参数估计-区间估计

时)；随机抽取 B 型号的灯泡 7 只，测得平均寿 命为 X B = 980（小时） ， 标准离差为 S B = 32（小
时）。设两总体都服从正态分布，并且由生产 过程知，它们的方差相等，求两正态总体均值 差 µ A − µ B 的 0.99 的置信区间。
解：取样本函数 X − Y − ( µ1 − µ 2 ) T= ~ t ( m + n − 2) 1 1 + Sw m n 又由 1 − α = 0.99 ， 得 α = 0.01， 查 m + n − 2 = 10， 表得 λ = 3.1693 ，经计算 2 2 ( m − 1 ) S + ( n − 1 ) S 2 A B SW = = 928 m+n−2
+
2 σ2
~ N（0， 1）
（2-40）
（2-41） （2-42）
σ2 2
n
可求得 λ ，从而得 µ1 − µ 2 的置信度为1 − α 的置信区间是
(
X −Y −λ
2 σ1
m
+
σ2 2
n
， X −Y +λ
2 σ1
m
+
)
（2-43）
例 2-17 设自总体 N ( µ1， 25) 得一容量为 10 的样本, 其样本均值 X = 19.8 ；自总体 N ( µ 2， 36) 得一容量为 12 的 样本，其样本均值 Y = 24.0 ，并且两个样本相互独立。 求总体均值差 µ1 − µ 2 的置信度为 0.90 的置信区间。
X − Y − ( µ1 − µ 2 ) （2-44） T= ~ t ( m + n − 2) 1 1 Sw + m n 2 2 ( m − 1 ) S + ( n − 1 ) S 2 2 2 X Y 、S Y 其中 SW ，SX 分别为两个 = m+n−2
样本的样本方差。 从而对于给定的 α （ 0 < α < 1 ），由
（X − λ S 2 n ， X + λ S 2 n）
（2-32）
例 2-15 对飞机的飞行速度进行 15 独立试验，测 得飞机的最大飞行速度 （m/s） ： 422.2， 418.7， 425.6， 420.3，425.8，423.1，431.5，428.2，438.3，434.0， 412.3，417.2，413.5，421.3，423.7，根据长期经 验，可以认为飞机的最大飞行速度服从正态分布 N ( µ，σ 2 ) ，试求 µ = EX 的置信区间（ α = 0.05 ）。
n （2）对于给定的α ( 0 < α < 1 )，由 P{U < λ} = 1 − α 出发，即由 P{U < λ} = 1 − α / 2 ，
查标准正态分布表求得 λ 。 （3）进行有关计算。 （4）确定 µ 的置信度为1 − α 的置信区间
(X − λ σ 2 n ， X + λ σ 2 n)
o
2
λ1
λ2
x
为了便于计算，令 λ1 , λ2 分 别满足
（2-35）
P{χ < λ1} = α / 2 即 P{χ 2 > λ1} = 1−α / 2 P{χ 2 > λ2 } = α / 2
信区间为 ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 ， ） （
（2-36）
（2-37）
查 χ 2 ( n − 1) 表求 λ1 , λ2 ， 得σ 2 的置信度为1 − α 的置
1 1 SW ≈ 30.46 λSW + = 56.5 5 7 从而得 µ A − µ B 的 0.99 的置信区间为 （20－56.5，20＋56.5)=(-36.5，76.5)
2 （3）当 σ 1 、σ 2 2 不相等且未知，求 µ1 − µ 2 的置信区间
由（2-39）得 σ 2 的置信度为 0.95 的置信区间是
（
( n − 1) S 2
λ2
，
( n − 1) S 2
λ1
）=（1.2829，9.0281）
4.二个正态总体均值差的区间估计
2 分别是总体 X ~ N ( µ1， σ 12 ) 的容量 设 X 和SX
2 为 m 的样本均值、样本方差； Y 和 S Y 分别是总体 2 Y ~ N ( µ 2， σ 2 ) 的容量为 n 的样本均值、样本方差，
（2-33）
其图形如图 2-6（ n > 3 ）。
可以证明 χ 2 的分布密度为
n −3 ⎧ 1 −x / 2 2 x e ，x > 0 1 n − ⎪ ⎪ f ( x ) = ⎨ 2 2 Γ( n − 1) 2 ⎪ ⎪ x<0 ⎩ 0，
y
对于给定的 α ( 0 < α < 1)，
取 λ1 , λ2 (0 < λ1 < λ2 ) 使满足 P { λ1 < χ 2 < λ 2 } = 1 − α
对于给定的 α = 0.05 ，由 P{χ 2 > λ1} = 1 − 0.05 / 2 = 0.975
σ
P{χ 2 > λ2 } = 0.05 / 2 = 0.025
查 χ 2 (9)分布表得 λ1 = 2.7， λ2 = 19 。
2 χ 查 (9)分布表得 λ1 = 2.7， λ2 = 19
又由于 n = 10 ，经计算 1 10 X = ∑ xi = 0.68 10 i =1 10 1 24.376 2 2 S = ∑ ( xi − X ) = 9 i =1 9
解：由 1 − α = 0 .90 ,得 1 −
α
U=
X − Y − ( µ1 − µ 2 )
2
= 0 .95 ,取样本函数
σ 12
m
+
2 σ2
~ N (0， 1)
n
由 P{U < λ } = 1 − α / 2 = 0 .95 查标准正态分布表 可求得 λ =1 .645 。
2 2 又由 m = 10，n = 12，σ1 = 25 ，σ 2 = 36，得
P{T > λ} = α / 2 （2-45） 查 t (m + n − 2) 分布表求得 λ 。即得 µ1 − µ2 的置信度为
1 − α 的置信区间是 1 1 1 1 + ) （2-46） ( X − Y − λSW + ， X − Y + λSW m n m n
例 2-18 为比较 A 、 B 两种型号的灯泡的 寿命,随机抽取 A 型号的灯泡 5 只，测得平均寿 命为 X A = 1000（小时） ， 标准离差为 S A = 28 (小
λ2
λ1
（2-39）
例 2-16 用克矽平治疗矽肺病患者，得治疗前后血 红蛋白的差值为 2.7，-1.2，-1.0，0.0，0.7，2.0， 3.7，0.6，0.8，-0.3，已知差值 X 服从正态分布 N ( µ，σ 2 ) ，试求 σ 2 的置信区间（ α = 0.05 ）。
解：依题意，取样本函数 2 ( n − 1 ) S 2 χ2 = ~ χ ( n − 1) 2
并且这两个样本相互独立。
Mean value error
因为 X 、Y 分别为 µ1、µ 2 的点估计，故取 X − Y 为
此时 X − Y 服从正态分布，且 µ1 − µ 2 的点估计。
E ( X − Y ) = µ1 − µ 2
D ( X − Y ) = D X + DY =
σ 12
m n 对总体方差的不同情况可得 µ1 − µ 2 的不同置信区间：
σ2
n 则 U 服从标准正态分布,即U ~ N（0， 1） ， 由于 X −µ <λ⇔ X −λ σ2 n < µ < X +λ σ2 n σ2 n
记
σ2
θ = X −λ σ2 n θ = X +λ σ2 n 对于给定的α ( 0 < α < 1 )，由
P{U < λ} = 1 − α ， 即 P{U < λ} = 1 − α / 2 （2-27）
+
2 σ2
m n 述“σ 2 已知时，求 µ 的区间估计”的情形，故构造函数
2 （1）若 σ 12、σ 2 都已知，则
σ 12
+
2 σ2
已知，即为上
U=
X − Y − ( µ1 − µ 2 )
2 σ1
m n 对于给定的α ( 0 < α < 1)，由 P{U < λ} = 1 − α （ λ 待定） P{U < λ} = 1 − α / 2 即
2 σ 12 σ 2
25 36 + = + = 5.5 ≈ 2.345 m n 10 12
从而由（2-43）式得 µ1 − µ 2 的置信度为 0.90 的置 信区间是
(19.8 − 24.0 ± 1.645 × 2.345) = ( −8.06， − 0.34)
2 （2）σ 12 = σ 2 = σ 2 ，但σ 2 未知，可构造样本函数
查标准正态分布表 求得 λ ，从而得 µ 的置信度为 1 − α 的置信区间为
y
o
λ
x
（X − λ σ
2
n，X +λ σ
2
n）
（2-28）
综上所述得σ 2 已知时，求 µ 的区间估计的 一般步骤如下：
σ 2 已知,求 µ 的区间估计的一般步骤如下：
（1）构造样本函数，并确定其分布，即取 X −µ U= ~ N（0， 1）
解：依题意取样本函数 U =
对于给定的 α = 0.05 ，由
X −µ
σ2
~ N（0， 1）
n
2 查标准正态分布表求得 λ =1.96，又 n = 6 ，σ 2 = 0.05 ，
P{U < λ} = 1 − α / 2 = 1 − 0.05 = 0.975
1 6 X = ∑ x i = 15 .06 ，得 µ 的置信度为 0.95 的置 6 i =1
15 1 1006.3 2 2 S = ∑ ( xi − X ) = 14 i =1 14
于是由
（X − λ S n ， X + λ S n）
2 2
得 µ 的置信度为 0.95 的置信区间是
（ 420.35 ,
429.74 ）
3. σ 的区间估计
2
构造样本函数 χ =
2
( n − 1) S 2
2
σ 由例 2-2 知上述样本函数 χ 2 ~ χ 2 ( n − 1) 分布，
信区间是 15 .06 + 0.18) = (14 .88， 15 .24 ) ( 15 .06 − 0.18，
2 . σ 未知时，求 µ 的区间估计
2
构造样本函数
T=
X −µ S2 n
（2-29）
由例 2-3 知 T ~ t ( n − 1) 分布， 其图形关于 t = 0 对称.
可以证明其分布密度为 n n Γ( ) 2 − ⋅ t 2 (1 + ) 2 f (t ) = n −1 n −1 ( n − 1)π Γ( ) 2
σ2
例 2-14 某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠 直径 X 可以认为服从正态分布，其方差为 0.05，从某 14.70, 天的产品中随机抽取 6 个， 量得直径 （mm） 如下： 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32。试求 µ = EX 的 置信区间( α = 0.05 )。
Confidence interval
Confidence limits
设总体 X 服从正态分布 N ( µ，σ 2 ) ， X 1 , X 2 ,", X n 为 X 的一个样本。
1.σ 2 已知时，求 µ 的区间估计
由于 EX = µ ， 且 X ~ N ( µ， ) ， 因此构造函数 n X −µ U= （2-26）
（2-30）
对于给定的α （ 0 < α < 1）， 由 P{ T < λ} = 1 − α 即由
P{T > λ} = α / 2
y
（2-31）
o
λ
查 t Biblioteka Baidu n − 1) 分布表可求得 λ ，
x
于是由
X −µ S2 n
< λ ，即
X − λ S2 n < µ < X + λ S2 n
得 µ 的置信度为 1 − α 的置信区间为
三、区间估计
Interval estimate
定义 2-6 设θ 为总体分布中的未知参数， θ = θ ( X 1 , X 2 ,", X n ) ， θ = θ ( X 1 , X 2 ,", X n ) 为两 个统计量。对于给定的 0 < α < 1,若θ ,θ 满足 （2-25） P{θ < θ < θ } = 1 − α 则称随机区间（θ ,θ ）是θ 的置信度为1 − α 的置 信区间，1 − α 称为置信度，θ ,θ 分别称为置信下、 上限，有时也称（θ ,θ ）为θ 的区间估计。
解：依题意取样本函数 T =
X −µ S
2
~ t ( n − 1)
对于给定的α =0.05，由
n
0.05 = 0.025 P{T > λ} = α / 2 = 2 又 n = 15 ，经计算 查 t (14) 分布表，求得 λ =2.145。
1 15 X = ∑ xi = 425.047 15 i =1