Ch2_2插值余项与误差估计
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试估计用Lagrange线性和二次插值做f (175)近似值的 截断误差.
解:
设R1 ( x )为LagranLeabharlann Baidue线性插值的余项 R2 ( x )为二次Lagrange插值的余项
f ′( x ) =
1 2 x
169 ≤ x ≤ 225
3 1 −2 f ′′( x ) = − x 4
5 3 −2 f ′′′( x ) = x 8
ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t )
由于 因此
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( ϕ ( n+1) (t ) = f ( n +1) (t ) − Pn( n +1) (t ) − K ( x)ω nn +1) (t ) +1 ( + ϕ ( n +1) (ξ ) = f ( n +1) (ξ ) − Pn( n +1) (ξ ) − K ( x)ω nn 11) (ξ ) +
< 0.178×10−6.
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14
例
给定函数表
x lnx
10
11
12
13
2.302585 2.397895 2.484907 2.56494 9 用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差. 解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有
(11.25 − 11)(11.25 − 12) ln11.25≈L2(11.25) = (10 − 11)(10 − 12) × 2.302585
且 ϕ ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) − K ( x )ω n + 1 ( xi ) = Rn ( xi ) − K ( x)ω n +1 ( xi ) = 0
注意t与x 的区分
也可令ϕ (t ) = R( x )ω n + 1 (t ) − R (t )ω n + 1 ( x )
L2 (x) = yk−1lk−1(x) + yklk (x) + yk+1lk+1(x)
= L2 (0.3367)
0.7689×10−4 = 0.314567× + 0.333487 0.0008
（2.5）
3.89×10−4 − 0.5511×10−4 × + 0.352274× 0.0004 0.0008
因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n + 1个零点
设 其中
Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
ω n +1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn )
K (x)为待定函数
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
= 0.330365.
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10
由（2.17）,其截断误差
R (x) ≤ 1 M2 (x − x0 )(x − x1) , 2
1 1 f ′′(ξ )ω2 (x) = f ′′(ξ )(x − x0 )(x − x1), 2 2
x0 ≤x≤x1
其中
R (x) = 1
M2 = m f ′′(x) = m −sin x = sin x1 ≤ 0.3335, ax ax
M 2 = max | f ′′( x )| = f ′′(169 )| ≤ 1.14 × 10 −4 |
M 3 = max | f ′′′( x )|= f ′′′(144 )|≤ 1.51 × 10 −6 |
144 ≤ x ≤ 225
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N 2 = ω 2 ( x )| = (175 − 169 )(175 − 225)| = 300 | |
x0 ≤x≤x1
于是
R (0.3367) = sin 0.3367 − L (0.3367) 1 1
1 ≤ ×0.3335×0.0167×0.0033 2
2010-122010-12-31
≤ 0.92×10−5.
11
用抛物插值计算，由公式（2.5）得
sin 0.3367 ≈ y0 (x − x1)(x − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) + y1 (x0 − x1)(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) + y2 (x − x0 )(x − x1) (x2 − x0 )(x2 − x1)
定理1. 设f ( x )在区间[ a , b]上n + 1阶可微 , Pn ( x )为f ( x )在[ a , b ]上的
n次插值多项式 , 插值节点为{ xi } in= 0 ⊂ [ a , b ], 则∀x ∈ [ a , b ], 有
f ( n +1) (ξ ) Rn (x ) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
N 3 = ω 3 ( x )| = (175 − 144 )(175 − 169 )(175 − 225 )|= 9300 | |
1 1 ≤ M 2 N 2 ≤ × 1.14 × 10 − 4 × 300 ≤ 1.71 × 10 −2 | R1 ( x )| 2! 2
1 1 | R2 ( x )| ≤ M 3 N 3 ≤ × 1.51 × 10 − 6 × 9300 ≤ 2.35 × 10 −3 3! 6
2010-122010-12-31 2
f ( x) − Pn ( x) − K ( x)ω n +1 ( x) = 0 若引入辅助函数ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t ) 则有 ϕ (x ) = f ( x ) − Pn ( x ) − K ( x )ω n + 1 ( x ) = 0
x0 ≤x≤x2
于是
R2 (x) =
1 f ′′′(ξ )(x − x0 )(x − x1)(x − x2 ), 6
ξ ∈[x0 , x2 ]
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（2.18）
13
R2 (0.3367) = sin 0.3367 − L2 (0.3367)
1 ≤ ×0.828×0.0167×0.033×0.0233 6
= 0.330374.
2010-122010-12-31 12
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了. 由（2.18）, 截断误差限
R2 (x) ≤ M3 (x − x0 )( x − x1)(x − x2 ) , 6
其中
′ M3 = m ax f ′′(x) = cos x0 < 0.828,
§2.2 .3 插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知, y = f ( x)的Lagrange插值
Ln ( x ) = ∑ y j l j ( x )
j =0 n
满足
但
Ln ( xi ) = f ( xi )
∀x ∈ [a, b]
i = 0,1, L, n Ln ( x) = f ( x) 不会完全成立
R2 (11.25) ≤ M3 | (11.25 − 10)(11.25 − 11)(11.25 − 12) |< 0.00007 3!
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.
2010-122010-12-31
16
n
Lagrange型余项
其中 ω n + 1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) , ξ ∈ ( a , b ) , 且依赖于x.
i =0
2010-122010-12-31 5
设
M n + 1 = max| f ( n + 1 ) ( x )|
a ≤ x ≤b
N n + 1 = ω n + 1 ( x )|= ∏ ( x − xi )| | |
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
2010-122010-12-31 1
假设在区间[a, b]上f ( x)的插值多项式为 Pn ( x)
令
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)
显然在插值节点为 xi (i = 0,1, L , n)上 Rn ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) = 0 , i = 0,1, L , n
i =0
n
则
f ( n + 1 ) (ξ ) ω n + 1 ( x) | Rn ( x )| = (n ( n + 1)!
1 ≤ M n+1 Nn+1 ( n + 1)!
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6
例1: 在上节例1.中, 若f ( x ) = x , 三个节点为144 ,169 ,225
2010-122010-12-31 3
根据Rolle定理, ϕ ′(t )在区间(a, b)上有至少n + 1个零点 再由Rolle定理, ϕ ′′(t )在区间(a, b)上有至少n个零点 依此类推
在区间( a, b)内至少有一个点ξ , 使得ϕ (t )的n + 1阶导数为零
ϕ ( n +1) (ξ ) = 0
用线性插值计算，取 x0 = 0.32, x1 = 0.34, 由公式（2.1）
2010-122010-12-31 9
sin 0.3367 ≈ L (0.3367) 1
y1 − y0 = y+ (0.3367 − x0 ) x1 − x0
= 0.314567 + 0.01892 ×0.0167 0.02
的值并估计截断误差. 解 由题意, 取
y − yk L (=) .34, k + = +1 333487, − xk ) x 0= y y k 0. (x 1 x1 1 xk +1 − xk
x0 = 0.32, y0 = 0.314567,
（点斜式），
x2 = 0.36, y2 = 0.352274.
i = 0,1, L, n
因此, 若令x ≠ xi , ϕ (t )在区间[a, b]上至少有n + 2个零点, 即
ϕ ( x) = 0 , ϕ ( xi ) = 0 , i = 0,1,2,L , n
由于Pn ( x)和ω n +1 ( x)为多项式,因此若f ( x)可微, 则ϕ (t )也可微
(11.25 − 10)(11.25 − 12) (11.25 − 10)(11.25 − 11) + × 2.397895 + × 2.484907 (11 − 10)(11 − 12) (12 − 10)(12 − 11)
2010-122010-12-31
= 2.420426
15
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可 得误差估计式
从以上分析可知, 在求 175时 用Lagrange二次插值比线性插值的 误差更小
2010-122010-12-31 8
例2 已知 sin 0.32 = 0.314567, sin 0.34 = 0.333487,
sin 0.36 = 0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin 0.3367
= f ( n +1) (ξ ) − K ( x) ⋅ (n + 1)! = 0
4
f ( n +1) (ξ ) K ( x) = (n + 1)!
所以
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
称Rn ( x)为插值多项式Pn ( x)的余项(截断误差)
解:
设R1 ( x )为LagranLeabharlann Baidue线性插值的余项 R2 ( x )为二次Lagrange插值的余项
f ′( x ) =
1 2 x
169 ≤ x ≤ 225
3 1 −2 f ′′( x ) = − x 4
5 3 −2 f ′′′( x ) = x 8
ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t )
由于 因此
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( ϕ ( n+1) (t ) = f ( n +1) (t ) − Pn( n +1) (t ) − K ( x)ω nn +1) (t ) +1 ( + ϕ ( n +1) (ξ ) = f ( n +1) (ξ ) − Pn( n +1) (ξ ) − K ( x)ω nn 11) (ξ ) +
< 0.178×10−6.
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例
给定函数表
x lnx
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2.302585 2.397895 2.484907 2.56494 9 用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差. 解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有
(11.25 − 11)(11.25 − 12) ln11.25≈L2(11.25) = (10 − 11)(10 − 12) × 2.302585
且 ϕ ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) − K ( x )ω n + 1 ( xi ) = Rn ( xi ) − K ( x)ω n +1 ( xi ) = 0
注意t与x 的区分
也可令ϕ (t ) = R( x )ω n + 1 (t ) − R (t )ω n + 1 ( x )
L2 (x) = yk−1lk−1(x) + yklk (x) + yk+1lk+1(x)
= L2 (0.3367)
0.7689×10−4 = 0.314567× + 0.333487 0.0008
（2.5）
3.89×10−4 − 0.5511×10−4 × + 0.352274× 0.0004 0.0008
因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n + 1个零点
设 其中
Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
ω n +1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn )
K (x)为待定函数
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
= 0.330365.
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由（2.17）,其截断误差
R (x) ≤ 1 M2 (x − x0 )(x − x1) , 2
1 1 f ′′(ξ )ω2 (x) = f ′′(ξ )(x − x0 )(x − x1), 2 2
x0 ≤x≤x1
其中
R (x) = 1
M2 = m f ′′(x) = m −sin x = sin x1 ≤ 0.3335, ax ax
M 2 = max | f ′′( x )| = f ′′(169 )| ≤ 1.14 × 10 −4 |
M 3 = max | f ′′′( x )|= f ′′′(144 )|≤ 1.51 × 10 −6 |
144 ≤ x ≤ 225
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N 2 = ω 2 ( x )| = (175 − 169 )(175 − 225)| = 300 | |
x0 ≤x≤x1
于是
R (0.3367) = sin 0.3367 − L (0.3367) 1 1
1 ≤ ×0.3335×0.0167×0.0033 2
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≤ 0.92×10−5.
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用抛物插值计算，由公式（2.5）得
sin 0.3367 ≈ y0 (x − x1)(x − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) + y1 (x0 − x1)(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) + y2 (x − x0 )(x − x1) (x2 − x0 )(x2 − x1)
定理1. 设f ( x )在区间[ a , b]上n + 1阶可微 , Pn ( x )为f ( x )在[ a , b ]上的
n次插值多项式 , 插值节点为{ xi } in= 0 ⊂ [ a , b ], 则∀x ∈ [ a , b ], 有
f ( n +1) (ξ ) Rn (x ) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
N 3 = ω 3 ( x )| = (175 − 144 )(175 − 169 )(175 − 225 )|= 9300 | |
1 1 ≤ M 2 N 2 ≤ × 1.14 × 10 − 4 × 300 ≤ 1.71 × 10 −2 | R1 ( x )| 2! 2
1 1 | R2 ( x )| ≤ M 3 N 3 ≤ × 1.51 × 10 − 6 × 9300 ≤ 2.35 × 10 −3 3! 6
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f ( x) − Pn ( x) − K ( x)ω n +1 ( x) = 0 若引入辅助函数ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t ) 则有 ϕ (x ) = f ( x ) − Pn ( x ) − K ( x )ω n + 1 ( x ) = 0
x0 ≤x≤x2
于是
R2 (x) =
1 f ′′′(ξ )(x − x0 )(x − x1)(x − x2 ), 6
ξ ∈[x0 , x2 ]
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（2.18）
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R2 (0.3367) = sin 0.3367 − L2 (0.3367)
1 ≤ ×0.828×0.0167×0.033×0.0233 6
= 0.330374.
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这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了. 由（2.18）, 截断误差限
R2 (x) ≤ M3 (x − x0 )( x − x1)(x − x2 ) , 6
其中
′ M3 = m ax f ′′(x) = cos x0 < 0.828,
§2.2 .3 插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知, y = f ( x)的Lagrange插值
Ln ( x ) = ∑ y j l j ( x )
j =0 n
满足
但
Ln ( xi ) = f ( xi )
∀x ∈ [a, b]
i = 0,1, L, n Ln ( x) = f ( x) 不会完全成立
R2 (11.25) ≤ M3 | (11.25 − 10)(11.25 − 11)(11.25 − 12) |< 0.00007 3!
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.
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n
Lagrange型余项
其中 ω n + 1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) , ξ ∈ ( a , b ) , 且依赖于x.
i =0
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设
M n + 1 = max| f ( n + 1 ) ( x )|
a ≤ x ≤b
N n + 1 = ω n + 1 ( x )|= ∏ ( x − xi )| | |
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
2010-122010-12-31 1
假设在区间[a, b]上f ( x)的插值多项式为 Pn ( x)
令
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)
显然在插值节点为 xi (i = 0,1, L , n)上 Rn ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) = 0 , i = 0,1, L , n
i =0
n
则
f ( n + 1 ) (ξ ) ω n + 1 ( x) | Rn ( x )| = (n ( n + 1)!
1 ≤ M n+1 Nn+1 ( n + 1)!
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例1: 在上节例1.中, 若f ( x ) = x , 三个节点为144 ,169 ,225
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根据Rolle定理, ϕ ′(t )在区间(a, b)上有至少n + 1个零点 再由Rolle定理, ϕ ′′(t )在区间(a, b)上有至少n个零点 依此类推
在区间( a, b)内至少有一个点ξ , 使得ϕ (t )的n + 1阶导数为零
ϕ ( n +1) (ξ ) = 0
用线性插值计算，取 x0 = 0.32, x1 = 0.34, 由公式（2.1）
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sin 0.3367 ≈ L (0.3367) 1
y1 − y0 = y+ (0.3367 − x0 ) x1 − x0
= 0.314567 + 0.01892 ×0.0167 0.02
的值并估计截断误差. 解 由题意, 取
y − yk L (=) .34, k + = +1 333487, − xk ) x 0= y y k 0. (x 1 x1 1 xk +1 − xk
x0 = 0.32, y0 = 0.314567,
（点斜式），
x2 = 0.36, y2 = 0.352274.
i = 0,1, L, n
因此, 若令x ≠ xi , ϕ (t )在区间[a, b]上至少有n + 2个零点, 即
ϕ ( x) = 0 , ϕ ( xi ) = 0 , i = 0,1,2,L , n
由于Pn ( x)和ω n +1 ( x)为多项式,因此若f ( x)可微, 则ϕ (t )也可微
(11.25 − 10)(11.25 − 12) (11.25 − 10)(11.25 − 11) + × 2.397895 + × 2.484907 (11 − 10)(11 − 12) (12 − 10)(12 − 11)
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= 2.420426
15
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可 得误差估计式
从以上分析可知, 在求 175时 用Lagrange二次插值比线性插值的 误差更小
2010-122010-12-31 8
例2 已知 sin 0.32 = 0.314567, sin 0.34 = 0.333487,
sin 0.36 = 0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin 0.3367
= f ( n +1) (ξ ) − K ( x) ⋅ (n + 1)! = 0
4
f ( n +1) (ξ ) K ( x) = (n + 1)!
所以
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
称Rn ( x)为插值多项式Pn ( x)的余项(截断误差)