二阶常系数线性差分方程
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
《高等数学B》第十章___微分方程与差分方程__第8节__二阶常系数线性差分方程
(4)
第三步 根据特征方程 (4) 的两个根的不同情形，写 出差分方程 (2) 的通解. (可见教材 P441 的表)
例1 求差分方程 y x 2 y x 1 6 y x 0 的通解 .
解 特征方程
2 6 0
有两个不相等的实根 1 3 , 2 2 , 从而原方程的通 解为
y x C1 3 x C2 ( 2) x . ( C1 , C 2 为任意常数 )
例2 求差分方程 2 y x y x 3 y x 1 4 y x 0的通解 .
解 原方程可改写成如下形式
y x 2 4 y x 1 4 y x 0
其特征方程为
2 4 4 0
它有两个相等的实根 1 2 2 , 所以原方程的通解 为
y x (C1 C2 x ) 2 x . ( C1 , C 2 为任意常数 )
例3 求差分方程 y x 2 4 y x 1 16 y x 0的满足初始条
件 y0 1, y1 2 2 3 的特解 .
1 i , 2 i
这时 , 可以验证差分方程 (2) 有两个线性无关的解 :
y (x1) r x cos x , y (x2 ) r x sin x 2 2 其中 r , tan (0 , 0) , 从而差 分方程(2)的通解为 y x r (C1 cos x C2 sin x )
x
( C1 , C 2 为任意常数 )
从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分 方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性微分方程的步 骤完全类似，我们将它总结如下: 第一步 写出差分方程 (2) 的特征方程
高数第七章(13)二阶差分方程PPT
称为相应方程的特征根 .
现根据 a2 4b的符号来确定其通式解 . 形
(1)第一种情形 a2 4b时
有 两 个 相 异 的1与 实2， 特此 征时 根的 通
如下形式：
yxA11xA22x(A1,A2为 任 意 ) 常 数
(2)第二种情形 a2 4b时
例2 求差分方程yx2 3yx1 4yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0 , 且 a 3 2
y xx(B0B1x) 代入方程得: B 0 (x 2 ) B 1 (x 2 )2 3 B 0 (x 1 ) 3 B 1 (x 1 )2 4 B 0 x 4 B 1 x 2 x 可B 得 0570 ,B1110
代入方程 B 0 B 1 (x 2 ) 5 B 0 5 B 1 (x 1 ) 4 B 0 4 B 1 x x 比较两端同次项系数有
1100BB10
7B1 1
0
B0170,0B1110
则yx
7 1 x 10010
故y x 通 1 7 0 1 1 解 x 0 A 1 ( 1 为 ) x A 2 ( 4 ) x
即 ( 2 )( 1 ) 0 解 1 得 2 ,2 1
yxA 1(2)xA2
1 a b 1 1 2 0 , 但 a 1 2 ,
yx
12x 12
4x
所给方yx 程 4x通 A 1( 解 2)x为 A 2 由 y0A 1A 2,即 A 1A 20 y142A 1A 2,即 2A 1A 24
i)i当 1ab0且 a 2时， s1 ; 取 ii)当 i1 a b0 ， a 且 2 时s ， 2 . 取
分别就以上定 情特 形解 ，代 将,入 设 可原 确方 定程 其特 . 解
考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
复制动态方程公式
复制动态方程公式动态方程公式主要指的是描述动态系统行为的数学模型。
这些模型通常用一系列差分方程或微分方程表示，在物理学、工程学、经济学等领域中得到广泛的应用。
在本文中，将介绍几种常见的动态方程公式，并解释其背后的数学原理和实际应用。
一、一阶线性差分方程一阶线性差分方程是最简单的动态方程公式之一，其常见形式如下：xt+1 = a * xt + b其中xt为时刻t的状态变量的值，xt+1为时刻t+1的状态变量的值，a和b为常数。
这个方程描述了一个变量在每个时刻的变化都与前一个时刻的变量值成线性关系，并且存在一个常数偏移项。
这种方程广泛应用于描述种群增长、价格变化以及各种自然和社会系统的动态行为等。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是描述连续动态系统的常见方程形式，其一般形式如下：dy/dt = a * y + b其中y是时间t的函数，dy/dt表示y对时间的导数，a和b为常数。
这个方程表达了一个函数的导数与函数本身成线性关系，并且存在一个常数偏移项。
一阶线性微分方程常用于描述物理系统的运动、电路中的电流和电压关系、经济学中的增长模型等。
三、二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程是描述连续动态系统中更复杂行为的方程形式，其一般形式如下：d^2y/dt^2 + a * dy/dt + b * y = c其中y是时间t的函数，d^2y/dt^2和dy/dt分别表示y对时间的二阶导数和一阶导数，a、b和c为常数。
这个方程描述了一个函数及其导数关于时间的二阶导数和一阶导数之间的关系。
二阶线性常系数微分方程常用于描述机械振动、电路中的共振现象、天体运动等。
四、非线性微分方程非线性微分方程是描述连续动态系统中非线性行为的方程形式，其一般形式如下：dy/dt = f(y)其中y是时间t的函数，f(y)表示y的导数与y本身之间的关系，这个关系是非线性的。
非线性微分方程无法用一般的解析方法求解，通常需要借助数值计算方法进行近似求解。
二阶常系数线性差分方程ppt课件
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即
yx
yx
y
x
.
一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解，代入得
x2 ax1 bx 0
即2 a b 0
此方程称为对应齐次方程的特征方程, 其根
1 a
a2 2
4b
, 2
a
a2 4b 2
称为相应方程的特征根.
b
ii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 1得其特解为
y
x
cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x
cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1,, Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2,2 1
yx A1(2)x A2
1 a b 1 1 2 0,但a 1 2,
y
x
12x 1 2
4x
所给方程通解为yx 4x A1(2)x A2
由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2A1 A2 ,即2A1 A2 4
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
7-13 二阶常系数线性差分方程解析
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解及特解． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0,( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0,( y0 2, y1 2)
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
3
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2)x 2 cos x 1
4
§7-13 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
二阶常系数差分方程的解
二阶常系数差分方程的解二阶常系数差分方程是一种常见的数学模型，用于描述离散时间的动态系统。
它的解决方案可以帮助我们了解系统的行为和特性。
在本文中，我们将探讨二阶常系数差分方程的解，并通过一个具体的例子来说明其应用。
让我们来了解一下什么是二阶常系数差分方程。
二阶常系数差分方程是指形如y(n+2) + ay(n+1) + by(n) = 0的方程，其中a和b为常数。
这个方程表示了当前时刻的值与前两个时刻的值之间的关系。
通过求解差分方程，我们可以得到关于系统的一些重要信息，比如稳定性、振荡频率等。
接下来，我们来看一个具体的例子来说明二阶常系数差分方程的解法。
假设我们有一个简单的二阶差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0，其中初始条件为y(0) = 1和y(1) = -1。
我们可以使用递推的方法来求解这个方程。
我们将初始条件代入方程中，得到y(2) + 3y(1) + 2y(0) = 0，即y(2) + 3(-1) + 2(1) = 0，解得y(2) = 1。
接下来，我们可以使用递推关系y(n+2) = -3y(n+1) - 2y(n)来求解其他时刻的值。
我们先计算y(3)：y(3) = -3y(2) - 2y(1) = -3(1) - 2(-1) = -1。
然后继续计算y(4)：y(4) = -3y(3) - 2y(2) = -3(-1) - 2(1) = 1。
依此类推，我们可以得到y(5) = -1，y(6) = 1，以及后续时刻的值。
通过上述计算，我们可以得到二阶常系数差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0的解为y(n) = {1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, ...}。
这个解表示了在给定的初始条件下，系统的值随着时间的推移呈周期性的振荡。
除了递推法，我们还可以使用特征方程法来求解二阶常系数差分方程。
通过将差分方程转化为特征方程，我们可以得到方程的根，从而得到方程的解。
第八节二阶常数系数线性差分方程
比较方程两边同次幂的系数，得
6 A 1;5 A 3B 0
1 A 6
B
5 18
于是
1 2 5 y x x 6 18
* x
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从而原方程的通解为
1 2 5 yx C1 2 C2 x x 6 18
y yx kyx （K为常数），即 yx 与 x 线性无关，那么
1 2
1
1
2
Yx C1 yx C2 yx C2 是两 是方程(9-2)的通解，其中 C1 ，
2
个互相独立的任意常数。 根据特征根的三种不同情况，我们可以分别确定方程(9-2) 的通解形式。
故设非齐次方程的特解为
2 y* xQ ( x ) x ( Ax B ) Ax Bx （A,B为待定系数） x n
则
2 * 2 y* A ( x 1) B ( x 1), y A ( x 2) B( x 2) x 1 x 2
代入得
A( x 2)2 B( x 2) A( x 1)2 B( x 1) 2( Ax2 Bx) x
p Yx C1 C2 x 2
p ，此时差分方程(9-2)的通解为 2
x
（ C1 ， C2为任意常数）（9-5）
2 p （3）若 4q 0 ，即特征方程（9-3）有两个共轭的复特征
根： r1,2 1 p i 1 4q p 2 i （ ， 均为实数）
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结束
例3 求差分方程
yx2 2 yx1 4 yx 0 的通解。
第3节 二阶常系数线性差分方程
yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 yt 2 ayt 1 byt 0
(1) (2)
1.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解； 2.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
t 而 0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 t t 得到方程(2)的两个特解 y1 ( t ) 1 ,y2 ( t ) 2 ,
特征方程为 2 4 4 0
解得 1， 2 , 2
t 故所求通解为 yc (C1 C2t )2
9
例3 求差分方程 yt 2 yt 1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0
3 0 ,
故所求通解为 yc ( t ) C1 cos t C 2 si n t 3 3
于是(2)的通解为
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a a t 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 ( t ) ( ) , 2 2
a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
y t yc ( t ) y t .
差分方程公式总结
差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。
先来说说啥是差分方程。
简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。
就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。
比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。
这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。
咱们来仔细瞅瞅它的公式。
一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。
求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。
拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。
再说说特征根法。
先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。
我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。
”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。
小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。
二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。
一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。
求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。
在实际应用中，差分方程可太有用啦。
比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。
总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。
差分方程的解法及应用
差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。
在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。
它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。
一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。
简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。
通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。
根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。
非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。
二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。
1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。
为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。
为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。
差分方程简介
它的通解是 y x Cx A （ A 是任何实常数）. ( 3) y x Pn1 ( x ) ( n 1次多项式) 通解 y x Pn ( x ) ( n次多项式 ）
４ ｎ y x ０
通解 y x是n 1次多项式.
二、一阶常系数线性差分方程
形如： y x 1 ay x f ( x ) 齐次方程： y x 1 ay x 0
y x ( x 2 ) ( x 1)2 x 2 2 x 1
2 y x 2 ( x 2 ) (2 x 1) 2( x 1) 1 ( 2 x 1) 2
3 y x ( 2 y x ) ( 2) 2 2 0
x n x( x 1)( x 2)( x n 1) , x 0 1
例2 设 求 x n
解： x n ( x 1)n x n
( x 1) x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1)( x n 1) [( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x n 2) nx n1
2. 差分方程 有某种商品 t 时期的供给量St与需求 一个例子： 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c, d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 St 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
（ 为常数），
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c )
这样的方程就是差分方程.
(优选)高数第七章二阶差分方程
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、 求 下 列 差 分 方 程 的 通解 及 特 解 ． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0, ( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0, ( y0 2, y1 2)
iii)当1 a b 0，且a 2时，取s 2.
分别就以上情形，将设定特解代入原方程, 可确定 其特解.
例 1 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 10 0
可
设y
x
B0
B1 x
代入方程 B0 B1( x 2) 5B0 5B1( x 1) 4B0 4B1 x x 比较两端同次项系数有
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
2
1 2
a
i
4b a2 i
把它们化为三角表示式：
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
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y(n) rn(C1 cos n C2 sin n)
其中C1 , C2 为任意常数.
例3 求方程 yn2 2 yn1 5 yn 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 5 0 解得特征根 1 1 2i , 2 1 2i , 因此
所给方程的通解为
y(n) rn (C1 cos n C2 sin n) 其中r 5 , arctan2, C1 , C2 为任意常数.
即当判别式 a2 4b 0 时,
方程 (10 25) 有两个相异实根
1
1 2
(a
),
2
1 (a 2
)
于是方程 (10 24) 有两个特解
(10 26)
y1(n) 1n , y2(n) n2 且由 y1(n) 1 n 常数
y2(n) 2
知 y1(n) 与 y2(n) 线性无关, 从而得到方程 (10 24) 的通解
知 y1(n) 与 y2(n) 线性无关,
从而得到方程 (10 24)的通解
yn
(C1
C2
n)
1
a
n
2
其中C1 , C2 为任意常数.
例2 求方程 yn2 10 yn1 25 yn 0 的通解. 解 特征方程为
2 10 25 0 解得特征根为 5 ( 二重), 于是,
所给方程的通解为 yn (C1 C2n)5n
y * (n) nQ(n) a0nm1 a1nm amn a0 , a1 , , am 为待定系数
a b1 0 且 a 2
y * (n) n2Q(n) a0nm2 a1nm1 amn2 a0 , a1 , , am 为待定系数
a 2, b1
f (n) 的形式
f (n) ed n
y * (n) n( Acos n B sin n)
A, B 为待定系数
y * (n) n2 ( Acos n B sin n)
A, B 为待定系数
取试解的条件
d 不是特征根 d 是单特征根 d 是二重特征根
r cos isin
不是特征根
r cos isin
是单特征根
r cos isin
方程 (10 23) 的对应齐次方程为
yn2 ayn1 byn 0,
(10 24)
设 yn n 为方程 (10 24) 的特解, 其中 为非零待定系数, 代入方程后, 有
n(2 a b) 0
因n 0, 故函数 yn n 是方程 (10 24) 的特解的 充分必要条件是 满足方程
§10.3 二阶常系数线性差分方程
一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解和通解 三、n 阶常系数线性差分方程
一、齐次方程的通解
二阶常系数线性差分方程的一般形式为 yn2 ayn1 byn f (n), n 0, 1, 2, (10 23) 其中a, b 为已知常数, 且 b 0, f (n) 为已知函数.
yn C11n C2n2 其中1 , 2 由 (10 26) 给出, C1 , C2 为任意常数.
例1 求差分方程 yn2 4 yn1 5 yn 0 的通解. 解 特征方程为
2 4 5 0 解得两个相异实根 1 1, 2 5, 于是,
所给方程的通解为 y(n) C1 C2(5)n
其中C1 , C2 为任意常数.
2. 特征方程有二重根
即当判别式 a2 4b 0 时, 方程 (10 25) 有二重根
1
2
1a, 2
于是方程 (10 24) 有一个特解
y1
(n)
Hale Waihona Puke 1 2an
可验证方程 (10 24) 有另一特解
y2 (n)
n
1 2
a
n
且由
y1(n) 1 常数 , y2(n) n
1 a0 7 ,
13 a1 14 ,
所以, 所给方程的特解为
y(n) 1 n2 13 n 7 14
从而得到所给方程的通解为
是二重特征根
例4 求方程 yn2 4 yn1 5 yn 2n 3 的通解. 解 由例1, 对应齐次方程的通解为
y C1 C2(5)n 设 y(n) n(a0n a1) a0n2 a1n, 代入方程, 有
(12a0 4a1 )n (8a0 2a1 ) 2n 3
比较系数，解得
二、非齐次方程的特解和通解
方程 (10 23) 的特解试解的设定方法参照下表 10 2
f (n) 的形式
试解 y * (n) 的形式
取试解的条件
y * (n) Qm (n) a0nm a1nm1 am a0 , a1 , , am 为待定系数
a b1 0
f (n) Pm (n) Pm (n) 为 m 次 多项式
r
a
2
2
b
2 2
tan 1 4b a2 ,
a
a 0时, π
2
(0, π);
(10 27)
r 又称为复特征根的模, 为复特征根的辐角.
又因 y1(n) cot n 常数 ,
y2(n) 知 y1(n) 与 y2(n) 线性无关,
所给方程 (10 24) 的通解可表示为
2 a b 0
(10 25)
方程 (10 25) 称为方程 (10 23) 或(10 24) 的特征 方程,
特征方程的解称为特征根或特征值.
根据二次代数方程 (10 25) 解的三种情况，可 以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方 程(10 23)的通解.
1. 特征方程有两个相异实根
其中C1 , C2 为任意常数.
3. 特征方程有两个共轭复根
即当判别式 a2 4b 0 时,
方程 (10 25) 有两个共轭复根
1
1 (a 2
i
),
2
1 (a 2
i
),
通过直接验证可知, 方程 (10 24)有两个特解
y1(n) rn cos n, y2(n) rn sin n
其中
f (n) b1 cos n b2 sin n 或 b1 cos n 或 b2 sin n
试解 y * (n) 的形式
y * (n) Ad n , A 为待定系数 y * (n) And n , A 为待定系数 y * (n) An2d n , A 为待定系数 y * (n) Acos n B sin n A, B 为待定系数