_混合策略纳什均衡(张克勇2013)

1， 3
存在两个纯策略均衡
丈夫 时装 时装 妻 子 2， 1 足球 0， 0
足球
0， 0
1， 3
夫妻之争
还存在混合策略纳什均衡
丈夫 时 装C 妻 子 时装C 足球F 2， 1 0， 0 足 球F 0， 0 1， 3
妻子的混合策略
pw (C) 1 pw (F ) 0 pw (C) 0 pw (F ) 3
纳什均衡是：A和B出红牌还 是出黑牌的概率都是1/2.
1/2 1 q
反应函数法
练习1：利用反应函数法找出政府与流浪汉博弈的纳什均衡
流浪汉 找工作 游荡 政府 救济 不救济 3,2
-1 , 1
-1 , 3
0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ； 则
u (5 1) , u
1
• 政府选择不救济策略
0
期望效用 期望效用 uG 1, 3 11 uG 0, 1 01 4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
uG 1, 4 1 uG 0, 0.2
策略 得益 博弈方1 （0.8，0.2） 2.6 博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
不同均衡概念的关系
占优均衡 DSE 重复剔除占优均衡 IEDE 纯战略纳什均衡
百度文库
PNE 混合战略纳什均衡
MNE
监督博弈的纳税检查
• A 为应纳税款，C为检查成本， F是偷税罚款。 假定 C<A+F。不存在纯战略纳什均衡。请问： 如何才能降低纳税人逃税的可能性
• • • • • • 如果政府救济的概率小于0.5； 则流浪汉的最优选择是寻找工作； 如果政府救济的概率大于0.5； 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 如果政府救济的概率正好等于0.5； 流浪汉的选择无差异。
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯 策略。也就是说，一个参与人选择不同策略的概 率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手 的支付决定的。 • 正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均 衡是一个难以令人满意的概念。
• 在社会经济现象中,存在着许多激励的悖论的现象,如为了 减少考试作弊的现象,应加大对监考人员失职的处罚其效 果更好等等. • 激励的悖论对我们制定政策和规章制度时带来了有益的思 考.
练习:混合策略的纳什均衡
下面的博弈是否存在纯策略的纳什均衡,如果没有采用混合 策略纳什均衡分析。试用支付最大化法和支付等值法两种 方法算一算混合策略的纳什均衡是多少？通过反应曲线,求 得混合策略的纳什均衡. 博弈方2
五 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略规 定参与人在一个给定的信息情况下只选择一 种特定的行动。 • 混合策略(mixed strategies)：如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。 • 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。
EUA p1 X 1 p 2 X 2 ... pnXn
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻找工 作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政府采用救 济策略的话，他就不会寻找工作。他们只有在得不 到政府救济时才会寻找工作。他们获得的支付如图 所示：
流浪汉 寻找工作 救济 政府 不救济 游闲
0
1/2
1
q
同理
U B ( p, q) 2q(2 p 1) (2 p 1)
因此B的最佳反应函数为
p 1
1, 当p 1 / 2 q [0,1],当p 1 / 2 0, 当p 1 / 2
p 1 1/2 0
1/2 0 1
q
( P* , q* ) (1/ 2,1/ 2)
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n可 能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生的概率 分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数量指 标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能 取值的加权平均，也就是
C D
博 弈 方 1
A
2， 3
5， 2
B
3， 1
1， 5
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异
pC 2 pD 5 pC 3 pD 1
解出PA=0.8,PB=0.2;PC=0.8,PD=0.2
u L 2 1 0
0.5
maxu G [3 (1 )] (1 )( )

maxu L [2 (1 )] 3(1 )

则 0.5, 0.2
解二: 支付等值法
• 政府选择救济策略
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
§扑克牌对色游戏
• AB玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张 扑克牌，约定如果出牌颜色一样，A输B赢， 如果出牌颜色不一样，则A赢B输。 • 找到这个博弈的纳什均衡。
B 红 红 A 黑 -1， 1 黑 1， -1
纳什均衡是：政府以1/2的概 率选择救助，流浪汉以1/5的 概率选择找工作。
1/5
1
r
p 1
练习2：利用反应函数法找出情侣博弈的所有纳什均衡
丽娟 足球 足球 2 , 1 大海 芭蕾 0 , 0
芭蕾
0,0 1,2
2/3
0
1/3
1
q
激励的悖论
• 一小偷欲偷有守卫看守的仓库，若小偷去偷时 守卫睡觉（不负责），则小偷偷窃成功（令其 价值是V），若守卫没有睡觉（尽职尽责）， 则小偷会被抓住坐牢（设其效用为-A）；再假 设守卫睡觉而未被偷的效用为S，守卫睡觉而 被偷则被解雇，其效用为-D。写出得益矩阵， 并分析如果想减少小偷偷东西的现象发生,如何 做效果更好?
丈夫的混合策略
夫妻之争
ph (C) 2 ph ( F ) 0 ph (C) 0 ph ( F ) 1
1， -1
-1， 1
例 扑克牌对色游戏 红 A
B
黑
红 黑
-1 , 1 1 , -1
1 , -1 -1 , 1
假设A出红牌的概率为 p；B出红牌的概率为 q ；则
U A ( p, q) 2 p(1 2q) (2q 1)
因此A的最佳反应函数为
p 1
0, 当q 1 / 2 p [0,1],当q 1 / 2 1, 当q 1 / 2
第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡

一 博弈的基本概念及战略表述 二 占优战略均衡 三 重复剔除的占优均衡
四 纳什均衡
五 混合战略纳什均衡
六 纳什均衡存在性及相关讨论
五 混合策略纳什均衡
• • • • • • • 混合策略与期望支付 计算混合策略纳什均衡的三种方法 支付最大值法 支付等值法 反应函数法 多重纳什均衡及其甄别 混合博弈在现实经济中的运用案例
• 事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间 是无差异的，他的行为才难以预测，混合策略纳 什均衡才会存在。
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是 一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、 垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈 中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。
-1 , 3 0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ； 则流浪汉的期望效用函数为：
u L 2 11 1 3 01 (2 1) 3
解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为：
u L 2 11 1 3 01 (2 1) 3

• 解二: 支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即： 流浪汉
找工作 政府 救济 不救济 3,2 游荡 -1 , 3
-1 , 1
0,0
u L 1, 1 3 u L 0, 0.5
政府和流浪汉的博弈
1、假定政府采用混合策略：
G ,1 1 即政府以的概率选择救济， 的概率选择不救济。
2、流浪汉的混合策略为：
L ,1 1 即流浪汉以 的概率选择寻找工作， 的概率选择游闲。
解一: 支付最大化
流浪汉 找工作 游荡
政府 救济 不救济
1
2
[1 2 ] 3
0, 当r 1 / 5 [0,1],当r 1 / 5 1, 当r 1 / 5
1, 当 1 / 2 r [0,1],当 1 / 2 0, 当 1 / 2

1 1/2 0
( * , r * ) (1 / 2,1 / 5)
激励的悖论
• 小偷与守卫博弈
守卫
睡q 小睡1-q
小偷
偷p 不偷1-p
V，-D 0，S
-A，0 0，0
激励的悖论
• 用支付最大化值求出：
U1 Vpq Ap(1 q ) p (Vq A Aq) A U1 ' Vq A Aq 0 q* VA U 2 Dpq S (1 p )q q ( pD S Sp) S U 2 ' pD S Sp 0 p* SD
3,2 -1 , 1
-1 , 3 0,0
假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ； 则 政府的期望效用函数为：
uG 3 11 1 01 5 1
解一: 支付最大化
uG 3 11 1 01 5 1
对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条 件为：
uG 5 1 0 0.2
就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混 合策略——流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8 的概率选择游闲。
解一:支付最大化
流浪汉 找工作 游荡
政府 救济 不救济
3,2 -1 , 1
激励的悖论
• 用支付最大化值求出：
A 1 q* V VA 1 A
当加大对小偷的处罚，守卫 偷懒的概率会增加 A q*
S 1 p* S D 1 D S
当加大对守卫的处罚，小 偷偷东西的概率会减小 S p*
激励的悖论
• 从道理上讲,小偷偷东西是一种犯罪行为,而守恒不负责仅 是失职行为;从性质上讲,犯罪的性质比失职的性质严重得 多,理所当然应该加重对小偷的处罚,但从上面的分析可看 出,为了减少偷窃的现象,反而是加重对守卫处罚效果更好. 这就是激励的悖论!
纳税人
逃税
税收机关 检查
不逃税
A-C+F,-A-F
A-C, -A
不检查 0,0
A,-A
课后作业：以“监督博弈”为关键词在学术期刊网上查找文献， 浏览至少三篇论文并精读一篇，写下笔记。
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
丈夫 时装 时装 2， 1 足球 0， 0
妻 子
足球
0， 0
夫妻之争
（3，2） （-1，3） （-1，1） （0，0）
政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这 个博弈有没有纯策略的纳什均衡？ • 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ • ——使自己的预期支付最大化。 • ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针 对性的策略，使自己的支付增加。
求解混合策略纳什均衡