同济大学高等数学上期末试卷(2套)

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同济大学大一公共课高等数学期末试卷及答案2套

(2)该曲线在哪点处的曲率半径为 2 ？
∫⎧
2．设
ϕ
(x)
=
⎪ ⎨
⎪
2x et2 d t
x
,
x
⎩ a,
x ≠ 0, 求 a 的值，使得ϕ(x)在 x = 0 处连续，并用导数定义求ϕ ′(0) ．
x = 0,
三、
∫ 1．求定积分 I = π x2 1− sin 2 x d x ． 0
2．若
f
(x)
2 0
−
x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
π π
2
= π 2 + 2π − 4 ． 2
2．当 x < 0 时，当 x ≥ 0 时，
∫ F(x) =
x −∞
1 1+ t2
dt
= arctan x +
π 2
；
∫ ∫ F(x) = 0 1 d t + x
−∞ 1+ t2
0
1 d t = π + [2 arctan t (1+ t) 2
4 + y2 d y −1000g
h(t )
y
4+ y2 d y ，
−1
−1
−1
上式两边对 t 求导，得
∫ d F = 1000g h(t) 4 + y2 d y d h ，
dt
−1
dt
由于 d h = −0.01，因此，当水面下降至平板的中位线(即 x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下 dt
降速率为
t
]
x 0
=
2 arctan
x+π ． 2

同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其反函数1()x fy -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有【A 】()'A k k =; 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有 2()1xy x o x x∆=∆+∆+, 则有【C 】 2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x =++;()C ()1f x =; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰. 【D 】12()lim()nn k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑.4.要使反常积分+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <.5. 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6. 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰.8.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=) 1.求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程. [532x y e π-=]2.计算定积分211π+⎰. [2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10')已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. [266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. [315239x xy e e x -=---] 五. (10')曲线21(0)y x x =+≥. (1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ; (2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14, 求容器内水面的高度; (2)如果要将题(1)中这部分水吸尽, 求外力需要作的功. [162;3h W g ρπ==] 七. (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T , 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈](2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T (若i j ≠,则i j T T ≠) 使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; [1T 2T 非最小正周期, 存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期] (3)如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续, 证明()f x 是常数.[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。

(完整版)高等数学(同济第六版)上册-期末试卷及答案,推荐文档

8.
若
f
(
x0
)
3
，则
lim
h0
f (x0 h) f (x0 3h) h
. 12
9. 若 x pdx 收敛，则 p 的范围是 1
. p 1
10. lim( 2x 3)x1 x 2x 1
.e
11.设 f (x)dx F (x) c ，则 f (2x)dx
. 1 F(2x) c 2
f (x 1)dx =
x2 , x 0
2
.5 6
第2页共7页
二、选择题
1.
设
f
(
x)
x2
cos
1 x
,
0 x 1 ，在 x 0 处()A Nhomakorabeax
, 1 x 0
A. 连续，不可导 B. 连续，可导 C. 可导，导数不连续 D. 为间断点
2.曲线 y sin x 在 x 0 处的切线与 x 轴正方向的夹角为（） B 2
0
0
0
20. (x) x xex2 dx ，则 (1) 0
. (1)
. 1 (e 1) ， e 2
. 1 2
21. df (x2 ) 1 ，则 f (x) dx x
.1 2x
提示：
f (x2 ) 2x
1 x
f (x2 )
1 2x2
22.曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线平行于直线 y 3x 1，则 f (2)
5.设 f (x) 的导函数为 sin x ，则 f (x) 的一个原函数为（
D. f (x0 ) 0 或不存在
）
D
A.1 sin x
B.x sin x

同济大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷

2020-2021学年第一学期高等数学期末考试同济大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期考试科目：高等数学A Ⅰ考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim 2x xx →= 。

2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是。

3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。

4．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设函数，则A.B.C.D.2.设曲线如图示，则函数在区间内( )．A.有一个极大值点和一个极小值点B.没有极大值点，也没有极小值点C.有两个极小值点D.有两个极大值点3.极限（）．A.B.C.D.4.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点2020-2021学年第一学期高等数学期末考试D.不是该函数的一个极值点5.若定积分（）. A. B.C. D. 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。

2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0 x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dydx 。

4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d yx 。

5．求函数321x y x =-的单调区间，极值和拐点。

6．计算定积分1ln ex xdx ⎰。

7．求不定积分3。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．设函数f (x )在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，证明：方程在(0, 1)内至少有一个实根。

同济大学《高等数学(上)》期末试卷及答案

高等数学(上)期末考试试卷试题一、填空、选择题 1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−→)1ln(11lim 0x x x ．2．f (x )=e 2x 的带佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式是． 3．已知C x x x f x +=′∫ln d )(2，则函数=)(x f ． 4．设有下列4个条件： (1)()x f 在[]b a ,上连续． (2)()x f 在[]b a ,上有界． (3)()x f 在[]b a ,上可导．(4)()x f 在[]b a ,上可积．则这4个条件之间的正确关系是．(A )(3)⇒(4)⇒(1)⇒(2)． (B )(3)⇒(1)⇒(4)⇒(2)． (C )(3)⇒(2)⇒(1)⇒(4)． (D )(1)⇒(3)⇒(4)⇒(2)． 5．设两辆汽车从静止开始加速沿直线路径前进，图5中给出的两条曲线)(1t a a =和)(2t a a =分别是两车的加速度曲线．那么位于这两条曲线和直线)0(>=T T t 之间的图形的面积A 所表示的物理意义是．二、已知函数2132+−=xx y ，利用导数研究函数的性态并填写下三、计算导数：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧=−=∫,d e ,1arcsin ln 12t u u u y t x (01)t <<，求x y d d ． (2)设21)(xx x f −=，求)()(x f n ．四、计算下列积分：(1)∫+x xx d 123；图5(2)∫x x xd arctan ； (3)∫∞+12d ln x x x；(4)设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=−,0,e ,0,1)(22x x x x x f x 求∫−20d )1(x x f ．五、由定积分换元法可证得如下结果：若)(x f 连续且为奇函数，则对于任意的0>a ，有0d )(=∫−a ax x f ； (1)若)(x f 连续且为偶函数，则对于任意的0>a ，有∫∫=−aa ax x f x x f 0d )(2d )(． (2)现在考虑连续函数)(x g .设0x 为一常数，()g x 满足以下的性质I 或性质II : 性质I ：对任意的x ，)()(00x x g x x g +−=−；性质II ：对任意的x ，)()(00x x g x x g +=−．试将(1)式推广到满足性质I 的)(x g 上,将(2)式推广到满足性质II 的)(x g 上，写出相应的结果并加以证明．六、设函数)(x f y =具有二阶导数且0)(<′′x f ，直线t L 是曲线)(x f y =上任一点))(,(t f t 处的切线])1,0[(∈t ．记直线t L 与曲线)(x f y =以及直线0=x 、1=x 所围成的图形的面积为)(t A ．证明：)(t A 的最小值∫−=≤≤1010d )()21()(min x x f f t A t ．七、(1)求解初值问题⎩⎨⎧==−+=.0,0d 2d )(122x y y xy x y x (2)设)(x y y =满足微分方程x y y y e 223=+′−′′，且其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+−=x x y 在该点的切线重合，求函数)(x y y =．参考答案一、1．212111lim )1ln(lim )1ln()1ln(lim )1ln(11lim 02000−=−+=−+=+−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x ． 2．)(34221e 3322x o x x x x ++++=． 3．因为12222)(21d )(21d )(C x f x x f x x f x +=′=′∫∫，故C x C x x f +=+=22ln ln 2)(，因此，C x x f +=ln )(．4．因为可导必连续，连续必可积，可积必有界，因此选(B)．5．T 时刻两车速率之差．二、423x x y −=′，52)6(2x x y −=′′．令0y ′=，得驻点：3±=x ．令0y ′′=，得拐点横坐标：6±=x ．而2)21(lim 32=+−∞→x x x ，∞=+−→)21(lim 320xx x ．三、(1)tx t yxyd d d d d d =tt t t ln 111ln 122−−=−−=． (2))1111(21)(xx x f +−−=．])1(!)1()1(![21)(11)(+++−−−=n n n n x n x n x f．四、 (1)∫+x x x d 123∫+==u uu x u d 1212C u u ++−+=2123)1()1(31C x x ++−+=212232)1()1(31．(2)∫x xxd arctan ∫=)d(arctan 2x x∫+−=x x x x d 11arctan 2 C x x x ++−=)1ln(arctan 2． (3)∫∞+12d ln x x x ∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=11ln 1x x x1=． (4)∫∫−=−112d )(d )1(u u f x x f∫∫−−++=112d ed )1(2u u u u ue21611−=．五、性质I 和性质II 分别推广为0d )(00=∫+−a x ax x x g ， ∫∫++−=a x x a x ax x x g x x g 0000d )(2d )(．因为∫∫−+=+−+=a ax u x a x ax u x u g x x g d )(d )(0000．而性质I 表明，)()(0x u g u h +=为奇函数，因此0d )(d )(0000=+=∫∫−+=+−a ax u x a x ax u x u g x x g ；而性质II 表明，)()(0x u g u h +=为偶函数，因此∫∫−+=+−+=a ax u x a x ax u x u g x x g d )(d )(0000∫∫+−==+=a x x x x u ax x g u x u g 00d )(2d )(200．六、切线方程为))(()(t x t f t f y −′=−，因此所求面积为∫−+−′=1d )]()())(([)(x x f t f t x t f t A∫−+′−′=10d )()()()(21x x f t f t f t t f ．)(21d )(d t f t t t A ′′⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=．令0d )(d =t t A 得唯一驻点21=t ，易知该驻点为极小值点，从而必为()A t 取得最小值的点，因此∫−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=≤≤1010d )(2121)(min x x f f A t A t ．七、(1)x y y x x y 2121d d +=，令xy u =，则 uu x u x 21d d 2−=，解得Cx u=−211．由初值，解得1=C ，故所求特解为22y x x −=．(2)0232=+−r r ，解得特征值为11=r ，22=r ．设特解为x Cx y e *=，代入方程得2−=C ，因此，方程通解为x x x x C C y e 2e e 221−+=．由初始条件1)12(,1000−=−=′====x x x x y y ，解得0,121==C C ，即所求特解为x x y e )21(−=．。

同济大学高等数学考试题

同济大学高等数学考试题高等数学(上)期中考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.选择题(每小题 4 分)1.以下条件中( )不是函数 f ( x) 在 x0 处连续的充分条件.(A) lim f ( x) , lim f ( x0 ) (B) lim f ( x) , f ( x0 ) x x0 ，0 x x0 0 x x0(C) f ,( x0 ) 存在 (D) f ( x) 在 x0 可微2.以下条件中( )是函数 f ( x) 在 x0 处有导数的必要且充分条件. (A) f ( x) 在 x0 处连续 (B) f ( x) 在 x0 处可微分f (x0 ， x) f (x0 x) lim f ,( x) 存在 (D)存在 (C) lim x 0 x x0x 1 的( )间断点. 3. x , 1是函数 f ( x) , sin x (A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡4.设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续并在开区间 (a, b) 内可导，如果在 ( a , b ) 内). f ,( x) , 0 ，那么必有((A)在 [ a , b ] 上 f ( x) , 0 [ a , b ] 上 f ( x) 单调增加 (B)在(C)在 [ a , b ] 上 f ( x) 单调减少 (D)在 [ a , b ] 上 f ( x) 是凸的5.设函数). f ( x) , ( x 2 3x ， 2) sin x ，则方程 f ,( x) , 0 在 ( 0 , ) 内根的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少 3 个二.求下列极限(每题 5 分)ln b (1 ， ax) ax ， b sin x ( a , 0 ). ( c , 0 ). 1. lim 2. lim x 0 x sin ax cx ， d cos x1 a sin x x2 4. lim . 3. lim e x 1 x ( a , 0 ). x x 0 x三.求下列函数的导数(每题 6 分)x 1. y , ln tan cos x ln(tan x,求) y, . 22.设 F ( x) 是可导的单调函数，满足 F ,( x) , 0 ， F (0) , 0 .方程F ( xy) , F ( x) ， F ( y)dy 确定了隐函数 y , y( x) ，求 . dx x,0d 2 y ,,x , ln 1 ， t 2 确定的函数，求 . 3.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , arctan tx , 0 ,ln(x ， e) ( a , 0 )，问 a 取何值时 f ,(0) 存在,. 4.设函数 f ( x) , , x x , 0 ;a x e 四.(8 分)证明:当 x , 0 时有 e , x ，且仅当 x , e 时成立等式. 五.(8 分)假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带1球前进，问:他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角,4 6, x六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，在区间 (a, b) 内有二阶导数 .如果 f (a) , f (b) 且存在 c (a, b) 使得 f (c) , f (a) ，证明在 (a, b) 内至少有一点 , ，使得. f ,,(, ) , 0七.(10 分)已知函数 y , f ( x) 为一指数函数与一幂函数之积，满足: (1) lim f ( x) , 0 ， lim f ( x) , ， ; x ， x(2) y , f ( x) 在 ( ,， ) 内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出f ( x) 的表达式.高等数学(上)期中考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)x , 0 ,,(1 sin 1x x )在 x , 0 连续，则 a , . 1.已知函数 f ( x) , , x , 0 ,;a1 2. x , 0 是函数 f ( x) , 的间断点.(可去.跳跃.无穷.振荡) 1 e x ，1 f ( x0 3, ) f ( x0 ) , . 3.若 f ,( x0 ) , 1 ，则 lim , 0 2,2 ). 4.函数 f ( x) , ( x 3x ， 2) sin x 在 ( 0 , ) 内的驻点的个数为( (A)0 个 (B)至多 1 个 (C) 2 个 (D) 至少3 个5.设 a , 0 ，若 lim ax 2 ， bx ， c ， dx , e ，则 a 与 d 的关系是 . x ，二.计算题(每题 6 分), 1 1 ,, . 1.求 lim, x 0 , ln(1 ， x) x ,12.求 lim，cos x，x 2 x 0x 3. y , ln tan cos x ln(tan x,求) y, . 22,,x , e t cos t d 2 y 确定的函数，求 4.设 y , y( x) 是参数方程 , dx 2 ,; y , t sin e tsin x cos x 5.求 dx . ， 1 ， sin 4 xdx 6.求， x x 2 1三.(8 分)证明:当 0 , x , 时有 sin x ， tan x , 2 x .2f ( x) 有二阶导数，且 f (0) , 0 ，又满足方程 f ,( x) ， f ( x) ,x ，证四.(8 分)设函数明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值,m n 五.(8 分)设 a 和 b 是任意两个满足 ab , 1的正数，试求 a ， b 的最小值(其中常数 m n , 0 ) ` 六.(10 分)设函数 f ( x) 在区间 [ 0 , 1 ]上可导，且 0 , f ( x) , 1，证明 , ( 0 , 1 ) ，使得 f (, ) , , ;又若 f ,( x) , 1( x ( 0 , 1 ) )，证明这样的 , 是唯一的.七.(10 分)(1)设 (an ) n,1 是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限lim a n , n1 n n n n ， a ，试用夹逼准则证明，， (2)对上述数列 (a n ) n,1 ，令 xn , a1 ， a2 ， nlim xn , lim a n . n n3高等数学(上)期末考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每题 4 分)1.函数 f ( x) 在 [ a , b ] 上有界是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的条件，函数 f ( x)条件. 在 [ a , b ] 上连续是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的1 2.函数 y , ，它是间断点. 的间断点为 x = 1 ， tan x3.当 x 0 时，把以下的无穷小: x (A) a ，a ,1 0,， a; , 1(B) x sin x ;(C)1 cos 4 x ; (D) ln(1 ， x )，，，按 x 的低阶至高阶重新排列是 .(以字母表示)1 ,2 1(n 1) , ， sin 4. lim dx = . ,, = ， 0 ,,sin n ， sin n ， n n n1 5.设函数 f ( x) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，且 f ( x)dx , 0 ，则存在 x0 (0,1) ，使， 0f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 .证法如下:x 1 令 F ( x , )f (t)dt ， x [0,1] ，则 F ( x) 在闭区间 [0,1]上连续，在开区间， f (t )dt ，， 0 1 x，故根据微分学中的定理知， (0,1) 内，且 F (0) , ， F (1) ,x0 (0,1) 使得 F ,( x0 ) , f ( x0 ) ， f (1 x0 ) , 0 ，证毕.二.计算题(每题 6 分)1c x 1.若 lim (1 ， x) , e 2 ，求 c 的值. x 0y 2.设 y , y( x) 是由方程 e ， y , sin( xy) 确定的隐函数，求 y, . x 2 t 2 ，e ， 1 dt ， 0 3.求极限 lim . x 0 ln(1 ， x 6 )ln x 4.求 dx ， x4 2 5.求 x)dx . ， x(sin ，x cos 2 ， dx 6.求 2 ， x 4 x 2 1x 2 1 三.(8 分)设 f ( x) , ， e t dt ，求， f ( x)dx 1 0x 四(8 分)设函数 f ( x )在区间 [ 0 , 1 ]上连续，且 f ( x ,) 1，证明方程 2 x f (t )dt , 1 . 0 ，在开区间 (0,1 ) 内有且仅有一个根.1 2 所围成的图形绕直线 y , 1旋转而成的五.(8 分)求由抛物线 y , 2 x 与直线 x , 2 立体的体积.12 x 2 ，其线密度为， , k y ，R(k , R) 求六.(8 分)设半圆形材料的方程为 y ,该材料的质量.七.(12 分)在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果x 2 ， y 2 , 1(单位:m)，问: 椭圆方程为 4(1)液面在 y( 1 , y , 1) 时，容器内液体的体积V与 y 的函数关系是什么, y(2)如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m3 的速度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y , 0 时，液面O x 下降的速度是每分钟多少 m,)，抽完全部液体 (3)如果液体的比重为 1( N m 3需作多少功,高等数学(上)期末考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)条件;导数 f ,( x0 ) 存在是函 1.极限 lim f ( x) 存在是函数 f ( x) 在x0 处连续的 x x0条件. ——填入适当的字母即可: 数 f ( x) 在 x0 处连续的(B)必要 (A)充分(C)充分且必要 (D)既不充分也不必要f ( 2h) f ( h) 2.若 f ,(0) , 1，则 lim , . ,h 3.设 f ( x) , x( x1)(2 x 1)(3x 1) (nx 1) ，则 f ,,( x) 在 ( 0 , 1 ) 内有个零点. 0， [ 1 ， xf (sin x)]d x , 4.设 f ( x )是 [ 1 , 1 ]上连续的偶函数，则 .5.平面过点 ( 1 , 1 , 1 ) ， ( 2 , 2 , 2 ) 和 ( 1 , 1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 .二.基本题(每小题 7 分)(须有计算步骤)2 x ln(1 ， t)dt， 0 1.求极限 lim . x 0 1 cos x， 4 2.求定积分 x tan 2 xdx . 0 y 2 3.设 y , y( x) 是方程 e ， e t dt x 1 , 0 确定的隐函数，证明 y , y( x) 是单调增加 y ，函数并求 y, x,0 .1 u 3 4.求反常积分 du . ， 0 1 u 22m n 三.(10 分)设 a 和 b 是任意两个满足 a ， b , 1 的正数，试求 a , b 的最大值(其中常数 m n , 0 ) ` 3 四.(10 分)一酒杯的容器部分是由曲线 y , x ( 0 , x , 2 ，单位:cm)绕 y 轴旋转 3 而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm 的嘴中，要做多少功,(饮料的密度为 1g/cm )五.(10 分)教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式xf (sin x)dx , f (sin x)dx . ， 0 2 ，0如果将上式左端的积分上限换成 (2k 1) ( k Z )，则将有怎样的结果,进一步设kTf ( x) 是周期为 T 的连续的偶函数，， xf (x)dx 将有怎样相应的表达式,六(10 分)设动点 M ( x , y , z) 到 xOy 面的距离与其到定点 (1 , 1 , 1 ) 的距离相等，M .2 的轨迹为 , .若 L 是 , 和柱面 2 z , y 的交线在 xOy 面上的投影曲线，求 L 上对应于1 , x ,2 的一段弧的长度.xf 0 (t )dt ， 0 . ( x) 是 [ 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数，函数 f ( x) , 七.(12 分)设 f 0 1 x(1)如何补充定义 f1 ( x) 在 x , 0 的值，使得补充定义后的函数(仍记为f1 ( x) )在 [ 0 , ， )上连续,2)证明( f1 ( x) , f 0 ( x) ( x , 0 )且 f1 ( x) 也是 [ 0 , ， ) 上的连续的单调增加函数;x x x f1 (t )dt f 2 (t)dt f n 1 (t )dt ，，， 0 0 0 ，则对任意的( x) , ( x) , ( x) , ，…， f n (3)若 f 2 ， f 3 x x xx , 0 ，极限 lim fn ( x) 存在. n3高等数学(下)期中考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 6 分)1.有关多元函数的各性质:(A)连续;(B)可微分;(C)可偏导;(D)各偏导数连续，它们的关系是怎样的,若用记号“ X , Y ”表示由 X 可推得 Y ，则) ,( , ( )( . ) , , ) ;(2 2 ，该点处各方向导数中的最 2.函数 f ( x, y) , x xy ， y 在点 ( 1 , 1 ) 处的梯度为大值是 .，平面曲线 3.设函数 F ( x, y) 可微，则柱面 F(x, y) , 0 在点 (x, y, z) 处的法向为,F(x, y , 0 )在点 ( x, y) 处的切向量为 . , z , 0 ; 1 4.设函数 f ( x, y) 连续，则二次积分 f ( x, y)dy , . ， dx， sin x 2 1 f ( x, y)dx ; (A) (B) ， dy，， dy， 0 ，arcsin y 1 ，arcsin y f ( x, y)dx ; (C) (D) ，dy，， dy， 0二.(6 分)试就方程 F ( x, y, z) , 0 可确定有连续偏导的函数 y , y( z, x) ，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题(每小题 8 分)1.设 z , z( x, y) 是由方程 f ( x z , y z) , 0 所确定的隐函数，其中 f (u, v) 具有连续的偏导数f f z z 且， , 0 ，求，的值. y u v x2. 设二元函数 f (u, v) 有连续的偏导数，且 f u (1,0) , fv (1,0) , 1 . 又函数 u , u( x, y) 与,x , au ， bv 2 2 ( a ， b , 0 )确定，求复合函数 z , f [u( x, y),v( x, y)]的偏导 v , v( x, y )由方程组 , ; y , au bvz z 数， . x y ( x, y ),( a , a ) ( x, y ),( a , a )2 2 3.已知曲面 z , 1 x y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2 x ， 2 y ，z , 1，求点 P 处的切平面方程.x 3 4 计算二重积分: x 为边界的曲边三，， sin y d, ，其中 D 是以直线y , x ， y , 2 和曲线 y , D角形区域.2 2 2 2 5.求曲线积分 ( x ， y )dx ， ( x y )dy ， L 为曲线 y , 1 | 1 x | 沿 x 从 0 增大到 2 的方向. ， L五.(10 分)球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”;同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明:球半径为 R 高为 h 的球冠的面积与整1个球面面积之比为 h : 2R .六(10 分)设线材 L 的形状为锥面曲线，其方程为:x , t cos t ，y , t sin t ，z , t( 0 , t , 2 )，其线密度， ( x, y, z) , z ，试求 L 的质量.2 2点的引力.高等数学(下)期中考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.简答题(每小题 8 分),, x2,tcost;xz 2.方程 xy z ln y ， e , 1在点 (0 , 1 , 1 ) 的某邻域内可否确定导数连续的隐函数 z , z( x, y) 或y , y( z, x) 或 x , x( y, z) ,为什么,3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路:x 2 y 2 z 2 设椭球面 a 2 b c小距离.3f x (1 ,1) .2u 二.(8 分)设函数 f 具有二阶连续的偏导数， u , f ( xy , x ， y) 求 . x y三.(8 分)设变量 x , y , z 满足方程 z , f ( x, y) 及 g ( x, y, z) ,0 ，其中 f 与 g 均具有连续的偏dy 导数，求 . dx,xyz , 0, 在点 (0，，) 处的切线与法平面的方程. 四.(8 分)求曲线 , 2 D y 2 五.(8 分)计算积分) ，， e，其中 D 是顶点分别为 ( 0 , 0 ) . ( 1 , 1 ) . ( 0 , 1 ) 的三角形区域. dxdy2 2 2 ) 2 ， ( y 2 ) 2 , 9 上的最大值和最小值.2 22 x 2 ， y 2 , 1000 上的点.(1)问: z 在点 M ( x, y) 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率; .2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点 M 使得上述增 (长率最大，请写出该点的坐标.2 2七.(10 分)求密度为 , 的均匀柱体 x ， y , 1 ， 0 , z , 1，对位于点 M ( 0 , 0 , 2 ) 的单位质处的切平面，与平面 x ， y ， z , 0 平行.(1)写出曲面 , 的方程并求出点 M 的坐标;2, 3 , 1 处的切线方程. 1.求曲线 , y , 3 ， sin 2t 在点,z , 1 ， cos 3t， 2 ， 2 , 1与平面 Ax ， By ， Cz ， D , 0 没有交点，求椭球面与平面之间的最 4.设函数 z , f ( x, y) 具有二阶连续的偏导数， y , x 是 f 的一条等高线，若 f y (1 ,1) , 1，求1 1;x y 1 , 0六.(8 分)求函数 z , x ， y 在圆 ( x七 . ( 14 分 ) 设一座山的方程为 z , 1000 2x y ， M ( x, y )是山脚 z , 0 即等量线八(14 分) 设曲面 , 是双曲线 z 4 y , 2( z , 0 的一支)绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M .2 2 (2)若 , 是 , . ，和柱面 ,，1 yx 围成的立体，求 , 的体积.3高等数学(下)期末考试试卷 1(答卷时间为 120 分钟)一.简答题(每小题 5 分，要求:简洁.明确)2 2 1.函数 z , y x 在点 (1 , 1) 处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少, xz 2.设函数 F (x, y, z ,) (z ， 1) ln y ， e 1，为什么方程 F(x, y, z) , 0在点 M(1, 1, 0) 的某个邻域内可以确定一个可微的二元函数 z , z( x, y) ,2 3 3.曲线 x , t 1 , y , t ， 1 , z , t 在点 P(0 , 2 , 1) 处的切线方程是什么,2 y2 4.设平面区域 D : x2 ， ,1 (a , 0,b , 0) ,积分，， (ax3 ， by 5 ， c)dxdy 是多少, b2 a D n n 5.级数的收敛域是什么, 2 n 2 ， 1 xn,0 ,,e x ， 1, 0 , x , , ) ，问级 6.设函数 f ( x) , , 的傅里叶系数为a0 , a n , bn (n , 1,2,3,,;e x 1, , x , 02 ，数 a0 ,n 1 a n 的和是多少, 2二.计算积分2 1.(8 分) I , sin x dx ， dy， y x 2 y 2 , 1 ( y , 0) 取逆时针方2.(8 分) I , ( x ， y)dx ， ( y x)dy ， L 为上半椭圆 x 2 ，， b2 a L向.z , y 2 , ,(0 , z , 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面. 三.(12 分)设 , 是由曲线 ,;x , 0(1)写出 , 的方程和 , 取外侧(即朝着 z 轴负方向的一侧)的单位法向量;2 )dzdx ， (8 y ， 1) zdxdy . (2)对(1)中的定向曲面 , ，求积分I , ，,， 4(1 y2 2 2 四.(10 分)求微分方程 (1 ， x ) y, , xy ， x y 的通解x (0 , x , ) 展成正弦级数. 五.(10 分)把函数 f ( x , )2六.应用题x 2 y 2 z 2 1.(10 分)求曲面， 2 ， 2 , 1 (a , 0, b , 0, c , 0) 在第一卦限的切平面，使 a 2 b c该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.2.(12 分)设 , 是由曲面 z , ln x 2 ， y 2 与平面 z , 0 , z , 1所围成的立体. 求:(1) , 的体积V ;(2) , 的表面积 A .1高等数学(下)期末考试试卷 2(答卷时间为 120 分钟)一.填空题(每小题 4 分)z z 1.函数 z , f ( x, y )的偏导数在区域 D 内连续是 z , f ( x, y) 在D 内可微的与 x y条件.(充分，必要，充要)2.函数 z , f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 处沿 l , {cos， , cos , }的方向导数可以用公式f , f x ( x0 , y0 ) cos，， f y ( x0 , y0 ) cos , 来计算的充分条件为 z , f ( x, y) 在点 l.(连续，偏导数存在，可微分) ( x0 , y 0 ) 处x x 3.若三阶常系数齐次线性微分方程有解 y1 , e . y2 , xe . y3 , ex，则该微分方程为 .0.5 , x , 1 ,x ，则它的傅里叶 4.周期为 2 的函数 f ( x) 在一个周期内的表达式为 , 1 , x , 0.5 ;1级数在 x , 3.5 处的和为 .n x 5.幂级数 . ln n 的收敛域是 n,2二.(8 分)设函数 f (u, v) 有二阶连续的偏导数，且 f u (0,0) , 1， f v (0,0) , 1 . 函数x 2 z z , f . xy , ，求 x y y ( x, y, )( 0 , 1 )2 2 三.(8 分)求抛物面 z , x ， y 到平面 x ， y ， z ， 1 , 0 的最近距离.四.计算下列积分:(每题 8 分)2 x1. d, ，其中 D 为三直线 y , 0 . y , x 与 x , 1所围成的平面区域. ，， e D2.，,， xydydz ， yzdzdx ， zxdxdy ，其中 , 是平面 x , 0, y , 0, z , 0 及 x ， y ， z , 1所围成的四面体的边界面的外侧., y z , 0 ，从 z 轴正向看去，沿逆时针方向. 3. xyz dz ，其中 , 是曲线 , 2 2 2 ， ;x ， y ， z , 1 ,五.级数( 1) n 1 1.(8 分)设 an 是等差数列，公差 d , 0 ，s n , a1 ， a2 ，， a n .问:级数 s n n,1是绝对收敛还是条件收敛或是发散的,说明理由.( 1)n 1 2 n x 的收敛域与和函数 s( x) . 2.(12 分)求幂级数 n ,1 2n 1六.微分方程1.(8 分)求微分方程 xy, ， y , x ln x 的通解.2.(12 分)设函数 f ( x) 有二阶连续的导数且 f (0) , 0 ， f ,(0) , 1 .如果积分2 f ( x)] y dx ， [ f ,( x) ， y] dy ， [ x L2L 的路径无关，求 f ( x) . 与3。

同济大学大一高等数学期末试题精确答案

课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．题号（型）一二三四核分人得分总分评卷人B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）．A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctany z y x=, 求z x ∂∂,z y ∂∂.解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)，法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。

同济大学2019-2020学年第一学期《高等数学C(上)》期末试卷及参考答案

同济大学 2019-2020 学年第一学期高等数学 C(上)期终试卷一. 填空题( 4'⨯6 = 24' )13 1. 已知当 x → 0 时, (1+ ax 2 )3-1与cos x -1是等价无穷小, 则a = - .22. lim( n - 2)n=e -3n →∞ n +13. 已知 f '(3) = 2 , 则lim f (3 - h ) - f (3)= -1 .h →0 2hx4. 曲线 y =⎰(t -1)(t - 2)dt 在点(0, 0) 处的切线方程是y = 2x5. 已知 f '(x ) =2x 则 df (x 2) =dx 36. 若函数 f (x ) = a ln x + bx 2+ x 在 x =1及 x = 2 取得极值, 则a = - 3 , b = - 126二．计算题( 5'⨯9 = 45' )e x - e - x - 2x1. 求 limx →0 x - sin x[ 2 ]2. 求 lim(1- cot 2 x ) [ 2]x →0x 233. 求 lim(1- 2)5 x -2[ e -10 ]x →∞x4. 设 y = ln(cos 2x +, 求 y ' [ y ' -sin 2x ) ]5. 设y =1- x , 求 1+ xy (n )[ y(n ) =(-1)n 2n !(1+ x )n +1 ]6. 设 y = (tan x )sin x, 求 dy [ y ' = (tan x )sin x(cos x ln tan x + sec x ) ]9. 求,[ 2a 2 - x 2dt = 7. 求a + xdx a - x[ a a rcsinx- ac ]8. 求 ⎰x arctan xdx[ 1x 2arctan x - x + 1arctan x + c ]22 2⎰adx= ⎰πcos t πx +0 sin t + c os t 4三. 解答题( 31' )1. ( 7' )求曲线 xy + 2 ln x = y 4 在点(1, 1) 处的切线与法线方程[ y ' (1, 1) = 1⇒ y = x ;x + y = 2 ]sin t x2. ( 7' )设 f (x ) = lim( )sin t -sin x , 求 f (x ) 的间断点及其类型t →x sin xx[ f (x ) = esin x⇒ x = 0 可去;x = k π (k ≠ 0) 第二类]3. ( 7' )求正数a , 使 axdx1 +∞xdx , 并说出它的几何意义⎰(1+ x 2 )22 ⎰0 (1+ x 2 )2[a xdx = 1(1-1),+∞xdx = 1⇒ a = 1 ]⎰(1+ x 2 )221+ a 2⎰(1+ x 2 )2 24. (10' )设曲线 y = ax 2 (a > 0, x ≥ 0) 与 y = 1- x 2 交于点 A , 过坐标原点O 和点 A 的直线与曲线 y = ax 2围成一个平面图形. 问: a 为何值时, 该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大.ax 1ax 2 - 5[ OA : y = , v = π ⎰ 1+a [( )2 - (ax 2 )2 ]dx = π a 2 (1+ a ) 21+ a 0 1+ a15 = a 2 - x 2 ]⇒V ' =0 ⇒a = 4 ⇒V " < 0 ]。

高等数学(同济第六版)上册期末复习题(含答案)

高等数学（同济第六版）上册期末复习题（含答案）高等数学（同济第六版）上册期末复习题（含答案）※高等数学第一卷期末复习一.填空题3e3x？cos2x？1.limx？02sin2x2。

曲线y？xe？X的拐点是（2，2e？2）3，设f（X）在X？在0和f（0）可微？0，那么limx？0f（x）？F（0）x4。

曲线y？1.cos2x X英寸（，1？）切向方程是y？十、1222x25。

曲线y？2带垂直渐近线x？？1和水平渐近线y？一x?16.设f(u)可导，y?sin2[f(ex)]，则dy?sin2[f(ex)]?f?(ex)?exdx#7.? 0exdx？2（e2？1）8.若f?(x0)??3，则limh?04f(x0?h)?f(x0?3h)??12h9。

如果1xpdx收敛，则p的范围是p??12倍？3倍？1)? e2x？11f（2x）？C2（#10.limx≤ 11.设定f(x)dxf(x)c，则?f(2x)dx?x2x2#12。

假设F（x）的原函数是xlnx，那么？xf（x）dx？？lnx？C421?x2,x?0113.设f(x)??，则?f(x)dx??16 x、 x？0#14. 通过点（1,3）且切线斜率为2x的曲线方程是y？x2？一sinx,x015.已知函数f(x)??x，则当x??时，函数f(x)是无穷小；当a、 x？0a？当1时，函数f（x）在x中？0连续，否则x？0是函数的（第一个）断点类型。

16.已知f(x)dxf(x)c，则?11?x2f(arcsinx)dx?f(arcsinx)?c一17.当x?0时，(1?ax)?1与1?cosx是等价无穷小，则a?12332?x3sint??0tdt#18.f(x)??,x?0是连续函数，则a?13x?a,x?0?19.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)?0,[f(x)]dx?1，则121 xf（x）f（x）dx？？1002提示：1120xf(x)f(x)dx0xf(x)df(x)xf(x)1100f(x)d(xf(x))10f（x）[f（x）？xf？（x）]dx1f2（x）dx？？100xf（x）f？（x） DX，移动物品。

同济大学大一高等数学期末试题精确答案

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）C 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在D 2．若x y z ln =，则dz 等于（）．C 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则题号（型）一二三四核分人得分总分评卷人(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）．A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛散性不能确定A 5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1 .2．交换ln 10(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =___I =1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰__________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 242 .4.已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -=1(1)!n n n x n +∞=-∑ .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 (2,2).三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,z y∂∂. 解：222yx y x z +-=∂∂; (3分)y z ∂∂=x y arctan +22y x xy +2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- (4分)，法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分)3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+r r r方向的方向导数。

大一-同济高等数学期末试题-(精确答案)

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 2120cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）．A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量122l i j =+r r r方向的方向导数。

同济大学2014-2015学年高等数学(B)上期末考试试卷

同济大学2014-2015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限23232lim()1nn n n e n -→∞-+=+2. x y xe =在1x =对应点的曲率k =3223(14)e e +3.反常积分11111dx x x αα+∞-+⎰⎰收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2α∈4.1'(32)(32)2x x x e f e dx f e c -=--+⎰5. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数,且"()0f x <,下列不等式正确的是【B 】()'()'()()(A f b f a f b f a <<-; ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'(C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.6. ()f x 是连续函数, 极限121lim()nn k k n f n n→∞=-⋅∑等于下面的定积分【D 】11()(21)A f x d x --⎰; 2()(21)B f x dx -⎰; 11()2()C f x dx -⎰; 1()(21)D f x dx -⎰.7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是【D 】 (){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛; (){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞=∞.8. 223()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+, 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根【C 】()0A 个; ()1B 个; ()2C 个; ()D 至少3个.二. 计算下列各题(6'424'⨯=) 1. 求函数21232x x y e-++=的单调区间与凹凸区间.[2211232322'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e-++-++=-=--]2. 求曲线2132y x e y -+=在(1,1)点的切线方程. [230x y +-=]3. 计算反常积分311arctan xdx x +∞⎰ [12] 4. 求微分方程"3'441y y y x --=+的通解. [41212x xy C e C e x -=+-+]三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出相应的渐近线. [铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e=++]四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A . (1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=; [22()()()2()bb baaaV f g dx f g f g dx c f g dx πππ=-=+-=-⎰⎰⎰](2)计算椭圆2214x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. [28V π=] 五. (8')设()f x 是可导函数, 并且满足方程220()()12xt f x tf dt x =++⎰, 求函数()f x . [2231(0)1,'()4()2()22x f f x xf x x f x e ==+⇒=-]六. (8')(1)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(2)计算极限2lim 1(1)xx x e x→+∞+.[(1)12311(1)()23n n n xx x x o x n ---++++;(2)221ln(1)limlim 1(1)x x x xx x x e e x-+→+∞→+∞==+七. (10')由方程22,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度单位为米). (1)试求薄片一侧所受到的水压力; (2)如果此后水面以每分钟0.5米的速度开始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率.[(1)4(4P g y g ρ=-⎰; (2)40(,dP P g h y g dt ρ=-=⎰]八. (10')设222(0)n n n x y a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A . (1)利用定积分写出n A 的计算公式(无需计算n A 的值); (2)证明极限lim n n A →∞存在; (3)计算极限lim n n A →∞.[(1)0an A =⎰;(2)1122220(1)n n at dt A aa -≤=≤⎰⎰;(3)2lim n n A a →∞=]。

同济版高数上试题(综合卷)

《高等数学》上期末试卷（综合卷）一．填空题（本题满分15分，每小题3分）1. 极限()cot 0lim 12xx x →+=________.2. 设()f x 可导，并且()()0112lim 3x f f x x →--=，则()1f '=________.3. 设2e e t t x t y t -⎧=-⎨=+⎩，求22d d yx =________.4.设()23f '=，则函数()22y f x =在1x =处的微分为________.5.(5π5πln d x x -⎡=⎢⎣⎰________.二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内。

1.函数()11e 010x x f x x x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩在0x =点间断是因为________.A. ()f x 在0x =点无意义B. ()0lim x f x -→和()0lim x f x +→都不存在C. ()0lim x f x →不存在D. ()()0lim 0x f x f →≠2. 函数()()()()222246f x x x x =---有________个驻点.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个3. 当0x →时，1cos2x -是2sin x 的________.A. 高阶无穷小；B. 同阶无穷小，但不是等价无穷小；C. 低阶无穷小；D. 等价无穷小4. 函数)(x f 二阶可导，若0)()(00<'''x f x f ，则 .A.)(0x f 是极小值;B.)(0x f 是极大值;C.)(0x f 不是极值;D.不能确定)(0x f 是否极值5. 若()()d f x x F x C =+⎰，则()2cot d sin f x x x=⎰________. A. ()cot F x C + B. ()cot F x C -+C. ()sin F x C +D. ()sin F x C -+三．计算题（本题满分24 分，共4小题，每小题满分6分）1. 设()(),0ln 12,0ax b x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，确定a 和b ，使得()f x 在0x =处可导.2. ()()000e e d lim ln 1d xt t xx t t t -→-+⎰⎰. 3. 设()y y x =是方程1sin 12x y y -+=确定的隐函数，求22d d y x . 4. 求微分方程()2d 12tan 0d y x xy x x++-=的通解. 四.（本题10分）求曲线2y x =与3y x =在第一象限内所围平面图形的面积，及该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五.（本题10分）若有一走廊A 端宽为a ，B 端宽为a 8，垂直相交（如图），今有一根直线型的细竿，从A 端进入，B 端移出（不能弯曲），试问细竿最长可为多少？六.（本题10分）求e ()e (0)x f x x x -=> 的单调区间与极值，并求出曲线)(x f y =的凹凸区间. 七.（本题10分）设()x ϕ有连续的二阶导数,()00ϕ'=,且满足()()()01126e d 3x t x t t t t ϕϕϕ-''⎡⎤=++-⎣⎦⎰,求()x ϕ. 八.（本题6分）函数)(x f 在[),0+∞上连续，201()()d (0)x F x f t t x x=>⎰. 证明：若)(x f 在),0(+∞上单调（增加或减少），则)(x F 也在),0(+∞上单调（增加或减少）.。

高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)

高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)一、填空题1.lim(e^3x-cos2x)/(3sin2x-2x^2) = 12.曲线y=xe的拐点是(2,2e)3.设f(x)在x=0处可导且f(0)=0，则lim(x→0) [f(x)/x] =f'(0)4.曲线y=(1-cos2x)/π+x在(-1,1)处的切线方程为y=x+15.曲线y=2x/(x^2-1)有垂直渐近线x=±1和水平渐近线y=06.设f(u)可导，y=sin[f(e)]，则dy=sin2[f(e)]·f'(e)·e dx7.∫e^x dx = 2(e^2+1)8.若f'(x)=-3，则lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h] = -39.若∫xp dx收敛，则p的范围是p<-110.lim(x→∞) [(2x+3)/(x+1)] = e11.设∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(2x)dx=F(2x)/2+c12.设f(x)的一个原函数是x ln x，则∫x f(x)dx = x^2 ln x - ∫x dx + C13.设f(x)={x^2.x>1.-x。

x≤1}，则∫f(x)dx = -1614.过点(1,3)且切线斜率为2的曲线方程为y=x^2+115.已知函数f(x)={xsinx。

x≠a。

A。

x=a}，则当x→∞时，函数f(x)是无穷小；当a=1时，函数f(x)在x=1处连续，否则x=a为函数的第一类间断点。

16.已知∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(arcsin x)dx=F(arcsin x)+c17.当x→0时，(1+ax)^(-1)与1-cosx是等价无穷小，则a=2/318.f(x)={x^3sin(1/x)。

x≠0.0.x=0}是连续函数，则a=1/319.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)=1，[f(x)]dx=1，则∫0^1 xf(x)f'(x)dx = -1/220.Φ(x)=∫xe^tdt，则Φ(1)=e-1，Φ'(1)=e2.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于直线y=3x+1，则f'(2)=33.设f(x)=arctanx，则当x→+∞时，lim f(x)=π/25.函数y=x的导数为y'=x(lnx+1)6.∫0+∞ xe^(-x) dx=27.∫-1^1 (x+2)/(√(1+x^2)(2+x)) dx=19.f(x)=x的积分曲线中过(1,-1)的那条曲线的方程为y=x^2-2x11.设s为曲线y=xlnx与x=1,x=e及x轴所围成的面积，则s=(e^2+1)/213.曲线y=ln(e^x)的全部渐近线为y=1,x=0,x=-1/e15.曲线y=x^2与y^2=x所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积为(π/5)(7-2√6)16.点(1,1,1)到平面2x+y-2z+2=0的距离为(√14)/318.设向量a=2i-j+k,b=4i-2j+λk，则当λ=-10时，a⊥b；当λ=2,a//b。

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