创意平板折叠桌建模

创意平板折叠桌建模

布慧楠1402214026

侯爽 1402214025

张力琨 1402214041

摘要

折叠家具突破传统家具的设计模式，通过折叠可以将面积或体积较大的物品尽量压缩。细细品味，会发现一种独特的美感，更别说他们还无一例外地兼具到了实用主义。或拥有灵活自由的使用方式，或功能多样化，为居室腾出不少空间。某公司设计了一款折叠桌，并以此为背景提出了三个问题，本文利用受力分析、几何知识、以及非线性优化模型等解决了问题。

针对问题一，给定了给定了一块木板的长度、宽度和高度、木条的宽度，以及折叠桌的高度，利用折叠桌的对称性，以任一桌脚为原点，建立空间直角坐标系通过几何模型观察桌面与桌脚木条角度的关系，计算出每条桌角木条顶点处的坐标。利用Matlab程序，画出桌脚边缘线的变化。最后根据桌角边缘线的变化，画出折叠桌的动态变化。

针对问题二，针对稳定性好、加工方便、用料最少三个限制条件求出非线性规划的目标函数和限制函数。由于要求稳定性好，所以桌子应该能承受最大的力量。在保证稳定性的条件下，如何用最少的木条和选择最佳设计加工参数。

针对问题三，公司开发出一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌长度、高度、桌面边缘线的形状大小、桌脚边缘线的大致形状，给出所需材料的形状、尺寸，以及切实可行的加工参数。

最后，对建立的模型和求解方式做一个客观评价，并指出改进方式。

关键字：折叠桌非线性规划目标规划受力分析

1、问题重述

1.1引言

创意折叠木制品为了表现木制品的优雅和设计师所要表达的优雅和功能性。为了增大有用面积，将木板的宽为直径做圆的直径，将剩余部分成了若干长短不同的木条。分别用两根钢筋固定两侧的木条，使用者只需提起木板两侧，便可在重力作用下成为桌子。

1.2问题的提出

（1）给定长方形平板尺寸120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数。

（2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

（3）公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出

所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

2.问题假设

1.忽略加工误差。

2.木条紧密连接，无缝隙。

3.木条与桌面连接处无缝隙。

4.忽略开槽宽度。

3.符号说明

x

缝宽

L 木板长度（

W 木板宽度

N 木条根数

4、模型建立及求解

4.1问题一的模型建立及求解：

(1)考虑问题一时，首先要分析题目中给了哪些相关的量，题目中最先提出了桌面为圆形，可以从直径入手。由平板的长宽高和木条的宽度可以得到木条的数量，其中还有钢筋和卡槽的位置都可以作为求解时的数据。

(2)画出折叠桌的平面俯视图以及侧视图如图4.1.1和图4.1.2所示。

图4.1.1

图4.1.2

其中平板长为120cm ，宽度为50cm ，每根木条宽度为2.5cm ，由圆的对称性我们只需对四分之一(右下)圆进行分析，如图：我们由外

向内进行计算，每根木条桌椅最内侧 i D 到 i E 距离：

i a = ,则每根木条长度为i 01C 2

i s a =-，再根据木桌完全展开后桌腿侧面图进

行分析如图，可算得各开槽长度

01i i (a )k 22

s c --=，其中有平板长度和木条宽度可以得到四分之一圆(右下)共有十根木条。

(3)以任意一个桌脚为原点建立空间直角坐标系。设定最外层桌腿与x 轴的夹角为0∂，标注出钢筋的所在位置。如下图所示：

图4.1.3

(4)用MATLAB 编程，(见附录程序一)可得到每条桌腿木条的长度和开槽的大小，由于桌腿木条分为两组，每组有20根木条，且每组

桌腿也对称。所以表格中只列出1/4的桌腿木条长度和卡槽大小。得到的数据如下：

表4.4.4 折叠桌腿和开槽长度

(5)因为折叠桌的沿中心轴对称，所以我们只以1/4的桌子来考虑，其他的对称就行，由于平板为长方体，所以每根木条的桌脚在钢筋轴的下方加上各自的开槽长度相等，即最外侧桌脚长度的一半，在前面我们已经求出了每根木条的卡槽长度，在桌椅完全展开的情况下求得木条与桌面的最大夹角∂，对于任意角度 都满足一个函数等式 1160c c *cos *cos ()2i x c --∂=∂-，就由此可求出多组木条桌脚顶点的轨迹，即桌脚边缘线的数学描述。如图4.1.4为用MATLAB 程序（见附录程序三）画出的平板折叠后静态的边缘线。图4.1.5描述了边缘线一系列的运动过程。

图4.1.4

图4.1.5

(7)做动态图时，首先要建立直角坐标系，假设桌腿木条和桌面的夹角为1160c c *cos *cos ()2

i x c --∂=∂-，以桌面圆心为坐标系原点建立空间直角坐标系，根据题目已给的参数和几何关系分别表示出桌面,,x y z 坐标函数。根据这些函数，应用MATLAB 程序（见附录程序二）画出折叠桌的动态图。以下为动态图的四个动态过程。