2012海天考研张宇强化班高等数学下(18讲的部分)
(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。
2012海天考研张宇强化班高等数学下(18讲的部分)
2012年张宇考研数学高等数学（下）强化班内部讲义先修课程（高等数学复习导学班）视频地址：新浪微博——宇哥考研：/zhangyumaths 【本讲义参考文献】《考研数学高等数学18讲》，张宇 编著. 中国书籍出版社 《考研数学题源探析经典1000题》，张宇 编著. 北京理工大学出版社第9讲 多元函数微分学从本讲开始进入多元函数的体系，本讲内容是考研绝对的重点，一般会在每年的考试中出至少一个小题（4分）和一个大题（10分左右），有时结合其他知识出综合题.本讲我们只讲多元函数微分学的公共考点，有三个，分别为：1）五个基本概念；2）多元函数微分法；3）多元函数的极值与最值问题。
第一节 多元微分学的五个基本概念1、极限存在性定义 设二元函数f (x , y )定义在区域D 上,点P 0(x 0, y 0)在D 内或者在D 的边界上，如果存在常数A , 对于任给的正数ε，总存在正数δ, 只要点(,)P x y D ∈满足00<PP δ=<，恒有| f (x ,y )−A |<ε 成立, 则称A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为0lim (,)x x y y f x y A →→=.这极限也称为二重极限.这里有两点说明.第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子.【例1】设222222,0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠00lim (,)x y ⎪+=⎨⎪+=⎩，求f x y →→．【解】因为220|(,)|0xyf x y x y ≤+，由夹逼准则，． 0lim (,)0x y f x y →→=第二，所谓二元函数的极限（二重极限）存在，是指以任何方式趋于时，相应的极限值都为同一个常数),(y x P ),(00y x P A （你是否还记得，在一元函数的极限计算中我们就反复强调：“极限若存在，必唯一”）．故，如果以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则可以判定该函数在点的极限值不存在．在考研中这个要求也不高.再举个例子. ),(y x P ),(00y x P ),0y (0x 【例2】设22),(y x xyy x f +=，试证极限不存在． ),(lim 0y x f y x →→【证】这个证明过程比较经典,请记住.当沿着直线),(y x P kx y =趋于点时，有)0,0(=+→=→2200lim y x xy kx y x 2222201lim k kx k x kx x +=+→，结果随的变化而变化，故二重极限不存在． k )y x ,(lim 00y x f →→2. 连续性如果000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称f (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.注意，验证二元函数f (x , y )在某一点(x 0, y 0)是否连续是考研的重点，但是如果不连续，对于多元函数是不讨论间断点的分类的.3. 偏导数存在性（重要！重要！）定义 设函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内有定义, 若极限xy x f y x x f x Δ−Δ+→Δ),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00x x x y y z ==′, 或00(,)x f x y ′. 于是，00000000000(,)(,)(,)(,'(,)limlim x x x x 0)f x x y f x y f x y f x y f x y x x Δ→→+Δ−−==Δ−x 00000000000(,)(,)(,)(,)'(,)limlim y y y y f x y y f x y f x y f x y f x y y y Δ→→+Δ−−==Δ−y 高阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数(,)x f x y ′、(,)y f x y ′仍具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数：22((,)xx z zf x y x x x ∂∂∂′′==∂∂∂, 2((,xy z z )f x y y x x y ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 2()(,)yx z z f x y x y y x ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 22()(,)yyz zf x y y y y∂∂∂′′==∂∂∂. 其中(,)xyf x y ′′、(,)yx f x y ′′称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4. 可微定义 如果函数z = f (x , y )在点(x , y )的全增量Δz = f (x +Δx , y +Δy )−f (x , y ) 可表示为() (z A x B y o ρρΔ=Δ+Δ+=,其中A 、B 不依赖于Δx 、Δy 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微, 而称A Δx +B Δy 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A Δx +B Δy .在第三讲中，我们已经详细阐述了一元函数可微的深刻涵义，二元函数的可微概念也是如此（请注意对比，加深理解）.（1）写出全增量；000(,)(,z f x x y y f x y =++− 0)（2）写出线性增量A x B y + ，其中0000'(,),'(,)x y A f x y B f x y ==； （3）作极限limx y Δ→Δ→若该极限等于0，则(,)z f x y =在00(,)x y 点可微，否则，就不可微.用形式简单的“线性增量A x B y + ”去代替形式复杂的“全增量z ”，且其误差“()z A x B y −+ ”是o，这就是说，用简单的代替了复杂的，且产生的误差可以忽略不计，这就是可微的真正涵义。
数三144经验贴
教材的选择：《高等数学》（同济6版）《线性代数》（同济5版）《概率论与数理统计》（浙大四版）。
其中高数部分在教材上好几年出现过原题：10年关于拉格朗日中值定理的证明、11年关于扩展的积分中值定理的证明等等均来自于课后习题或者教材例题。
复习资料：复习的进度安排：4月份之前看教材，选择性的做课后习题。
高数的上册必须重视！！因为每年的难点不会是计算，而是概念的理解。
高数上册涵盖了微积分基本原理，尤其是1、2、3、4、5章，之后都是微积分的应用。
例如2013年数学三考察了无穷区间中的罗尔定理，必须要把无穷大极限转化成一个确定的数值，就用到了极限描述语言（第一章），否则一个大题几乎是没分的，而高数第一章很多人以为就是算极限，那就错了。
高数第一章是高数部分最难的，也是整一个考研数学最难的地方，需要掌握极限描述语言、极限的基本性质、无穷大小的定义、极限的基本运算（次之）、极限基本定理（介值和零点定理）、闭区间连续函数有界定理等等。
每一个都可能是选择题和大题里的关键步骤。
高数第一章的所有定理证明必须一一过关，对照教材答案反复操练，直到弄清原理，找到数学的感觉。
得第一章者得考研数学。
三本教材看完后，《高数18讲》和线性代数、概率论的视频，三者同时进行。
《高等数学18讲》被誉为是海天里考研数学的圣经，我在参加考研时，几乎90%以上的高数题在18讲中均有题型，尤其是泰勒公式的运用，今年张宇老师命中了原题，中值定理证明中开闭有别的证明法则的论述尤为精辟，每一个例题都要做下去，不会做就抄着做，弄懂，回头不会的题做第二遍，那本书挺薄的，做做挺快。
线性代数和概率论我用的是海天的视频，跟着老师做笔记，很快就能拿下。
差不多5月开始就要进入复习全书的状态了，复习全书我只做了一遍，但是要精做，每一道题会做的直接过，不会做的，找原因，找考点，做批注，学会总结解题思路。
我记得复习全是我一共做了4个月，而有些人1个月就能做完，所以复习效果可想而知。
高昆轮老师《张宇考研数学18讲》专题(下篇)18讲精讲精练
四、多元函数微分学主要内容：连续、偏导、可微等基本概念，复合函数与隐函数的一二阶偏导数，极值与最值.例1 设()1,,zx f x y z y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()1,1,1df = （dx dy -）例2设()(),,f x y x y x y ϕ=-，()(),0,0x y ϕ在点连续，则()0,00=ϕ是函数()()(),0,0f x y 在点可微的条件()A 充分非必要 ()B 必要非充分 ()C 充分必要 ()D 既非充分也非必要例3()(),,,,,.x y z u f x y z z z x y xe ye ze du ==-=设有连续偏导数且由方程所确定求（1111x z y z x z y z x y du f f e dx f f e dy z z --++⎛⎫⎛⎫''''=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭）例4 (),z z x y =已知函数满足222z z x y z x y ∂∂+=∂∂，又设1111,,u x v x y z xω==-=-， (),,0u v uωωω∂=∂对函数=求证:例5设函数(),z f x y =在点()1,1处可微，且()()()1,11,1,12,1,13x y f f f ''===， ()()(),,x f x f x x ϕ=，求()31x d x dxϕ= （51）例 6 设(),z f x y =是由2226102180=x x y y y zz -+--+确定的函数，求(),z f x y =的极值点与极值.（()()9,33;9,33z z =--=-极小值极大值）例7 设(),f x y 在()0,0点连续，且()2200,1lim2x y f x y xy a x y →→-=>+，试讨论()0,0f(),f x y 是否是的极值？是极大值还是极小值？例8 设()()12,f x f x 是连续可微函数，对于表达式()()12yf xy dx xf xy dy +， （1）若它是某二元函数(),u x y 的全微分，求()()12f x f x -； （2）若()x ϕ是()1f x 的一个原函数，求二元函数(),u x y .()()()11211,c f x f x c x-=是任意常数，()()()12122,ln ,u x y xy c y c c c ϕ=-+和是任意常数五、二重积分主要内容：计算二重积分（直角坐标、极坐标、对称性），累次积分交换次序及计算，二重积分的证明题.例1 交换积分次序()220,xxdx f x y dy ⎰⎰=例2 1dy =⎰⎰例31221xx ydx dy x y-+=+⎰例3 设闭区域()22:,0,,D x y y x f x y +≤≥为D 上的连续函数，且()()8,,Df x y f u v dudv π=⎰⎰，求(),f x y例4 计算()222,:22Dx y dxdt D x y x y ++≤+⎰⎰其中例5 设1111,cos cos ,sin sin 4242D r r r θθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，求1Ddxdy xy ⎰⎰例6 设()f t 是连续函数，求证()()()AADf x y dxdy f t A t dt --=-⎰⎰⎰，其中,22A Ax y ≤≤，A 是正的常数.例7 （1）设(){},,D x y a x b c y d =≤≤≤≤，若xy yx f f ''''与在D 上连续，证明：()(),,xyyxDDf x y dxdy f x y dxdy ''''=⎰⎰⎰⎰（2）设D 为xoy 面上的区域，若xy yx f f ''''与都在D 上连续，证明：xyyx f f ''''与 在D 上相等.。
高数18讲纯享版例题
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2024数学考研押6道大题
从而收敛.
20、（数二）余丙森五套-卷四数二 17 题 设函数 y(x)(x 0) 由方程 y3 xy 8 0 确定，求曲线 y y(x) 与直线 x 7 以及两个坐标轴所围 曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积V . 【解析】令 F (x, y) y3 xy 8 ，当 x 0 时， Fy (x, y) 3 y2 x 0 ，所以 y(x)(x 0) 为由方程
cos
x
z
, cos
x z
2
y z
2
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y
z
, cos
x z
2
y z
2
12
1
x z
2
y z
2
12
则
dydz
cos cos
dxdy
x z
dxdy
dzdx
cos cos
dxdy
y z
dxdy
故
I
xf
x y
x dydz
yf
x y
2x
|t
x
|
sin
tdt
中
t
x
，故
0
x
x|t x | sin tdt x (x t) sin tdt
0
0
2x t x sin tdt 2x (t x) sin tdt .
x
x
变形后再用洛必达法则求极限.
2x
【解析】 lim x0
0
|t
x | sin tdt x3
lim
x0
与合同判定
拉格朗日总结定理进行 放缩、比较审敛法找比
较对象 找到函数图像与两坐标 轴交点、体积公式转换
数学函数、极限、连续考点
第1章 函数、极限、连续1.1函数及其性质考点点睛1.有界性(1)()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界.(2)()f x 在(),a b 上连续,且()lim x af x A +→=,()lim x bf x B -→=,则()f x 在(),a b 上有界. (3)()'f x 在有限区间I 上有界,则()f x 在I 上有界. 2.奇偶性(1)()f x 是可导的奇(偶)函数,则()'f x 是偶(奇)函数. (2)()f x 是连续的奇函数,则其所有原函数都是偶函数;()f x 是连续的偶函数,则其所有原函数中只有一个是奇函数.(3)设()f x 在(),a a -上有定义,则()()f x f x +-是偶函数,()()f x f x --是奇函数. 3.周期性(1)()f x 是可导的以T 为周期的周期函数,则()'f x 也以T 为周期. (2)()f x 是以T 为周期的连续函数,则对于定义域内任意点a .()()x aF x f t dt =⎰以T 为周期()00Tf t dt ⇔=⎰.(3)()f x 是以T 为周期的连续函数，则()()()0Txf t dt F x f t dt x T=-⎰⎰以T 为周期.4.单调性设函数()f x 在区间I 上可导，(1)任意x I ∈,()()'0f x f x >⇒在I 上单调增加; 任意x I ∈,()()'0f x f x <⇒在I 上单调减少. (2)任意x I ∈,()()'0f x f x ≥⇔在I 上单调不减; 任意x I ∈,()()'0f x f x ≤⇔在I 上单调不增.在用单调性说明方程的根的问题时只能使用(1)中的单调增加(减少),而不能使用(2)中的单调不减(不增).1.[1988-I]已知()2x f x e =,()1f x x ϕ⎡⎤=⎦-⎣,且()0x ϕ≥,求()x ϕ并写出它的定义域.解由()21x ex ϕ⎡⎤⎣⎦=-,得()x ϕ=由()ln 10x -≥得1-1,x ≥即0x ≤,所以()0x x ϕ=≤.2[1990-I]设函数()1,10,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()f f x =⎡⎤⎣⎦________. 答应填1. 解由()1,10,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩知,对一切的x 有()1f x ≤,则()1f f x =⎡⎤⎣⎦. 注函数的复合是一种重要的运算,求两个分段函数()y f u =和()u g x =的复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦,实际上就是将()u g x =代入()y f u =中,关键是搞清楚()u g x =的函数值落在()y f u =定义域的哪部分.3[1999]设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数. (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数. (C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数. (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.答应选(A).解直接法.据“1.1考点点睛”中的“2.奇偶性”可知(A)正确. 排除法.(B)的反例:()cos f x x =,()sin 1F x x =+不是奇函数. (C)的反例:()2cos f x x =,()11224F x x sin x C =++ ,不论C 取什么常数,()F x 都不是周期函数. (D)的反例()1f x x=-在(0,)+∞内是单调增加的,但()ln F x x =-在(0,)+∞内是单调减少的. 注连续函数()f x 的原函数()F x 可以表示为()0xf t dt C +⎰,考查()()()()0xx F x f t dt C f u d u C --=+=--+⎰⎰()0x f u du C =--+⎰.若()f x 是奇函数,则()()f u f u =--,进而对任意的常数C 都有()()F x F x =-; 若()f x 是偶函数,则()()f u f u =-,进而当且仅当0C =时有()()F x F x =--.4[2005]设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,“M N ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”,必有(A)()F x 是偶函数台()f x ⇔是奇函数. (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数答应选(A)解 本题同上一题都是在考查原函数的奇偶性与周期性等性质,根据对上一题的分析,便可直接选(A).1.2极限的定义及性质5[2003]设{}{}{},,n n n a b c 均为非负数列,且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞→∞→∞===∞,则必有(A)n n a b <对任意n 成立. (B)n n b c <对任意n 成立. (C)极限lim n n n a c →∞不存在.(D)极限lim n n n b c →∞不存在.答应选(D).解假设lim n n n b c A →∞=(存在),则lim lim limlim n nn n n n n n n nn b c b c c A b b →∞→∞→∞→∞===(存在),这与lim n n c →∞=∞矛盾,故lim n n n b c →∞不存在.注由极限的局部保号性容易得到极限的局部保序性：若lim ,lim n n n n a A b B →∞→∞==,且A B >,则存在0N >,当n N >时,有n n a b >.对于本题,选项(A),(B)说对任意的n 成立,显然错了；对于选项(C),lim n n n a c →∞是典型的“0⋅∞”型未定式,其极限可能存在也可能不存在.1.3求函数的极限求函数极限首先是化简,其次是判别类型选择方法.常用的化简方法有:①非零常数因子先求出;②有理化;③通分;④倒代换.常用的方法有:①四则运算法则及基本极限;②等价代换;③洛必达法则;④泰勒公式. 1.常用的等价代换(0x →)()sin ~arcsin ~tan ~arctan ~ln 1~1~x x x x x x e x +-； ()211cos ~,1~ln ,11~2ax x x a x a x ax --+-； 3311tan ~,arctan ~33x x x x x x ---；()31ln 1~2x x x -+. 2.几个重要函数的泰勒展开式()233126xx x e x o x =++++；()33sin 6x x x o x =-+；()23cos 16x x o x =-+；()()233ln 123x x x x o x +=-++；()()()221112!x x x o x αααα-+=+++，其中()k o x 为0x →时x 的k 阶无穷小量. 3.极限值与无穷小的关系()()lim f x A f x A α=⇔=+,其中lim 0α-.1.3.1需要分别求左右极限的情形求分段函数在分段点处的极限,含绝对值函数、取整函数在相应点的极限,“e ∞”及“arctan ∞”型（()(),0,arctan arctan 22ee ππ+∞-∞=+∞=+∞=-∞=-,）的极限往往需要分别考查左右极限.6[1992-I]当1x →时,函数11211x e x x ---的极限 (A)等于2. (B)等于0.(C)为∞.(D)不存在但不为∞.答应选(D)解由于()11121111limlim 101x x eex x x x x ----→→-=+=-，而 ()11211111lim lim 11x x e x x x e x x -++-→→-=+=+∞-，则1x →时,函数11211x ex x ---的极限不存在,但不是∞.7[2000]求1102sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解因14344002sin 2sin lim lim 111x x xx x x x e x e e x x x e e ++--→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1144002sin 2sin lim lim 21111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 故原式=1.1.3.2七种未定式的极限 未定式的基本类型是“00”和“∞∞”型,其余的五种未定式“0⋅∞”,“∞-∞”,“0∞”,“00”,“1∞”都可以转化为“00”和“∞∞”型,对“0∞”,“00”,“1∞”型未定式的极限lim u υ往往都是先改写为lim ln ueυ的形式再去计算，特别地对“1∞”型极限作如下处理:()lim 1lim ln lim u uu ee υυυ-==.8[1990—1]设a 是非零常数,则lim xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭__________. 答应填2ae ,解这是“1∞”型,直接有lim 1lim x xx ax x a x x a e x a →∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭→∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,而2lim 1lim 2x x x a ax x a x a x a →∞→∞+⎛⎫-== ⎪--⎝⎭，故2lim xa x x a e x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 9[1991-I]求()0lim xx π+→.解这是“1∞”型,直接有()()0lim1lim x xxx eππ+→+→=，而()11lim 1lim 22x x x xx πππ++→→⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故(20lim xx e ππ+-→=.10[1992-I]0x x →.解 原式()0002sin 1cos limlim lim sin 112x x x x x x e x e xe x x x→→→---===+=. 11 [1993-I] 求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 这是“1∞”型，直接有21lim sin cos 121lim sin cos x xx x x e x x →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而10021sin 2cos 1sin 2cos 1lim sin cos 1limlim lim 202t xx t t t t t t t x x t t t=→∞→→→+--⎛⎫+-=+=+= ⎪⎝⎭ 故 221lim sin cos xx e x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.注 在x →∞（或,+∞-∞）且极限式中含有“1x ”时，考虑作倒代换10t x=→（或0,0+-）往往很方便.12[1994-I] 011lim cot sin x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭___________.答应填16. 解原式()32330001cos sin sin 16lim lim lim sin 6x x x x x x x x x x x x x →→→--====. 13[1995-I]()2sin 0lim 13xx x →+=____________.答应填6e .解这是“1∞”型,直接有()022lim36sin sin 0lim 13x xx xx x ee →⋅→+==.14[1997]()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+=++__________. 答应填32.解法1 ()()()2220001113sin cos3sin cos 3sin cos11limlim lim 1cos ln 12ln 12x x x x x x x x x x x x x x x x→→→+++==+++ 0013sin 113lim lim cos 222x x x x x x →→=+=. 解法2由于2001cos1limlim cos 0sin x x x x x x x→→==，故0x →时，21cos x x 是比sin x 高阶的无穷小,故加减中可直接略去,于是便有()()()()200013sin cos3sin 13sin 3lim lim lim 1cos ln 11cos ln 122x x x x x x x x x x x x x →→→+===++++.注本题解法1第一步利用“非零常数因子先求出”这一化简方法,对处理后续极限带来很大的方便,另外本题不能使用洛必达法则,因为求导后的极限不存在,且非无穷大,洛必达法则失效但这里充分利用极限的四则运算法则,将其拆分成两个单独的极限就很方便.15[1998]22limx x →=___________.答应填14-.解()()222222001111112212828lim 4x x x x o x x x o x x x →→+-++--+-==- 16[1999] 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭__________. 答应填13解322330000111tan tan 13lim lim lim lim tan tan 3x x x x xx x x x x x x x x x x →→→→--⎛⎫-==== ⎪⎝⎭. 17[2003]()()21ln 10lim cos x x x +→=__________.12e -.解这是“1∞~”型,直接有()()()22112ln 1220001cos 12lim cos exp lim exp lim ln 1x x x x x x x e x x -+→→→⎧⎫-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪===⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭.18[2006] ()ln 1lim1cos x x x x→+=-___________.答应填2.解 ()2002ln 1limlim 211cos 2x x x x x x x →→+==-. 19[2008]求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. 解法1()()()432000sin sin sin sin sin sin sin cos cos sin cos lim lim lim 3x x x x x x x x x x x x x x →→→-⎡⎤--⋅⎣⎦==()()22220001sin cos 1cos sin 1cos sin 12lim lim lim 3336x x x x x x x x x x →→→-⎡⎤-⎣⎦==== 解法2()()()433000sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim lim lim sin x x x x x x x x x x x x x→→→-⎡⎤--⎣⎦==3200sin 1cos 1limlim 36t t t t t t t →→--===.解法3由当0x →时()331sin 6x x x o x =-+,知()()331sin sin sin sin sin 6x x x o x =-+，于是 ()()()334330001sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 6lim lim lim x x x x x x o x x x x x x x x x →→→⎡⎤--+⎢⎥-⎡⎤-⎣⎦⎣⎦== ()33301sin sin 16lim 6x x o x x →+== 解法4 由于()31sin ~06x x x x -→，则()()31sin sin sin ~sin 06x x x x -→，于是 ()444001sin sin sin sin sin 16lim lim 6x x x x x x x x →→-⎡⎤⎣⎦==. 20 [2010] 极限()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（A ）1. （B ）e.(C)a be-.(D)b ae-.答应选(C)解这是“1∞”型,直接有()()()()22limx 1lim x xx x a x b x xe x a x b →∞⎡⎤-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦而()()()()()22lim 1lim x x a b x abx x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤-+-==-⎢⎥-+-+⎣⎦，于是()()2lim xa b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，选（C ）. 21 [2001] 求极限()110ln 1lim xex x x -→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解 这是“1∞”型，()()01ln 111lim ln10ln 1lim xx x x e xe x x ex →+-⋅-→+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而()()()000ln 1ln 1ln 111ln 11lim ln lim lim 1x x x x x x x x x e x x x→→→+⎡⎤++-⎢⎥-+⎣⎦⋅==- ()()()200011ln 1111limlim lim 2212x x x x x x x x x x →→→-+--+==-+.故()11120ln 1lim xex x e x --→+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.注 （*）也可利用泰勒公式处理()()2222001ln 112lim lim 2x x x x o x x x x x x →→-+-+-==-. 22 [2015] ()20ln cos limx x x→=________. 答 应填12-. 解法1 ()()2001sin ln cos 1cos limlim 22x x x x x x x →→-=-洛必达法则. 解法2 用等价无穷小替换()()()21ln cos ln 1cos 1~cos 1~02x x x x x =+---→⎡⎤⎣⎦， 故 ()222001ln cos 12lim lim 2x x x x x x →→-===-. 23 [2018] 若1sin 01tan lim 31tan kxx x x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭，k =__________.答 应填-2.解 这是“1∞”型，由题干可知1sin 001tan 11tan lim exp lim 11tan sin 1tan kxx x x x e x kx x →→-⎧-⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎨⎬⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则 ()0011tan 2tan 2lim1lim 1sin 1tan sin 1tan x x x x kx x kx x k →→--⎛⎫-==-= ⎪+⋅+⎝⎭， 故2k =-.1.3.3含有变限积分函数的极限含有变限积分函数的极限往往可以通过洛必达法则去掉积分符号(变限积分函数求导),转化为一般类型的未定式,再去求解。
2015考研数学高等数学18讲
2015考研数学高等数学18讲一、介绍2015年考研数学高等数学18讲是为备战考研的学子准备的一套高等数学复习资料。
本套资料由资深数学教师精心编写而成，旨在帮助考生系统复习数学高等数学知识，帮助他们顺利通过考研数学高等数学的考试。
二、内容1. 高等数学的基础知识回顾1.1 高等数学的基本概念与原理1.2 常见函数及其性质1.3 极限与连续性1.4 导数与微分1.5 微分中值定理与泰勒公式1.6 不定积分与定积分1.7 定积分的应用2. 多元函数与偏导数2.1 多元函数的概念与性质2.2 偏导数与全微分2.3 多元函数的极值与条件极值 2.4 隐函数与参数方程2.5 多元函数的泰勒公式3. 重积分与曲线曲面积分3.1 重积分的概念与性质3.2 极坐标与球坐标3.3 曲线积分3.4 曲面积分3.5 矢量分析与梯度散度4. 级数与常微分方程4.1 级数的审敛法4.2 幂级数4.3 常微分方程的基本概念与解法 4.4 齐次与非齐次线性微分方程 4.5 常系数线性微分方程5. 特殊函数与傅立叶级数5.1 伯努利函数与欧拉函数5.2 Gamma函数与Beta函数 5.3 超几何级数5.4 傅立叶级数6. 偏微分方程6.1 偏微分方程的基本概念与分类 6.2 常见偏微分方程及求解方法 6.3 边值问题与特解问题6.4 热传导方程与波动方程6.5 拉普拉斯方程与调和函数7. 曲线积分与曲面积分7.1 曲线积分的基本概念与性质 7.2 曲线积分的计算方法7.3 曲面积分的概念与性质7.4 曲面积分的计算方法7.5 斯托克斯公式与高斯公式8. 整数与周期函数8.1 整数的基本概念与性质8.2 整数的唯一分解定理8.3 整数的应用8.4 周期函数的基本概念与性质 8.5 周期函数的傅立叶级数展开9. 数理统计与概率论9.1 随机事件与概率9.2 随机变量与分布函数9.3 数理统计的基本概念与原理9.4 参数估计与假设检验9.5 方差分析与回归分析10. 多元统计分析10.1 多元随机变量与多元正态分布10.2 多元统计分析的基本概念与性质10.3 多元统计分析的推断方法10.4 主成分分析与聚类分析10.5 因子分析与判别分析11. 随机变量的函数分布11.1 随机变量函数的概念与性质11.2 随机变量函数的概率密度函数与分布函数 11.3 随机变量函数的特性函数11.4 随机变量函数的应用12. 大数定律与中心极限定理12.1 大数定律的基本概念与证明12.2 大数定律的应用12.3 中心极限定理的基本概念与证明12.4 中心极限定理的应用13. 数学分析的基本概念与原理13.1 数学分析的历史与发展13.2 实数系与实数的连续性13.3 函数的极限与连续性13.4 级数的审敛法13.5 函数的一致收敛性与连续性14. 微分方程的基本概念与分类14.1 微分方程的基本概念与性质14.2 常见微分方程的分类及解法14.3 一阶线性微分方程14.4 高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程 14.5 非齐次线性微分方程15. 积分学的基本概念与性质15.1 不定积分与定积分的基本概念15.2 微积分基本定理与定积分的计算方法15.3 定积分的应用15.4 曲线积分与曲面积分15.5 微分方程中的积分学16. 概率论的基本概念与性质16.1 随机事件与概率的基本概念16.2 随机变量与分布函数16.3 数理统计的基本概念与原理16.4 参数估计与假设检验16.5 方差分析与回归分析17. 统计学的基本概念与原理17.1 统计学的基本概念与分类17.2 数理统计的基本概念与原理17.3 参数估计与假设检验17.4 方差分析与回归分析17.5 多元统计分析的基本概念与方法18. 数学实例与习题分析18.1 典型例题的解析与讲解18.2 历年考研数学高等数学真题讲解18.3 多种类型典型习题的分析与解答18.4 考研数学高等数学常见解题技巧与答题技巧三、优势1. 专家团队打造：本套资料由资深数学教师组成的专家团队精心打造，教学经验丰富，对考研数学高等数学的考试要求了解透彻。
2012海天 武忠祥12基础班讲义
7）无穷大量与无界变量的关系： 无穷大量 ⇒ 无界变量
4
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8）无穷大量与无穷小量的关系： 无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量（恒不为零）的倒数是无穷大量； 常考题型： 1）求极限； 2）无穷小量阶的比较；
1 求极限：
方法 1 例1 有理运算 3 sin x + x 2 cos lim
−
左极限： lim− f ( x ) = f ( x0 ) (或 f ( x0 − 0) )
x → x0
右极限： lim+ f ( x ) = f ( x0 ) (或 f ( x0 + 0) )
x → x0 x → x0
+
lim f ( x ) = A ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = A + −
lim n n = 1.
3
lim
a x −1 = ln a x →0 x
lim
(1 + x)α − 1 = α, x →0 x
n→∞
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5 无穷小量与无穷大量 1）无穷小量的概念: 2) 无穷小的比较: 若 lim f ( x) = 0 ，则称 f ( x) 为 x → x0 时的无穷小量.
x → x0 x → x0
几个值得注意的极限：
1
lim e x , lim arctan
x →0 x→0
1 1 + x2 ， lim e x , lim arctan x, lim . x →∞ x x →∞ x → ∞ x
2 极限性质 1）有界性 收敛数列必有界； 若 lim f ( x) = A, lim g ( x ) = B .
1 − cos x ~
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2012年张宇考研数学高等数学（下）强化班内部讲义先修课程（高等数学复习导学班）视频地址：新浪微博——宇哥考研：/zhangyumaths 【本讲义参考文献】《考研数学高等数学18讲》，张宇 编著. 中国书籍出版社 《考研数学题源探析经典1000题》，张宇 编著. 北京理工大学出版社第9讲 多元函数微分学从本讲开始进入多元函数的体系，本讲内容是考研绝对的重点，一般会在每年的考试中出至少一个小题（4分）和一个大题（10分左右），有时结合其他知识出综合题.本讲我们只讲多元函数微分学的公共考点，有三个，分别为：1）五个基本概念；2）多元函数微分法；3）多元函数的极值与最值问题。
第一节 多元微分学的五个基本概念1、极限存在性定义 设二元函数f (x , y )定义在区域D 上,点P 0(x 0, y 0)在D 内或者在D 的边界上，如果存在常数A , 对于任给的正数ε，总存在正数δ, 只要点(,)P x y D ∈满足00<PP δ=<，恒有| f (x ,y )−A |<ε 成立, 则称A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为0lim (,)x x y y f x y A →→=.这极限也称为二重极限.这里有两点说明.第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子.【例1】设222222,0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠00lim (,)x y ⎪+=⎨⎪+=⎩，求f x y →→．【解】因为220|(,)|0xyf x y x y ≤+，由夹逼准则，． 0lim (,)0x y f x y →→=第二，所谓二元函数的极限（二重极限）存在，是指以任何方式趋于时，相应的极限值都为同一个常数),(y x P ),(00y x P A （你是否还记得，在一元函数的极限计算中我们就反复强调：“极限若存在，必唯一”）．故，如果以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则可以判定该函数在点的极限值不存在．在考研中这个要求也不高.再举个例子. ),(y x P ),(00y x P ),0y (0x 【例2】设22),(y x xyy x f +=，试证极限不存在． ),(lim 0y x f y x →→【证】这个证明过程比较经典,请记住.当沿着直线),(y x P kx y =趋于点时，有)0,0(=+→=→2200lim y x xy kx y x 2222201lim k kx k x kx x +=+→，结果随的变化而变化，故二重极限不存在． k )y x ,(lim 00y x f →→2. 连续性如果000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称f (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.注意，验证二元函数f (x , y )在某一点(x 0, y 0)是否连续是考研的重点，但是如果不连续，对于多元函数是不讨论间断点的分类的.3. 偏导数存在性（重要！重要！）定义 设函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内有定义, 若极限xy x f y x x f x Δ−Δ+→Δ),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00x x x y y z ==′, 或00(,)x f x y ′. 于是，00000000000(,)(,)(,)(,'(,)limlim x x x x 0)f x x y f x y f x y f x y f x y x x Δ→→+Δ−−==Δ−x 00000000000(,)(,)(,)(,)'(,)limlim y y y y f x y y f x y f x y f x y f x y y y Δ→→+Δ−−==Δ−y 高阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数(,)x f x y ′、(,)y f x y ′仍具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数：22((,)xx z zf x y x x x ∂∂∂′′==∂∂∂, 2((,xy z z )f x y y x x y ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 2()(,)yx z z f x y x y y x ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 22()(,)yyz zf x y y y y∂∂∂′′==∂∂∂. 其中(,)xyf x y ′′、(,)yx f x y ′′称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4. 可微定义 如果函数z = f (x , y )在点(x , y )的全增量Δz = f (x +Δx , y +Δy )−f (x , y ) 可表示为() (z A x B y o ρρΔ=Δ+Δ+=,其中A 、B 不依赖于Δx 、Δy 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微, 而称A Δx +B Δy 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A Δx +B Δy .在第三讲中，我们已经详细阐述了一元函数可微的深刻涵义，二元函数的可微概念也是如此（请注意对比，加深理解）.（1）写出全增量；000(,)(,z f x x y y f x y =++− 0)（2）写出线性增量A x B y + ，其中0000'(,),'(,)x y A f x y B f x y ==； （3）作极限limx y Δ→Δ→若该极限等于0，则(,)z f x y =在00(,)x y 点可微，否则，就不可微.用形式简单的“线性增量A x B y + ”去代替形式复杂的“全增量z ”，且其误差“()z A x B y −+ ”是o，这就是说，用简单的代替了复杂的，且产生的误差可以忽略不计，这就是可微的真正涵义。
5. 偏导数的连续性对于(,)z f x y =，讨论其在某特殊点00(,)x y （比如二元分段函数的分段点）处偏导数是否连续，是考研的重点，其步骤为： （1）用定义法求00'(,)x f x y （2）用公式法求'(,)x f x y（3）计算00lim '(,)x x x y y f x y →→，看0000lim '(,)'(,)x x x x y y f x y f x y →→=是否成立，若成立，则(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数是连续的.第二节 多元函数微分法（1）链式求导规则 （2）无论z 对谁求导，也无论z 已经求了几阶导，求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构； （3）注意书写规范.【例】设其中22(sin ,),xz f e y x y =+f 具有二阶连续偏导数，求2.zx y∂∂∂ 第三节 多元函数的极值与最值问题的理论本部分是这几年的重要考点，几乎都是大题，分值很高，请大家关注. 1、极值与最值的概念极值定义 设函数在点(,)z f x y =00(,)x y 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于00(,)x y 的点(,)x y ，都有00(,)(,)f x y f x y ≤ (或00(,)(,)f x y f x y ≥),则称函数在点(,)z f x y =00(,)x y 处取得极大值(或极小值)00(,)f x y ，极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.最值定义 设函数(,)z f x y =在某区域上有定义，如果对于该区域上任何异于D D 00(,)x y 的点(,)x y ，都有00(,)(,)f x y f x y ≤ (或00(,)(,)f x y f x y ≥),则称函数在点(,)z f x y =00(,)x y 处取得最大值(或最小值)00(,)f x y ，最大值、最小值统称为最值. 使函数取得最值的点称为最值点.2、多元函数极值与最值问题的理论依据（1）二元函数取极值的必要条件（类比一元函数）设在点(,)z f x y =00(,)x y ⎧⎨⎩一阶偏导数存在取极值，则0000'(,)0,'(,)0x y f x y f x y ==. 【注】该必要条件同样适用于三元及以上函数. （2）二元函数取极值的充分条件记000000''(,)''(,)''(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则200000A A B AC ⎧<⇒⎧<⇒⎨⎪>⇒⎩⎪⎪Δ=−>⇒⎨⎪=⇒⎪⎪⎩极大值极值极小值非极值方法失效，另谋他法【注】该充分条件不适用于三元及以上函数.综合（1）、（2），⇒ ⎧⎨⎩用必要条件求出可疑点用充分条件判别可疑点（3）条件极值与拉格朗日乘数法 求目标函数在条件(,,)u f x y z =(,,)0(,,)0x y z x y z ϕφ=⎧⎨=⎩下的极值，则① 构造辅助函数(,,,)(,,)(,,)(,,)F x y z u f x y z x y z u x y z λλϕφ=++, ② 得'''''''''''''(,,)0'(,,)0x x x x yy y y z z z z u F f u F f u F f u F x y z F x y z λλϕφλϕφλϕφϕφ=++=⎧⎪=++=⎪⎪=++=⎨⎪==⎪⎪==⎩00③ 解上述方程组得000(,,)x y z④ 根据实际问题，必存在最值，所得即所求.3、多元函数极值与最值的考题分类 （1）无条件极值；⎧+Δ⎨⎩显函数判别法隐函数（2）闭区域边界上的最值； （3）闭区域上的最值.4、求函数在某区域上的最值的程序 ),(y x f D （1）求出在内所有可疑点处的函数值； ),(y x f D （2）求出在的边界上的最值；),(y x f D （3）比较所有得到的函数值，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.在实际问题中，如果可以判断出的最大值（最小值）一定在的内部取得，且在内只有一个驻点，则可以断定该驻点处的函数值就是在上的最大值（最小值）. ),(y x f D ),(y x f D ),(y x f D【重点】多元函数的极值与最值问题的典型例题分析0【例1】（无条件极值—隐函数）设是由(,)z z x y =222610218x xy y yz z −+−−+=（*）所确定的。