高中数学教案——函数的表示法第一课时

课题：2.2.1 函数的表示法1
教学目的：
1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．
2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念
教学重点：解析法、图象法．
教学难点：作函数图象
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教材分析：
函数的解析法、列表法、图象法中，以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变
换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 教学过程：
一、复习引入：
1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？
3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？
二、讲解新课：函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
例如，s=602
t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2
x +bx+c(a ≠0),y=
2-x (x ≥2)等
等都是用解析式表示函数关系的.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解
例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为
y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示
例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x ≤100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像
解：这个函数的定义域集合是1000≤<x ，函数的解析式为
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=].
100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x y
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都
平行于x 轴，如图所示.
这一种函数我们把它称为分段函数
例3 画出函数y=|x|=⎩⎨
⎧<-≥.
0,0x x
x x 的图象.
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.
说明：①再次说明函数图象的多样性；
②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的
函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不
是几个函数.
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如
狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)=⎩⎨⎧.
x 0x 1是无理数，是有理数，
，,我们
就作不出它的图象.
例4
作出分段函数21++-=x x y 的图像 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
x
y
21++-=x x y =⎪⎩
⎪
⎨⎧
++-123)
12(x x 1122>≤<--≤x x x 作出图像如下 例5作出函数x
x y 1
+=的图象 列表描点：
四、课堂练习：课本第56页练习1，2，3
五、小结 本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法 六、课后作业：课本第56习题2.2：1，2，3，4 补充：
1．作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像
分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，
4
9
)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y
当x ＜2时，即x-2＜0时，
4
9
)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝
⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=492149212
2
x x y 22<≥x x 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出 2． 作出函数|32|2
--=x x y 的函数图像
解：⎩⎨⎧<-----≥----=0
32)
32(0
323
22
2
2
2
x x x x x x x x y 步骤：（1）作出函数y=2
x -2x -3的图象
（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不
变），即得y=|2
x -2x -3|的图象
七、板书设计（略） 八、课后记：。