先求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中x 的系数．解：∵令x ＝1，可得（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5展开式的各项系数之和为a •15＝﹣1， ∴a ＝﹣1，∴（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5＝（x 2﹣x ﹣1）（2x ﹣1）5＝x 2•（2x ﹣1）5﹣x •（2x ﹣1）5﹣（2x ﹣1）5；显然这三项展开后，只有后面两项有x ；即（﹣x ）•（﹣1）5−∁54•2x •（﹣1）4＝﹣9x ；故展开式中x 的系数为﹣9；故答案为：﹣9．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是（√30，√35] ．【分析】设等差数列的公差为d ，用b 和d 表示a 和c ，结合题意列出不等式求出b 的取值范围．解：设等差数列的公差为d ，则a ＝b ﹣d ，c ＝b +d ；所以a 2+b 2+c 2＝（b ﹣d ）2+b 2+（b +d ）2＝3b 2+2d 2＝105；不妨设d ≥0，由a +b ＞c ，得b ﹣d +b ＞b +d ，解得d ＜b2；所以3b 2≤105＜3b 2+b 22，解得30＜b 2≤√35，即√30＜b ≤√35；所以b 的取值范围是（√30，√35]．故答案为：（√30，√35]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求；（2）由等差数列的定义和通项公式，可得b n ，求得c n ={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．解：（1）由4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列，可得6S n +1＝4S n +2S n +2，即3S n +1＝2S n +S n +2，即2（S n +1﹣S n ）＝S n +2﹣S n +1，即2a n +1＝a n +2，所以等比数列{a n }的公比为2，又a 1＝1，可得a n ＝2n ﹣1，n ∈N*；（2）由b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，可得{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，则b n ＝n ﹣1，n ∈N*，c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，所以{c n }的前2n 项和为c 1+c 2+…+c 2n ＝（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+1+2n−12•n =4n 3−13+n 2． 18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数几何数论组合第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．【分析】（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，由此能预测学生甲考试得160分的概率．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，从而X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，分别求出相应的概率，能求出X的分布列．解：（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，∴P＝（0.6×0.3+0.4×0.7）×0.5×0.2＝0.046．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P（X＝40）＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P（X＝80）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P（X＝100）＝0.3×C32×0.3×0.7=0.126，P（X＝140）=0.7×C21×0.3×0.7=0.294，P（X＝160）＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P（X＝200）＝0.7×0.3×0.3＝0.063．∴X的分布列为：X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.063 19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E 分别为AA1，B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）若直线BE与平面AA1B1B所成角为30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小．【分析】（1）取BC的中点F，连结AF，EF，推导出DE∥AF，且DE＝AF，AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，从而B1B⊥面ABC，进而B1B⊥AF，由此能证明AF ⊥平面BCC1B1，从而DE⊥面BCC1B．（2）过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，推导出FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B 的距离为1，EF∥面AA1B1B，E到平面AA1B1B的距离d＝1，求出BE＝2，EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小．解：（1）证明：取BC的中点F，连结AF，EF，则EF∥B1B∥DA，且EF=12B1B=DA，∴DE∥AF，且DE＝AF，又△ABC是等腰直角三角形，∴AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，∴B1B⊥面ABC，∴B1B⊥AF，B1B∩BF＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥面BCC1B．（2）解：过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，由A1A⊥面ABC，知A1A⊥面ABC，知A1A⊥FH，∴FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B的距离为1，又EF∥B1B，EF⊄平面AA1B1B，∴EF∥面AA1B1B，∴点E与点F到平面AA1B1B的距离相等，∴E到平面AA1B1B的距离d＝1，∴sin30°=dBE=1BE，解得BE＝2，∴EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，√2，0），C（0，−√2，0），D（√2，0，√2），E（0，0，√2），∴CB→=（0，2√2，0），BD→=（√2，−√2，√2），BE→=（0，−√2，√2），设平面CBD和平面BDE的法向量分别为m→=(x1，y1，z1)，n→=（x2，y2，z2），则{m →⋅CB →=2√2y 1=0m →⋅BD →=√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，取x 1＝1，得m →=（1，0，﹣1）， {n →⋅BD →=√2x −√2y +√2z =0n →⋅BE →=−√3y +√3z =0，取y 2＝1，得n →=（0，1，1）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−12，由图知二面角C ﹣BD ﹣E 是锐二面角， ∴二面角C ﹣BD ﹣E 的大小为π3．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【分析】（1）根据正方形面积为4可得b ＝c =√2，椭圆方程可求；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意直线l 的方程为：l ：y ＝kx +m ，（k ＞0，m ≠0，±1）根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出k ，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出m 的值，则直线PQ 的方程即可求出．解：（1）由题知b ＝c =√2，a ＝2，故C 的方程为：x 24+y 22=1；（2）联立{x 24+y 22=1y =kx +m，整理得（1+2k 2）x 2+4km +2m 2﹣4＝0，则△＝8（2﹣m 2+4k 2）＞0得4k 2+2＞m 2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−42k 2+1，由直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，则k 2=y 1+m 2x 1•y 2+m2x 2=kx 1+32m x 1•kx 2+32m x 2，即k 2x 1x 2＝k 2x 1x 2+32mk （x 1+x 2）+94m 2，又m ＞0，所以k （x 1+x 2）=−32m ，即−4k 2m 2k 2+1=−32m ，则k 2=32，又S △OPQ =12•|m |•|x 1﹣x 2|，所以√62=|m|2•√8(2−m 2+4k 2)2k 2+1=|m|2•√8(8−m 2)4，即m 4﹣8m 2+12＝0，解得m 2＝2或6，均满足△＞0．又k ＞0，m ＞0，且P 、Q 均不在y 轴上，所以k =√62，m =√6，故直线l 的方程为y =√62x +√6．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值；（2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，解出验证即可；（2）问题转化为只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2，令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，根据函数的单调性怎么即可．解：（1）f ′（x ）＝x +ae x −1x，由题意知f ′（12）＝0，即12+a √e −2＝0，解得：a =2e，又f ″（x ）＝1+ae x +1x 2＞0， ∴f ′（x ）在（0，+∞）上递增，故当a =32√e 时，有x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0， x ∈（12，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x =12是f （x ）的极小值点；（2）当a ≥1时，对于∀x ＞0有ae x ≥e x ，即f （x ）≥12x 2+e x ﹣lnx ，故要证明f （x ）＞138+ln 2，只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2，令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，则g ′（x ）＝x +e x −1x，g ″（x ）＝1+e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）在（0，+∞）递增，又g ′（12）=√e −32＞0，g ′（13）=√e 3−83＜0，故存在x 0∈（13，12），使得g ′（x 0）＝0，则g （x ）在（0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增，∴g （x ）≥g （x 0）=12x 02+e x 0−lnx 0，又x 0+e x 0−1x 0=0，∴g （x 0）=12x 02−x 0+1x 0−lnx 0，令h （x ）=12x 2﹣x +1x −lnx （13＜x ＜12），则h ′（x ）＝x ﹣1−1x 2−1x＜0， ∴h （x ）在（13，12）递减，∴h （x ）＞h （12）=138+ln 2，故g （x 0）＞138+ln 2，故g （x ）＞138+ln 2，原不等式得证．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ．（2）由题意知直线l 1的极坐标方程为θ=α+π2，则：{ρ=2sinθθ=α+π2，所以ρB =2sin(α+π2)=2cosα．故：|OP |＝2sin α，|AP |＝2cos α，所以|BP |＝2cos α+2sin α．所以S △ABP =12×2(cosα+sinα)2cosα=√2sin(2α+π4)+1．当2α+π4=π2，即α=π8时，面积的最大值为√2+1． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ．（1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．【分析】（1）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|，结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得所求最大值；（2）由（1）可得1a 3+1b 3=3ab ，a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b 3）（a 3+b 3），再由基本不等式即可得证．解：（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|＝3，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值3，即M ＝3；（2）证明：正数a ，b 满足1a +1b =3ab ，故a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b3）（a 3+b 3）=13（1+1+a 3b3+b3a3） ≥13（2+2√a 3b3⋅b 3a3）=43，当且仅当a ＝b =√235时等号成立，故a 4b +ab 4≥43．。

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94]C. (1,32]D. (1,+∞) 2. 设复数z 满足1−z 1+z =i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 cos x =cos y ，则 x =y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy =0，则 x =0”的否命题为“若 xy =0，则 x ≠0”C. 命题“∃x ∈R ，使得 2x 2−1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有 2x 2−1<0”D. 若 a ∈R ，则“a >2”是“|a|>2”的充分不必要条件4. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=3，{a n }的“差数列”的通项为3n ，则数列{a n }的通项a n =( )A. 3nB. 3n −32C. 3n +32D. 3n−1+2 6. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 180 7. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 48.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈[−2,0)时，f(x)=2x，则f(2015)−f(2014)的值为()A. 34B. −34C. 14D. 1210.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 811.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，则A=()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(2,1+m),b⃗ =(3,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=______ ．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=______ ．16.若曲线y=ax+2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：ℎ)根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x¯和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．①求P(0.8<Z<8.3)②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ε，试求E(ε).附：√6.16≈2.5，若Z−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.954519.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=ax−1x 2+1，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a =1，证明：当x ∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx 2．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}，所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32],故选C ． 2.答案：A解析：本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．先求出复数z ，再求复数z 的模即可．解：∵复数z 满足1−z 1+z =i ，∴1−z =i +zi ，∴z(1+i)=1−i∴z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ，∴|z|=1，故选A ．3.答案：D解析：本题考查四种命题间的关系、命题的否定与否命题、特称命题与全称命题、充要条件等知识，比较容易．按照相关知识，逐个判断即可．解：A.易知原命题是假命题，根据原命题与逆否命题等价可知，其逆否命题为假命题，故A错误；B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题应为“若xy≠0，则x≠0”，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得2x2−1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2−1≥0”，故C错误；D.由|a|>2⇒a>2或a<−2，所以若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件，故D 正确．故选D．4.答案：D解析：本题考查了独立性检验，属于基础题．根据K2的值，结合临界值表可得．解：K2=7>6.635，故有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关系或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选D．5.答案：C解析：本题考查数列的新定义，考查累加法，是中档题．利用已知条件及累加法可直接求解出答案．由已知得a n+1−a n=3n，a1=3，则a2−a1=3，当n≥2时，a3−a2=32，…，a n−a n−1=3n−1．．由累加法得a n=3+3+32+⋯+3n−1=3n+32∵a1=3符合上式．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含解析)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标1理科数学2020年全国1高考数学与2020全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p <<，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D. 【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2222||sin cos()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +L 的部分和，即1212221t t k -+=+++=-L ，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】2314．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为.【答案】5-15．已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.23【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i ii i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，24t -，（t ，24t -）. 则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17 a.【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为17d =.对a 进行讨23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，。

重庆拔山中学2020年高三数学理测试题含解析

重庆拔山中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f（x）=sinx﹣x，命题P：?x∈（0，），f（x）＜0，则( )A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题，参考答案：D【考点】全称命题．【专题】简易逻辑．【分析】先判断命题P的真假性，再写出该命题的否定命题即可．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x，∴f′（x）=cosx﹣1≤0∴f（x）是定义域上的减函数，∴f（x）≤f（0）=0∴命题P：?x∈（0，），f（x）＜0，是真命题；∴该命题的否定是．故选：D．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了命题与命题的否定之间的关系，是基础题．2. 已知ω＞0，a＞0，f（x）=asinωx+acosωx，g（x）=2cos（ax+），h（x）=这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g（x）+h（x）的图象的一条对称轴方程可以为（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数图象可知，三函数的最大值均为2，可得：a=1，由图象可知，f（x）的周期为π，可得ω=2，即可求出f（x）和g（x）解析式，因为h（x）=可求h（x），那么函数g（x）+h（x）化解．可得对称轴方程．从而得答案．【解答】解：∵f（x）=asinωx+acosωx=2asin（ωx+），g（x）=2cos（ax+），又由函数图象可知，三函数的最大值均为2，可得：a=1，∴f（x）=2sin（ωx+），g（x）=2cos（x+），由图象可知，f（x）的周期为π，∴ω=2h（x）===2sin（x+），那么函数g（x）+h（x）=2cos（x+）+2sin（x+）=sin（x+）=2sin （x）．令x=，（k∈Z）可得对称轴方程为x=，当k=﹣2时，可得x=﹣．故选C．3. 已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是（）A．命题“∧”是真命题 B．命题“（┐）∧”是真命题C．命题“∧（┐）”是真命题 D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B4. 已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用；二倍角的余弦．【分析】由题意可得，tanα=﹣α，利用二倍角公式可得（α2+1）?（cos2α+1）=（1+tan2α）（2cos2α），化简可求．【解答】解：由题意非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，可得，tanα=﹣α，可得（α2+1）?（1+cos2α）=（1+tan2α）（2cos2α）=2（cos2α ）×（+1）=2．故选：A．5. 已知双曲线的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A、B两点，且则的面积为( )A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为，连接，即可得四边形为平行四边形，从而求出，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出的值，利用面积公式可求出的面积，根据和的关系即可得到答案.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，依题可知四边形的对角线互相平分，则四边形为平行四边形，由可得，依题可知，由余弦定理可得：即；又因为点在椭圆上，则，所以.两式相减得，即，所以的面积为：因为为的中点，所以故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.6. 已知平面向量=（﹣2，m），=（1，2），且∥，则|+3|等于（）A．B．2C．3D．4参考答案：A【考点】平行向量与共线向量；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量∥，求出m的值，再计算|+3|的值．【解答】解：∵平面向量=（﹣2，m），=（1，2），且∥，∴﹣2×2﹣1×m=0，解得m=﹣4；∴+3=（﹣2+1，﹣4+2）=（﹣1，﹣2），∴|+3|==．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量的平行与求向量模长的问题，是基础题．7. 已知设函数，则的最大值为（）A．1 B． 2 C．D．4参考答案：C8. 已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：C【考点】定积分．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】由x=0是f（x）=0的一个极值点，可得f′（0）=0，求得b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2+bx，得f′（x）=﹣3x2+2ax+b．∵x=0是原函数的一个极值点，∴f′（0）=b=0．∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故选：C【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．9. 定义在R上的函数满足则f(1)+ f(2) +f(3)+… + f(2013)的值为A．-2 B．-1 C．1 D．2参考答案：A略10. 已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数。