长春理工大学2016到2017学年第一学期线性代数期末试题
《 线性代数》2016-2017-2-A卷答案
2016～2017学年第二学期《 线性代数A 》课程期末考试卷A 卷考核方式： 闭卷 考试日期：20 年 月 适用专业、班级：一. 填空题 (每小题3分，共15分)1. 排列()()12321n n n --的逆序数为(2)(1)2n n -- 2. 向量组()()()123,0,,,,0,0,,TTTa cbc a b ααα===线性相关，则a,b,c 应 满足 abc=03. ,A B 为三阶方阵，1,3,2A B ==则12T B A -= 484. 若齐次线性方程组1232312320250320x x x x x x x kx ++=⎧⎪+=⎨⎪--+=⎩有非零解，则k=___7___5. 设4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11111,,,,B E 2345--=则__24__二. 选择题（每小题3分，共15分）.1. 若11121321222331323312a a a D a a a a a a ==，则11131112121232122313331322 22 22 2a a a a D a a a a a a a a -=-=-( C ) （A ） 4 （B ） 4- （C ）2 （D ）2-.2. 设,A B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充要条件是( D ) （A ）A 可逆. （B ）B 可逆 （C ）AB 0≠ （D ）AB BA =3. A 为m 行n 列矩阵，A 的n 个列向量线性无关，则r(A)（ D ）（A ）>m （B ）<n （C ）=m （D ）=n 4. 向量组12,,,s ααα线性无关，且可由向量组12,,,t βββ线性表示则必有（A ）t s ≤ （B ）t s ≥ （C ）t s < （D ）t s > （ B ）5.2λ=是非奇异矩阵A 的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭有一个特征值为( B )（A ）43 （B ）34 （C ）12 （D ）14三. 计算下列行列式的值（每小题6分，共12分）1.1 3 5 73 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5解:1 3 5 71 3 5 7 1253 5 7 1 0 -4 -8 -20128134 5 7 1 3 0 -8 -24 -3258117 1 3 50 -20 -32 -44==-12512801120480214=--=--2.1 3 3 3 3 32 33 33 3 3 3 3 3 3 3 1 33 3 33 nn n- 解：1 3 3 3 32 0 0 0 03 2 33 3 0 -1 0 0 03 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 30 0 0 3 3 33 nn n-=- 4 00 0 00 3nn n --2 0 0 0 0 0 -1 0 0 036(3)!0 0 0 4 00 0 0 0 3n n n -==--- 四给定向量组()()()()12341, 1, 0, 4,2, 1, 5, 6,1, 2, 5, 2,1,1, 2, 0,αααα=-===--()53,0, 7, 14α= 求它的一个极大无关组，其余向量用此极大无关组线性表示。
大学物理、数学本科《线性代数》考试题及答案(八套)试卷
XXX学年第一学期期末考试试卷本科《线性代数》考试题及答案（H）本科试卷课程代码：适用班级：计算机科学与技术命题教师：任课教师：第一套试卷一、判断是非（每小题2分，共16分）。
1 若行列式等于零，则其中必有两行对应元素成比例。
2 线性无关的向量组的任意部分组必线性无关。
3 等价的两个向量组必含有相同个数的向量。
4 两个矩阵的乘积不满足交换律和消去律。
5 非齐次线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。
6 正交矩阵必是可逆矩阵。
7 相似矩阵的秩一定相等。
注：两个矩阵相似或合同，则两个矩阵一定等价。
因而，他们有相同的秩。
8 在可逆的线性变换下，二次型的标准型一定是唯一的。
二、填空题（每小题2分，共16分）。
1 排列6152734的逆序数是________________。
2 若矩阵A 可逆，则=-1*)(A ___________。
3 设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则),654(321——————。
4 若向量____________),0,1,1,0(),0,1,0,1(='==βαβα则。
5 若三阶实对称矩阵A 的特征值为-1，2，3，则A -1的特征值为______。
6 对于四阶矩阵A ，。
则__________2,1==A A7 若四阶矩阵：。
则且___________),,,,(,2),,,,(432214321=+===B B A A ααααααααα 8 若向量组）（，，，（），，，（5,4,0)02121321-==-=αααt 线性无关，则t=————————。
三、计算下列行列式（12分）。
1 29930030119920020199100101=D22222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a四、（8分）设：B A A AB B A ''-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=及求2,101121121101010101。
大一线性代数期末试题及答案
,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；题 号 一 二 三四五总分得 分 评卷人单项选择题（每小题2分，共40分）。
．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A. 2－B. ()n2－ C. n2－ D. 1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈D. }1|),,,{(121∑==ni in aa a a14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
大一线性代数期末试题及答案
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：开（闭）卷； 4.本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟。
题号一二三四五总分得分评卷人一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵22, B 23, C 32A 为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【】A . BAC B.ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=13.设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【】A. 2－B.n2－ C.n2－ D. 14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】A ．133221,,a a a a a a B.212132,,a a a a C.32322,2,a a a a D. 1321,,a a a a －_____________________名学号学院专业座位号(密封线内不答题)………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………6.向量组(I):)3(,,1ma a m 线性无关的充分必要条件是【】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111mm m a k a k k k 使7．设a 为n m 矩阵，则n 元齐次线性方程组0Ax存在非零解的充分必要条件是【】A ．A 的行向量组线性相关B .A 的列向量组线性相关C. A 的行向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组0332211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量，则必有【】A.03221 b b a a B.02121 b b a a C.332211b a b a b a D.2131 b b a a 9.方程组1231231232121 3 321x x x x x x x x x a 有解的充分必要的条件是【】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=1 10.设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A.可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个【】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13.下列子集能作成向量空间R n的子空间的是【】A.}0|),,,{(2121a a a a a nB.}0|),,,{(121ni i n a a a a C.},,2,1,|),,,{(21n iz a a a a in D.}1|),,,{(121n i in a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵3-201B,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【】A.4101 B.4-101- C.42-00 D.4-2-01-15.若矩阵802001a a A正定,则实数a 的取值范围是【】A ．a < 8 B. a ＞4C ．a ＜-4 D．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
(完整word版)线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
16-17-1线代试题答案
4
1
3
2
0
9
5
14
1 2 2 3 1 0 0 1
0
1
9
10
0
1
0
1
（ 8分)
0 0 92 92 0 0 1 1
0
0
76
76
0
0
0
0
R(1,2,3,4 ) 3 （1 分）
x1 x2 x3
c
5 4 1 Nhomakorabea0
1
0
（5
分）
六、（12 分）
1 2 2 3 1 2 2 3
（1,2 ,3,4 )
2 3
3
5
4
0
1
9
10
4 8 1 0 10 2 8
1
，
2
，
3
）
1
1
0
0 2 1
2 0 3
2 0 3
1
1
0
8
0
，
1
1
0
可逆，
0 2 1
0 2 1
R（2 21, ，2 +23，31 3 ）=R（1 ，2 ，3 ）=3，
向量组2 21, ，2 +23，31 3 线性无关。 九（6 分） A（化工、文管大类专业选做本题）
大一线性代数期末试卷试题附有答案.docx
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！⋯线性代数期末考试试卷及答案⋯⋯⋯号⋯注意事： 1.考前将密封内填写清楚；位⋯ 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ；座⋯3．考形式：开（）卷；⋯4.本卷共五大，分100 分，考 120分。
题号一二三四五总分⋯⋯得分⋯评卷人⋯⋯⋯⋯一、（每小 2 分，共 40 分）。
⋯业⋯专⋯1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是⋯⋯【】⋯⋯)⋯封A B.ABCC. BCAD.CAB⋯. BAC2答⋯＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】2. n 方 A 足 A院不⋯A.矩 A 不是矩B. A=-EC. A=ED. det(A)=1⋯学内⋯⋯封⋯3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密⋯(⋯A. －2－2 n－2n⋯ B. C. D. 1⋯⋯4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】⋯⋯ A. 必存在一个行向量零向量⋯⋯ B. 必存在两个行向量，其分量成比例⋯C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合号⋯密D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合学⋯⋯5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】⋯⋯A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2⋯C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1⋯ D.⋯⋯名⋯6. 向量 (I):a1 ,, a m (m3)性无关的充分必要条件是【】姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量, 它不能由其余m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D. 存在不全为零的常数k1,, k m ,使 k1 a1k m a m 07．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】A．A的行向量组线性相关B. A 的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D. A 的列向量组线性无关a1 x1a2 x2a3 x30 8. 设a i、b i均为非零常数（i =1， 2， 3），且齐次线性方程组b2 x2b3 x30b1 x1的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1a20 B.a1a20a1a2a3 D.a1 a3A.b3b1b2C.b2b3b1 b2b2b19. 方程组2 x1x2x31有解的充分必要的条件是【】x12x2x313 x13x22x3a1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110.设η1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η 1，η2，η3 等秩的向量组C. η1－η2，η2－η3，η3－η1D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有n 个【】A. 互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C. 线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间n的子空间的是【】RA. {( a1, a2,, a n ) | a1a20}B.12n n i,) |a0}{( a ,a, aC. {( a1, a2,, a n ) | a i z, i 1,2,,n}D.i n1{( a1 ,a2 ,, a n ) |a i1}i 114. 若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B12 ,E 为 2 阶单位矩阵 , 则方阵 E – A 必相似于矩阵- 3【 】1 0 -10 0 - 1A.4B. - 4C.4D.11 - 2- 2 - 41 015. 若矩阵 A02a 正定 , 则实数 a 的取值范围是 【】0 a8A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4D． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）。
2017线性代数试题及答案
（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是 15_______。
2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R （A ） ＜ n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k 1 1-2k+1=0二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶 方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( D )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是B _____。
东北大学《线性代数》2016-2017学年第一学期期末试卷A
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2016 — 2017学年 第一学期课程名称：线性代数┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分) 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B+2E ，求||B 。
求矩阵B 的行列式||B .解 由BA =B+2E 得：E E A B 2)(=-，于是 4|2|||||==-E E A B 又由于6||-=-E A所以，3/2||-=B(10分) 设三阶方阵A ，B 满足关系式B A B A +=-*16，其中*A 是A 的伴 随矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210530002A ，求矩阵B 。
解 易得，2||=A ，所以，E E A AA 2||*==， 于是由B A B A +=-*16有：AB E B +=12，即1)(12--=A E B , 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/23/103/53/1000112B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=84020400012分) 求线性空间3R 中由基T )0,0,1(1=α，T )0,1,1(2=α， T )1,1,1(3=α到基T )1,2,1(1=β，T )2,1,1(2-=β，T )3,2,1(1=β的过渡矩阵，并求向量321βββξ-+= 在基321,,ααα下的坐标。
解 由),,(),,(321321βββααα=C 得： 过渡矩阵：),,(),,(3211321βββααα-=C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3212121111001101111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321212111100110011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321131121 由于向量ξ在基321,,βββ下的坐标为：Ty )1,1,1(-=， 所以，向量ξ在基321,,ααα 下的坐标为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==012111321131121Cy x四(10分)设4321,,,αααα都是四维列向量，),,,(4321αααα=A ，向量 T )0,3,0,1(1=ξ，T )2,0,0,1(2=ξ是齐次线性方程组O Ax =的一个基础解系，求向量 组4321,,,αααα的一个极大线性无关组。
线性代数期末考试题库及答案
2、n2, 当 n 为偶数时为偶排列，当 n 为奇数时为奇排列. 4、29.
1、12.
2、 x2 y2 .
4
∑ 3、 x = 0 或 − ai . i =1
4、 λ = ±1, 2 .
三、证明题
证明提示: 由于 f(x)是关于 x 的二次多项式，在[0，1]中可导，又可计算出 f (0) = f (1) = 0 ，
3、解方程 D4( x) =
a1 a1
a1 + x
a2 a2 a2 + x a2
a3 a3 + x
a3 a3
a4 + x a4 = 0 . a4 a4
4、已知下列齐次线性方程组有非零解，求参数λ的值。
（5
− λ）x1 −6 x1
−4 x2 +(7 − λ )x2
−7 x3 +11x3
=0 =0
6 x1
（B）若 AX=0有非零解，则 AX=b有无穷多解；
（C）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0仅有零解；
（D）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0有非零解。
（7）非齐次线性方程组 AX=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则
（）
（A）r=m时，方程组 AX=b有解； （B）r=n时，方程组 AX=b有唯一解；
《线性代数》补充练习二
一、选择题：
（1）设 n阶方阵 A的秩 r<n，则在 A的 n个行向量中（ ）
（A）必有 r个行向量线性无关； （B）任意 r个行向量均可构成极大无关组；
（C）任意 r个行向量均线性无关；（D）任一个行向量均可由其他 r个行向量线性表示
（2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）
《线性代数》试卷 2016-2017年第一学期期末A卷-
第1页(共4页)中国矿业大学(北京)2016-2017年第一学期《线性代数A 》试卷(A 卷)得分：题号一二三四五六七八九得分阅卷人一、填空题（每小题3分，共18分）(1)由行列式的定义，134321()321151-=xx x f x x x 中3x的系数为4-。
(2)已知23A A E +=，则=--1)(E A 2A E+。
(3)设A 是3阶矩阵，1||,3A =则*1|34|A A --=43-。
(4)设矩阵13342311A t -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩是2，则t =2。
(5)设3阶矩阵20110351A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则t =。
(6)若3阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为111,,234则行列式=--||1E B 6（其中E 表示3阶单位矩阵）。
二、（满分12分）(1)计算行列式12341234123412341111a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++（6分）。
234234123423423412341234111(111111001100(1110101001)0)a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+++=++++++++++=+(2)设3112513420111533D ---=---，D 的(,)i j 元的代数余子式记作ij A ，求21222324322A A A A +-+。
（6分）解：212223243112311213213221302=2121121153153315035325311055525323A A A A +--==---------=-==-------+三、（满分8分）已知301110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2AB A B =+，求B 。
解：由2,AB A B =+得1(2)B A E A-=-101301101301(2,)110110~011211012014012014A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：姓名：学号：……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…第2页(共4页)101301100522~011211~010432001223001223100522~010432001223--⎛⎫⎛⎫⎪⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以522432223B --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭。
线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1.若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1.若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3.向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（）4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（） 5.若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1.设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。
①n2②12-n③12+n ④42.n 维向量组s ααα，，， 21（3?s ?n ）线性无关的充要条件是（）。
①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，， 21中不含零向量 3.下列命题中正确的是()。
①任意n 个1+n 维向量线性相关 ②任意n 个1+n 维向量线性无关 ③任意1+n 个n 维向量线性相关 ④任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是()。
大学物理、数学本科《线性代数》考试题及答案(N)试卷
XXX 学年第一学期期末考试试卷本科《线性代数》考试题及答案（N ）试卷一 填空题（每小题2分，共20分）。
1 若3阶矩阵),,(321ααα=A ，且3=A ，),3,2(321ααα=B 则=B __________；2已知B 为三阶可逆矩阵，R(A)=2,则R （AB ）=; 3若A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100230000320010，则=3A ____________; 4对于n 元齐次线性方程组AX=0,若R(A)=r ，则其基础解系所含向量的个数为__________；5 若非零向量组m ααα,,,21 两两正交，则m ααα,,,21 的线性关系是___________;6设s ααα,,,21 是AX=b 0(≠b )的解，则s s c c c ααα+++ 2211也是AX=b 的解的条件是_______；课程代码：适用班级：计算机科学与技术命题教师： 任课教师：7若向量），，，（），，，，（53100121=-=βα，则],[βα=_______；8设A 为正交矩阵，则=-1A _______；9设5是可逆矩阵A 的一个特征值，则_______一定是*A 的一个特征值；10设），，（），，，（22211021-=-=αα，且21ααβ+=k ，若使β与2α正交，则k=_______。
二 单项选择题（每小题3分，共18分）。
1 如果向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示，则_______。
（A ）存在一组不全为零的数sk k ,,,k 21 ，使s s k k k αααβ+++= 2211成立;（B ）向量组s αααβ,,,,21 线性相关； （C ）β的线性表示式不唯一； （D ）存在一组全为零的数sk k ,,,k 21 ，使s s k k k αααβ+++= 2211成立。
2若n 阶方阵A,B 均可逆，AXB=C ，则X=：（A ）C B A 11-- （B ）11--A CB （C ）11--CB A （D ）11--CA B 3设x 是n 维列向量，则=x λ______。
线性代数期末习题库及答案.docx
一、计算下列行列式: 1、 3、 5、 7、 《线性代数》补充练习 练习一 行列式2、1 -1 1力- -2 1 0 0 01 -1Z + 1 -1 ?4、-211 Z-1 1 -1 —°10 =二？ z + l -11 -10 0 0 -2 11O 10 0-22-1 -1 -1 -12 0-1 -1 A-1 -1 -1 -?6、 0-z A- 1 --1 -1 2-1-1-12-1 -1 -1 2-1k0 1 1 1 1 1 1 =?1 — a a 0 0 00 1 1 … 1 1 -11 — Q a1 0 1 … 1 10 -1 1 — Q a 0 =? 8、D … =11… 1 1-1 1 — Cla1 1 1 … 0 1 0 0 0-1 1 — a111 … 1 0babD 51 0 0 … 0 11 1 0 …0 0 D” =0 1 1 … 0 00 …1 19、 -?10、、若下面的齐次线性方程组有非零解，求2的取值。
兀1 +加3=0 2x l _无 =0 加1 + x 2 =0 x 3 + 2X 4 = 0 三、用克莱姆法则解线性方程组:兀]+ x2+兀 3 =a+b+cax x+ bx2+ cx3=a2 +b2 +c2其中a、b、c为互不相等的常数。
bcx、+ acx2+ abx3=3abc练习二线性方程组一、选择题：(1)设n阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中( )(A)必有r个行向量线性无关；(B)任意r个行向量均可构成极大无关组；(C)任意r个行向量均线性无关；(D)任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示(2)若向量组a, p, 丫线性无关；a, p, 6线性相关，贝)(A)a必可由B, y, 6线性表示；(B) B必不可由a, y, 6线性表示；(C) 6必可由a, B, 丫线性表示；(D) 6必不可由a, B, 丫线性表示；(3)设有向量组a ]= (1, -1, 2, 4) ,a2= (0, 3, 1, 2) a 3= (3, 0, 7, 14),a 4= (1, -2, 2, 0) ,a 5= (2, 1, 5, 10)则该向量组的极大线性无关组是( )(A) a a 2, a 3(B) a” a 2, a 4(C) a” a 2, a 5 (D) a 1； a 2, a 4, a 5(4)设A为mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：( )(A)A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。
2016-2017(1)期末考试试卷(15级A)(线性代数)
满分 20 分 1 得分
1、
5、
二、计算题
1、 满 分 8分 得分
2、
6、
7、
3、 8、
4、 9、
姓名：
班级：
2、
满 分 8分 得分
考试课程：
3、 满 分 8分 得分
4、 满 分 8分 得分
5、 满 分 8分 得分
6、 满 分 8分 得分
三、 满分 得分
10 分
四、 满分 得分
10 分
1 (0,1,0,1)T ,2 3 4 (2,0,1,6)T ，求其通解。
6、二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 2tx1x2 2tx2 x3 是正定的，求t 的取值范围。
三、（本题 10 分） 为何值时，线性方程组
x1 x1
x2 x3 x2 x3
1、证明幂等矩阵 A（A A2）的特征值只能是0 或1。
2、设1, 2 , 3 线性无关，证明：1 2 ， 2 3 ， 3 1 也线性无关。
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
。
二、解答题（每题 8 分，共 48 分）
10 12
1、 计算行列式
D4
1 3
2 1
3 1
4
。
0
12 05
a b 0 00 0
线性代数期末考试精彩试题(卷)+问题详解解析汇报合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上.每一小题2分,共10分〕1. 假如022150131=---x ,如此=χ__________. 2．假如齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,如此λ应满足.3．矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,如此A 与B 分别是阶矩阵.4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性. 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,如此=-1A .二、判断正误〔正确的在括号内填"√〞,错误的在括号内填"×〞.每一小题2分,共10分〕1. 假如行列式D 中每个元素都大于零,如此0〉D .〔 〕2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合.〔 〕3. 向量组m a a a ，，， 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,如此向量组s a a a ，，， 21线性相关.〔 〕4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,如此A A =-1.〔 〕 5. 假如λ为可逆矩阵A 的特征值,如此1-A 的特征值为λ. < >三、单项选择题 <每一小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内.每一小题2分,共10分>1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,如此=T A A 〔 〕.①n2②12-n ③12+n ④42. n 维向量组s ααα，，， 21〔3 ≤ s ≤ n 〕线性无关的充要条件是〔 〕. ①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，， 21中不含零向量3. 如下命题中正确的答案是< >.① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的答案是< >.① 假如A ,B 均可逆,如此B A +可逆 ② 假如A ,B 均可逆,如此 A B 可逆 ③ 假如B A +可逆,如此 B A -可逆 ④ 假如B A +可逆,如此 A ,B 均可逆5. 假如4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的根底解系,如此4321νννν+++是0=X A 的〔〕①解向量② 根底解系③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 < 每一小题9分,共63分>1. 计算行列式x ab c d a x b c d a b x c d abcx d++++.解·2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 求B .解.A B E A =-)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -=求X . 4. 问a 取何值时,如下向量组线性相关？123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解.①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求A 的特征值与对应的特征向量.五、证明题 <7分>假如A 是n 阶方阵,且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A .其中I 为单位矩阵. ×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯，4. 相关5. E A 3- 二、判断正误1. ×2. √3. √4. √5. × 三、单项选择题1. ③2. ③3. ③4. ②5. ① 四、计算题 1. 2.A B E A =-)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 4.)22()12(812121212121212321-+=------=a a aa aa a a ，，当21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ，，线性相关. 5.① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6.如此 ()34321=a a a a r ，，，,其中321a a a ，，构成极大无关组,321422a a a a ++-= 7.特征值1321===λλλ,对于λ1＝1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-020*******A E λ,特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题∴()02=+A I , ∵()0=+A I一、选择题〔此题共4小题,每一小题4分,总分为16分.每一小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求〕1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,如此必有〔 〕<A>0=A 或0=B ; <B>0=+B A ； 〔C 〕0=A 或0=B ; <D>0=+B A . 2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,如此必有〔 〕 <A> A E =；<B>B E =； 〔C 〕A B =.<D> AB BA =.3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是〔 〕 <A>A 的列向量线性无关； <B>A 的列向量线性相关； 〔C 〕 A 的行向量线性无关； <D>A 的行向量线性相关.4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是〔 〕 <A>A 的秩小于n ；<B>0A ≠；<C> A 的特征值都等于零；<D>A 的特征值都不等于零； 二、填空题〔此题共4小题,每题4分,总分为16分〕5、假如4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,如此*A =.6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,如此1(2)A E -+=.7、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解,如此a =.8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,如此t 的取值X 围是. 三、计算题〔此题共2小题,每题8分,总分为16分〕9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式四、证明题〔此题共2小题,每一小题8分,总分为16分.写出证明过程〕 11、假如向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关.证明： <1> 1α能有23,αα线性表出； <2>4α不能由123,,ααα线性表出.12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+. 证明〔1〕 (())()2E f A E A E ++=； 〔2〕 (())f f A A =.五、解答题〔此题共3小题,每一小题12分,总分为32分.解答应写出文字说明或演算步骤〕13、设200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵.14、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321xa x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解. 求a 的值.15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,1η,2η,3η是它的三个解向量,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη求该方程组的通解.解答和评分标准一、选择题1、C ；2、D ；3、A ；4、A.二、填空题5、-125;6、2π；7、-1；8、53>t . 三、计算题9、解：第一行减第二行,第三行减第四行得：第二列减第一列,第四列减第三列得：00011000011x x D y y-=- 〔4分〕按第一行展开得 按第三列展开得2201x D xyx y y-=-=. 〔4分〕10、解：把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子⎪⎭⎫⎝⎛+∑=n i i x 13,再通过行列式的变换化为上三角形行列式2212113313nn n n i i n x x x x D x x x =+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑〔4分〕1133n n i i x -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑〔4分〕 四、证明题 11、证明：<1>、 因为332,ααα，线性无关,所以32αα，线性无关., 又321ααα，，线性相关,故1α能由32αα，线性表出. <4分> 123()3r ααα=，，,〔2〕、〔反正法〕假如不,如此4α能由321,ααα，线性表出, 不妨设3322114ααααk k k ++=.由〔1〕知,1α能由32αα，线性表出, 不妨设32211αααt t +=.所以3322322114)(αααααk k t t k +++=,这明确432,ααα，线性相关,矛盾. 12、证明〔1〕1(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -++=+-++1()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-= 〔4分〕〔2〕1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+由〔1〕得：11[()]()2E f A E A -+=+,代入上式得11()()22E A E A A =+--= 〔4分〕 五、解答题 13、解：〔1〕由0E A λ-=得A 的特征值为11λ=,22λ=,35λ=. 〔4分〕〔2〕11λ=的特征向量为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,22λ=的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 35λ=的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 〔3分〕〔3〕因为特征值不相等,如此123,,ξξξ正交. 〔2分〕〔4〕将123,,ξξξ单位化得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭〔2分〕〔5〕取()123010,,00P p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝ 〔6〕1100020005P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭〔1分〕14、解：该非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程组为因3)(=A R ,如此齐次线性方程组的根底解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的根底解系. 〔5分〕另一方面,记向量)(2321ηηηξ+-=,如此直接计算得0)6,5,4,3(≠=T ξ,ξ就是它的一个根底解系.根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=543265431k k x ηξ,R k ∈. 〔7分〕15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:假如此非齐次线性方程组有解, 如此①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a . 〔4分〕1°当1a =时,有()()23r A r A ==<,方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ,如此方程组③为齐次线性方程组,其根底解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ,k 为任意常数. 〔4分〕2° 当2a =时,有()()3r A r A ==,方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ,故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,即①与②有唯一公共解011x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 〔4分〕线性代数习题和答案第一局部选择题 <共28分>一、单项选择题〔本大题共14小题,每一小题2分,共28分〕在每一小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分. 1.设行列式a a a a 11122122=m,aa a a 13112321=n,如此行列式aa a a a a 111213212223++等于〔 〕A.m+nB. -<m+n>C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,如此A -1等于〔 〕A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,如此A *中位于〔1,2〕的元素是〔〕A.–6B. 6C. 2D.–24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,如此必有〔〕A.A =0B. B≠C时A=0C.A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.3×4矩阵A的行向量组线性无关,如此秩〔A T〕等于〔〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,如此〔〕A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs〔αs+βs〕=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs〔αs-βs〕=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,如此A中〔〕A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,如此如下结论错误的答案是〔〕A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,如此必有〔〕A.秩<A><nB.秩<A>=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n<≥3>阶方阵,如下陈述中正确的答案是〔〕A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,如此α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使<λE-A>α=0,如此λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不一样的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,如此α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,如此必有〔〕A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,如此如下结论错误的答案是〔〕A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.如此〔〕A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有一样的特征值D. A与B合同14.如下矩阵中是正定矩阵的为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题,每一小题2分,共20分〕不写解答过程,将正确的答案写在每一小题的空格内.错填或不填均无分. 15.11135692536=.16.设A =111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪,B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.如此A +2B =. 17.设A =<a ij >3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式〔i,j=1,2,3〕,如此<a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23>2+<a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23>2+<a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23>2=.18.设向量〔2,-3,5〕与向量〔-4,6,a 〕线性相关,如此a=.19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,假如η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,如此它的通解为.20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<<n>,如此齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系中含有解的个数为.21.设向量α、β的长度依次为2和3,如此向量α+β与α-β的内积〔α+β,α-β〕=.22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,A 有2个特征值-1和4,如此另一特征值为.A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,如此α所对应的特征值为. 24.设实二次型f<x 1,x 2,x 3,x 4,x 5>的秩为4,正惯性指数为3,如此其规X 形为.三、计算题〔本大题共7小题,每一小题6分,共42分〕25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求〔1〕AB T ；〔2〕|4A |. 26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；假如是,如此求出组合系数.29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：〔1〕秩〔A 〕；〔2〕A 的列向量组的一个最大线性无关组.30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D . 31.试用配方法化如下二次型为标准形f<x 1,x 2,x 3>=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换.四、证明题〔本大题共2小题,每一小题5分,共10分〕32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且〔E -A 〕-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个根底解系.试证明 〔1〕η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；〔2〕η0,η1,η2线性无关. 答案：一、单项选择题〔本大题共14小题,每一小题2分,共28分〕1二、填空题〔本大题共10空,每空2分,共20分〕15. 616. 337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪17. 418. –1019. η1+c<η2-η1>〔或η2+c<η2-η1>〕,c 为任意常数 20. n -r21. –522. –223. 124. z z z z 12223242++-三、计算题〔本大题共7小题,每一小题6分,共42分〕25.解〔1〕AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 〔2〕|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·〔-2〕=-128 26.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即〔A -2E 〕B =A ,而 〔A -2E 〕-1=2231101211431531641--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=<A-2E>-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为〔2,1,1〕.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解〔2,1,1〕T,组合系数为〔2,1,1〕.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.〔1〕秩〔B〕=3,所以秩〔A〕=秩〔B〕=3.〔2〕由于A与B的列向量组有一样的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组.〔A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是〕30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=〔2,-1,0〕T, ξ2=〔2,0,1〕T. 经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪. 对角矩阵D=100010008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.〔也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.〕31.解 f<x1,x2,x3>=〔x1+2x2-2x3〕2-2x22+4x2x3-7x32=〔x1+2x2-2x3〕2-2〔x2-x3〕2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪,即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩.经此变换即得f<x1,x2,x3>的标准形 y12-2y22-5y32.四、证明题〔本大题共2小题,每一小题5分,共10分〕32.证由于〔E-A〕〔E+A+A2〕=E-A3=E,所以E-A可逆,且〔E-A〕-1= E+A+A2.33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.〔1〕Aη1=A〔η0+ξ1〕=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b, 所以η1,η2是Ax=b的2个解.〔2〕考虑l0η0+l1η1+l2η2=0, 即〔l0+l1+l2〕η0+l1ξ1+l2ξ2=0.如此l0+l1+l2=0,否如此η0将是Ax=0的解,矛盾.所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关.。
线性代数期末试卷及详细答案
（A ）A=E
（B ） A 相似于 E （ C） A2 E
（ D） A 合同于 E
8、若 1, 2, 3 , 4 是线性方程组 AX O 的基础解系，则 1 + 2 + 3 + 4 是 AX O 的
（A ）解向量
（ B）基础解系
（ C ）通解；
（ D） A 的行向量；
9、 1 , 2 都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 2 ，且 X 1 和 X 2 分别是对应于 1 和 2 的特征
准型，并求出正交变换。 四、证明题（ 7 分）
设 A 为 m× n 矩阵， B 为 n 阶矩阵，已知 R(A) n
证明：若 AB=O ，则 B=O
《线性代数》期末考试题 A 题参考答案与评分标准
填空题
1、 -10；
2、 81；
3、
4，
6，
12；
1
4、
A
3E ；
2
5、 5；
二、单项选择题 ( 每小题 2 分，共 20 分)
填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
345
1、设 D1 = 3 1
5 ， D2= 5
2
2
1 0
0 ，则 D = D1 O
0
O
= _____________。
D2
2、四阶方阵
A、B ，已知
1 A=
，且 B= 2A -1
16
1
2A ，则 B =_____________ 。
1b1
002
求 a,b 6、齐次线性方程组
2 x1 x2 3x3 0 x1 3x2 4 x3 0
x1 2 x2 ax 0